Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Exercise 5.3
Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Exercise 5.3
HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3
प्रश्न 1.
निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों का योग ज्ञात कीजिए
(i) 2, 7, 12, ………, 10 पदों तक
(ii) -37,-33,-29, ………, 12 पदों तक
(iii) 0.6, 1.7, 2.8,….., 100 पदों तक
निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों का योग ज्ञात कीजिए
(i) 2, 7, 12, ………, 10 पदों तक
(ii) -37,-33,-29, ………, 12 पदों तक
(iii) 0.6, 1.7, 2.8,….., 100 पदों तक
हल :
(i) यहाँ पर
AP = 2, 7, 12, ……..
प्रथम पद (a) = 2
सार्व अंतर (d) = 7 – 2 = 5
n = 10
हम जानते हैं कि
Sn = [latex]\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)
S10 = 1/2[2(2) + (10 – 15] .
5(4+ 45)
= 5 x 49 = 245
(i) यहाँ पर
AP = 2, 7, 12, ……..
प्रथम पद (a) = 2
सार्व अंतर (d) = 7 – 2 = 5
n = 10
हम जानते हैं कि
Sn = [latex]\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)
S10 = 1/2[2(2) + (10 – 15] .
5(4+ 45)
= 5 x 49 = 245
(ii) यहाँ पर
AP = -37,-33, -29, ……..
प्रथम पद (a) = -37
सार्व अंतर (d) = –33 – (-37) = -33 + 37 = 4
n = 12
हम जानते हैं कि
Sn = n/2[2a + (n – 1)
S12 = 12/2[2(-37) + (12 – 1)4]
6(-74 +44)
= 6 x -30 = -180
AP = -37,-33, -29, ……..
प्रथम पद (a) = -37
सार्व अंतर (d) = –33 – (-37) = -33 + 37 = 4
n = 12
हम जानते हैं कि
Sn = n/2[2a + (n – 1)
S12 = 12/2[2(-37) + (12 – 1)4]
6(-74 +44)
= 6 x -30 = -180
(iii) यहाँ पर
AP = 0.6, 1.7, 2.8, …
प्रथम पद (a) = 0.6
सार्व अंतर (d) = 1.7-0.6 = 1.1
n = 100
हम जानते हैं कि
Sn = n/2[2a + (n – 1)
S100 =100/2 [2(0.6) + (100 – 1)1.1]
= 50(1.2 + 108.9)
= 50 x 110.1 = 5505
AP = 0.6, 1.7, 2.8, …
प्रथम पद (a) = 0.6
सार्व अंतर (d) = 1.7-0.6 = 1.1
n = 100
हम जानते हैं कि
Sn = n/2[2a + (n – 1)
S100 =100/2 [2(0.6) + (100 – 1)1.1]
= 50(1.2 + 108.9)
= 50 x 110.1 = 5505
प्रश्न 2.
नीचे दिए हुए योगफलों को ज्ञात कीजिए-
नीचे दिए हुए योगफलों को ज्ञात कीजिए-
(ii) यहाँ पर
AP = 34 + 32 + 30 + …….. + 10
प्रथम पद (a) = 34
सार्व अंतर (a) = 32 – 34 = -2
अंतिम पद (l) = 10
हम जानते हैं कि l = a + (n– 1)d
AP = 34 + 32 + 30 + …….. + 10
प्रथम पद (a) = 34
सार्व अंतर (a) = 32 – 34 = -2
अंतिम पद (l) = 10
हम जानते हैं कि l = a + (n– 1)d
प्रश्न 3.
एक AP में,
(i) a = 5, 4 = 3 और an = 50 दिया है। n और Sn ज्ञात कीजिए।
(ii) a = 7 और a13 = 35 दिया है। d और S13 ज्ञात कीजिए।
(iii) a12 = 37 और d = 3 दिया है। a और S12 ज्ञात कीजिए।
(iv) a3 = 15 और S10 = 125 दिया है। d और a10 ज्ञात कीजिए।
(v) d = 5 और S9 = 75 दिया है। a और a9 ज्ञात कीजिए।
(vi) a = 2, d = 8 और Sn = 90 दिया है। n और an ज्ञात कीजिए।
(vii) a = 8, an = 62 और Sn = 210 दिया है। n और dज्ञात कीजिए।
(viii) an = 4, d = 2 और Sn = -14 दिया है। n और aज्ञात कीजिए।
(ix) a = 3, n= 8 और S = 192 दिया है। d ज्ञात कीजिए।
(x) 1 = 28, S = 144 और कुल 9 पद हैं। a ज्ञात कीजिए।
हल :
(i) यहाँ पर
a = 5, d = 3 ; an = 50
n= ? ; sn = ?
हम जानते हैं कि
an = a+ (n-1)d
50 = 5+(n-1)(3)
n – 1 = 50−5/3=45/3 = 15
n = 15 +1 = 16
Sn = n/2 [2a+(n-1)d]
S16 16/2[2(5) + (16-1)(3)]
= 8[10 + 45] = 8 x 55 = 440
n = 16, S16 = 440
एक AP में,
(i) a = 5, 4 = 3 और an = 50 दिया है। n और Sn ज्ञात कीजिए।
(ii) a = 7 और a13 = 35 दिया है। d और S13 ज्ञात कीजिए।
(iii) a12 = 37 और d = 3 दिया है। a और S12 ज्ञात कीजिए।
(iv) a3 = 15 और S10 = 125 दिया है। d और a10 ज्ञात कीजिए।
(v) d = 5 और S9 = 75 दिया है। a और a9 ज्ञात कीजिए।
(vi) a = 2, d = 8 और Sn = 90 दिया है। n और an ज्ञात कीजिए।
(vii) a = 8, an = 62 और Sn = 210 दिया है। n और dज्ञात कीजिए।
(viii) an = 4, d = 2 और Sn = -14 दिया है। n और aज्ञात कीजिए।
(ix) a = 3, n= 8 और S = 192 दिया है। d ज्ञात कीजिए।
(x) 1 = 28, S = 144 और कुल 9 पद हैं। a ज्ञात कीजिए।
हल :
(i) यहाँ पर
a = 5, d = 3 ; an = 50
n= ? ; sn = ?
हम जानते हैं कि
an = a+ (n-1)d
50 = 5+(n-1)(3)
n – 1 = 50−5/3=45/3 = 15
n = 15 +1 = 16
Sn = n/2 [2a+(n-1)d]
S16 16/2[2(5) + (16-1)(3)]
= 8[10 + 45] = 8 x 55 = 440
n = 16, S16 = 440
(ii) यहाँ पर
a = 7, a13 = 35, n = 13
d= ?; S13 = ?
हम जानते हैं कि an = a + (n-1)d
a = 7, a13 = 35, n = 13
d= ?; S13 = ?
हम जानते हैं कि an = a + (n-1)d
(iv) यहाँ पर
a3 = 15, S10 = 125, n = 10
d= ?; a10 =?
हम जानते हैं कि
sn = n/2[2a + (n-1)d]
S10 = 10/2[2a + (10 -1)d]
125/5 = 2a+9d
2a + 9d = 25 …………….(i)
इसी प्रकार
an = a+ (n-1)d
a3 = a +(3-1)d
15 = a+2d
a+2d = 15
2a+4d = 30 (दोनों ओर 2 से गुणा करने पर) ………………(ii)
समीकरण (ii) को समीकरण (i) में से घटाने पर प्राप्त होता है,
5d = -5
d = −5/5 =-1
d का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
2a + 9(-1) = 25
2a = 25 +9
a = 34/2 = 17
an = a + (n-1)d
a10 = 17 + (10-1)(-1)
= 17 – 9 = 8
अतः d = -1 तथा a10 = 8
a3 = 15, S10 = 125, n = 10
d= ?; a10 =?
हम जानते हैं कि
sn = n/2[2a + (n-1)d]
S10 = 10/2[2a + (10 -1)d]
125/5 = 2a+9d
2a + 9d = 25 …………….(i)
इसी प्रकार
an = a+ (n-1)d
a3 = a +(3-1)d
15 = a+2d
a+2d = 15
2a+4d = 30 (दोनों ओर 2 से गुणा करने पर) ………………(ii)
समीकरण (ii) को समीकरण (i) में से घटाने पर प्राप्त होता है,
5d = -5
d = −5/5 =-1
d का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
2a + 9(-1) = 25
2a = 25 +9
a = 34/2 = 17
an = a + (n-1)d
a10 = 17 + (10-1)(-1)
= 17 – 9 = 8
अतः d = -1 तथा a10 = 8
(v) यहाँ पर d= 5, S9 = 75;n= 9
a = ? ; a9 = ?
हम जानते हैं कि
a = ? ; a9 = ?
हम जानते हैं कि
(vi) यहाँ पर
a = 2, d = 8 , Sn = 90
n= ? ; an = ?
हम जानते हैं कि
Sn = n/2 [2a + (n-1)d]
90 = n/2[2(2) + (n-1) (8)]
180 = n[4 + 8n – 8]
180 = 8n2 – 4n
8n2 – 4n – 180 = 0
2n2 – n – 45 = 0 (दोनों ओर 4 से भाग करने पर)
2n2 – 10n+ 9n – 45 = 0
2n(n-5) + 9(n-5) = 0
(n-5)(2n + 9) = 0
n – 5 = 0 या 2n + 9 = 0
n = 5 या n= -9/2
परंतु n = -9/2 असंभव है।
n = 5
an = a + (n-1)d
a5 = 2 + (5-1) (8)
= 2 + 32 = 34
अतःn = 5 व a5 = 34
a = 2, d = 8 , Sn = 90
n= ? ; an = ?
हम जानते हैं कि
Sn = n/2 [2a + (n-1)d]
90 = n/2[2(2) + (n-1) (8)]
180 = n[4 + 8n – 8]
180 = 8n2 – 4n
8n2 – 4n – 180 = 0
2n2 – n – 45 = 0 (दोनों ओर 4 से भाग करने पर)
2n2 – 10n+ 9n – 45 = 0
2n(n-5) + 9(n-5) = 0
(n-5)(2n + 9) = 0
n – 5 = 0 या 2n + 9 = 0
n = 5 या n= -9/2
परंतु n = -9/2 असंभव है।
n = 5
an = a + (n-1)d
a5 = 2 + (5-1) (8)
= 2 + 32 = 34
अतःn = 5 व a5 = 34
(vii) यहाँ पर
a = 8, an = 62 , Sn = 210
n= ? ; d= ?
हम जानते हैं कि an = a + (n-1)d
62 = 8 + (n-1)d
(n-1)d = 62-8
(n-1)d = 54 …………..(i)
इसी प्रकार
Sn = n/2[2a + (n-1)d]
210 = n/2 [2(8) + 54][समीकरण (ii) से]
420 = n x 70
n = 420/70 = 6
n का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
(6-1)d = 54
d = 54/5
अतः n = 6 व d = 54/5
a = 8, an = 62 , Sn = 210
n= ? ; d= ?
हम जानते हैं कि an = a + (n-1)d
62 = 8 + (n-1)d
(n-1)d = 62-8
(n-1)d = 54 …………..(i)
इसी प्रकार
Sn = n/2[2a + (n-1)d]
210 = n/2 [2(8) + 54][समीकरण (ii) से]
420 = n x 70
n = 420/70 = 6
n का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
(6-1)d = 54
d = 54/5
अतः n = 6 व d = 54/5
(viii) यहाँ पर an = 4, d = 2 , sn = -14
n= ? ; a= ?
हम जानते हैं कि an = a + (n – 1)d
4 = a + (n-1) (2)
4 = a + 2n – 2
a + 2n = 6
इसी प्रकार
Sn = n/2[2a + (n – l)d]
-14 = n/2[2a + (n-1) (2)]
-14 = an + n2 – n
-14 = (6- 2n)n + n2 – n[समीकरण (1) से]
-14 = 6n – 2n2 + n2 – n
-14 = -n2 + 5n
n2 – 5n – 14 = 0
n2 – 7n + 2n – 14 = 0
n(n – 7) + 2(n – 7) = 0
(n – 7)(n + 2) = 0
n – 7 = 0 या n+ 2 = 0
n = 7 या n = -2
परंतु n = -2 असंभव है।
n = 7
n का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
a+2(7) = 6
a = 6 – 14 = -8
अतः a = -8 व n = 7
n= ? ; a= ?
हम जानते हैं कि an = a + (n – 1)d
4 = a + (n-1) (2)
4 = a + 2n – 2
a + 2n = 6
इसी प्रकार
Sn = n/2[2a + (n – l)d]
-14 = n/2[2a + (n-1) (2)]
-14 = an + n2 – n
-14 = (6- 2n)n + n2 – n[समीकरण (1) से]
-14 = 6n – 2n2 + n2 – n
-14 = -n2 + 5n
n2 – 5n – 14 = 0
n2 – 7n + 2n – 14 = 0
n(n – 7) + 2(n – 7) = 0
(n – 7)(n + 2) = 0
n – 7 = 0 या n+ 2 = 0
n = 7 या n = -2
परंतु n = -2 असंभव है।
n = 7
n का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
a+2(7) = 6
a = 6 – 14 = -8
अतः a = -8 व n = 7
(ix) यहाँ पर
a = 3 , n = 8 S = 192, d = ?
हम जानते हैं कि Sn = n/2 [2a + (n-1)d] ..
192 = 8/2[2(3) + (8 – 1)a]
192/4= 6 + 7d
7d = 48 – 6
d = 42/7 = 6
अतःd=6 उत्तर
a = 3 , n = 8 S = 192, d = ?
हम जानते हैं कि Sn = n/2 [2a + (n-1)d] ..
192 = 8/2[2(3) + (8 – 1)a]
192/4= 6 + 7d
7d = 48 – 6
d = 42/7 = 6
अतःd=6 उत्तर
(x) यहाँ पर
l = 28, S = 144 , n = 9,a = ?
हम जानते हैं कि Sn = n/2[a + l]
144 = 9/2[a+28]
a+28 = 144 x 2/9 = 16 x 2 = 32
a = 32-28 =4
अतः a = 4
l = 28, S = 144 , n = 9,a = ?
हम जानते हैं कि Sn = n/2[a + l]
144 = 9/2[a+28]
a+28 = 144 x 2/9 = 16 x 2 = 32
a = 32-28 =4
अतः a = 4
प्रश्न 4.
636 योग प्राप्त करने के लिए, AP: 9, 17,25,…… के कितने पद लेने चाहिएँ?
हल :
यहाँ पर दी गई AP = 9, 17,25,…………..
a = 9
= 17 – 9 = 8
Sn = 636
n = ?
हम जानते हैं कि
Sn = n/2[2a+ (n-1)d]
636 = n/2[2(9) + (n-1)(8)]
636 = n/2 [18 + 8n-8]
636 = n/2[8n+ 10]
4n2 + 5n-636 = 0
4n2 + 53n – 48n – 636 = 0
n(4n +53)-12(4n +53) = 0 .
(4n+53)(n-12) = 0
4n + 53 = 0 या n – 12 = 0
n = −53/4 n = 12
परंतु : n = −53/4 असंभव है।
अतः n= 12
636 योग प्राप्त करने के लिए, AP: 9, 17,25,…… के कितने पद लेने चाहिएँ?
हल :
यहाँ पर दी गई AP = 9, 17,25,…………..
a = 9
= 17 – 9 = 8
Sn = 636
n = ?
हम जानते हैं कि
Sn = n/2[2a+ (n-1)d]
636 = n/2[2(9) + (n-1)(8)]
636 = n/2 [18 + 8n-8]
636 = n/2[8n+ 10]
4n2 + 5n-636 = 0
4n2 + 53n – 48n – 636 = 0
n(4n +53)-12(4n +53) = 0 .
(4n+53)(n-12) = 0
4n + 53 = 0 या n – 12 = 0
n = −53/4 n = 12
परंतु : n = −53/4 असंभव है।
अतः n= 12
प्रश्न 5.
किसी AP का प्रथम पद 5, अंतिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या और सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर AP के लिए प्रथम पद (a) = 5
अंतिम पद (l) = 45
योग (Sn) = 400
पदों की संख्या (n) = ?
सार्व अंतर (d) = ?
हम जानते हैं कि Sn = n/2[a+!]
400 = n/2[5 + 45]
n = 400×2/50 = 16
an = a+ (n-1)d
45 = 5 + (16 – 1)d
d = 45−5/15=40/15=8/3
अतः पदों की संख्या (n) = 16 तथा सार्व अंतर (d) = 8/3
किसी AP का प्रथम पद 5, अंतिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या और सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर AP के लिए प्रथम पद (a) = 5
अंतिम पद (l) = 45
योग (Sn) = 400
पदों की संख्या (n) = ?
सार्व अंतर (d) = ?
हम जानते हैं कि Sn = n/2[a+!]
400 = n/2[5 + 45]
n = 400×2/50 = 16
an = a+ (n-1)d
45 = 5 + (16 – 1)d
d = 45−5/15=40/15=8/3
अतः पदों की संख्या (n) = 16 तथा सार्व अंतर (d) = 8/3
प्रश्न 6.
किसी AP के प्रथम और अंतिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्व अंतर है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग क्या है?
हल :
यहाँ पर AP के लिए प्रथम पद (a) = 17
अंतिम पद (l) = 350
सार्व अंतर (a) = 9
पदों की संख्या (n) = ?
योग (Sn) = ?
हम जानते हैं कि l = a + (n – 1)d
350 = 17 + (n – 1)(9)
(n-1) = 350−17/9=333/9 = 37
n = 37 + 1 = 38
Sn = n/2[a + l]
S38 = 38/2[17+350]
= 19×367 = 6973
अतः पदों की संख्या (n) = 38 तथा योग (Sn) = 6973
किसी AP के प्रथम और अंतिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्व अंतर है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग क्या है?
हल :
यहाँ पर AP के लिए प्रथम पद (a) = 17
अंतिम पद (l) = 350
सार्व अंतर (a) = 9
पदों की संख्या (n) = ?
योग (Sn) = ?
हम जानते हैं कि l = a + (n – 1)d
350 = 17 + (n – 1)(9)
(n-1) = 350−17/9=333/9 = 37
n = 37 + 1 = 38
Sn = n/2[a + l]
S38 = 38/2[17+350]
= 19×367 = 6973
अतः पदों की संख्या (n) = 38 तथा योग (Sn) = 6973
प्रश्न 7.
उस AP के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d=7 है और 22वाँ पद 149 है।
हल :
यहाँ पर AP के लिए सार्व अंतर (d) = 7
22वाँ पद (a22) = 149
पदों की संख्या (n) = 22
योग (S22) = ?
हम जानते हैं कि an = a + (n – 1)d
a22 = a + (22 – 1)(7)
149 = a + 147
a = 149 – 147 = 2
Sn = n/2[2a + (n – 1)d]
S22 = 22/2[2(2) + (22 – 1)(7)]
= 11[4+147] = 11 x 151 = 1661
अतः योग (S22) = 1661
उस AP के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d=7 है और 22वाँ पद 149 है।
हल :
यहाँ पर AP के लिए सार्व अंतर (d) = 7
22वाँ पद (a22) = 149
पदों की संख्या (n) = 22
योग (S22) = ?
हम जानते हैं कि an = a + (n – 1)d
a22 = a + (22 – 1)(7)
149 = a + 147
a = 149 – 147 = 2
Sn = n/2[2a + (n – 1)d]
S22 = 22/2[2(2) + (22 – 1)(7)]
= 11[4+147] = 11 x 151 = 1661
अतः योग (S22) = 1661
प्रश्न 8.
उस AP के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 हैं।
हल :
यहाँ पर AP के लिए n = 51, a2 = 14, a3 = 18, S51 = ?
हम जानते हैं कि a2 = a + (2 – 1)d
14 = a+d
a+d = 14 ………….(i)
a3 = a + (3 – 1)d
18 = a+2d
a+2d = 18 …..(ii)
समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने पर प्राप्त होता है,
d = 4
d का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
a + 4 = 14
a = 14 – 4 = 10
Sn = n/2[2a + (n – 1)d]
S51 = 51/2[22 (10) + (51 – 1)(4)]
= 51/2 [20 + 200]
= 51/2 x 220 = 51 x 110 = 5610
अतः S51 = 5610
उस AP के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 हैं।
हल :
यहाँ पर AP के लिए n = 51, a2 = 14, a3 = 18, S51 = ?
हम जानते हैं कि a2 = a + (2 – 1)d
14 = a+d
a+d = 14 ………….(i)
a3 = a + (3 – 1)d
18 = a+2d
a+2d = 18 …..(ii)
समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने पर प्राप्त होता है,
d = 4
d का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
a + 4 = 14
a = 14 – 4 = 10
Sn = n/2[2a + (n – 1)d]
S51 = 51/2[22 (10) + (51 – 1)(4)]
= 51/2 [20 + 200]
= 51/2 x 220 = 51 x 110 = 5610
अतः S51 = 5610
प्रश्न 9.
यदि किसी AP के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम । पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर AP के लिए
S7 = 49
S17 = 289
Sn = ?
हम जानते हैं कि Sn = n/2[2a + (n – 1)d]
S17 = 17/2[2a + (17-1947
289 = 17[a + 8d]
a + 8d = 17 …………..(i)
S7 = 7/2[2a + (7 – 1)d]
49 = 7[a + 34]
a+3d = 7 ……………(ii)
समीकरण (ii) को समीकरण (1) में से घटाने पर प्राप्त होता है,
5d = 10
d = 10/2 = 2
d का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
a + 8(2) = 17
a = 17-16 = 1
s, = n/2[2a + (n – 1)]
= n/2 [2(1) + (n – 1)(2)]
= n/2[2 + 2n-2]
= n/2 x 2n = n2
यदि किसी AP के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम । पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर AP के लिए
S7 = 49
S17 = 289
Sn = ?
हम जानते हैं कि Sn = n/2[2a + (n – 1)d]
S17 = 17/2[2a + (17-1947
289 = 17[a + 8d]
a + 8d = 17 …………..(i)
S7 = 7/2[2a + (7 – 1)d]
49 = 7[a + 34]
a+3d = 7 ……………(ii)
समीकरण (ii) को समीकरण (1) में से घटाने पर प्राप्त होता है,
5d = 10
d = 10/2 = 2
d का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
a + 8(2) = 17
a = 17-16 = 1
s, = n/2[2a + (n – 1)]
= n/2 [2(1) + (n – 1)(2)]
= n/2[2 + 2n-2]
= n/2 x 2n = n2
प्रश्न 10.
दर्शाइए कि a1, a2,……….,an……… से एक AP बनती है, यदि an नीचे दिए अनुसार परिभाषित है
(i) an = 3 + 4n
(ii) an = 9 – 5n
साथ ही, प्रत्येक स्थिति में, प्रथम 15 का योग ज्ञात कीजिए।
हल :
(i) यहाँ पर
an = 3 +4n
a1 = 3 + 4(1)= 7
a2 = 3 + 4(2)= 11
a3 = 3 + 4(3) = 15
a4= 3 + 4(4)= 19
…………………….
…………………….
AP = 7, 11, 15, 19, ….
a = 7
d = 11-7=4
हम जानते हैं कि
Sn= n/2 [2a + (n-1)d]
S15= 15/2 = 2(7) + (15 – 1)(4)
= 15/2[14+56]
= n/2 x 70 = 15 x 35 = 525
दर्शाइए कि a1, a2,……….,an……… से एक AP बनती है, यदि an नीचे दिए अनुसार परिभाषित है
(i) an = 3 + 4n
(ii) an = 9 – 5n
साथ ही, प्रत्येक स्थिति में, प्रथम 15 का योग ज्ञात कीजिए।
हल :
(i) यहाँ पर
an = 3 +4n
a1 = 3 + 4(1)= 7
a2 = 3 + 4(2)= 11
a3 = 3 + 4(3) = 15
a4= 3 + 4(4)= 19
…………………….
…………………….
AP = 7, 11, 15, 19, ….
a = 7
d = 11-7=4
हम जानते हैं कि
Sn= n/2 [2a + (n-1)d]
S15= 15/2 = 2(7) + (15 – 1)(4)
= 15/2[14+56]
= n/2 x 70 = 15 x 35 = 525
(ii) यहाँ पर
an = 9 – 5n
a1 = 9-5(1)=4
a2 = 9-5(2) =–1
a3 = 9 – 5(3) =-6
a4= 9 – 5(4)=-11
……………………
……………………
अतः
AP= 4,-1,-6,-11,..
a = 4
d = -1 – 4 = -5
हम जानते हैं किs, Sn= n/2 [2a + (n-1)d]
S15 = 15/2[2(4) + (15 – 1)(-5)]
= 15/2[18-70]
= 15/2 x (-62)
= 15 x (-31) = -465
an = 9 – 5n
a1 = 9-5(1)=4
a2 = 9-5(2) =–1
a3 = 9 – 5(3) =-6
a4= 9 – 5(4)=-11
……………………
……………………
अतः
AP= 4,-1,-6,-11,..
a = 4
d = -1 – 4 = -5
हम जानते हैं किs, Sn= n/2 [2a + (n-1)d]
S15 = 15/2[2(4) + (15 – 1)(-5)]
= 15/2[18-70]
= 15/2 x (-62)
= 15 x (-31) = -465
प्रश्न 11.
यदि किसी AP के प्रथम । पदों का योग 4n-n2है, तो इसका प्रथम पद (अर्थात् s1) क्या है? प्रथम दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है? इसी प्रकार, तीसरे, 10वें और nवें पद ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर AP के लिए
sn = 4n-n2
n = 1 प्रतिस्थापित करने पर,
S1 = 4(1)- (1)2 = 4-1 =3
अतः प्रथम पद (a1) = 3
n = 2 प्रतिस्थापित करने पर,
S1 = 4(2)-(2)2 = 8-4 = 4
a2 = S2 – S1 = 4 – 3 = 1
दूसरा पद (a2) = 1
इसी प्रकार s3 = 4(3)- (3)2 = 12-9 =3
a3 = S3-S2 = 3-4 = -1
s9 = 4(9)-(9)2 = 36-81 = -45
S10 = 4(10)-(10)2 = 40-100 = -60
a10 = S1 – s9 = -60 -(-45)
= -60 + 45 = – 15
यदि किसी AP के प्रथम । पदों का योग 4n-n2है, तो इसका प्रथम पद (अर्थात् s1) क्या है? प्रथम दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है? इसी प्रकार, तीसरे, 10वें और nवें पद ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर AP के लिए
sn = 4n-n2
n = 1 प्रतिस्थापित करने पर,
S1 = 4(1)- (1)2 = 4-1 =3
अतः प्रथम पद (a1) = 3
n = 2 प्रतिस्थापित करने पर,
S1 = 4(2)-(2)2 = 8-4 = 4
a2 = S2 – S1 = 4 – 3 = 1
दूसरा पद (a2) = 1
इसी प्रकार s3 = 4(3)- (3)2 = 12-9 =3
a3 = S3-S2 = 3-4 = -1
s9 = 4(9)-(9)2 = 36-81 = -45
S10 = 4(10)-(10)2 = 40-100 = -60
a10 = S1 – s9 = -60 -(-45)
= -60 + 45 = – 15
Sn-1 = 4(n-1)-(n-1)2
= (4n-4)-(n2-2n + 1)
= 4n-4-n2 + 2n-1
= 6n-n2-5
an = Sn – Sn-1
= (4n-n2)-(6n-n2-5)
= 4n – n2-6n + n2 + 5
= 5 – 2n
अतः a1 = 3, a2 = 1, a3 = -1, a10 =-15, an = 5- 2n
= (4n-4)-(n2-2n + 1)
= 4n-4-n2 + 2n-1
= 6n-n2-5
an = Sn – Sn-1
= (4n-n2)-(6n-n2-5)
= 4n – n2-6n + n2 + 5
= 5 – 2n
अतः a1 = 3, a2 = 1, a3 = -1, a10 =-15, an = 5- 2n
प्रश्न 12.
ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हैं।
हल :
यहाँ पर
AP = 6, 12, 18, 24,……..
a = 6
d = 12 – 6 = 6
n = 40
हम जानते हैं कि
Sn = n/2[2a + (n- 1)4]
S40 = [40/2 2(6) + (40 – 1)(6)]
= 20[12 + 234]
= 20 x 246 = 4920
ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हैं।
हल :
यहाँ पर
AP = 6, 12, 18, 24,……..
a = 6
d = 12 – 6 = 6
n = 40
हम जानते हैं कि
Sn = n/2[2a + (n- 1)4]
S40 = [40/2 2(6) + (40 – 1)(6)]
= 20[12 + 234]
= 20 x 246 = 4920
प्रश्न 13.
8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर AP = 8, 16, 24, 32, ……..
a = 8
d = 16 – 8 = 8
n = 15
हम जानते हैं कि
Sn = n/2[2a + (n- 1)d]
S15 = 15/2[2(8) + (15- 1)(8)]
= 15/2 [16 + 112]
= 15/2 x 128 = 15 x 64 = 960
8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर AP = 8, 16, 24, 32, ……..
a = 8
d = 16 – 8 = 8
n = 15
हम जानते हैं कि
Sn = n/2[2a + (n- 1)d]
S15 = 15/2[2(8) + (15- 1)(8)]
= 15/2 [16 + 112]
= 15/2 x 128 = 15 x 64 = 960
प्रश्न 14.
0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर ।
AP = 1, 3, 5, 7, …….., 49
a = 1
d = 3 – 1 = 2
l = 49
n = 25
हम जानते हैं कि Sn = n/2[a+l]
S25 = 25/2 [1+49]
= 25/2 x 50 = 25 x 25 = 625
0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर ।
AP = 1, 3, 5, 7, …….., 49
a = 1
d = 3 – 1 = 2
l = 49
n = 25
हम जानते हैं कि Sn = n/2[a+l]
S25 = 25/2 [1+49]
= 25/2 x 50 = 25 x 25 = 625
प्रश्न 15.
निर्माण कार्य से संबंधित किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलंब से पूरा करने के लिए, जुर्माना लगाने का प्रावधान इस प्रकार है : पहले दिन के लिए 200 रु०, दूसरे दिन के लिए 250 रु०, तीसरे दिन के लिए 300 रु० इत्यादि अर्थात् प्रत्येक उतरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से 50 रु० अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी, यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलंब कर देता है?
हल :
यहाँ पर
AP = 200, 250, 300, ……………..
a = 200
d = 250 – 200 = 50
n = 30
S30 = ?
हम जानते हैं कि
Sn = n/2 [2a + (n-1)d]
S30 = 30/2[2(200) + (30 – 1)(50)]
= 15[400 + 1450]
= 15 x 1850 = 27,750 रु०
निर्माण कार्य से संबंधित किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलंब से पूरा करने के लिए, जुर्माना लगाने का प्रावधान इस प्रकार है : पहले दिन के लिए 200 रु०, दूसरे दिन के लिए 250 रु०, तीसरे दिन के लिए 300 रु० इत्यादि अर्थात् प्रत्येक उतरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से 50 रु० अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी, यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलंब कर देता है?
हल :
यहाँ पर
AP = 200, 250, 300, ……………..
a = 200
d = 250 – 200 = 50
n = 30
S30 = ?
हम जानते हैं कि
Sn = n/2 [2a + (n-1)d]
S30 = 30/2[2(200) + (30 – 1)(50)]
= 15[400 + 1450]
= 15 x 1850 = 27,750 रु०
प्रश्न 16.
किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए 700 रु० की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से 20 रु० कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर AP के लिए
n = 7
s7 = 700
d = -20
n = 7
हम जानते हैं कि – Sn = n/2 [2a + (n–1)]
S7 = 7/2[2a + (7 – 1)(-20)]
700 x 2/7 = 2a – 120
2a = 200 + 120
a = 320/2 = 160
अतः पुरस्कारों के मूल्य (रुपयों में) की A.P. = a, a + d, a + 2d, a + 3d, a +4d, a + 5d, a + 6d
= 160, 160 – 20, 160 – 40, 160 -60, 160 -80, 160 – 100, 160 – 120
= 160, 140, 120, 100, 80, 60, 40
किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए 700 रु० की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से 20 रु० कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर AP के लिए
n = 7
s7 = 700
d = -20
n = 7
हम जानते हैं कि – Sn = n/2 [2a + (n–1)]
S7 = 7/2[2a + (7 – 1)(-20)]
700 x 2/7 = 2a – 120
2a = 200 + 120
a = 320/2 = 160
अतः पुरस्कारों के मूल्य (रुपयों में) की A.P. = a, a + d, a + 2d, a + 3d, a +4d, a + 5d, a + 6d
= 160, 160 – 20, 160 – 40, 160 -60, 160 -80, 160 – 100, 160 – 120
= 160, 140, 120, 100, 80, 60, 40
प्रश्न 17.
एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदूषण कम करने के लिए स्कूल के अंदर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोचा। यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा। उदाहरणार्थ, कक्षा I का एक अनुभाग 1 पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा, इत्यादि और ऐसा कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा। प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं। इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या कितनी होगी?
हल :
यहाँ पर प्रश्नानुसार,
कक्षा [ के 3 अनुभागों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 3 x 1 = 3
कक्षा के 3 अनुभागों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 3 x 2 = 6
कक्षा III के 3 अनुभागों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 3 x 3 = 9
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
कक्षा XII के 3 अनुभागों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या= 3 x 12 = 36
इसी प्रकार AP = 3, 6, 9, …….., 36
a = 3 d = 6 – 3 = 3, n = 12
36-3=3. n= 12.1336, l = 36
अब Sn = n/2[a + l]
S12 = 12/2[3 +36]
= 6 x 39 = 234
अतः स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए पेड़ों की कुल संख्या = 234
एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदूषण कम करने के लिए स्कूल के अंदर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोचा। यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा। उदाहरणार्थ, कक्षा I का एक अनुभाग 1 पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा, इत्यादि और ऐसा कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा। प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं। इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या कितनी होगी?
हल :
यहाँ पर प्रश्नानुसार,
कक्षा [ के 3 अनुभागों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 3 x 1 = 3
कक्षा के 3 अनुभागों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 3 x 2 = 6
कक्षा III के 3 अनुभागों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 3 x 3 = 9
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
कक्षा XII के 3 अनुभागों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या= 3 x 12 = 36
इसी प्रकार AP = 3, 6, 9, …….., 36
a = 3 d = 6 – 3 = 3, n = 12
36-3=3. n= 12.1336, l = 36
अब Sn = n/2[a + l]
S12 = 12/2[3 +36]
= 6 x 39 = 234
अतः स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए पेड़ों की कुल संख्या = 234
प्रश्न 18.
केंद्र A से प्रारंभ करते हुए, बारी-बारी से केंद्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5cm, 1.0cm, 1.5cm, 2.0cm, ….. वाले उतरोत्तर अर्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल (spiral) बनाया गया है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। तेरह क्रमागत अर्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लंबाई क्या है?
(π = 22/7 लीजिए)
हल :
माना l1, l2, l3….. l13 अर्धवृत्तों की लंबाइयाँ हैं जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः r1 = 0.5cm, r2 = 1.0cm, r3 = 1.5cm, ………….है
अब l1 = πr1 = π(0.5)cm = π/2 cm
l2 = πr2 = π(0.5)cm = 2(π/2) cm
l3 = πr3 = π(0.5)cm = 3(π/2) cm
…………………………..
…………………………..
l13 = πr13 = π(6.5)cm = 13(π/2)cm
इस प्रकार 13 अर्धवृत्तों से बने सर्पिल की कुल लंबाई = l1 + l2 + l3 ……………..+ l l13
प्रश्न 19.
200 लट्ठों (logs) को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है : सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्टे, उससे अगली पंक्ति में 19 लढे, उससे अगली पंक्ति में 18 लढे, इत्यादि (देखिए आकृति में)। ये 200 लढे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लढे हैं?
हल :
माना 200 लट्ठों को n पंक्तियों में रखा जाता है। प्रश्नानुसार
AP = 20, 19, 18, …….
a = 20
d = 19 – 20 = -1
Sn = 200
n = ?
हम जानते हैं कि
Sn = n/2[2a + (n-1)d]
200 = n/2[2(20) + (n-1)(-1)]
400 = n[40 – n+ 1]
400 = 41n – n2
n2 – 41n + 400 = 0
n2 – 25n – 16n + 400 = 0
n(n-25)-16(n-25) = 0
(n-25)(n-16) = 0
n-25 = 0 या n-16 = 0
या n = 16
यदि n= 25 हो तो
a25= a + 24d
= 20 + 24(-1) = -4, जो कि असंभव है।
अतः n = 16 a16= a+ 15d
= 20 + 15(-1)= 5
अतः पंक्तियों की संख्या (n) = 16 तथा सबसे ऊपर वाली पंक्ति में लट्ठों की संख्या = 5
प्रश्न 20.
एक आलू दौड़ (potato race) में, प्रारंभिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5m की दूरी पर है तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3m की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं (देखिए आकृति)।
प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारंभ करती है, निकटतम आलू को उठाती है, उसे लेकर वापस आकर दौड़कर बाल्टी में डालती है, दूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती है, उसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है औरथ्वह ऐसा तब तक करती रहती है, जब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ। इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी?
हल :
प्रश्नानुसार,
प्रथम आलू के लिए प्रतियोगी द्वारा चली गई दूरी = (2 x 5)m = 10m
दूसरे आलू के लिए प्रतियोगी द्वारा चली गई दूरी = 2 x (5 + 3)m = 16m
तीसरे आलू के लिए प्रतियोगी द्वारा चली गई दूरी = 2 x (5 + 2 x 3)m = 22m
………………….. ………………..
………………….. ………………..
दसवें आलू के लिए प्रतियोगी द्वारा चली गई दूरी = 2 x (5 + 9 x 3)m = 64m
इस प्रकार AP = 10, 16, 22, ………,64
a = 10, d = 16-10 = 6, l = 64,n = 10
अब Sn = n/2[a + l]
S10 = 10/2 [10 + 64]
= 5 x 74 =370
अतः सभी 10 आलू बाल्टी में डालने के लिए प्रतियोगी द्वारा चली गई कुल दूरी = 370m
The Complete Educational Website