Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Exercise 9.2

प्रश्न 1. आकृति में, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, AE ⊥ DC और CF ⊥ AD है। यदि AB = 16 सें०मी०, AE = 8 सें०मी० और CF = 10 सें०मी० है, तो AD ज्ञात कीजिए। 

हल :
यहाँ पर आधार (AB) = 16 सें०मी०
शीर्षलंब (AE) = 8 सें०मी०
∴ समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = आधार × शीर्षलंब
= 16 सें०मी० × 8 सें०मी०
= 128 सें०मी०²
दूसरी अवस्था में
शीर्षलंब (CF) = 10 सें०मी०

प्रश्न 2. यदि E, F, G और H क्रमशः समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं, तो दर्शाइए कि ar (EFGH) = 1/2 ar (ABCD) है।
हल :

दिया है : समांतर चतुर्भुज ABCD में E, F, G व H क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD व DA के मध्य बिंदु हैं।
इन्हें मिलाने पर चतुर्भुज EFGH प्राप्त होता है।
सिद्ध करना है : ar (EFGH) = 1/2 ar (ABCD)
रचना : H व F को मिलाओ।
प्रमाण : ΔHGF और समांतर चतुर्भुज HDCF समान आधार HF और समान समांतर रेखाओं HF और DC के मध्य स्थित हैं।
∴ ar (ΔHGF) = 1/2 ar (HDCF) …..(i)
इसी प्रकार, ΔHEF और समांतर चतुर्भुज ABFH समान आधार HF और समान समांतर रेखाओं HF और AB के मध्य स्थित है।
∴ ar (ΔHEF) = 1/2 ar (ABFH) …..(ii)
समीकरण (i) एवं (ii) को जोड़ने पर,.
ar (ΔHGF) + ar (ΔHEF) = 1/2[ar (HDCF) + ar (ABFH)]
⇒ ar (EFGH) = 1/2 ar (ABCD) [इति सिद्धम]

प्रश्न 3. P और Q क्रमशः समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं DC और AD पर स्थित बिंदु हैं। दर्शाइए कि ar (APB) = ar (BQC) है।
हल :

दिया है :
समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं DC और AD पर क्रमशः P व Q दो बिंदु स्थित हैं।
सिद्ध करना है : ar (ΔAPB) = ar (ΔBQC)
प्रमाण : यहाँ पर ΔAPB तथा || चतुर्भुज ABCD एक ही आधार AB तथा समांतर रेखाओं AB व CD के मध्य में हैं।
∴ ar (ΔAPB) = 1/2 ar (|| चतुर्भुज ABCD) …..(i)
इसी प्रकार ΔBQC तथा || चतुर्भुज ABCD एक ही आधार BC तथा समांतर रेखाओं AD व BC के मध्य में हैं।
∴ ar (ΔBQC) = 1/2 ar (॥ चतुर्भुज ABCD) …..(ii)
समीकरण (i) व (ii) की तुलना में,
ar (ΔAPB) = ar (ΔBQC) [इति सिद्धम]

प्रश्न 4. आकृति में, P समांतर चतुर्भुज ABCD के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु है। दर्शाइए कि
(i) ar (APB) + ar (PCD) = 1/2 ar (ABCD)
(ii) ar (APD) + ar (PBC) = ar (APB) + ar (PCD)

हल :

दिया है : समांतर चतुर्भुज ABCD के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु P है।
सिद्ध करना है : (i) ar (ΔAPB) + ar (ΔPCD) = 1/2 ar (ABCD)
(ii) ar (ΔAPD) + ar (ΔPBC) = ar (ΔAPB) + ar (ΔPCD)
रचना : P से EPF समांतर AB या DC तथा GPH समांतर AD या BC खींचिए।
प्रमाण : क्योंकि AB || EF m(रचना से)
तथा AE || BF [|| चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएं]
∴ AEFB एक || चतुर्भुज है। इसी प्रकार EDCF भी एक || चतुर्भुज है।
ΔAPB तथा || चतुर्भुज AEFB एक ही आधार AB तथा समांतर रेखाओं AB तथा EF के मध्य में स्थित हैं।
∴ ar (ΔAPB) = 1/2 ar (|| चतुर्भुज AEFB) …..(i)
इसी प्रकार ar (ΔPCD) = 1/2 ar (|| चतुर्भुज EDCF) …..(ii)
समीकरण (i) व (ii) को जोड़ने पर,
ar (ΔAPB + ar (ΔPCD) = 1/2 ar (|| चतुर्भुज AEFB) + 1/2 ar (|| चतुर्भुज EDCF)
ar (ΔAPB) + ar (ΔPCD) = 12{ar (|| चतुर्भुज AEFB) + ar (|| चतुर्भुज EDCF)}
∴ ar (ΔAPB) + ar (ΔPCD) = 1/2 ar (|| चतुर्भुज ABCD) …..(iii)
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं कि,
ar (ΔAPD) + ar (ΔPBC) = 1/2 ar (|| चतुर्भुज ABCD) …..(iv)
समीकरण (iii) व (iv) की तुलना से,
ar (ΔAPB) + ar (ΔPCD) = ar (ΔAPD) + ar (ΔPBC) [इति सिद्धम]

प्रश्न 5. आकृति में, PQRS और ABRS समांतर चतुर्भुज हैं तथा X भुजा BR पर स्थित कोई बिंदु है। दर्शाइए कि
(i) ar (PQRS) = ar (ABRS)
(ii) ar (AXS) = 1/2 ar (PQRS)

हल :
दिया है : PQRS और ABRS समांतर चतुर्भुज एक ही आधार SR तथा दो समांतर रेखाओं SR व PB के बीच स्थित हैं तथा X भुजा BR पर स्थित कोई बिंदु है।
सिद्ध करना है : (i) ar (PQRS) = ar (ABRS)
(ii) ar (ΔAXS) = 1/2 ar (PQRS)
प्रमाण : (i) समांतर चतुर्भुज PQRS और समांतर चतुर्भुज ABRS समान आधार RS और एक ही समांतर रेखाओं SR तथा PB के बीच स्थित हैं।
∴ ar (PQRS) = ar (ABRS) [इति सिद्धम]
(ii) ΔAXS और समांतर चतुर्भुज ABRS समान आधार AS और एक ही समांतर रेखाओं AS बीच RB के बीच स्थित है।
∴ ar (ΔAXS) = 1/2 ar (ABRS)
या ar (ΔAXS) = 1/2 ar (PQRS) [भाग (i) से] [इति सिद्धम]

प्रश्न 6. एक किसान के पास समांतर चतुर्भुज PQRS के रूप का एक खेत था। उसने RS पर स्थित कोई बिंदु A लिया और उसे P और Q से मिला दिया। खेत कितने भागों में विभाजित हो गया है? इन भागों के आकार क्या हैं? वह किसान खेत में गेहूँ और दालें बराबर-बराबर भागों में अलग-अलग बोना चाहता है। वह ऐसा कैसे करें?
हल :

इस प्रकार खेत तीन भागों में बँट जाता है तथा तीनों भाग त्रिभुज के आकार में हैं।
(i) ΔAPQ (ii) ΔASP (iii) ΔARQ
क्योंकि ΔAPQ तथा || चतुर्भुज PQRS एक ही आधार PQ तथा एक ही समांतर रेखाओं PQ तथा Rs के मध्य में स्थित है।
∴ ar (ΔAPQ) = 1/2 ar (|| चतुर्भुज PORS)
⇒ ar (ΔAPQ) = ar (ΔAPS) + ar (ΔAQR)
किसान को या तो गेहूँ ΔAPQ में तथा दालें अन्य दो त्रिभुजों में बोनी चाहिएं या दालें ΔAPQ में तथा गेहूँ अन्य दो त्रिभुजों में बोनी चाहिए।