Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Exercise 6.3

नोट : यह प्रश्नावली निम्नलिखित तीन प्रमेय पर आधारित है
प्रमेय 6.3 : यदि दो त्रिभुजों में, संगत कोण बराबर हों, तो उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में (समानुपाती) होती हैं और इसीलिए ये त्रिभुज समरूप होते हैं।

हल :
दिया है : ΔABC और ΔDEF में ∠A = ∠D, ∠B = ∠E तथा ∠C = ∠F है।
सिद्ध करना है : ΔABC ~ ΔDEF
रचना : ΔDEF में DP = AB तथा DQ =AC काटिए और P व Q को मिलाइए।
उपपत्ति : ΔABC और ΔDPQ में,
AB = DP (रचना से)
∠A = ∠D (दिया है)
AC = DQ (रचना से)
∴ ΔABC ≅ ΔDPQ (भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता)
∠B = ∠DPQ
∠B = ∠E= ∠DEF
∴ ∠DPQ = ∠DEF
परंतु ये संगतकोण हैं।
PQ || EF

अतः ΔABC ≅ ΔDPQ (इति सिद्धम)

प्रमेय 6.4 : यदि दो त्रिभुजों में एक त्रिभुज की भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की भुजाओं के समानुपाती (अर्थात् एक ही अनुपात में) हों, तो इनके संगत कोण बराबर होते हैं और इसीलिए दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।
हल :

PQ = BC
अतः ΔABC व ΔDPQ
AB = DP, AC = DQ व BC = PQ
ΔABC ≅ ΔDPQ ———— (ii) (भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता)
समीकरण (i) व (ii) की तुलना से, . ΔABC ~ ΔDEF (इति सिद्धम)

प्रमेय 6.5 : यदि एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो तथा इन कोणों को अंतर्गत करने वाली भुजाएँ समानुपाती हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।
हल :

दिया है : ΔABC और ΔDEF में AB/DE=AC/DF तथा ∠A = ∠D है।
सिद्ध करना है : ΔABC ~ ΔDEF
रचना : ΔDEF में DP = AB तथा DQ = AC काटिए B और P व Q को मिलाइए।
उपपत्ति : \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}}ABC और ΔDPQ में,
AB = DP, AC = DQ (रचना से)
∠A = ∠D (दिया है)
ΔABC ≅ ΔDPQ (भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता)
ΔABC ~ ΔDPQ … (i) (दिया है)
DP/DE=DQ/DF [∵ AB = DP व AC = DQ (रचना से)]
PQ || EF (थेल्स प्रमेय के विलोम से)
∠P = ∠E a ∠Q = ∠F (संगत कोण युग्म)
ΔDPQ तथा ΔDEF में,
∠D = ∠D, ∠P = ∠E व ∠Q = ∠F
ΔDPQ ~ ΔDEF (कोण-कोण-कोण समरूपता) …..(ii)
समीकरण (i) व (ii) की तुलना से,
ΔABC ~ ΔDEF (इति सिद्धम)

प्रश्न 1.
बताइए कि निम्नांकित आकृति में दिए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन-कौन से युग्म समरूप हैं। उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देने में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए।

हल :
(i) यहाँ पर ΔABC और ΔPQR में,
∠A = ∠P
∠B = ∠Q
व ∠c = ∠R
ΔABC ~ ΔPQR (कोण-कोण-कोण समरूपता)

(ii) यहाँ पर ΔABC और ΔQRP में,

(iii) यहाँ पर ΔMPL और ΔDEF में,

इसलिए ΔMPL और ΔDEF समरूप नहीं है क्योंकि ये समरूपता की भुजा-भुजा-भुजा कसौटी को सत्यापित नहीं करती।

(iv) यहाँ पर ΔMNL और ΔQPR में,

इसलिए ΔMNL ~ ΔQPR भुजा-कोण-भुजा समरूपता से)

(v) यहाँ पर ΔABC और ΔDEF में,
AB/DF=2.5/5=1/2
BC/EF=3/6=1/2
परंतु ∠B ≠ ∠F (∵ ∠B दिया नहीं है।)
अतः ΔABC और ΔDEF समरूप नहीं है।

(vi) यहाँ पर ΔDEF और ΔPQR में,
∠P = 180° – (∠Q+ ∠R)
= 180° – (80° + 30°) = 70°
∠F = 180° – (∠D+ ∠E)
= 180° – (70° + 80°) = 30°
∠D = ∠P (प्रत्येक 70°)
∠E = ∠Q व (प्रत्येक 80°)
∠F = ∠R. (प्रत्येक 30°)
ΔDEF ~ ΔPQR (कोण-कोण-कोण समरूपता से)

प्रश्न 2.
संलग्न आकृति में, ΔODC ~ ΔOBA, ∠BOC = 125° और ∠CDO = 70° है। ∠DOC, ∠DCO और ∠OAB ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर, ∠BOC = 125°
व ∠CDO = 70°

∠DOC + ∠BOC = 180°
∠DOC + 125° := 180°
∠DOC = 180° – 125° = 55°
अब ΔDOC में, ∠DOC + ∠CDO + ∠DCO = 180°
55° + 70° + ∠DCO = 180°
∠DCO = 180° – 125° = 55°
परंतु ΔODC ~ ΔOBA (दिया है)
इसलिए ∠OAB = ∠DCO
= 55°
अतः ∠DOC = 55°, ∠DCO = 55° व ∠OAB = 55° उत्तर

प्रश्न 3.
समलंब ABCD, जिसमें AB ||DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर 0 पर प्रतिच्छेद करते हैं। दो त्रिभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए, दर्शाइए की OA/OC=OB/OD है

हल :
दिया है : ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC है। इसके विकर्ण AC और BD, O पर मिलते हैं।
सिद्ध करना है : OA/OC=OB/OD
प्रमाण : ΔOAB और ΔODC में,
∠AOB = ∠COD (शीर्षाभिमुख कोण)
∠OAB = ∠OCD (एकांतर कोण)
∠OBA = ∠ODC (एकांतर कोण)
ΔOAB ~ ΔODC (कोण-कोण-कोण समरूपता नियम से)
OA/OC=OB/OD (समरूप त्रिभुजों के संगत भागों का अनुपात) [इति सिद्धम]

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति में, QR/QS=QT/PR तथा ∠1 = ∠2 है। दर्शाइए कि ΔPQS ~ ΔTQR है।

हल :
यहाँ पर
QR/QS=QT/PR (दिया है)
PR/QS=QT/QR …(i)
तथा ∠1 = ∠2 (दिया है)
PR = PQ …. (ii) [ ∵ ΔPQR में समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ]
समीकरण (i) व (ii) की तुलना से,
PQ/QS=QT/QR
PQ/QT=QS/QR
अब ΔPQS और ΔTQR में,
PQ/QT=QS/QR
∠PQS = ∠TQR
ΔPQS ~ ΔTQR (भुजा-कोण-भुजा समरूपता से)

प्रश्न 5.
ΔPQR की भुजाओं PR और QR पर क्रमशः बिंदु S और T इस प्रकार स्थित हैं कि ∠P= ∠RTS है। दर्शाइए कि ΔRPQ ~ΔRTS है।

हल :
दिया है : ΔPQR की भुजाओं PR और QR पर क्रमशः बिंदु S और T इस प्रकार है कि ∠P= ∠RTS
सिद्ध करना है: ΔRPQ ~ ΔRTS
प्रमाण : ΔRPQ और ΔRTS में, .
∠R = ∠R (उभयनिष्ठ)
∠P = ∠RTS (दिया है)
∴ कोण-कोण समरूपता गुणधर्म से,
ΔRPQ ~ ΔRTS

प्रश्न 6.
संलग्न आकृति में, यदि ΔABE ≅ ΔACD है, तो दर्शाइए कि ΔADE ~ ΔABC है।

हल :
दिया है : ΔABE ≅ ΔACD
सिद्ध करना है : ΔADE ~ ΔABC
प्रमाण : ΔABE ≅ ΔACD (दिया है)
AB = AC
AE = AD

अब ΔADE और ΔABC में,
AB/AC=AD/AE
∠BAC = ∠DAE (उभयनिष्ठ)
ΔADE ~ ΔABC (भुजा-कोण-भुजा समरूपता से) (इति सिद्धम)

प्रश्न 7.
संलग्न आकृति में, ΔABC के शीर्षलंब AD और CE परस्पर बिंदु Pपर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि-
(i) ΔAEP ~ ΔCDP
(ii) ΔABD ~ ΔCBE
(iii) ΔAEP ~ ΔADB
(iv) ΔPDC ~ ΔBEC

हल :
दिया है : ΔABC के दो शीर्षलंब AD व CE हैं अर्थात् AD ⊥ BC व CE ⊥ AB हैं।

(i) सिद्ध करना है : ΔAEP ~ ΔCDP
प्रमाण : ΔAEP और ΔCDP में,
∠AEP = ∠CDP (प्रत्येक 90°)
∠APE = ∠CPD (शीर्षाभिमुख कोण)
ΔAEP ~ ΔCDP (कोण-कोण समरूपता नियम से) [इति सिद्धम]

(ii) सिद्ध करना है : ΔABD ~ ΔCBE
प्रमाण : ΔABD और ΔCBE में
∠ADB = ∠CEB (प्रत्येक 90°)
∠ABD = ∠CBE (उभयनिष्ठ)
ΔABD ~ ΔCBE (कोण-कोण समरूपता नियम से) [इति सिद्धम]

(iii) सिद्ध करना है : ΔAEP ~ ΔADB
प्रमाण : ΔAEP और ΔADB में,
∠AEP = ∠ADB (प्रत्येक 90°)
∠EAP = ∠DAB (उभयनिष्ठ)
ΔAEP ~ ΔADB (कोण-कोण समरूपता नियम से) [इति सिद्धम]

(iv) सिद्ध करना है : ΔPDC ~ ΔBEC
प्रमाण : ΔPDC और ΔBEC में
∠PDC = ∠EEC (प्रत्येक 90°)
∠PCD = ∠ECB (उभयनिष्ठ)
ΔPDC ~ ΔBEC (कोण-कोण समरूपता नियम से) [इति सिद्धम]

प्रश्न 8.
समांतर चतुर्भुज ABCD की बढ़ाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिंदु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि ΔABE ~ ΔCFB है।
हल :
दिया है : ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, जिसकी भुजा AD को E तक बढ़ाया गया है तथा BE को मिलाने पर BE भुजा CD को F बिंदु पर प्रतिच्छेदित करती है।

सिद्ध करना है : ΔABE ~ ΔCFB
प्रमाण : ΔABE और ΔCFB में,
∠A = ∠C (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण)
∠AEB = ∠CBF (एकांतर कोण)
ΔABE ~ ΔCFB (कोण-कोण समरूपता नियम से) [इति सिद्धम]

प्रश्न 9.
संलग्न आकृति में, ABC और AMPदो समकोण त्रिभुज हैं, जिनके कोण Bऔर M समकोण हैं। सिद्ध कीजिए कि
(i) ΔABC ~ ΔAMP
(ii) CA/PA=BC/MP

हल :
दिया है-दो समकोण ΔABC व ΔAMP में ∠ABC= 90° व ∠AMP = 90°
(i) सिद्ध करना है-ΔABC ~ ΔAMP
प्रमाण-ΔABC और ΔAMP में,
∠ABC = ∠AMP (प्रत्येक 90°)
∠BAC = ∠MAP (उभयनिष्ठ)
ΔABC ~ ΔAMP (कोण-कोण समरूपता नियम से) (इति सिद्धम)

(ii) सिद्ध करना है CA/PA=BC/MP
प्रमाण-ΔABC और ΔAMP में,
∠ABC = ∠AMP (प्रत्येक 90°)
∠BAC = ∠MAP
(उभयनिष्ठ) ΔABC ~ ΔAMP (कोण-कोण समरूपता नियम से)
अतः CA/PA=BC/MP
(समरूप त्रिभुजों के संगत भाग) (इति सिद्धम)

प्रश्न 10.
CD और GH क्रमशः ∠ACB और ∠EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और Hक्रमशः ΔABC और ΔFEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं। यदि ΔABC ~ ΔFEG है, तो दर्शाइए कि
(i) GH FG
(ii) ΔDCB ~ ΔHGE
(iii) ΔDCA ~ ΔHGF
हल :
दिया है : दो त्रिभुज ABC और FEG में CD और GH क्रमशः ∠ACB और ∠EGF के समद्विभाजक हैं तथा ΔABC ~ ΔFEG हैं।

(i) सिद्ध करना है : CD/GH=AC/FG
प्रमाण : ΔADC और ΔFHG में,
∠A = ∠F [∵ ΔABC ~ ΔFEG]
तथा∠C = ∠G [∵ ΔABC ~ ΔFEG]
या 1/2 ∠C = 1/2∠G
या ∠ACD = ∠FGH
ΔADC ~ ΔFHG (कोण-कोण समरूपता नियम से)
CD/GH=AC/FG (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) [इति सिद्धम]

(ii) सिद्ध करना है : ΔDCB ~ ΔHGE
प्रमाण : ΔDCB और ΔHGE में,
∴ ∠DBC = ∠HEG [ ∵ ΔABC ~ ΔFEG]
तथा ∠C = ∠G [ ∵ ΔABC ~ ΔFEG]
या 1/2∠C = ∠G 1/2
या ∠BCD = ∠EGH
∴ ΔDCB ~ ΔHGE (कोण-कोण समरूपता नियम से) [इति सिद्धम]

(iii) सिद्ध करना है : ΔDCA ~ ΔHGF
प्रमाण : ΔDCA और ΔHGF में,
∠A = ∠F [∵ ΔABC – ΔFEG] |
तथा ∠C = ∠G [∵ ΔABC – ΔFEG]
या 1/2∠C = ∠G 1/2
या ∠ACD = ∠FGH
∴ ΔDCA ~ ΔHGF(कोण-कोण समरूपता नियम से) [इति सिद्धमा)

प्रश्न 11.
संलग्न आकृति में, AB = AC वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढ़ाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिंदु है। यदि AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है तो सिद्ध कीजिए कि ΔABD ~ΔECF है।

हल :
दिया है : एक समद्विबाहु ΔABC जिसमें AB = AC है। इसकी बढ़ाई गई भुजा CB पर E कोई बिंदु है। AD ⊥ BC तथा EF ⊥ AC है।
सिद्ध करना है : ΔABD ~ ΔECF
प्रमाण : ΔABD और ΔECF में,
∠B = ∠C [∵ AB = AC दिया है]
∠ADB = ∠EFC (प्रत्येक 90°)
ΔABD ~ ΔECF (कोण-कोण समरूपता नियम से) [इति सिद्धम]

प्रश्न 12.
एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं (देखिए संलग्न आकृति)। दर्शाइए कि ΔABC ~ ΔPQR है।

हल :
दिया है : दो त्रिभुजों ABC और PQR में AD व PM क्रमशः भुजाओं BC और QR की माध्यिकाएँ हैं तथा
AB/PQ=BC/QR=AD/PM
सिद्ध करना है : ΔABC ~ ΔPQR
प्रमाण : क्योंकि AD भुजा BC की माध्यिका है।
∴ BD = 1/2 BC
इसी प्रकार QM = 1/2 QR

ΔABD ~ ΔPQM(भुजा-भुजा-भुजा समरूपता से)
∠B = ∠Q (समरूप त्रिभुजों के संगत भाग)
अब ΔABC व ΔPQR में
AB/PQ=BC/QR व ∠B = ∠Q
ΔABC ~ ΔPQR (भुजा-कोण-भुजा समरूपता से) [इति सिद्धम]

प्रश्न 13.
एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC = ∠BAC है। दर्शाइए कि CA² =CB.CD है।
हल : दिया है : ΔABC की भुजा BC पर D कोई ऐसा बिंदु है कि ∠ADC = ∠BAC
सिद्ध करना है : CA² = CB.CD

प्रमाण : ΔABC और ΔADC में,
∠BAC = ∠ADC (दिया है)
∠BCA = ∠DCA (उभयनिष्ठ)
तथा ∠ABC = ∠DAC (त्रिभुज का तीसरा कोण)
अतः ΔABC ~ ΔADC (कोण-कोण समरूपता से)
CA/CD=CB/CA ( ∵ समरूप त्रिभुजों के संगत भाग समान अनुपाती होते हैं।)
CA² = CB.CD इति सिद्धमा

प्रश्न 14.
एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमशः समानुपाती हैं। दर्शाइए कि ΔABC ~ΔPQR है।
हल :
दिया है : दो त्रिभुजों ABC और PQR में AD व PM क्रमशः भुजाओं BC और QR की माध्यिकाएँ हैं तथा
AB/PQ=AC/PR=AD/PM

सिद्ध करना है : ΔABC ~ ΔPQR
रचना : D से DE || AB तथा M से MN || PQ खींचिए।
प्रमाण : क्योंकि D, BC का मध्य बिंदु है तथा DE || AB (रचना से)
E,AC का मध्य-बिंदु है।
अर्थात् DE = 1/2 AB
इसी प्रकार MN =1/2 PQ

ΔADE ~ ΔPMN (भुजा-भुजा-भुजा समरूपता नियम से)
∠DAE = ∠MPN
∠DAC = CMPR …..(ii)
इसी प्रकार ∠DAB = ∠MPQ …… (ii)
समीकरण (i) व (ii) से,
∠DAC + ∠DAB = ∠MPR + ∠MPQ
∠BAC = ∠QPR
अब ΔABC और ΔPQR में,
AB/PQ=AC/PR तथा ∠BAC = ∠QPR
∴ ΔABC ~ ΔPOR (भुजा-कोण-भुजा समरूपता से) [इति सिद्धमा

प्रश्न 15.
लंबाई 6m वाले एक ऊर्ध्वाधर स्तंभ की भूमि पर छाया की लंबाई 4m है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई 28m है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :

दिया है : एक स्तंभ PM = 6m जिसकी छाया OM = 4m है।
सिद्ध करना है : एक मीनार NS की ऊँचाई (माना xm) जिसकी छाया OS की लंबाई 28m है।
प्रमाण : ΔOPM व ΔONS में,
∠O = ∠O (उभयनिष्ठ)
∠OMP = ∠OSN (प्रत्येक 90°)
∴ ΔOMP ~ ΔONS (कोण-कोण समरूपता)
PM/NS=OM/OS
6/x=4/28
x =  = 42
अतः मीनार की ऊँचाई = 42m

प्रश्न 16.
AD और PM त्रिभुजों ABC और PQR की क्रमशः माध्यिकाएँ हैं, जबकि AABC ~ APQR है। सिद्ध कीजिए कि AB/PQ=AD/PM है।
हल :

दिया है : AD और PM त्रिभुजों ABC व PQR की क्रमशः माध्यिकाएँ हैं जहाँ ΔABC ~ ΔPQR है।
सिद्ध करना है : AB/PQ=AD/PM
प्रमाण : क्योंकि ΔABC ~ ΔPQR (दिया है)।

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