Gujarat Board Solutions Class 10 Maths Chapter 4 દ્વિઘાત સમીકરણ Ex 4.3
Gujarat Board Solutions Class 10 Maths Chapter 4 દ્વિઘાત સમીકરણ Ex 4.3
Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 4 દ્વિઘાત સમીકરણ Ex 4.3
પ્રશ્ન 1.
નીચે આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણનાં બીજ, શક્ય હોય તો, પૂર્ણવર્ગની? રીતથી મેળવોઃ
(i) 2x2 – 7x + 3 = 0
(ii) 2x2 + x – 4 = 0
(iii) 4x2 + 4√ 3x + 3 = 0
(iv) 2x2 + x + 4 = 0
પ્રશ્ન 2.
પ્રશ્ન 1માં આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણનાં બીજ દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરી મેળવો.
(iv) 2x2 + x + 4 = 0
અહીં, a = 2, b =1 અને c = 4.
આથી b2 – 4ac = (1)2 – 4(2) (4) = – 31 < 0
આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ માટે b2 – 4ac < 0 હોવાથી, આપેલ સમીકરણના વાસ્તવિક બીજનું અસ્તિત્વ નથી.
પ્રશ્ન 3.
નીચેનાં સમીકરણનાં બીજ શોધોઃ
x = 2 અથવા x = 1
આમ, આપેલ સમીકરણનાં બીજ 2 અને 1 છે.
નોંધઃ અહીં, અવયવીકરણની રીત ખૂબ જ સરળ પડે.
પ્રશ્ન 4.
રહેમાનની આજથી ત્રણ વર્ષ પહેલાંની ઉંમર(વર્ષમાં)ના વ્યસ્ત અને હવે પછીના 5 વર્ષ પછીની ઉંમરના વ્યસ્તનો સરવાળો 4/4 છે. તેની અત્યારની ઉંમર શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, રહેમાનની અત્યારની ઉંમર ૪ વર્ષ છે.
આથી આજથી ત્રણ વર્ષ પહેલાં તેની ઉંમર (x – 3) વર્ષ હતી અને આજથી પાંચ વર્ષ બાદ તેની ઉંમર (x + 5) વર્ષ થશે. આ બે ઉમરતવર્ષમાં)ના વ્યસ્તોનો સરવાળો ; આપેલ છે.
પ્રશ્ન 5.
એક વર્ગકસોટીમાં શેફાલીના ગણિત અને અંગ્રેજીના ગુણનો સરવાળો 30 છે. જો તેને ગણિતમાં 2 ગુણ વધુ અને અંગ્રેજીમાં ૩ ગુણ ઓછા મળ્યા હોત, તો તેમનો ગુણાકાર 210 થયો હોત. તેણે આ બંને વિષયમાં મેળવેલ ગુણ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, શેફાલીએ ગણિતમાં મેળવેલ ગુણ x છે.
આથી શેફાલીના અંગ્રેજીના ગુણ = 30 – x થાય, કારણ કે બે વિષયોમાં મેળવેલ કુલ ગુણ 30 છે.
જો તેને ગણિતમાં 2 ગુણ વધુ મળ્યા હોત, તો તેના ગણિતના ગુણ = (x + 2) થાય.
તે જ રીતે, જો તેને અંગ્રેજીમાં 3 ગુણ ઓછા મળ્યા હોત, તો તેના અંગ્રેજીના ગુણ = 30 – x – 3 = 27 – x થાય.
(x + 2) (27 – x) = 210
27x – x2 + 54 – 2x = 210
– x2 + 25x + 54 – 210 = 0
– x2 + 25x – 156 = 0.
x2 – 25x + 156 = 0
x2 – 13x – 12x + 156 = 0
x (x – 13) – 12 (x – 13) = 0
(x – 13) (x – 12) = 0
x – 13 = 0 અથવા x – 12 = 0
x = 13 અથવા x = 12
આથી 30 – x = 30 – 13 = 17 અથવા
30 – x = 30 – 12 = 18
આમ, શેફાલીએ ગણિત અને અંગ્રેજીમાં મેળવેલ ગુણ અનુક્રમે 13 અને 17 છે અથવા અનુક્રમે 12 અને 18 છે.
પ્રશ્ન 6.
એક લંબચોરસ ખેતરના વિકર્ણનું માપ તેની નાની બાજુના માપથી 60 મીટર વધુ છે. જો મોટી બાજુ, નાની બાજુ કરતાં 30 મીટર વધુ હોય, તો ખેતરની બાજુઓનાં માપ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, લંબચોરસ ખેતરની નાની બાજુનું માપ xમી છે.
આથી તે ખેતરના વિકર્ણનું માપ (x + 60) મી અને મોટી બાજુનું માપ (x + 30) મી થાય.
લંબચોરસના બધા જ ખૂણા કાટખૂણા હોય છે.
આથી પાયથાગોરસ પ્રમેય અનુસાર,
(નાની બાજુ)2 + (મોટી બાજુ)2 = (વિકર્ણ)2
x2 + (x + 30)2 = (x + 60)2
x2 + x2 + 60x + 900 = x2 + 120x + 3600
x2 – 60x – 2700 = 0
અહીં, a = 1; b = – 60 અને c = – 2700
આથી b2 – 4ac = (- 60)2 – 4 (1) (- 2700)
= 3600 + 10800 =14400
∴ x = 90 અથવા x ≠ – 30
અહીં, x એ લંબચોરસ ખેતરની નાની બાજુનું માપ દર્શાવે છે. આથી તે ઋણ ન હોઈ શકે. એટલે કે, x – 30.
∴ x = 90 અને x + 30 = 90 + 30 = 120.
આમ, લંબચોરસ ખેતરની નાની બાજુ (પહોળાઈ) 90 મી અને લાંબી બાજુ (લંબાઈ) 120 મી છે.
પ્રશ્ન 7.
બે સંખ્યાઓના વર્ગોનો તફાવત 180 છે. નાની સંખ્યાનો વર્ગ મોટી સંખ્યા કરતાં 8 ગણો છે. બંને સંખ્યાઓ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, નાની સંખ્યા x છે. માટે,
મોટી સંખ્યા =
હવે, તે બે સંખ્યાના વર્ગોનો તફાવત 180 છે.
પ્રશ્ન 8.
એક ટ્રેન એકધારી ઝડપે 360 કિમી અંતર કાપે છે. જો તેની ઝડપ 5 કિમી / કલાક વધુ હોય, તો આટલું જ અંતર કાપવા તેને 1 કલાક ઓછો સમય લાગે છે, તો ટ્રેનની ઝડપ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, ટ્રેનની સામાન્ય એકધારી ઝડપ x કિમી / કલાક છે.
∴ x કિમી/ ક્લાકની સામાન્ય ઝડપે 360 કિમી અંતર કાપતાં
360x = 360x + 1800 – x (x + 5). (x (x + 5) વડે ગુણતાં)
0 = 1800 – x2 – 5x
x2 + 5x – 1800 = 0
x2 + 45x – 40x – 1800 = 0
x (x + 45) – 40 (x + 45) = 0
(x + 45) (x – 40) = 0
x + 45 = 0 અથવા x – 40 = 0
x = – 45 અથવા x = 40
પરંતુ, x એ ટ્રેનની સામાન્ય એકધારી ઝડપ દર્શાવે છે. આથી x = – 45 શક્ય નથી.
∴ x = 40
આમ, ટ્રેનની સામાન્ય એકધારી ઝડપ 40 કિમી/કલાક છે.
પ્રશ્ન 10.
એક ઝડપી ટ્રેન મૈસૂરુ અને બેંગલુરુ વચ્ચેનું 132 કિમી અંતર કાપવા ધીમી ટ્રેન કરતાં 1 કલાક ઓછો સમય લે છે. (વચ્ચેના સ્ટેશનો પર ઊભા રહેવાનો સમય ધ્યાનમાં ના લો.) જો ઝડપી ટ્રેનની સરેરાશ ઝડપ, ધીમી ટ્રેનની સરેરાશ ઝડપ કરતાં 11 કિમી/ કલાક વધુ હોય, તો બંને ગાડીની સરેરાશ ઝડપ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, ધીમી ટ્રેનની સરેરાશ ઝડપ x કિમી / ક્લાક છે.
માટે, ઝડપી ટ્રેનની સરેરાશ ઝડપ (x + 11) કિમી/ કલાક છે.
132 કિમી અંતર કાપવા ધીમી ટ્રેનને લાગતો સમય = 132/x કલાક
x = 33 અથવા x = – 44
એ ધીમી ટ્રેનની સરેરાશ ઝડપ દર્શાવે છે.
x = – 44 શક્ય નથી.
x = 33 અને x + 11 = 33 + 11 = 44.
આમ, ધીમી ટ્રેનની સરેરાશ ઝડપ 33 કિમી/કલાક છે અને ઝડપી ટ્રેનની સરેરાશ ઝડપ 44 કિમી/ કલાક છે.
પ્રશ્ન 11.
બે ચોરસનાં ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો 468 મી2 છે. જો તેમની પરિમિતિનો તફાવત 24 મી હોય, તો બંને ચોરસની બાજુઓની લંબાઈ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, નાના ચોરસની લંબાઈ = xમી
નાના ચોરસની પરિમિતિ = 4x મી અને
નાના ચોરસનું ક્ષેત્રફળ = x2 મી2
આપેલ માહિતી પરથી, મોટા ચોરસની પરિમિતિ = = (4x + 24) મી
મોટા ચોરસની લંબાઈ = 4x+24/4 = (x + 6) મી
મી – મોટા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ = (x + 6)2 મી2
x2 + (x + 6)2 = 468
x2 + x2 + 12x + 36 – 468 = 0
2x2 + 12x – 432 = 0
x2 + 6x – 216 = 0
x2 + 18x – 12x – 216 = 0
x (x + 18) – 12 (x + 18) = 0
(x + 18) (x – 12) = 0
x + 18 = 0 અથવા x – 12 = 0
x = – 18 અથવા x = 12
હવે, x એ ચોરસની લંબાઈ દર્શાવે છે. .
x = – 18 શક્ય નથી.
x = 12 અને x + 6 = 12 + 6 = 18
આમ, નાના ચોરસની લંબાઈ 12 મી અને મોટા ચોરસની લંબાઈ 18 મી છે.
The Complete Educational Website