AP Board 8th Class Maths Solutions Chapter 6 వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు InText Questions
AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 6th Lesson వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు InText Questions
ఇవి చేయండి
1. క్రింది సంఖ్యల మధ్య నున్న వర్గసంఖ్యలు ఏవి ? (i) 100 మరియు 150 (ii) 150 మరియు 200 (పేజీ నెం. 124)
సాధన.
(i) 100 మరియు 150 మధ్య గల వర్గ సంఖ్యలు = 121, 144
(ii) 150 మరియు 200 మధ్య గల వర్గసంఖ్యలు = 169, 196
2. 56 పరిపూర్ణ వర్గమా? కారణాలు తెలపండి. (పేజీ నెం. 124)
సాధన.
56 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధం = 8 × 7 = (2 × 2) × 2 × 7
56 ను రెండు, ఒకే సంఖ్యల లబ్ధంగా రాయలేము కావున 56 వర్గసంఖ్య కాదు.
3. 92 మరియు 102 మధ్య ఎన్ని పూర్ణసంఖ్యలున్నాయి ? (పేజీ నెం. 128)
సాధన.
92 మరియు 102 మధ్య గల పూర్ణసంఖ్యల సంఖ్య = 2 × మొదటి వర్గసంఖ్య (భూమి)
= 2 × 9 = 18 (82, 83, ……….. 99 = 18)
4. 152 మరియు 162 మధ్య ఎన్ని పూర్ణసంఖ్యలున్నాయి ? (పేజీ నెం. 128)
సాధన.
152 మరియు 162 మధ్య గల పూర్ణసంఖ్యల సంఖ్య
= 2 × మొదటి వర్గసంఖ్య (భూమి)
= 2 × 15 = 30 (226, 227, ………… 254, 255) = 30
5. క్రింది సంఖ్యలు పైథాగోరియన్ త్రికాలు అవుతాయేమో సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 129)
(i) 2, 3, 4 (ii) 6, 8, 10 (iii) 9, 10, 11 (iv) 8, 15, 17
సాధన.
| సంఖ్యలు | పైథాగోరియన్ త్రికాలు అగుట | అవును / కాదు |
| (i) 2, 3, 4 | 42 = 22 + 32 ⇒ 16 ≠ 13 | కావు |
| (ii) 6, 8, 10 | 102 = 62 + 82 ⇒ 100 = 100 | అవును |
| (iii) 9, 10, 11 | 112 = 92 + 102 ⇒ 121 ≠ 181 | కావు |
| (iv) 8, 15, 17 | 172 = 82 + 152 ⇒ 289 = 289 | అవును |
6. ఒక పైథాగోరియన్ త్రికాన్ని తీసుకొని వాటి గుణిజాలను వ్రాయండి. గుణిజాలతో ఏర్పడిన త్రికాలు పైథాగోరియన్ త్రికాలు అవుతాయేమో సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 129)
సాధన.
3, 4, 5 లు పైథాగోరియన్ త్రికాలు.
∴ పైథాగోరియన్ త్రికాల గుణకాలు కూడా పైథాగోరియన్ త్రికాలు అగును.
7. పునరావృత వ్యవకలనం (Repeated subtraction) ద్వారా క్రింది సంఖ్యలు (పరిపూర్ణ) వర్గ సంఖ్యలు అవుతాయో, లేదో కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 131)
(i) 55
(ii) 90
(iii) 121
సాధన.
(i) √55
సోపానం 1 → 55 – 1 = 54 (మొదటి బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 2 → 54 – 3 = 51 (2వ బేసి సంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 3 → 51 – 5 = 46 (3వ బేసి సంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 4 → 46 – 7 = 39 (4వ బేసి సంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 5 → 39 – 9 = 30 (5వ బేసి సంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 6 → 30 – 11 = 19 (6వ బేసి సంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 7 → 19 – 13 = 6 (7వ బేసి సంఖ్యను తీసివేయటం)
∴ 1 నుండి మొదలుకొని 7 వరుస బేసిసంఖ్యలు 55 నుండి తీసివేయగా ‘0’ రాలేదు. కావునా 55 వర్గసంఖ్య కాదు.
(ii) √90
సోపానం 1 → 90 – 1 = 89 (మొదటి బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 2 → 89 – 3 = 86 (2వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 3 → 86 – 5 = 81 (3వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 4 → 81 – 7 = 74 (4వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 5 → 74 – 9 = 65 (5వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం )
సోపానం 6 → 65 – 11 = 54 (6వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం, 7 → 54 – 13 = 41 (7వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 8 → 41 – 15 = 26 (8వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 9 → 26 – 17 = 9 (9వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
∴ 1 నుండి మొదలుకొని 9 వరుస బేసి సంఖ్యలు 90 నుండి తీసివేసిన ‘0’ రాలేదు. కావునా ’90’ పరిపూర్ణ సంఖ్య కాదు.
Note : పై పద్ధతిలో చివరగా (సున్న) ‘0’ వచ్చినట్లయితే అది పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య అవుతుంది.
(iii) √121
సోపానం 1 → 121 – 1 = 120 (మొదటి బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 2 → 120 – 3 = 117 (2వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 3 → 117 – 5 = 112 (3వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 4 → 112 – 7 = 105 (4వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 5 → 105 – 9 = 96 (5వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 6 → 96 – 11 = 85 (6వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 7 → 85 – 13 = 72 (7వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 8 → 72 – 15 = 57 (8వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 9 → 57 – 17 = 40 (9వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 10 → 40 – 19 = 21 (10వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 11 → 21 – 21 = 0 (11వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
∴ 1 నుండి మొదలుకొని 11 వరుస బేసిసంఖ్యలు 121 నుండి తీసివేయడం ద్వారా ‘0’ వచ్చినది (11వ సోపానం వద్ద).
∴ కావునా 121 పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్య
∴ √121=√11×11 = 11 (∵ 11వ సోపానం వద్ద అంతం అయినది)
ప్రయత్నించండి
1. క్రింది వాటిలో ఏవి వర్గ సంఖ్యలు అవుతాయో ఊహించండి. పై పట్టిక ఆధారంగా సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 124)
(i) 84 (ii) 108 (iii) 271 (iv) 240 (v) 529
సాధన.
(i) 84 (ii) 108 (iii) 271 (iv) 240
ఈ సంఖ్యలను రెండు ఒకే సంఖ్యల లబ్ధంగా రాయలేము కాబట్టి ఇవి వర్గసంఖ్యలు కావు.
(v) 529 = 23 × 23 ⇒ ఇది ఒక వర్గసంఖ్య.
∴ 529 మాత్రమే వర్గసంఖ్య.
2. క్రింది వర్గ సంఖ్యలలో ఒకట్ల స్థానంలో 1 వచ్చే సంఖ్యలు ఏవి ? (పేజీ నెం. 125)
(i) 1262 (ii) 1792 (iii) 2812 (iv) 3632
సాధన.
| సంఖ్య | ఆ సంఖ్య ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె వర్గం | ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె |
| (i) 1262 | (6)2 = 36 | 6 |
| (ii) 1792 | (9)2 = 81 | 1 |
| (iii) 2812 | (1)2 = 1 | 1 |
| (iv) 3632 | (3)2 = 9 | 9 |
ఇచ్చిన వర్గసంఖ్యలలో ఒకట్ల స్థానంలో 1 వచ్చే సంఖ్యలు = (ii) 1799, (iii) 2812
3. క్రింది వర్గ సంఖ్యలలో ఒకట్ల స్థానంలో 6 వచ్చే సంఖ్యలు ఏవి ? (పేజీ నెం. 125)
(i) 1162 (ii) 2282 (iii) 3242 (iv) 3632
సాధన.
(i) 1162 ⇒ (6)2 = 36 ఒకట్ల స్థానంలో అంకె 6
(ii) 2282 ⇒ (8)2 = 64 ఒకట్ల స్థానంలో అంకె 4
(iii) 3242 ⇒ (4)2 = 16 ఒకట్ల స్థానంలో అంకె 6
(iv) 3632 ⇒ (3)2 = 9 ఒకట్ల స్థానంలో అంకె 9
∴ ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె ‘6’ గల సంఖ్యలు (i) 1162 (iii) 3242
4. క్రింది సంఖ్యల వర్గాలలో ఎన్ని అంకెలు ఉంటాయో ఊహించండి. (పేజీ నెం. 125)
(i) 72 (ii) 103 (iii) 1000
సాధన.
27; 20 మరియు 30 కి మధ్య ఉంటుంది. 272, 202 మరియు 302 కి మధ్య ఉంటుంది.
అయిన క్రింది వాటిలో 272 యొక్క విలువ ఏది ?
(i) 329 (ii) 525 (iii) 529 (iv) 729
సాధన.
(27)2 = 27 × 27 = 729
6. 92 మరియు 112 మధ్య 37 పరిపూర్ణ వర్గంలేని సంఖ్యలు ఉన్నాయని రేహాన్ చెప్పాడు. ఇది సరియేనా ? కారణం తెలపండి. (పేజీ నెం. 128)
సాధన.
92 మరియు 112 ల మధ్య గల పూర్ణసంఖ్యలు = 82, 83 ……….. 100, ……… 120 = 39
ఇందు 100 వర్గసంఖ్య కావునా పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్యలు కాని సంఖ్యలు = 39 – 1 = 38
∴ రేహాన్ చెప్పినది సరియైనది కాదు.
7. 81 ఘనసంఖ్య అగునా ? (పేజీ నెం. 140)
సాధన.
81 = 3 × 3 × 3 × 3 = 34
∴ 81 ను 3 ఒకే సంఖ్యల లబ్ధంగా రాయలేం కాబట్టి 81 ఘనసంఖ్య కాదు.
8. 125 ఘనసంఖ్య అగునా ? (పేజీ నెం. 140)
సాధన.
125 = 5 × 5 × 5 = 53
∴ 125 ను 3 సమానసంఖ్యల లబ్ధంగా వ్రాసినాము కావున ఇది ఘనసంఖ్య.
9. క్రింది సంఖ్యల (విస్తరణలో) ఒకట్ల స్థానములో ఉండు సంఖ్యలను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 141)
(i) 753 (ii) 123 (ii) 1573 (iv) 1983 (v) 2063
సాధన.
| సంఖ్య | ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె యొక్క ఘనం | ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె |
| (i) 753 | 53 = 125 | 5 |
| (ii) 1233 | 33 = 27 | 7 |
| (iii) 1573 | 73 = 343 | 3 |
| (iv) 1983 | 83 = 512 | 2 |
| (v) 2063 | 63 = 216 | 6 |
ఆలోచించి, చర్చించి వ్రాయండి
1. “సరిసంఖ్యల వర్గం సరిసంఖ్య మరియు బేసిసంఖ్యల వర్గం బేసిసంఖ్య” అని వైష్ణవి చెప్పింది. దానిని నీవు అంగీకరిస్తావా ? కారణం చెప్పండి. (పేజీ నెం. 125)
సాధన.
సరిసంఖ్యల వర్గం సరిసంఖ్య అవుతుంది. ఎందుకనగా రెండు సరిసంఖ్యల లబ్ధం ఎల్లప్పుడూ సరిసంఖ్యయే.
ఉదా : (4)2 = 4 × 4 = 16 ఒక సరిసంఖ్య.
బేసిసంఖ్యల వర్గం బేసిసంఖ్య అవుతుంది. ఎందుకనగా రెండు బేసి సంఖ్యల లబ్దం ఎల్లప్పుడూ బేసిసంఖ్యయే.
ఉదా : 112 = 11 × 11 = 121 ఒక బేసిసంఖ్య.
2. క్రింది పట్టికను పూరించండి. (పేజీ నెం. 125)
3. 1, 100 ల మధ్య ; 1, 500 ల మధ్య ; 1 మరియు 1000 ల మధ్య ఎన్ని (సంపూర్ణ) ఘనసంఖ్యలు కలవు ? (పేజీ నెం. 140)
సాధన.
1, 100 మధ్య గల ఘనసంఖ్యలు = 8, 27, 64
1, 500 మధ్య గల ఘనసంఖ్యలు – 8, 27, 64, 125, 216, 343
1, 1000 మధ్య గల ఘనసంఖ్యలు = 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729.
4. 500, 1000 ల మధ్య ఎన్ని (సంపూర్ణ) ఘనసంఖ్యలు కలవు ? (పేజీ నెం. 140)
సాధన.
500 మరియు 1000 మధ్య 512, 729 అను రెండు ఘనసంఖ్యలు కలవు.
దిగువ వాటిని సాధించుము. (పేజీ నెం. 143)
5. దిగువ వానిలో ఏవి (సంపూర్ణ) ఘన సంఖ్యలు ?
(i) 243 (ii) 400 (iii) 500 (iv) 512 (v) 729
సాధన.
| సంఖ్య | ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధం | అవును / కాదు |
| (i) 243 | 243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35 | కాదు |
| (ii) 400 | 400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 = 24 × 52 | కాదు |
| (iii) 500 | 500 = 2 × 2 × 5 × 5 × 5 = 22 × 53 | కాదు |
| (iv) 512 | 512 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) = 23 × 23 × 23 = 83 | అవును |
| (v) 729 | 729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 32 × 32 × 32 = (32)3 = 93 | అవును |
∴ ఇచ్చిన వాటిలో 512, 729 లు ఘనసంఖ్యలు.
The Complete Educational Website