Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Exercise 10.2
Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Exercise 10.2
HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.2
एक बिंदु Q से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 24 cm तथा Q की केंद्र से दूरी 25 cm है। वृत्त की त्रिज्या है
(A)7 cm
(B) 12 cm
(C) 15 cm
(D) 24.5 cm
हल :
(A)7 cm
संलग्न आकृति में, यदि TP, TQ केंद्र 0 वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि ∠POQ = 110°, तो ∠PTQ बराबर है
(A) 60°
(B) 70°
(C) 80°
(D) 90°
हल :
(B)70°
कारण-क्योंकि स्पर्श रेखा और त्रिज्या के बीच का कोण 90° होता है।
∠OPT = 90° व ∠OQT = 90°
∠POQ = 110° व ∠PTQ = ?
चतुर्भुज POQT में,
∠PTQ + ∠OPT + ∠POQ + ∠OQT = 360°
∠PTQ+ 90° + 110° + 90° = 360°
∠PTO+290° = 3600
∠PTQ = 360° – 290° = 70°
यदि एक बिंदु P से 0 केंद्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 80° के कोण पर झुकी हों, तो ∠POA बराबर है-
(A)50°
(B) 60°
(C) 70°
(D) 80°
हल :
(A)50°
कारण-यहाँ पर, PA और PB स्पर्श रेखाएँ हैं जो केंद्र O वाले वृत्त पर स्थित हैं।
हम जानते हैं कि वृत्त की त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच 90° का कोण होता है।
∠OAP = 90° व ∠OBP = 90°
ΔPAO और ΔPBO में,
PA = PB (बाह्य बिंदु से समान स्पर्श रेखाएँ)
OA = OB (वृत्त की त्रिज्याएँ)
OP = OP (उभयनिष्ठ)
ΔPAO ≅ ΔΡΒΟ (sss सर्वांगसमता)
∠APO = ∠BPO = 1/2 x 80° = 40°
अब ΔPAO में,
∠OAP + ∠POA + ∠APO = 180°
90° + ∠POA + 40° = 180°
∠POA = 180° – 130° = 50°
सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।
हल :
दिया है-एक वृत्त C(O, R) का कोई व्यास AOB है जिसके सिरों A और B पर क्रमशः स्पर्श रेखाएँ PQ और RS खींची गई हैं।
सिद्ध करना है-PQ || RS
प्रमाण-हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा और त्रिज्या के बीच बनने वाला कोण 90° होता है।
∴ ∠PAB = 90° व ∠ABS = 90°
∠PAB = ∠ABS
परंतु ये एकांतर कोण हैं।
∴ PQ || RS [इति सिद्धम्]
सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिंदु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लंब वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।
हल :
माना केंद्र O वाले वृत्त की एक स्पर्श रेखा AB है जो वृत्त को P पर स्पर्श करती है। यदि संभव हो तो PQ ⊥ AB जो केंद्र से नहीं गुजरता है।
हम जानते हैं कि स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा और त्रिज्या लंबवत् होती है।
AB ⊥ OP
∠OPB = 90°
∠QPB = 90° (रचना से)
∠QPB = ∠OPB
परंतु यह असंभव है, क्योंकि एक भाग पूरे के समान नहीं हो सकता। इसलिए हमारी कल्पना गलत है।
अतः स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा पर खींचा गया लंब वृत्त के केंद्र से गुजरता है।
एक बिंदु A से, जो एक वृत्त के केंद्र से 5 cm दूरी पर है, वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 4 cm है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल :
दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 cm तथा 3 cm हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो।
हल :
माना, दिए गए दो संकेंद्रीय वृत्तों का केंद्र 0 है तथा AB बड़े वृत्त की जीवा है जो छोटे वृत्त को बिंदु P पर स्पर्श करती है।
OP तथा OA को मिलाओ।
हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा और त्रिज्या परस्पर लंबवत् होती है।
∴ ∠OPA = 90°
OP = 3 cm
OA = 5 cm
अब AB = 2 x AP = 2 x 4 cm = 8 cm
अतः जीवा AB की लंबाई = 8 cm
प्रश्न 8.
एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज ABCD खींचा गया है (देखिए संलग्न आकृति)। सिद्ध कीजिए-
AB + CD = AD + BC
हल :
दिया है-ABCD एक चतुर्भुज है जो वृत्त को P, Q, R तथा S पर स्पर्श करता है।
सिद्ध करना है-AB + CD = AD + BC
प्रमाण-हम जानते हैं कि वृत्त के किसी बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान .. होती हैं।
AP = AS ………….(i)
BP = BQ ……..(ii)
CR = CQ ……..(iii)
DR = DS ……..(iv)
समीकरण (i), (ii), (iii) व (iv) को जोड़ने पर,
___AP + BP + CR + DR = AS + BQ + CQ + DS
या (AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ)
या AB + CD = AD + BC [इति सिद्धम् ]
प्रश्न 9.
संलग्न आकृति में XY तथा X’Y’, O केंद्र वाले किसी वृत्त पर दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिंद्र C पर स्पर्श रेखा AB,XY को A तथा X’Y’ को B पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि ∠AOB = 90° है।
हल :
दिया है-XY और X’Y’ केंद्र 0 वाले वृत्त की दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं तथा स्पर्श बिंदु C वाली एक अन्य स्पर्श रेखा AB, XY को A पर तथा X’Y’ को B पर प्रतिच्छेद करती है। OA और OB को मिलाने पर ∠AOB प्राप्त होता है।
सिद्ध करना है-∠AOB = 90°
रचना-O और C को मिलाइए। इसी प्रकार स्पर्श रेखाओं XY और X’Y’ के स्पर्श बिंदु P और Q को 0 से मिलाएँ।
प्रमाण-क्योंकि XY स्पर्श रेखा है और OP एक त्रिज्या है।
∠OPA = 90° ………….(i)
इसी प्रकार, AB स्पर्श रेखा है और OC एक त्रिज्या है।
∠OCA = 90° ……..(ii)
अब समकोण AOPA और समकोण AOCA में,
AP = AC (बाह्य बिंदु से एक ही वृत्त की स्पर्श रेखाएँ)
∠OPA = ∠OCA (प्रत्येक 90°)
OA = OA (उभयनिष्ठ)
अतः ∆OPA = missing ∆OCA (समकोण-कर्ण भुजा सर्वांगसम नियम से)
∠POA = ∠COA ……..(iii)
इसी प्रकार ∠QOB = ∠COB ……………(iv)
समीकरण (ii) व (iv) से,
∠POA + ∠QOB = ∠COA + ∠COB = 180° [∵ POQ एक सरल रेखा है]
∠COA + ∠COB = 90°
∠AOB = 90° [इति सिद्धम् ]
प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का संपूरक होता है।
हल :
दिया है-एक वृत्त पर एक बाह्य बिंदु P से PA तथा PB दो स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं।
सिद्ध करना है- ∠APB + ∠AOB = 180°
रचना-A व B को वृत्त के केंद्र 0 से मिलाओ।
प्रमाण-क्योंकि PA स्पर्श रेखा है और OA त्रिज्या है।
OA ⊥ PA
∴ ∠PAO = 90° …………(i)
इसी प्रकार, ∠PBO = 90° …….(ii)
चतुर्भुज PAOB में,
∠APB + ∠PAO + ∠AOB + ∠PBO = 360°
∠APB + 90° + ∠AOB + 90° = 360°
∠AOB + ∠APB = 360° – 90° – 90° = 180°
अतः एक वृत्त पर एक बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच कोण का स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का संपूरक होता है। [इति सिद्धम्]
प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत समांतर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है।
हल :
दिया है-एक समानांतर चतुर्भुज ABCD की चारों भुजाएँ एक वृत्त C (O, r) को बिंदुओं पर स्पर्श करती हैं।
सिद्ध करना है-ABCD एक समचतुर्भुज है।
प्रमाण-क्योंकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ AB = CD तथा AD = BC
हम जानते हैं कि किसी वृत्त पर बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान होती है।
∴ AP = AS …..(i) [बिंदु A से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ]
BP = BQ ……(ii) [बिंदु B से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ]
CR = CQ …..(iii) [बिंदु C से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ]
DR = DS …..(iv) [बिंदु D से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ]
समीकरण (i), (ii), (iii) व (iv) को जोड़ने पर,
AP + BP + CR + DR = AS + BQ + CQ + DS
(AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ)
AB + CD = AD + BC
AB + AB = BC + BC
[:: AB = CD, BC = AD]
2AB = 2BC
AB = BC
इसलिए समानांतर चतुर्भुज ABCD में AB = BC = CD = AD
अतः ABCD एक समचतुर्भुज है। [इति सिद्धम्]
प्रश्न 12.
4 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखंड BD और DC (जिनमें स्पर्श बिंदु D द्वारा BC विभाजित है) की लंबाइयाँ क्रमशः 8 cm और 6 cm हैं (देखिए संलग्न आकृति)। भुजाएँ AB और AC ज्ञात कीजिए।
हल :
माना, ∆ABC का अंतः केंद्र 0 इस प्रकार है कि
OD = OE = OF = 4 cm
BD = BE = 8 cm
(बाह्य बिंदु B से स्पर्श रेखाएँ)
CD = CF = 6 cm (बाह्य बिंदु C से स्पर्श रेखाएँ)
माना AF = AE = x cm (बाह्य बिंदु A से स्पर्श रेखाएँ)
अब AB = AE + BE = (x + 8) cm
AC = AF + CF = (x +6) cm
BC = CD + BD = 6 + 8 = 14 cm
अब ∆ABC में,
परंतु ∆ABC का क्षेत्रफल = (∆BOC + ∆AOC + ∆AOB) का क्षेत्रफल
= 1/2 x BC x OD + 1/2 x AC x OF + 1/2 x AB x OE
= 1/2 x 14 x 4 + 1/2 x (x + 6) x 4 + 1/2 x (x + 8) x 4
= 28 + (2x + 12) + (2x + 16)
= 4x + 56 …..(ii)
समीकरण (i) व (ii) की तुलना से,
√48x(x+14) = 4x + 56
दोनों ओर का वर्ग करने पर,
48x(x + 14) = (4x + 56)2
48x(x + 14) = 16(x + 14)2
3x(x + 14) = (x + 14)2
3x = (x + 14)
या 3x-x = 14
या 2x = 14
या x = 14/2 = 7
अतः AB = x +8 = 7+ 8 = 15 cm
x + 6 = 7+ 6 = 13 cm
प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि वृत्त के परिगत बनी चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।
हल :
दिया है-एक वृत्त C(O, R) जोकि एक चतुर्भुज ABCD की भुजाओं AB, BC, CD और DA को क्रमशः बिंदुओं P, Q, R और S पर स्पर्श करता है।
सिद्ध करना है-∠AOB + ∠COD = 180° तथा ∠BOC + ∠AOD = 180°
रचना-OP, OQ, OR तथा OS को मिलाइए।
प्रमाण-हम जानते हैं कि बाह्य बिंदु से किसी वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ वृत्त के केंद्र पर समान कोण अतरित करती हैं।
∠1 = ∠2 ……(1) [∵ AP = AS]
∠3 = ∠4 ……(ii) [∵ BP = BQ]
∠5 = ∠6 ……(iii) [∵ CQ=CR]
∠7 = ∠8 …….(iv) [∵ DR = DS]
हम जानते हैं कि बिंदु O पर बने सभी कोणों का योग चार समकोण है।
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4+ ∠5 + ∠6 + ∠7+ ∠8 = 360°
2(∠2 + ∠3 + ∠6 + ∠7) = 360° तथा ∠(∠1 + ∠8 + ∠4+ ∠5) = 360°
[समीकरण (i) से (iv) का प्रयोग करने पर]
∠2 + ∠3 + ∠6 + ∠7 = 180° तथा ∠1 + ∠8 + ∠4 + ∠5 = 180°
(∠2 + ∠3) + (∠6 + ∠7) = 180° तथा (∠1 + ∠8) + (∠4 + ∠5) = 180°
∠AOB + ∠COD = 180° [:: ∠2 + ∠3 = ∠AOB तथा ∠6 + ∠7 = ∠COD]
तथा ∠AOD + ∠BOC = 180° ∠1+ ∠8 = ∠AOD तथा ∠4+ ∠5 = ∠BOC ] [इति सिद्धम्]
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