Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 1 संख्या पद्धति Exercise 1.3

प्रश्न 3. निम्नलिखित को p/q के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ p और q पूर्णाक हैं तथा q ≠ 0 है-
(i) 0.6¯
(ii) 0.47¯
(iii) 0.001¯
हल :
(i) माना x = 0.6¯
⇒ x = 0.6666………
दोनों ओर 10 से गुणा करने पर
या 10x = 6.6666……….
या 10r = 6 + 0.6666………
या 10x = 6 + x
या 10x – x = 6
या 9x = 6
या x = 6/9=2/3
अतः 0.6¯ = 2/3 उत्तर

(ii) माना
x = 0.47¯
x = 0.47777……..
दोनों ओर 10 से गुणा करने पर
10x = 4.7777………
पुनः दोनों ओर 10 से गुणा करने पर
या 100x = 47.777……..
या 100x = 43 + 4.7777……..
या 100x = 43 + 10x
या 100x – 10x = 43
या 90x = 43
या x = 43/90
अतः 0.47¯ = 43/90 उत्तर

(iii) माना x = 0.001¯
x = 0.001001001……….
दोनों ओर 1000 से गुणा करने पर
या 1000x = 1.001001………
या 1000x = 1 + 0.001001001………
या 1000x = 1 + x
या 1000x – x = 1
या 999x = 1
या x = 1/999
अतः 0.001¯ = 1/999 उत्तर

प्रश्न 4. 0.99999… को p/q के रूप में व्यक्त कीजिए। क्या आप अपने उत्तर से आश्चर्यचकित हैं ? अपने अध्यापक और कक्षा के सहयोगियों के साथ उत्तर की सार्थकता पर चर्चा कीजिए।
हल :
माना x = 0.99999……..
दोनों ओर 10 से गुणा करने पर 10x = 9.99999…………
या 10x = 9 + 0.99999……….
या 10x = 9 + x
या 10x – x = 9
या 9x = 9
या x = 9/9 = 1
अतः 0.99999……. = 1/1 उत्तर

प्रश्न 5. 1/17 के दशमलव प्रसार में अंकों के पुनरावृत्ति खंड में अंकों की अधिकतम संख्या क्या हो सकती है ? अपने उत्तर की जाँच करने के लिए विभाजन-क्रिया कीजिए।
हल :
1/17 के दशमलव प्रसार में अंकों के पुनरावृत्ति खंड में अंकों की अधिकतम संख्या हो सकती है = 17 – 1 = 16

प्रश्न 6. p/q(q ≠ 0) के रूप की परिमेय संख्याओं के अनेक उदाहरण लीजिए, जहाँ Pऔर 4 पूर्णाक हैं, जिनका 1 के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है और जिसका सांत दशमलव निरूपण (प्रसार) है। क्या आप यह अनुमान लगा सकते हैं कि q को कौन-सा गुण अवश्य संतुष्ट करना चाहिए ?
हल :
p/q के रूप में परिमेय संख्याएँ = 3/4,3/5,1/2,1/4,1/10 हैं तथा इनका दशमलव निरूपण = 0.75, 0.6, 0.5, 0.25, 0.1 सांत है।
इससे पता चलता है कि जिन संख्याओं के हर में 2 या 5 अथवा दोनों के गुणनखंड हों तो उन्हें सात दशमलव के रूप में निरूपित कर सकते हैं।

प्रश्न 7. ऐसी तीन संख्याएँ लिखिए जिनके दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती हों।
हल:
पहली अनवसानी अनावर्ती संख्या = 0.01001000100001………
दूसरी अनवसानी अनावर्ती संख्या = 0.202002000200002………
तीसरी अनवसानी अनावर्ती संख्या = 0.003000300003………..

प्रश्न 8. परिमेय संख्याओं 5/7 और 9/11 के बीच की तीन अलग-अलग अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर,

I = 0.750750075000750000…….
II = 0.760760076000760000……..
III = 0.770770077000770000………

प्रश्न 9. बताइए कि निम्नलिखित संख्याओं में कौन-कौन-सी संख्याएँ परिमेय और कौन-कौन-सी संख्याएँ अपरिमेय हैं
(i) √23
(ii) √225
(iii) 0.3796
(iv) 7.478478……
(v) 1.101001000100001…….
हल :

अतः √23 = 4.795831523…….
क्योंकि यह दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती है।
∴ √23 एक अपरिमेय संख्या है। उत्तर

(ii)

अतः √225 = 15 जोकि एक परिमेय संख्या है।
इस प्रकार √225√ एक परिमेय संख्या है। उत्तर

(iii) 0.3796
क्योंकि यह दशमलव प्रसार सांत है। इसलिए 0.3796 एक परिमेय संख्या है। उत्तर

(iv) 7.478478………
क्योंकि यह दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है। इसलिए 7.478478…….. एक परिमेय संख्या है। उत्तर

(v) 1.101001000100001……
क्योंकि यह दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती है। इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है। उत्तर

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