Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Exercise 7.2

प्रश्न 1.
उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो बिंदुओं (-1, 7) और (4,-3) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
हल :

यहाँ पर,
x₁ = -1, y₁ = 7, x₂ = 4,y₂ = -3
m₁ = 2, m₂ = 3
विभाजन सूत्र से,

अतः बिंदु P के निर्देशांक = (1, 3) हैं।

प्रश्न 2.
बिंदुओं (4,-1) और (-2,-3) को जोड़ने वाले रेखाखंड को सम-त्रिभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल :

माना बिंदु P और Q रेखाखंड AB को 3 समान भागों में विभाजित करते हैं तो
AP = PQ = QB = 1 (मात्रक)
स्थिति I-प्रश्नानुसार बिंदु P रेखाखंड AB को 1 : 2 में विभाजित करता है।
यहाँ पर, x₁ = 4, y₁ = -1, x₂ = -2, y₂ = -3, m₁ = 1, m₂ = 2
विभाजन सूत्र से,

इस प्रकार P के निर्देशांक (2,-5/3) हैं।

स्थिति II-प्रश्नानुसार बिंदु Q रेखाखंड AB को 2 : 1 में विभाजित करता है।
यहाँ पर, x₁ = 4, y₁ = -1, x₂ = -2,Y₂ =-3, m₁ = 2, m₂ = 1


अतः Q के निर्देशांक (0, −7/3 है।

प्रश्न 3.
आपके स्कूल में खेल-कूद क्रियाकलाप आयोजित करने के लिए, एक आयताकार मैदान ABCD में, चूने से परस्पर 1 m की दूरी पर पंक्तियाँ बनाई गई हैं। AD के अनुदिश परस्पर 1 m की दूरी पर 100 गमले रखे गए हैं, जैसा कि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है। निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के 1/4 भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक हरा झंडा गाड़ देती है। प्रीत आठवीं पंक्ति में AD के 1/5 भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक लाल झंडा गाड़ देती है। दोनों झंडों के बीच की दूरी क्या है? यदि रश्मि को एक नीला झंडा इन दोनों झंडों को मिलाने वाले रेखाखंड पर ठीक आधी दूरी (बीच में) पर गाड़ना हो तो उसे अपना झंडा कहाँ गाड़ना चाहिए?

हल :
A को मूल बिंदु AB को x-अक्ष तथा AD को y-अक्ष मानने पर हरे झंडे के निर्देशांक (2,100/4) = (2, 25) होंगे।
तथा लाल झंडे के निर्देशांक (8,100/5) = (8, 20) होंगे।

अतः रश्मि को अपना नीला झंडा 5 वीं रेखा पर AB से 22.5 m की दूरी पर गाड़ना चाहिए।

प्रश्न 4.
बिंदुओं (-3, 10) और (6,-8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिंदु (-1, 6) किस अनुपात में विभाजित करता है। हल : माना वांछित अनुपात m₁ : m₂ है।
विभाजन सूत्र से,

प्रश्न 5.
वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिंदुओं A(1,-5) और B(-4, 5) को मिलाने वाला रेखाखंड x-अक्ष से विभाजित होता है। इस विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल :
माना P(x, 0); x-अक्ष पर स्थित है जो A(1,-5) और B(-4, 5) को k:1 में विभाजित करता है अर्थात् यहाँ पर,
x₁ = 1, y₁ = -5, x₂ = -4, y₂ = 5, m₁ = k, m₂ = 1
विभाजन सूत्र से,

अतः वांछित अनुपात = 1 : 1 तथा निर्देशांक = (-3/2, 0)

प्रश्न 6.
यदि बिंदु (1, 2), (4,y), (x, 6) और (3, 5), इसी क्रम में लेने पर, एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हो तो x और y ज्ञात कीजिए।
हल :
माना A(1,2), B(4,y) C(x, 6) तथा D(3, 5) समांतर चतुर्भुज ABCD के शीर्ष हैं। हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

परंतु प्रश्नानुसार, AC का मध्य-बिंदु = BD का मध्य-बिंदु
x+1/2=7/2 व y+5/2=4
x + 1 = 7 व y+5 = 8
x = 6 व y = 3

प्रश्न 7.
बिंदु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है जिसका केंद्र (2,-3) है तथा B के निर्देशांक (1, 4) हैं।
हल :

माना बिंदु A(x,y) व B(1, 4) वृत्त के व्यास AB के अंतःबिंदु हैं तथा केंद्र O(2, -3) रेखाखंड AB का मध्य-बिंदु है।
2 = x+1/2 व -3 = y+4/2
x + 1 = 4 व y+4 =-6
x = 4 – 1 व y = -6 – 4
x = 3 व y = -10
अतः A के निर्देशांक (3, -10)

प्रश्न 8.
यदि A और B क्रमशः (-2,-2) और (2,-4) हो तो बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि AP= और Pरेखाखंड AB पर स्थित हो।
हल :

यहाँ पर,
AP = 37AB
7AP = 3AB
7AP = 3(AP + PB)
34 7AP -3AP = 3PB
4AP = 3PB
APPB=34
AP : PB = 3:4
माना बिंदु P के निर्देशांक (x, y) हैं तो विभाजन सूत्र से,

प्रश्न 9.
बिंदुओं A(-2, 2) और B(2, 8) को जोड़ने वाले रेखाखंड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। .
हल :

माना बिंदु P, Q और R रेखाखंड AB को चार समान भागों में इस प्रकार विभाजित करते हैं तो
(i) AP : PB = 1 : 3
(ii) AQ : QB = 1:1
(iii) AR : RB = 3 : 1
बिंदु P(x₁,y₁) के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए अनुपात 1:3 लीजिए-

इसलिए P के निर्देशांक (-1, 7/2) हैं।
अब बिंदु Q(x₂,y₂) के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए अनुपात 1 : 1 लीजिए।

इसलिए Q के निर्देशांक (0, 5) हैं।
अब बिंदु R(x₃, y₃) के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए अनुपात 3 : 1 लीजिए-

इसलिए R के निर्देशांक (1, 13/2) हैं।
अतः रेखाखंड AB को चार समान भागों में विभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक (-1, 7/2 ) (0, 5) व (1, 13/2)

प्रश्न 10.
एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में (3, 0), (4, 5), (-1, 4) और (-2,-1) हैं। [संकेत : समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 (उसके विकर्णों का गुणनफल)]
हल :
माना समचतुर्भुज ABCD के शीर्ष A(3, 0), B(4, 5), C(-1, 4) व D(-2,-1) हैं।

अतः समचतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = 1/2 x AC x BD
1/2 x 4√2 x 6√2 वर्ग मात्रक
= 24 वर्ग मात्रक

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