Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Exercise 2.2

प्रश्न 1. निम्नलिखित पर बहुपद 5x – 4x² + 3 के मान ज्ञात कीजिए
(i) x = 0 (ii) x = – 1 (iii) x = 2
हल :
(i) यहाँ पर बहुपद = 5x – 4x² + 3
x = 0 रखने पर
5x – 4x² + 3 = 5(0) – 4(0)² + 3
= 0 – 0 + 3 = 3 उत्तर

(ii) यहाँ पर x = – 1 रखने पर
बहुपद = 5x – 4x² + 3
5x – 4x² + 3 = 5(-1) – 4(-1)² + 3
= – 5 – 4(1) + 3
= – 5 – 4 + 3
= – 9 + 3 = – 6 उत्तर

(iii) यहाँ पर
x = 2 रखने पर
बहुपद = 5x – 4x² + 3
5x – 4x² + 3 = 5 (2) – 4(2)² +3
= 10 – 4(4) + 3
= 10 – 16 + 3
= 13 – 16 = – 3 उत्तर

प्रश्न 2. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद के लिएp p(0), P (1) और p (2) ज्ञात कीजिए-
(i) p(y) = y² – y + 1
(ii) p(t) = 2 + t + 2t² – t³
(iii) p(x) = x³
(iv) P(x) = (x – 1) (x + 1)
हल :
(i) यहाँ पर
P(y) = y² – y + 1
y = 0 रखने पर
P (0) = (0)² – (0) + 1
= 0 – 0 + 1 = 1 उत्तर

y = 1 रखने पर
P(1) = (1)² – (1) + 1
= 1 – 1 + 1 = 1 उत्तर

y = 2 रखने पर
p(2) = (2)² – (2) + 1
= 4 – 2 + 1
= 5 – 2 = 3 उत्तर

(ii) यहाँ पर
p(t) = 2 + t + 2t² – t³
= – t³ + 2t² + t + 2
t = 0 रखने पर
p(0) = – (0)³ + 2(0)³ + (0) + 2
= – 0 + 0 + 0 + 2 = 2 उत्तर
t = 1 रखने पर
p(1) = -(1)³ + 2 (1)² + (1) + 2
= – 1 + 2 + 1 + 2
= – 1 + 5 = 4 उत्तर

t = 2 रखने पर
p(2) = – (2)³ + 2(2)² + (2) + 2
= – 8 + 8 + 2 + 2
= – 8 + 12 = 4 उत्तर

(iii) यहाँ पर p(x) = x³
x = 0 रखने पर
p(0) = (0)³ = 0 उत्तर
x = 1 रखने पर
p(1) = (1)³ = 1 उत्तर
x = 2 रखने पर
p(2) = (2)³ = 2 × 2 × 2 = 8 उत्तर

(iv) यहाँ पर
P(x) = (x – 1) (x + 1)
= (x)² – (1)² = x² – 1
x = 0 रखने पर
p(0) = (0)² – 1 = – 1 उत्तर
x = 1 रखने पर
p(1) = (1)² – 1 = 1 – 1 = 0 उत्तर
x = 2 रखने पर
P (2) = (2)² – 1 = 4 – 1 = 3 उत्तर

प्रश्न 3. सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शून्यक हैं
(i) p(x) = 3x + 1; x = – 1/3
(ii) p(x) = 5x – π, x = 4/5
(iii) p(x) = x² – 1; x = 1, – 1
(iv) p(x) = (x + 1) (x – 2), x = – 1, 2
(v) p (x) = x², x = 0
(vi) p(x) = lx + m; x = –m/l
(vii) p(x) = 3x² – 1; x = –1/√3,2/√3
(viii) p(x) = 2x + 1, x = 1/2
हल :
(i) यहाँ पर
P(x) = 3x + 1
x = – 1/3 रखने पर
p(- 1/3) = 3(- 1/3) + 1
= – 1 + 1 = 0
अतः –1/3 बहुपद 3x + 1 का शून्यक है। उत्तर

(ii) यहाँ पर
p(x) = 5x – π
x = 4/5 रखने पर
p(4/5) = 5(4/5) – π
= 4 – π ≠ 0
अतः 4/5 बहुपद 5x – π का शून्यक नहीं है। उत्तर

(iii) यहाँ पर
p(x) = x² – 1
x = 1 रखने पर p(1) = (1)² – 1 = 1 – 1 = 0
x = – 1 रखने पर p(-1) = (-1)² -1 = 1 – 1 = 0
अतः 1 व – 1 बहुपद x² – 1 के शून्यक हैं। उत्तर

(iv) यहाँ पर
p(x) = (x + 1) (x – 2)
= x² + x – 2x – 2
= x² – x – 2
x = – 1 रखने पर
P(-1) = (-1)² – (-1) – 2
= 1 + 1 – 2 = 2 – 2 = 0
x = 2 रखने पर
p(2) = (2)² – (2) – 2
= 4 – 2 – 2 = 4 – 4 = 0
अतः – 1 व 2 बहुपद (x + 1) (x – 2) के शून्यक हैं। उत्तर

(v) यहाँ पर
P(x) = x²
x = 0 रखने पर
P(0) = (0)² = 0
अतः 0 बहुपद x² का शून्यक है। उत्तर

(vi) यहाँ पर
p(x) = lx + m
x = – m/l रखने पर
p(-m/l) = l (-m/l) +m
= – m + m = 0
अतः –m/l बहुपद lx + m का शून्यक है। उत्तर

(vii) यहाँ पर
p(x) = 3x² – 1

(viii) यहाँ पर
p(x) = 2x + 1
x = 1/2 रखने पर
p(1/2) = 2(1/2) + 1
= 1 + 1
= 2 ≠ 0
अतः 1/2 बहुपद 2x + 1 का शून्यक नहीं है। उत्तर

प्रश्न 4. निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में बहुपद का शून्यक ज्ञात कीजिए –
(i) p(x) = x + 5
(ii) P(x) = x – 5
(iii) P(x) = 2x + 5
(iv) p(x) = 3x – 2
(v) p(x) = 3x
(vi) P(x) = ax; a ≠ 0
(vii) P(x) = cx + d; c ≠ 0, c, d वास्तविक संख्याएँ हैं।
हल :
बहुपद का शून्यक ज्ञात करने के लिए आवश्यक है-
P(x) = 0
(i) x + 5 = 0
या x = 0 – 5 = – 5
अतः बहुपद x + 5 का शून्यक = – 5 उत्तर

(ii) x – 5 = 0
या x = 0 + 5 = 5
अतः बहुपद x – 5 का शून्यक = 5 उत्तर

(iii) 2x + 5 = 0
⇒ 2x = 0 – 5 = – 5
या x = – 5/2
अतः बहुपद 2x + 5 का शून्यक = – 5/2 उत्तर

(iv) 3x – 2 = 0
⇒ 3x = 0 + 2 = 2
या x = 2/3
अतः बहुपद 3x – 2 का शून्यक = 2/3 उत्तर

(v) 3x = 0
या x = 0/3 = 0
अतः बहुपद 3x का शून्यक = 0 उत्तर

(vi) ax = 0
या x = 0/a = 0
अतः बहुपद ax का शून्यक = 0 उत्तर

(vii) cx + d = 0
या cx = 0 – d = – d
या x = –d/c
अतः बहुपद cx + d का शून्यक = – d/c उत्तर

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