Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Exercise 13.3
HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.3
प्रश्न 1.
त्रिज्या 4.2 cm वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर त्रिज्या 6 cm वाले एक बेलन के रूप में ढाला जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर,
धातु के गोले की त्रिज्या (r) = 4.2 cm
धातु के गोले का आयतन = 3
= 4/3 π(4.2)3 cm3
धातु के गोले को पिघलाकर बने बेलन की त्रिज्या (R)= 6 cm
माना
धातु के गोले को पिघलाकर बने बेलन की ऊँचाई = H cm
धातु के गोले को पिघलाकर बने बेलन का आयतन = πR2H cm3
= π(6)2H cm3
= 36 π H cm34/3 πr
प्रश्नानुसार
36 π H = 4/3 π (4.2)3
H = 4/3×1/36 × 4.2 × 4.2 × 4.2
= 2.744 cm = 2.74 cm
अतः धातु के गोले को पिघलाकर बने बेलन की ऊँचाई = 2.74 cm
त्रिज्या 4.2 cm वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर त्रिज्या 6 cm वाले एक बेलन के रूप में ढाला जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर,
धातु के गोले की त्रिज्या (r) = 4.2 cm
धातु के गोले का आयतन = 3
= 4/3 π(4.2)3 cm3
धातु के गोले को पिघलाकर बने बेलन की त्रिज्या (R)= 6 cm
माना
धातु के गोले को पिघलाकर बने बेलन की ऊँचाई = H cm
धातु के गोले को पिघलाकर बने बेलन का आयतन = πR2H cm3
= π(6)2H cm3
= 36 π H cm34/3 πr
प्रश्नानुसार
36 π H = 4/3 π (4.2)3
H = 4/3×1/36 × 4.2 × 4.2 × 4.2
= 2.744 cm = 2.74 cm
अतः धातु के गोले को पिघलाकर बने बेलन की ऊँचाई = 2.74 cm
प्रश्न 2.
क्रमशः 6 cm, 8 cm और 10 cm त्रिज्याओं वाले धातु के तीन ठोस गोलों को पिघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया जाता है। इस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर, पहले ठोस गोले की त्रिज्या (r1) = 6 cm
दूसरे ठोस गोले की त्रिज्या (r2) = 8 cm
तीसरे ठोस गोले की त्रिज्या (r3) = 10 cm
माना तीनों ठोस गोलों को पिघलाकर
बने बड़े ठोस गोले की त्रिज्या = R cm
बड़े ठोस गोले का आयतन = (पहले + दूसरे + तीसरे) ठोस गोलों का आयतन
प्रश्नानुसार
बड़े ठोस गोले का आयतन = (पहले + दूसरे + तीसरे) ठोस गोलों का आयतन
R3 = (6)3 + (8)3 + (10)3
= 216 + 512 + 1000 = 1728 = (12)3
R3 = 12
अतः तीनों ठोस गोलों को पिघलाकर बने बड़े ठोस गोले की त्रिज्या= 12 cm
क्रमशः 6 cm, 8 cm और 10 cm त्रिज्याओं वाले धातु के तीन ठोस गोलों को पिघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया जाता है। इस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर, पहले ठोस गोले की त्रिज्या (r1) = 6 cm
दूसरे ठोस गोले की त्रिज्या (r2) = 8 cm
तीसरे ठोस गोले की त्रिज्या (r3) = 10 cm
माना तीनों ठोस गोलों को पिघलाकर
बने बड़े ठोस गोले की त्रिज्या = R cm
बड़े ठोस गोले का आयतन = (पहले + दूसरे + तीसरे) ठोस गोलों का आयतन
प्रश्नानुसार
बड़े ठोस गोले का आयतन = (पहले + दूसरे + तीसरे) ठोस गोलों का आयतन
R3 = (6)3 + (8)3 + (10)3
= 216 + 512 + 1000 = 1728 = (12)3
R3 = 12
अतः तीनों ठोस गोलों को पिघलाकर बने बड़े ठोस गोले की त्रिज्या= 12 cm
प्रश्न 3.
व्यास 7 m वाला 20 m गहरा एक कुआँ खोदा जाता है और खोदने से निकली हुई मिट्टी को समान रूप से फैलाकर 22 m × 14 m वाला एक चबूतरा बनाया गया है। इस चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर, बेलनाकार कुएँ का व्यास = 7 m
बेलनाकार कुएँ की त्रिज्या (r) = 7/2
बेलनाकार कुएँ की गहराई (h) = 20 m
बेलनाकार कुएँ को खोदकर निकाली गई मिट्टी का आयतन = πr2h
= 22/7×7/2×7/2 × 20m3
= 770 m3
मिट्टी से बनने वाले चबूतरे का क्षेत्रफल = 22 × 14 m2
= 308 m2
मिट्टी का आयतन अतः मिट्टी से बनने वाले चबूतरे की ऊँचाई = चबतरे का क्षेत्रफल
व्यास 7 m वाला 20 m गहरा एक कुआँ खोदा जाता है और खोदने से निकली हुई मिट्टी को समान रूप से फैलाकर 22 m × 14 m वाला एक चबूतरा बनाया गया है। इस चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर, बेलनाकार कुएँ का व्यास = 7 m
बेलनाकार कुएँ की त्रिज्या (r) = 7/2
बेलनाकार कुएँ की गहराई (h) = 20 m
बेलनाकार कुएँ को खोदकर निकाली गई मिट्टी का आयतन = πr2h
= 22/7×7/2×7/2 × 20m3
= 770 m3
मिट्टी से बनने वाले चबूतरे का क्षेत्रफल = 22 × 14 m2
= 308 m2
मिट्टी का आयतन अतः मिट्टी से बनने वाले चबूतरे की ऊँचाई = चबतरे का क्षेत्रफल
प्रश्न 4.
व्यास 3 m का एक कुआँ 14 m की गहराई तक खोदा जाता है। इससे निकली हुई मिट्टी को कुएँ के चारों ओर 4m चौड़ी एक वृत्ताकार वलय (ring) बनाते हुए, समान रूप से फैलाकर एक प्रकार का बाँध बनाया जाता है। इस बाँध की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर, बेलनाकार कुएँ का व्यास = 3 m
बेलनाकार कुएँ की त्रिज्या (r) = 3/2 m
बेलनाकार कुएँ की गहराई (h) = 14 m
बेलनाकार कुएँ को खोदकर निकाली गई
मिट्टी का आयतन = πr2h
= 22/7×3/2×3/2 × 14 m3
= 99 m3
कुएँ की त्रिज्या (r) = 1.5 m
वृत्ताकार वलय (बांध) की चौड़ाई = 4.0 m
वृत्ताकार वलय की बाहरी त्रिज्या (R) = (1.5 +4) m = 5.5 m
अब वृत्ताकार वलय (बाँध) का क्षेत्रफल = बाहरी क्षेत्रफल – आंतरिक क्षेत्रफल
= πR2 – πr2 = π [(5.5)2 – (1.5)2] m2
= 22/7 × 28 m2 = 88 m2
व्यास 3 m का एक कुआँ 14 m की गहराई तक खोदा जाता है। इससे निकली हुई मिट्टी को कुएँ के चारों ओर 4m चौड़ी एक वृत्ताकार वलय (ring) बनाते हुए, समान रूप से फैलाकर एक प्रकार का बाँध बनाया जाता है। इस बाँध की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर, बेलनाकार कुएँ का व्यास = 3 m
बेलनाकार कुएँ की त्रिज्या (r) = 3/2 m
बेलनाकार कुएँ की गहराई (h) = 14 m
बेलनाकार कुएँ को खोदकर निकाली गई
मिट्टी का आयतन = πr2h
= 22/7×3/2×3/2 × 14 m3
= 99 m3
कुएँ की त्रिज्या (r) = 1.5 m
वृत्ताकार वलय (बांध) की चौड़ाई = 4.0 m
वृत्ताकार वलय की बाहरी त्रिज्या (R) = (1.5 +4) m = 5.5 m
अब वृत्ताकार वलय (बाँध) का क्षेत्रफल = बाहरी क्षेत्रफल – आंतरिक क्षेत्रफल
= πR2 – πr2 = π [(5.5)2 – (1.5)2] m2
= 22/7 × 28 m2 = 88 m2
प्रश्न 5.
व्यास 12 cm और ऊँचाई 15 cm वाले एक लंब वृत्तीय बेलन के आकार का बर्तन आइसक्रीम से पूरा भरा हुआ है। इस आइसक्रीम को ऊँचाई 12 cm और व्यास 6 cm वाले शंकुओं में भरा जाना है, जिनका ऊपरी सिरा अर्धगोलाकार होगा। उन शंकुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जो इस आइसक्रीम से भरे जा सकते हैं।
हल :
यहाँ पर,
आइसक्रीम के लिए बेलनाकार बर्तन का व्यास = 12 cm
आइसक्रीम के लिए बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या (R) = 12/2 cm = 6 cm
आइसक्रीम के लिए बेलनाकार बर्तन की ऊँचाई (H) = 15 cm
आइसक्रीम के लिए बेलनाकार बर्तन का आयतन = πR2H
= π (6)2 × 15 cm3
= 540 π cm3
शंक्वाकार बर्तन का व्यास = 6 cm
शंक्वाकार वर्तन की त्रिज्या (7) = 6/2 cm = 3 cm
शंक्वाकार बर्तन की ऊँचाई (h) = 12 cm
शंक्वाकार बर्तन का आयतन = 1/3 πr2h
= [atex]\frac{1}{3}[/latex] × π(3)2 × 12 cm3
= 36 π cm3 .
शंकु के ऊपर अर्धगोलाकार आइसक्रीम का आयतन = 2/3πr3
= 2/3π(3)3 = 18πcm3
प्रत्येक शंकु में आइसक्रीम का आयतन = (36 π + 18 π) cm3
व्यास 12 cm और ऊँचाई 15 cm वाले एक लंब वृत्तीय बेलन के आकार का बर्तन आइसक्रीम से पूरा भरा हुआ है। इस आइसक्रीम को ऊँचाई 12 cm और व्यास 6 cm वाले शंकुओं में भरा जाना है, जिनका ऊपरी सिरा अर्धगोलाकार होगा। उन शंकुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जो इस आइसक्रीम से भरे जा सकते हैं।
हल :
यहाँ पर,
आइसक्रीम के लिए बेलनाकार बर्तन का व्यास = 12 cm
आइसक्रीम के लिए बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या (R) = 12/2 cm = 6 cm
आइसक्रीम के लिए बेलनाकार बर्तन की ऊँचाई (H) = 15 cm
आइसक्रीम के लिए बेलनाकार बर्तन का आयतन = πR2H
= π (6)2 × 15 cm3
= 540 π cm3
शंक्वाकार बर्तन का व्यास = 6 cm
शंक्वाकार वर्तन की त्रिज्या (7) = 6/2 cm = 3 cm
शंक्वाकार बर्तन की ऊँचाई (h) = 12 cm
शंक्वाकार बर्तन का आयतन = 1/3 πr2h
= [atex]\frac{1}{3}[/latex] × π(3)2 × 12 cm3
= 36 π cm3 .
शंकु के ऊपर अर्धगोलाकार आइसक्रीम का आयतन = 2/3πr3
= 2/3π(3)3 = 18πcm3
प्रत्येक शंकु में आइसक्रीम का आयतन = (36 π + 18 π) cm3
प्रश्न 6.
विमाओं 5.5 cm × 10 cm × 3.5 cm वाला एक घनाभ बनाने के लिए 1.75 cm व्यास और 2 mm मोटाई वाले कितने चाँदी के सिक्कों को पिघलाना पड़ेगा?
हल :
यहाँ पर, वांछित घनाभ का आयतन = 5.5 × 10 × 3.5 cm3
= 192.5 cm3
चाँदी के प्रत्येक सिक्के का व्यास = 1.75 cm
विमाओं 5.5 cm × 10 cm × 3.5 cm वाला एक घनाभ बनाने के लिए 1.75 cm व्यास और 2 mm मोटाई वाले कितने चाँदी के सिक्कों को पिघलाना पड़ेगा?
हल :
यहाँ पर, वांछित घनाभ का आयतन = 5.5 × 10 × 3.5 cm3
= 192.5 cm3
चाँदी के प्रत्येक सिक्के का व्यास = 1.75 cm
प्रश्न 7.
32 cm ऊँची और आधार त्रिज्या 18 cm वाली एक बेलनाकार बाल्टी रेत से भरी हुई है। इस बाल्टी को भूमि पर खाली किया जाता है और इस रेत की एक शंक्वाकार ढेरी बनाई जाती है। यदि शंक्वाकार ढेरी की ऊँचाई 24 cm है, तो इस ढेरी की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर, दी गई बेलनाकार बाल्टी के आधार की त्रिज्या (R) = 18 cm
दी गई बेलनाकार बाल्टी की ऊँचाई (H) = 32 cm
दी गई बेलनाकार बाल्टी के रेत का आयतन = πR2H
= π(18)2 (32) cm3
माना बाल्टी को खाली करने से बनी
शंक्वाकार रेत की ढेरी की त्रिज्या = r cm
व बाल्टी को खाली करने से बनी
शंक्वाकार रेत की ढेरी की ऊँचाई (h) = 24 cm
बाल्टी को खाली करने से बनी शंक्वाकार रेत की ढेरी का आयतन = 1/3 πr2h
32 cm ऊँची और आधार त्रिज्या 18 cm वाली एक बेलनाकार बाल्टी रेत से भरी हुई है। इस बाल्टी को भूमि पर खाली किया जाता है और इस रेत की एक शंक्वाकार ढेरी बनाई जाती है। यदि शंक्वाकार ढेरी की ऊँचाई 24 cm है, तो इस ढेरी की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर, दी गई बेलनाकार बाल्टी के आधार की त्रिज्या (R) = 18 cm
दी गई बेलनाकार बाल्टी की ऊँचाई (H) = 32 cm
दी गई बेलनाकार बाल्टी के रेत का आयतन = πR2H
= π(18)2 (32) cm3
माना बाल्टी को खाली करने से बनी
शंक्वाकार रेत की ढेरी की त्रिज्या = r cm
व बाल्टी को खाली करने से बनी
शंक्वाकार रेत की ढेरी की ऊँचाई (h) = 24 cm
बाल्टी को खाली करने से बनी शंक्वाकार रेत की ढेरी का आयतन = 1/3 πr2h
प्रश्न 8.
6 m चौड़ी और 1.5m गहरी एक नहर में पानी 10 km/h की चाल से बह रहा है। 30 मिनट में, यह नहर कितने क्षेत्रफल की सिंचाई कर पाएगी, जबकि सिंचाई के लिए 8 cm गहरे पानी की आवश्यकता होती है।
हल :
यहाँ पर,
नहर में पानी की चाल (l) = 10 km/h = 10×1000/60 m/min = 500/3 m/min
नहर की चौड़ाई (b) = 6 m
नहर की गहराई (h) = 1.5 m
30 मिनट में नहर से निकले पानी का आयतन = [atex]\frac{500}{3}[/latex] × 30 × 6 × 1.5 m3
= 45000 m3
सिंचाई वाले क्षेत्र में पानी की ऊँचाई = 8 cm = 8/100 m
= 562500 m2
6 m चौड़ी और 1.5m गहरी एक नहर में पानी 10 km/h की चाल से बह रहा है। 30 मिनट में, यह नहर कितने क्षेत्रफल की सिंचाई कर पाएगी, जबकि सिंचाई के लिए 8 cm गहरे पानी की आवश्यकता होती है।
हल :
यहाँ पर,
नहर में पानी की चाल (l) = 10 km/h = 10×1000/60 m/min = 500/3 m/min
नहर की चौड़ाई (b) = 6 m
नहर की गहराई (h) = 1.5 m
30 मिनट में नहर से निकले पानी का आयतन = [atex]\frac{500}{3}[/latex] × 30 × 6 × 1.5 m3
= 45000 m3
सिंचाई वाले क्षेत्र में पानी की ऊँचाई = 8 cm = 8/100 m
= 562500 m2
प्रश्न 9.
एक किसान अपने खेत में बनी 10 m व्यास वाली और 2 m गहरी एक बेलनाकार टंकी को आंतरिक व्यास 20 cm वाले एक पाइप द्वारा एक नहर से जोड़ता है। यदि पाइप में पानी 3 km/h की चाल से बह रहा है, तो कितने समय बाद टंकी पूरी भर जाएगी?
हल :
यहाँ पर,
दी गई बेलनाकार टंकी का व्यास = 10 m
दी गई बेलनाकार टंकी की त्रिज्या (R) = 10/2 m = 5m
दी गई बेलनाकार टंकी की गहराई (H) = 2 m
दी गई बेलनाकार टंकी का आयतन = πR2H
= π (5)2 (2) m3
= 50 π m3
पाइप से निकलने वाले पानी की चाल = 3 km/h
= 3×1000/60 = 50 m/min
60 माना पाइप द्वारा बेलनाकार टंकी को
भरने में लगा समय = t min
दिए गए पाइप का आंतरिक व्यास = 20 cm = 20/100 m=1/5 m
दिए गए पाइप की आंतरिक त्रिज्या (r) = 1/10 m
अतः दिए गए पाइप से t min निकलने वाले
पानी का आयतन = π(1/10)2(50 t) m3
= π/2 t m3
प्रश्नानुसार π/2 t = 50 π
t = 50 × 2 = 100
अतः पाइप द्वारा बेलनाकार टंकी को भरने में लगा समय = 100 मिनट
एक किसान अपने खेत में बनी 10 m व्यास वाली और 2 m गहरी एक बेलनाकार टंकी को आंतरिक व्यास 20 cm वाले एक पाइप द्वारा एक नहर से जोड़ता है। यदि पाइप में पानी 3 km/h की चाल से बह रहा है, तो कितने समय बाद टंकी पूरी भर जाएगी?
हल :
यहाँ पर,
दी गई बेलनाकार टंकी का व्यास = 10 m
दी गई बेलनाकार टंकी की त्रिज्या (R) = 10/2 m = 5m
दी गई बेलनाकार टंकी की गहराई (H) = 2 m
दी गई बेलनाकार टंकी का आयतन = πR2H
= π (5)2 (2) m3
= 50 π m3
पाइप से निकलने वाले पानी की चाल = 3 km/h
= 3×1000/60 = 50 m/min
60 माना पाइप द्वारा बेलनाकार टंकी को
भरने में लगा समय = t min
दिए गए पाइप का आंतरिक व्यास = 20 cm = 20/100 m=1/5 m
दिए गए पाइप की आंतरिक त्रिज्या (r) = 1/10 m
अतः दिए गए पाइप से t min निकलने वाले
पानी का आयतन = π(1/10)2(50 t) m3
= π/2 t m3
प्रश्नानुसार π/2 t = 50 π
t = 50 × 2 = 100
अतः पाइप द्वारा बेलनाकार टंकी को भरने में लगा समय = 100 मिनट
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