Gujarat Board Solutions Class 10 Maths Chapter 3 દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણયુગ્મ Ex 3.2
Gujarat Board Solutions Class 10 Maths Chapter 3 દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણયુગ્મ Ex 3.2
Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 3 દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણયુગ્મ Ex 3.2
પ્રશ્ન 1.
નીચેની સમસ્યાઓ પરથી સુરેખ સમીકરણયુગ્મ બનાવો અને તેમનો ઉકેલ આલેખની રીતે શોધો:
(i) ધોરણ Xના દસ વિદ્યાર્થીઓ ગણિતના કોયડાની સ્પર્ધામાં ભાગ લે છે. જો ભાગ લેનાર છોકરીઓની સંખ્યા છોકરાઓની સંખ્યા કરતાં 4 વધારે હોય, તો કેટલા છોકરાઓએ અને કેટલી છોકરીઓએ કોયડાની સ્પર્ધામાં ભાગ લીધો હશે તે શોધો.
(ii) 5 પેન્સિલ અને 7 પેનની કુલ કિંમત ₹ 50 છે અને તે જ કિંમતવાળી 7 પેન્સિલ અને 5 પેનની કુલ કિંમત ₹ 46 છે, તો એક પેન્સિલ અને એક પેનની કિંમત શોધો.
ઉત્તરઃ
(i) ધારો કે, x છોકરાઓ અને y છોકરીઓ સ્પર્ધામાં ભાગ લે છે.
આથી આપેલ માહિતી પરથી નીચે મુજબના બે સમીકરણ મળે :
x + y = 10 ……… (1)
અને y = x + 4,
એટલે કે, y – x = 4 …………..(2)
આ સમીકરણોના આલેખ દોરવા આપણે બંને સમીકરણના બે-બે ઉકેલ શોધીને કોષ્ટકમાં દર્શાવીએ. સમીકરણ (1) માટે, x + y = 10 પરથી, y = 10 – x મળે.
સમીકરણ (2) માટે, y – x = 4 પરથી, y = x + 4 મળે.
ઉપરોક્ત આલેખમાં બે રેખાઓ બિંદુ (3, 7)માં છેદે છે. આથી x = 3 અને y = 7 એ આપણે મેળવેલ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ છે. આમ, 3 છોકરાઓ અને 7 છોકરીઓ એ કોયડાની સ્પર્ધામાં ભાગ લીધો હશે. ચકાસણી x = 3 અને U = 7 એ પ્રશ્નમાં આપેલ બંને શરતોનું સમાધાન કરે છે.
(ii) ધારો કે, એક પેન્સિલની કિંમત ₹ x અને એક પેનની કિંમત ₹ y છે.
આથી આપેલ માહિતી પરથી નીચે મુજબના બે સમીકરણ મળે:
5x + 7y = 50 ………. (1)
7x + 5y = 46 ………. (2)
આ સમીકરણોના આલેખ દોરવા આપણે બંને સમીકરણના બે-બે ઉકેલ શોધીને કોષ્ટકમાં દર્શાવીએ.
ઉપરોક્ત આલેખમાં બે રેખાઓ બિંદુ (3, 5)માં છેદે છે. આથી x = 3 અને y = 5 એ આપણે મેળવેલ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ છે. આમ, એક પેન્સિલની કિંમત ₹ 3 અને એક પેનની કિંમત ₹ 5 છે.
ચકાસણીઃ x = 3 અને U = 5 એ બંને સમીકરણ 5x + 7y = 50 અને 7x + 5y = 46નું સમાધાન કરે છે.
પ્રશ્ન 4.
નીચેના પૈકી કયું સુરેખ સમીકરણયુગ્મ સુસંગત છે કે સુસંગત નથી, તે જણાવો. જો સુસંગત હોય, તો ભૌમિતિક રીતે ઉકેલ શોધો.
(i) x + y = 5; 2x + 2y = 10.
(ii) x – y = 8; 3x – 3y = 16
(iii) 2x + y – 6 = 0; 4x – 2y – 4 = 0
(iv) x – 2y – 2 = 0; 4x – 4y – 5 = 0
ઉત્તરઃ
અહીં, બને સમીકરણોની રેખાઓ સંપાતી છે. આથી તે સામાન્ય રેખા પરનું કોઈ પણ બિંદુ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ આપે. આમ, y = 5 – x, જ્યાં × એ કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા છે, એ આપેલ સમીકરણયુગ્મના ઉકેલ છે.
ઉપરોક્ત આલેખમાં બે રેખાઓ બિંદુ (2, 2)માં છેદે છે. આથી x = 2 અને y = 2 એ આપેલ સુરેખ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ છે.
પ્રશ્ન 5.
એક લંબચોરસ બગીચાની અર્ધપરિમિતિ 36 મીટર છે તથા તેની લંબાઈ એ તેની પહોળાઈ કરતાં 4 મીટર વધુ છે, તો બગીચાની બાજુઓનાં માપ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, લંબચોરસ બગીચાની લંબાઈ અને પહોળાઈ અનુક્રમે x મી અને y મી છે,
તો આપેલ માહિતી પરથી નીચે મુજબના સમીકરણ તારવી
શકાય :
લંબાઈ = પહોળાઈ + 4
∴ x = y + 4
અર્ધપરિમિતિ = 1/2 × લંબચોરસની પરિમિતિ
∴ 36 = 1/2 × 2 (લંબાઈ + પહોળાઈ)
∴ 36 = x + y
∴x + y = 36
હવે આપણે બંને સમીકરણના આલેખ દોરવા બંને સમીકરણના બે-બે ઉકેલ શોધીએ.
x = y + 4 પરથી, y = x – 4 મળે.
x + y = 36 પરથી, y = 36 – x મળે.
અહીં, બે રેખાઓ બિંદુ (20, 16)માં છેદે છે. આથી x = 20 અને y = 16 એ સમીકરણયુગ્મનો અનન્ય ઉકેલ છે. આમ, બગીચાની લંબાઈ 20 મી અને પહોળાઈ 16 મી છે.
પ્રશ્ન 6.
સુરેખ સમીકરણ 2x + 3g – 8 = 0 આપેલ છે. એવું બીજું દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણ લખો કે જેથી તે જોડીનું ભૌમિતિક નિરૂપણ નીચે પ્રમાણે હોય?
(i) છેદતી રેખાઓ
(ii) સમાંતર રેખાઓ
(iii) સંપાતી રેખાઓ
ઉત્તરઃ
પ્રશ્ન 7.
સમીકરણો x – y + 1 = 0 અને 3x + 2y – 12 = 0 દ્વારા દર્શાવાતી રેખાઓના આલેખ દોરો. આ રેખાઓ અને x-અક્ષ દ્વારા રચાયેલા ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓના યામ દર્શાવો અને બનતા ત્રિકોણાકાર પ્રદેશને છાયાંકિત કરો.
ઉત્તરઃ
x – y + 1 = 0 પરથી, y = x + 1 મળે.
આલેખમાં રેખાઓ અને x-અક્ષ દ્વારા રચાયેલા ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓના (-1, 0), (4, 0) તથા (2, 3) છે.
The Complete Educational Website