Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Exercise 2.2

प्रश्न 1.
निम्न द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए
(i) x² – 2x -8
(ii) 4s² – 4s +1
(iii) 6x² – 3 -7x
(iv) 4u² + 8u
(v) t² – 15
(vi) 3x² – x – 4
हल :
(i) यहाँ पर
p(x) = x² – 2x – 8
= x² – 4x + 2x – 8
= (x – 4)+ 2 (x – 4)
= (x-4) (x + 2)
बहुपद p (x) के शून्यकों के लिए
p(x) = 0
(x-4) (x + 2) = 0
x – 4 = 0 या x + 2 = 0
x = 4 या x = -2
अतः बहुपद x² – 2x – 8 के शून्यक α = 4 और β = – 2 हैं।
जाँच-
शून्यकों का योग = α + β = 4 + (-2) = 2

(ii) यहाँ पर
p(s) = 4s² – 4s + 1
= 4s² – 2s – 2s +1
= 25 (2s – 1)- 1 (2s – 1)
= (25 — 1) (2s – 1)
बहुपद p (s) के शून्यकों के लिए
p(s) = 0
(2s – 1) (2s – 1) = 0
2s – 1 = 0 या 25 – 1 = 0
s = 1/2 या s = 1/2
अतः बहुपद 4s² – 4x + 1 के शून्यक α = 1/2 और β = 1/2 हैं।
जाँच

(iii) यहाँ पर
p(x) = 6x² – 3 – 7x
= 6x² – 7x-3
= 6x² – 9x + 2x – 3
= 3x(2x – 3) + 1 (2x – 3)
= (2x-3) (3x+ 1)
बहुपद p (x) शून्यकों के लिए
p(x) = 0
(2x – 3) (3x + 1) = 0
2x – 3 = 0 या 3x + 1 = 0
x = 3/2 या x = 5
अतः बहुपद 6x² – 3 – 7x के शून्यक α = 3/2, और β = −1/3 हैं।

(iv) यहाँ पर
P(u) = 4u² + 8u
= 4u(u + 2)
बहुपद p(u) के शून्यकों के लिए।
p(u) = 0
4u (u + 2) = 0
4u = 0 या u + 2 = 0
= 0 या u = -2
अतः बहुपद 4u² + 8u के शून्यक α = 0 और β = – 2 हैं।
जाँच शून्यकों का योग = α + β = 0 – 2 = -2

(v) यहाँ पर P(t) = t² – 15
बहुपद p(t) के शून्यकों के लिए p(t) = 0
t² – 15 = 0
t² = 15
t = ±√15
अतः बहुपद t² – 15 के शून्यक α = √15 और β = -√15 हैं।

(vi) यहाँ पर P(x) = 3x² – x – 4
= 3x² – 4x + 3x – 4
= x(3x – 4)+ 1 (3x – 4)
= (3x-4) (x + 1)
बहुपद p (x) के शून्यकों के लिए
p(x) = 0
(3x – 4) (x + 1) = 0
3x – 4 = 0 या x + 1 = 0
x = 4/3 या x = -1
अतः बहुपद 3x² – x – 4 के शून्यक α = 4/3 और β = -1 है।

(vi) माना एक द्विघात बहुपद ax² + bx + c है तथा इसके शून्यक a और B हैं।
प्रश्नानुसार, α + β = 4 = 4/1=−b/a
और αβ = 1/1=c/a
यदि a = 1 है तो b = -4 व c = 1 होगा।
अतः एक द्विपात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते संतुष्ट होती हैं = x² – 4x + 1