Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Exercise 7.4

प्रश्न 2.
x और ” में एक संबंध ज्ञात कीजिए, यदि बिंदु (x,y), (1, 2) और (7,0) सरेखी हैं।
हल :
A(x,y), B(1,2) और (7,0) संरेखी बिंदु तभी होंगे जब इनसे बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा।
1/2[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
या 1/2[x(2 – 0)+1(0 – y)+7(y -2)] = 0
या 1/2[2x – 1(y – y) + 7y – 14] = 0
या 1/2[[2x + 6y – 14] = 0
x + 3y – 7 = 0

प्रश्न 3.
बिंदुओं (6,-6), (3,-7) और (3, 3) से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र ज्ञात कीजिए।
हल :

माना O(x, y) उस वृत्त का केंद्र है जो बिंदुओं
A (6-6), B (3-7) तथा C (3, 3), A (6,-6) से होकर जाता है, तो OA = OB = OC (वृत्त की त्रिज्याएँ)
(OA)² = (OB)² = (OC)²
(OA)² = (OB)²
(x-6)² + (y + 6)² = (x – 3)²+ (y + 7)²
x² + 36 – 12x + 12 + 36 + 12 = x² + y² + 9 – 6x + y² + 49 + 14y
x² + y² + 12y – 12x + 72 = x² + y² – 6x + 14y + 58
12y- 12x + 6x – 14y = 58 – 72
-6x – 2y= – 14
3x + y = 7 (दोनों ओर – 2 भाग करने पर)
इसी प्रकार (OB)² = (OC)²
(x -3)² + (y+ 7)² = (x – 3)² + (y – 3)²
या y² + 49 + 14y = y² + 9 – 6y
या 14y + 6y = 9-49
या 20y = – 40
या y = -40/20 = -2
y का मान समीकरण (i) में रखने पर
3x – 2 = 7
या 3x = 7 + 2
x = 9/3 = 3
अतः वृत्त का केंद्र 0 (3, -2) है।

प्रश्न 4.
किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-1, 2) और (3, 2) हैं। वर्ग के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए।
हल :

माना A(-1, 2) तथा C (3, 2) दिए गए वर्ग ABCD के दो सम्मुख शीर्ष हैं तथा B (x, y) एक अज्ञात शीर्ष है, तो
AB = BC
AB² = BC²
(x + 1)² + (y – 2)² = (x – 3)² + (y – 2)²
x² + 1 + 2x + y² + 4 – 4y = x² + 9 – 6x + y² + 4 – 4y
2x – 4y + 6x + 4y = 13 -5
8x = 8
x = 8/8 = 1

इसी प्रकार AB² + BC² = AC² [:: ZB = 90°]
(x + 1)² + (y – 2)² + (x – 3)² + (y – 2)² = (3 + 1)² + (2 – 2)²
x² + 1 + 2x + y² + 4 – 4y + x² + 9 – 6x + y² + 4 – 4y = 16
2x² + 2y² – 4x – 8y = 16 – 18
2x² + 2y² – 4x – 8y = -2
x² + y² – 2x – 4y = – 1 (दोनों ओर 2 से भाग करने पर)
x = 1 प्रतिस्थापित करने पर
(1)² + y² – 2 (1) – 4y = -1
1 + y² – 2 – 4y + 1 = 0
y² – 4y = 0
y(y – 4)= 0
y = 0 या y -4 = 0
y = 0 या y = 4
अतः वर्ग के अन्य शीर्ष (1,0) व (1, 4) हैं।

प्रश्न 5.
कृष्णानगर के एक सेकेंडरी स्कूल के कक्षा X के विद्यार्थियों को उनके बागवानी क्रियाकलाप के लिए, एक आयताकार भूखंड दिया गया है। गुलमोहर की पौध (sapling) को परस्पर 1 m की दूरी पर इस भूखंड की परिसीमा (boundary) पर लगाया जाता है। इस भूखंड के अंदर एक त्रिभुजाकार घास लगा हुआ लॉन (Lawn) है, जैसाकि संलग्नआकृति में दर्शाया गया है। विद्यार्थियों को भूखंड के शेष भाग में फूलों के पौधे के बीज बोने हैं।
(i) A को मूलबिंदु मानते हुए, त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि मूलबिंदु C हो, तो APQR के शीर्षों के निर्देशांक क्या होंगे? . साथ ही, उपरोक्त दोनों स्थितियों में, त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। आप क्या सोचते हैं?

हल :
(i) प्रश्नानुसार A मूलबिंदु तथा AD को x-अक्ष व AB को y-अक्ष मानते हुए त्रिभुज PQR के शीर्षों के निर्देशांक होंगे- P(4, 6), Q (3, 2) व R (6, 5)
यहाँ पर x₁ = 4, y₁ = 6, x₂ = 3, y₂ = 2, x₃ = 6, y₃ = 5
∆POR का क्षेत्रफल = 1/2[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= 1/2[4(2- 5)+3(5-6)+6(6-2)]
= 1/2[(4) (-3) + (3)(-1)+6 (4)]
= 1/2[-12 – 3 + 24]
= 1/2 x 9 = 4.5 वर्ग मात्रक

(ii) यदि C को मूलबिंदु तथा CB तथा CD को x-अक्ष व y-अक्ष मानें तो∆PQR के शीर्षों के निर्देशांक होंगे P(1, 2, 2), Q (13, 6) व R (10, 3)
यहाँ पर x₁ = 12, y₁ = 2, x₂ = 13, y₂ = 6, x₃ = 10,y₃ = 3
∆PQR का क्षेत्रफल =1/2[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= 1/2[12(6-3)+13(3-2)+10 (2-6)]
= 1/2[12 x 3 + 13 x 1 + 10(-4)]
= 1/2[36 + 13 -40]
= 1/2 x 9 = 9/2 = 4.5 वर्ग मात्रक
अतः दोनों अवस्थाओं में त्रिभुज का क्षेत्रफल समान है।

प्रश्न 6.
एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A(4, 6), B(1, 5) और C(7, 2) हैं। भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर प्रतिच्छेद करते हुए एक रेखा इस प्रकार खींची गई है कि AD/AB=AE/AC=1/4 है। ∆ADE का क्षेत्रफल परिकलित कीजिए और इसकी तुलना AABC के क्षेत्रफल से कीजिए।(प्रमेय 6.2 और प्रमेय 6.6 का स्मरण कीजिए।)
हल :

प्रश्नानुसार

अतः D और E, क्रमशः AB और AC को 1 : 3 के अनुपात में विभाजित करते हैं।
D के निर्देशांक

अब ΔADB के क्षेत्रफल के लिए
x₁ = 4, y₁ = 6, x₂ = 13/4, y₂ = 23/4 x₃ = 19/4 y₃ = 5
∴ ΔADE का क्षेत्रफल = 1/2[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]

ΔABC का क्षेत्रफल के लिए-
x₁ = 4, y₁ = 6, x₂ = 1, y₂ = 5 x₃ = 7 y₃ = 2
ΔABC का क्षेत्रफल = 1/2[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= 1/2 [4(5 – 2) + 1(2-6) + 7(6-5)]
= 1/2[12-4+7]
= 1/2 – 15 = 15/2 वर्ग मात्रक

ΔADE का क्षेत्रफल : ΔABC का क्षेत्रफल = 1 : 16

प्रश्न 7.
मान लीजिए A(4, 2), B(6, 5) और C(1, 4) एक त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं।
(i) A से होकर जाने वाली माध्यिका BC से D पर मिलती है। बिंदु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii)AD पर स्थित ऐसे बिंदु Pके निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि AP : PD = 2 : 1 हो।
(iii) माध्यिकाओं BE और CF पर ऐसे बिंदुओ Q और R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि BQ : OE = 2:1 हो और CR : RF = 2 : 1 हो।
(iv) आप क्या देखते हैं?
[नोट : वह बिंदु जो तीनों माध्यिकाओं में सार्वनिष्ठ हो, उस त्रिभुज का केंद्रक (centroid) कहलाता है और वह प्रत्येक माध्यिका को 2 :1 के अनुपात में विभाजित करता है।
(v) यदि A(x₁, y₁), B(x<sub<2, y₂) और C(x₃, y₃) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं, तो इस त्रिभुज के केंद्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल :
(i) क्योंकि A से होकर जाने वाली माध्यिका AD भुजा BC को D पर मिलती है इससे पता चलता है कि D, BC का मध्य-बिंदु है।

(ii) प्रश्नानुसार, AP : PD = 2 : 1

(iii) क्योंकि BE शीर्ष B से माध्यिका है इसलिए E, AC का मध्य-बिंदु होगा।


(iv) हम देखते हैं कि P, Q तथा R के निर्देशांक समान हैं। इसलिए P, Q तथा R एक ही बिंदु है। इसे त्रिभुज का केंद्रक कहते हैं।

प्रश्न 8.
बिंदुओं A(-1,-1), B(-1, 4), C(5, 4) और D(5,-1) से एक आयत ABCD बनता है। P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं। क्या चतुर्भुज PQRS एक वर्ग है? क्या यह एक आयत है? क्या यह एक समचतुर्भुज है? सकारण उत्तर दीजिए।
हल :
यहाँ पर आयत ABCD के शीर्ष A(-1,-1), B(-1, 4), C(5,4) तथा D(5,-1) हैं। क्योंकि P, Q, R तथा S क्रमशः AB, BC, CD तथा DA के मध्य-बिंदु हैं इसलिए इनके निर्देशांक होंगे-


अब क्योंकि PQ = QR = RS = SP
परंतु PR ≠ Qs
∴ PQRS एक समचतुर्भुज है।

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