Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Exercise 6.5

नोट : यह प्रश्नावली निम्नलिखित तीन प्रमेयों पर आधारित है

प्रमेय 6.7 : यदि किसी समकोण त्रिभुज के समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर लंब डाला जाए तो इस लंब के दोनों ओर बने त्रिभुज संपूर्ण त्रिभुज के समरूप होते हैं तथा परस्पर भी समरूप होते हैं।

हल :
दिया है : ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠B समकोण है तथा B से कर्ण AC पर लंब BD डाला गया है।
सिद्ध करना है : (i) ΔADB ~ ΔABC
(ii) ΔBDC ~ ΔABC
(iii) ΔADB ~ ΔBDC
प्रमाण : (i) ΔADB और ΔABC में,
∠A = ∠A (उभयनिष्ठ)
∠ADB = ∠ABC (प्रत्येक 90°)
ΔADB ~ ΔABC (कोण-कोण समरूपता नियम से)

(ii) ΔBDC और ΔABC में,
∠c = ∠c (उभयनिष्ठ)
∠BDC = ∠ABC (प्रत्येक 90°)
ΔBDC ~ ΔABC (कोण समरूपता नियम से)

(iii) क्योंकि ΔΔDB ~ ΔABC (प्रमाणित (i) में)
ΔBDC ~ ΔABC (प्रमाणित (ii) में)
ΔADB ~ ΔBDC (क्योंकि दो त्रिभुजें जो एक ही त्रिभुज के समरूप हो, परस्पर समरूप होती हैं।)

प्रमेय 6.8 : एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

हल :
दिया है : एक समकोण ΔABC जिसका ∠B समकोण है (आकृति अनुसार)
सिद्ध करना है : AC² = AB² + BC²
रचना : हम BD ⊥ AC खींचते हैं।
प्रमाण : ΔADB और ΔABC में,
∠ADB = ∠ABC (प्रत्येक 90°)
∠A = ∠A (उभयनिष्ठ)
∠ABD = ∠ACB (त्रिभुज का तीसरा कोण)
∴ ΔADB ~ ΔABC
∴ AD/AB=AB/AC (भुजाएँ आनुपातिक हैं)
AB2 = AD X AC … (1)
इसी प्रकार, ΔCDB ~ ΔCBA
CD/BC=BC/CA
(भुजाएँ आनुपातिक हैं)
या BC² = CD x CA … (ii)
समीकरण (i) व (ii) को जोड़ने पर,
AB² + BC² = AD x AC + CD x AC
= AC(AD + CD)
= AC x AC = AC² [इति सिद्धम]

प्रमेय 6.9 : यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो तो पहली भुजा का सम्मुख कोण समकोण होता है।

हल :
दिया है : ΔABC में AC² = AB² + BC² है।
सिद्ध करना है : ∠B = 90°
रचना : एक ΔPQR की रचना करें जिसमें PQ = AB,
QR = BC व ∠Q = 90° हो।
प्रमाण : ΔPQR से हमें प्राप्त होता है-
PR² = PQ² + QR² (पाइथागोरस प्रमेय, क्योंकि ∠Q = 90° है)
या PR² = AB² + BC² (रचना से) ….(i)
AC² = AB² + BC² (दिया है) ….(ii)
AC² = PR²[(i) व (ii) से]
AC = PR …..(iii)
अब ΔABC और ΔPQR में,
AB = PQ (रचना से)
BC = QR (रचना से)
AC = PR (प्रमाणित (iii) में)
अतः ΔABC missing ΔPQR (भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता से)
इसलिए ∠B = ∠Q (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत कोण)
परंतु ∠Q = 90° (रचना से)
अतः ∠B = 90° [इति सिद्धम]

प्रश्न 1.
कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। निर्धारित कीजिए कि इनमें से कौन-कौन से त्रिभुज समकोण त्रिभुज हैं। इस स्थिति में कर्ण की लंबाई भी लिखिए।
(i) 7cm, 24cm, 25cm
(ii) 3cm, 8cm, 6cm
(iii) 50cm, 80cm, 100cm
(iv) 13cm, 12cm, 5cm
हल :
(i) यहाँ पर (7)² = 7 x 7 = 49
(24)² = 24 x 24 = 576
(25)² = 25 x 25 = 625
अब 625 = 576 + 49
(25)² = (24)² + (7)²
∴ यह एक समकोण त्रिभुज है।

(ii) यहाँ पर (3)² = 3 x 3 = 9
(8)² = 8 x 8 = 64
(6)² = 6 x 6 = 36 अब
64 ≠ 36 +9
(8)² ≠ (6)² + (3)²
:: यह एक समकोण त्रिभुज नहीं हैं।

(iii) यहाँ पर (50)² = 50 x 50 = 2500
(80)² = 80 x 80 = 6400
(100)² = 100 x 100 = 10000 अब
10000 ≠ 6400 + 2500
(100)² ≠ (80)² + (50)²
∴ यह एक समकोण त्रिभुज नहीं हैं।

(iv) यहाँ पर
(13)² = 13 x 13 = 169
(12)² = 12 x 12 = 144
(5)² = 5×5 = 25
अब 169 = 144+25
(13)² = (12)² + (5)²
∴ यह एक समकोण त्रिभुज है।

प्रश्न 2.
PQR एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण P समकोण है तथा QR पर बिंदु M इस प्रकार स्थित है कि PM ⊥ QR है। दर्शाइए कि ² = QM. MR है।

हल :
दिया है : समकोण ΔPQR में ∠P = 90° तथा Q पर बिंदु M इस प्रकार है कि PM ⊥ QR
सिद्ध करना है : PM² = QM . MR
प्रमाण : क्योंकि PM ⊥ QR (दिया है)
ΔPQM ~ ΔPRM
PM/QM=MR/PM (समरूप त्रिभुजों के संगत भाग)
PM² = QM . MR [इति सिद्धम]

प्रश्न 3.
संलग्न आकृति में ABD एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है। दर्शाइए कि-
(i) AB² = BC. BD
(ii) AC² = BC. DC
(iii) AD² = BD.CD

हल :
दिया है : समकोण त्रिभुज ABD में ∠A समकोण है तथा AC ⊥ BD है।
सिद्ध करना है : (i) AB² = BC . BD.
(ii) AC² = BC. DC
(iii) AD² = BD.CD
प्रमाण : हम जानते हैं कि किसी समकोण त्रिभुज के समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर B’ लंब डाला जाए तो इस लंब के दोनों ओर बने त्रिभुज संपूर्ण त्रिभुज के समरूप तथा परस्पर भी समरूप होते हैं। इसलिए-
(i) ΔABC ~ ΔABD में,
AB/BD=BC/AB (समरूप त्रिभुजों के संगत भाग) [इति सिद्धम]
AB² = BC.BD

(ii) ΔABC ~ ΔADC में,
AC/BC=DC/AC (समरूप त्रिभुजों के संगत भाग) ।
AC² = BC.DC [इति सिद्धम]

(iii) ΔACD ~ΔABD में,
AD/CD=BD/AD (समरूप त्रिभुजों के संगत भाग)
AD² = BD. CD [इति सिद्धम]

प्रश्न 4.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। सिद्ध कीजिए कि AB² = 2AC² है।

हल :
दिया है : समकोण ΔABC जिसमें ∠C समकोण तथा AC = BC है।
सिद्ध करना है : AB² = 2AC²
प्रमाण : क्योंकि समकोण ΔABC में ∠C समकोण है इसलिए,
AB² = AC² + BC²
AB² = AC² + AC² [:: BC = AC (दिया है)]
AB² = 2AC² [इति सिद्धम]

प्रश्न 5.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AC = BC है। यदि AB² = 2AC² है, तो सिद्ध कीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज है।

हल :
दिया है : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AC = BC तथा AB² = 2AC² है
सिद्ध करना है : ABC समकोण त्रिभुज है।
प्रमाण : क्योंकि AB² = 2AC² (दिया है)
AB² = AC² + AC
या AB² = AC² + BC² (∵ AC = BC दिया है)
अतः ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका ∠C समकोण है। (पाइथागोरस प्रमेय का विलोम) [इति सिद्धम].

प्रश्न 6.
एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है। उसके प्रत्येक शीर्षलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल :
दिया है : समबाहु त्रिभुज ABC की प्रत्येक भुजा 2a है अर्थात् AB = BC = CA = 2a
ज्ञात करना है : प्रत्येक शीर्षलंब की लंबाई = ?
रचना : A से BC पर लंब AD खींचो।
ΔABD और ΔACD में,
AB = AC(दिया है)
AD = AD (उभयनिष्ठ)
∠ADB = ∠ADC (प्रत्येक 90°)
ΔABD missing ΔACD (समकोण-कर्ण-भुजा सर्वांगसमता)
BD = CD (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
BD = CD = 1/2 x 2a = a
अब ΔABD से,
AB² = BD² + AD² (पाइथागोरस प्रमेय)
या (2a)² = a² + AD²
या AD² = 4a² – a² = 3a²
या AD = √3a
अतः प्रत्येक शीर्षलंब की लंबाई = √3a

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

प्रश्न 8.
संलग्न आकृति में ΔABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु O है तथा OD ⊥ BC, OE ⊥ AC और OF ⊥ AB है। दर्शाइए कि-
(i) OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AF² + BD² + CE²
(ii) AF² + BD² + CE² = AE² + CD² + BF²

हल :
दिया है : एक ΔABC जिसके अभ्यंतर बिंदु 0 स्थित है जहाँ से इसकी भुजाओं BC, CA और AB पर क्रमशः OD, OE और OF लंब डाले गए हैं।
सिद्ध करना है : (i) OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AF² + BD² + CE²
(ii) AF² + BD² + CE² = AE² + CD² + BF²
रचना : OA, OB व OC को मिलाओ।
प्रमाण : (i) समकोण त्रिभुजों OFA, ODB व OEC में पाइथागोरस प्रमेय से,
OA² = OF² + AF² ….(i)
OB² = OD² + BD² …..(ii)
OC² = OE² + CE² …..(iii)
समीकरण (i), (ii) व (iii) को जोड़ने पर प्राप्त होगा,
OA² + OB² + OC² = OF² + AF² + OD² + BD² + OE² + CE²
AF² + BD² + CE² = OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² [इति सिद्धम]

(ii) समकोण त्रिभुजों ODB और ODC में पाइथागोरस प्रमेय से,
OB² = OD² + BD²
OC² = OD² + CD²
दोनों को घटाने पर,
OB² – OC² = OD² + BD² – OD² – CD²
OB² – OC² = BD² – CD² ….(i)
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं कि,
OC² – OA² = CE² – AE² ………..(ii)
व OA² – OB² = AF²– BF² …..(iii)

समीकरण (i), (ii) व (iii) को जोड़ने पर प्राप्त होगा,
(OB² – OC²) + (OC² – OA²) + (OA² – OB²) = (BD² – CD²) + (CE² – AE²) + (AF² – BF²) .
0 = (BD² + CE² + AF²) – (AE² + CD² + BF²)
AF² + BD² + CE² = AE² + BF² + CD² [इति सिद्धम]

प्रश्न 9.
10m लंबी एक सीढ़ी एक दीवार पर टिकाने पर भूमि से 8m की ऊँचाई पर स्थित एक खिड़की तक पहुँचती • है। दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल :
यहाँ पर, खिड़की की भूमि से ऊँचाई (BC) = 8m
सीढ़ी की लंबाई (AB) = 10m .
माना सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार के आधार से दूरी (AC) = x m
अब समकोण ΔABC में पाइथागोरस प्रमेय से,
AB² = AC² + BC² →
(10)² = (x)² + (8)²
100 = x² + 64
x² = 100 – 64 = 36
x = 6
अतः सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार के आधार से दूरी = 6m

प्रश्न 10.
18m ऊँचे एक ऊर्ध्वाधर खंभे के ऊपरी सिरे से एक तार का एक सिरा जुड़ा हुआ है तथा तार का दूसरा सिरा एक खूटे से जुड़ा हुआ है। खंभे के आधार से खूटे को कितनी दूरी पर गाड़ा जाए कि तार तना रहे जबकि तार की लंबाई 24m है।

हल :
माना AB = 24m लंबी तार है जो खूटे A के साथ ऊर्ध्वाधर खंभे BC = 18m
से बँधी है तो समकोण ΔABC में जो कि C पर समकोण है-
AB² = AC² + BC²
(24)² = (AC)² + (18)²
576 = AC2 + 324
AC² = 576 – 324 = 252
AC = 6√7
अतः खंभे के आधार से खूटे की दूरी = 6√7 m

प्रश्न 11.
एक हवाई जहाज एक हवाई अड्डे से उत्तर की ओर 1000 km/hr की चाल से उड़ता है। इसी समय एक अन्य हवाई जहाज उसी हवाई अड्डे से पश्चिम की ओर 1200 km/hr की चाल से उड़ता है। 1 1/2 घंटे के बाद दोनों हवाई जहाजों के बीच की दूरी कितनी होगी?

हल :
माना पहला हवाई जहाज बिंदु ० से उत्तर की ओर बिंदु A तक, 3/2 घंटे में (1000 x 3/2 km) 1500km दूरी तय करता है तथा दूसरा हवाई जहाज बिंदु O से पश्चिम की ओर बिंदु B तक 3/2 घंटे में (1200 x 3/2 km)1800km दूरी तय करता है।
अब समकोण ΔOBA में पाइथागोरस प्रमेय से,
AB² = OA² + OB²
= (1500)² + (1800)²
= 2250000+ 3240000
= 5490000 = 300 x 300 x 61
AB = 300√61 km
अतः 3/2 घंटे बाद दोनों जहाजों के बीच की दूरी = 300√61 km

प्रश्न 12.
दो खंभे जिनकी ऊँचाइयाँ 6m और 11m हैं तथा ये समतल भूमि पर खड़े हैं। यदि इनके निचले सिरों के बीच की दूरी 12m है तो इनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हलः
दिया है : दो खंभे AB और CD क्रमशः 6 m और 11 m लंबे हैं तथा उनके निचले सिरों के बीच की दूरी BD = 12 m है। सिद्ध करना है : खंभों के ऊपरी सिरों के बीच की दूरी (AC)= ?
प्रमाण :
AB = 6 m
CD = 11 m
DE = AB = 6 m
CE = CD – DE
= 11 – 6 = 5 m
AE = BD = 12 m
अब समकोण ΔACE में,
AC² = AE² + CE²
= (12)² + (5)²
= 144 + 25 = 169
या AC = √169 = 13 m
अतः दोनों खंभों के ऊपरी सिरों के बीच की दूरी = 13 m

प्रश्न 13.
एक त्रिभुज ABC जिसका कोण C समकोण है, की भुजाओं CA और CB पर क्रमशः बिंदु D और E स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि AE² + BD² = AB² + DE² है।

हल :
दिया है : D और E क्रमशः समकोण ΔABC की भुजाओं CA और CB पर बिंदु हैं और ∠C समकोण है।
सिद्ध करना है : AE² + BD² = AB² + DE²
रचना : DE, DB तथा AE को मिलाओ।
प्रमाण : समकोण ΔACE में पाइथागोरस प्रमेय से,
AE² = AC² + CE² ….(i)
समकोण ΔDCB में पाइथागोरस प्रमेय से,
BD² = DC² + BC² ….(ii)
समीकरण (i) व (ii) को जोड़ने पर,
AE² + BD² = AC² + CE² + DC² + BC² –
= (AC² + BC²) + (CE² + DC²)
= AB² + DE²
[:: समकोण ΔABC में AC² + BC² = AB² व समकोण ΔDCE में CE² + DC² = DE²] [इति सिद्धम]

प्रश्न 14.
किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A से BC पर डाला गया लंब BC को बिंदु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3CD है (देखिए संलग्न आकृति)। सिद्ध कीजिए कि 2AB² = 2AC² + BC² है।

हल :
दिया है : ΔABC में शीर्ष A से भुजा BC पर लंब AD डाला गया है जो BC को इस प्रकार प्रतिच्छेदित करता है कि DB = 3CD अर्थात् CD = 1/4 BC
सिद्ध करना है : 2AB² = 2AC² + BC²
प्रमाण : समकोण ΔABD में,
AB² = BD² + AD² (पाइथागोरस प्रमेय से)
= (BC – DC)² + AD²
= BC² + DC² – 2BC.CD + AD²
= (DC² + AD²) + BC² – 2BC.CD
= AC² + BC² – 2BC.CD(∵ समकोण ΔADC में AC² = AD² + CD²)
= AC² + BC² – 2BC x BC/4
= AC² + BC² – BC²/2
AB² = AC² + BC²/2
2AB² = 2AC² + BC² [इति सिद्धम]

प्रश्न 16.
किसी समबाहु त्रिभुज में, सिद्ध कीजिए कि उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक शीर्षलंब के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है।
हल :

प्रश्न 17.
सही उत्तर चुनकर उसका औचित्य दीजिए-ΔABC में, AB = 6√3 cm, AC = 12m और BC = 6cm है। कोण Bहै:
(A) 1200 (B) 60° (C) 90° (D) 45°
हल :
यहाँ पर ΔABC में दिया है
AB = 6√3 cm, AC = 12cm व BC = 6cm
अब (AB)² + (BC)² = (6√33 )² + (6)²
= 108+ 36 = 144 = (12)² = (AC)²
अतः ΔABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण B समकोण है अर्थात् ∠B = 90°
अतः सही उत्तर (C) है।

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