Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Exercise 6.2
Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Exercise 6.2
HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.2
यदि एक रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे, तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है। [आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का विलोम]
हल :
दिया है : ΔABC में एक रेखा l भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर इस प्रकार काटती है कि AD/DB=AE/EC
सिद्ध करना है : DE || BC
उपपत्ति: माना DE ∦ BC तब D से DE’ || BC खींचे।
अब, क्योंकि DE’ || BC.
हल :
दिया है : ΔABC में एक रेखा l भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर इस प्रकार काटती है कि AD/DB=AE/EC
सिद्ध करना है : DE || BC
उपपत्ति: माना DE ∦ BC तब D से DE’ || BC खींचे।
अब, क्योंकि DE’ || BC.
परंतु यह तभी संभव है जब E तथा E’ संपाती हों अर्थात् DE’ रेखा l हो जबकि DE’ || BC अतः
DE || BC [इति सिद्धम]
DE || BC [इति सिद्धम]
प्रश्न 1.
आकृति (i) और (ii) में, DE || BC है। (i) में EC और (ii) में AD ज्ञात कीजिए-
आकृति (i) और (ii) में, DE || BC है। (i) में EC और (ii) में AD ज्ञात कीजिए-
प्रश्न 2.
किसी APQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिंदु E और F स्थित हैं। निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या EF || QR है
(i) PE = 3.9cm, EQ = 3cm, PF = 3.6cm और FR = 2.4cm
(ii) PE = 4cm, QE = 4.5cm, PF = 8cm और RF = 9cm
(iii) PQ = 1.28cm, PR = 2.56cm, PE = 0.18cm 3 PF = 0.36cm
हल :
(i) दिया है, PE = 3.9cm, EQ = 3cm, PF = 3.6cm, FR = 2.4cm
अब,
किसी APQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिंदु E और F स्थित हैं। निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या EF || QR है
(i) PE = 3.9cm, EQ = 3cm, PF = 3.6cm और FR = 2.4cm
(ii) PE = 4cm, QE = 4.5cm, PF = 8cm और RF = 9cm
(iii) PQ = 1.28cm, PR = 2.56cm, PE = 0.18cm 3 PF = 0.36cm
हल :
(i) दिया है, PE = 3.9cm, EQ = 3cm, PF = 3.6cm, FR = 2.4cm
अब,
प्रश्न 7.
प्रमेय 6.1 (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है। (याद कीजिए कि आप इसे कक्षा IX में सिद्ध कर चुके हैं।)
प्रमेय 6.1 (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है। (याद कीजिए कि आप इसे कक्षा IX में सिद्ध कर चुके हैं।)
प्रश्न 8.
प्रमेय 6.2 (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम) का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है। (याद कीजिए कि आप कक्षा IX में ऐसा कर चुके हैं।)
प्रमेय 6.2 (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम) का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है। (याद कीजिए कि आप कक्षा IX में ऐसा कर चुके हैं।)
प्रश्न 10.
एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि 4 4 है। दर्शाइए कि ABCD समलंब है।
हल :
दिया है : चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC तथा BD परस्पर बिंदु ० पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि
सिद्ध करना है : ABCD एक समलंब है।
रचना : बिंदु 0 से OE || AB खींचो जो AD को E पर प्रतिच्छेद करे।
उपपत्ति :ΔABD में OE || AB (रचना द्वारा)
एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि 4 4 है। दर्शाइए कि ABCD समलंब है।
हल :
दिया है : चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC तथा BD परस्पर बिंदु ० पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि
सिद्ध करना है : ABCD एक समलंब है।
रचना : बिंदु 0 से OE || AB खींचो जो AD को E पर प्रतिच्छेद करे।
उपपत्ति :ΔABD में OE || AB (रचना द्वारा)
अतः आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम से,
OE || DC …………(iii)
परंतु OE || AB ……………(iv)
समीकरण (iii) व (iv) से,
DC || AB
इसलिए ABCD एक समलंब है।
OE || DC …………(iii)
परंतु OE || AB ……………(iv)
समीकरण (iii) व (iv) से,
DC || AB
इसलिए ABCD एक समलंब है।
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