Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Exercise 2.4

प्रश्न 1.
सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध को भी सत्यापित कीजिए
(i) 2x³ + x² – 5x + 2; 1/2,1,-2
(ii) x³ – 4x² + 5x – 2; 2, 1,1
हल :
(i) यहाँ पर
p(x) = 2x³ + x² – 5x +2
दिए गए बहुपद की त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d से तुलना करने पर प्राप्त होता है-
a = 2, b = 1,c = -5 तथा d = 2
x = 1/2 के लिए

x= 1 के लिए
p (1) = 2 (1)³ + (1)² – 5 (1) +2
= 2 + 1 – 5 + 2 = 5 – 5 = 0

x = -2 के लिए
p(-2) = 2 (-2)³ + (-2)² – 5 (-2) + 2
= 2 (-8) + 4 + 10 + 2
= -16 + 16 = 0
अतः 1/2, 1 तथा – 2 दिए गए बहुपद p (x) के शून्यक हैं।
माना α = 1/2, β = 1 तथा γ = -2 तो

(ii) यहाँ पर
p(x) = x³ – 4x² + 5x – 2
दिए गए बहुपद की त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d से तुलना करने पर प्राप्त होता है-
a= 1, b = -4, c = 5 तथा d = -2
x = 2 के लिए
p(2) = (2)³ – 4 (2)² + 5 (2) – 2
= 8 – 16 + 10 – 2 = 18 – 18 = 0
x= 1 के लिए
p (1) = (1)³ – 4 (1)² + 5 (1) – 2
= 1 – 4 + 5 – 2 = 6 – 6 = 0
अतः 2, 1 व 1 दिए गए बहुपद p (x) के शून्यक हैं।
माना α = 2, β = 1 तथा γ = 1 तो
α + β + γ = 2 + 1 + 1 = 4 = −(−4)/1=−b/a
ap + By + ya = 2 (1) + (1) (1) + (1) (2)
= 2 + 1 + 2 = 5 = 5/1=c/a
opy = (2) (1) (1) = 2 = −(−2)/1=−d/a

प्रश्न 2.
एक त्रिघात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यकों का योग, दो शून्यकों को एक साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 2,-7,-14 हों।
हल :
माना त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d के तीन शून्यक α, β और γ हैं तो प्रश्नानुसार
α + β + γ = 2 = −(−2)/1=−b/a
αβ + βγ + γα = -7 = −7/1=c/a
αβγ = -14 = −14/1=−d/a
तथा
a = 1, b = -2, c = – 7 तथा d = 14
अतः अभीष्ट बहुपद = 1x³ – 2x² – 7x + 14

प्रश्न 3.
यदि बहुपद x³ – 3x² + x + 1 के शून्यक a-b, a, a + b हों, तो a और b ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर दिया गया है (a-b), a तथा (a + b) बहुपद x³ – 3x² + x + 1 के शून्यक हैं।
इसलिए
(a – b) + a + (a + b) = −b/a
a – b + a + a + b = −(−3)/1
= 3a = 3 a = 1
या इसी प्रकार
(a – b) (a) + (a) (a + b) + (a + b) (a – b) = c/a
a² – ab + a² + ab + a² – b² = 1/1
3a² – b² = 1
= 3(1)² – b² = 1
या -b² = 1 – 3
या -b² = -2
या b² = 2
या b = ±√2
अतः a = 1 तथा b = ±√2

प्रश्न 4.
यदि बहुपद x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 के दो शून्यक 2 ± √3 हों, तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल : यहाँ पर
p (x) = x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35
क्योंकि (2 + √3) तथा (2 – √3)दिए गए बहुपद p (x) के शून्यक हैं।
इसलिए p (x) का एक गुणनखंड – [x-(2 + √3)] [x – (2 – √3)
= (x – 2 – √3) (x – 2 + √3)
= (x – 2)² – (√3)²
= x² + 4 – 4x – 3
= x² – 4x + 1

∴ p (x) = (x2-4x + 1) (x2 – 2x-35)
इस प्रकार p (x) के अन्य दो शून्यक बहुपद x² – 2x – 35 के शून्यक होंगे।
x² – 2x – 35 = x² – 7x+ 5x -35
= x(x – 7) + 5 (x – 7)
= (x – 7) (x + 5)
अतः p (x) के अन्य दो शून्यक = 7 व – 5

प्रश्न 5.
यदि बहुपद 4-63+16×2-25x + 10 को एक अन्य बहुपद -2x+k से भाग दिया जाए और शेषफल x + a आता हो, तो k तथा a ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर
बहुपद = P (x) = x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10
भाजक = g (x) = x² – 2x + k
शेषफल = r (x) = (x + a)

अतः (2k-9)x + 10 -(8-)k = x + a
दोनों ओर x के समान घात के गुणांकों की तुलना करने पर
2k – 9 = 1
2k = 1+9
2k = 10
या k = 10/2 = 5
तथा या 10 – (8 – k)k = 0
या 10 – (8 – 5) x 5 = a
या 10 – 15 = a
या a = -5
अतः k = 5 तथा a = – 5