Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Exercise 10.5

प्रश्न 1. आकृति में, केंद्र O वाले एक वृत्त पर तीन बिंदु A, B और C इस प्रकार हैं कि ∠BOC = 30° तथा ∠AOB = 60° है। यदि चाप ABC के अतिरिक्त वृत्त पर D एक बिंदु है, तो ∠ADC ज्ञात कीजिए।

हल :
प्रश्नानुसार,
∠BOC = 30° …..(i)
∠AOB = 60° ….(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर,
∠AOB + ∠BOC = 60° + 30°
∠AOC = 90°
चाप AC केंद्र पर ∠AOC तथा शेष वृत्त पर ∠ADC बनाती है।
∴ ∠AOC = 2∠ADC
90° = 2∠ADC
∠ADC = 90°/2
∠ADC = 45° उत्तर

प्रश्न 2. किसी वृत्त की एक जीवा वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। जीवा द्वारा लघु चाप के किसी बिंदु पर अंतरित कोण ज्ञात कीजिए तथा दीर्घ चाप के किसी बिंदु पर भी अंतरित कोण ज्ञात कीजिए।
हल :

माना PQ, एक जीवा है। OP तथा OQ को मिलाया।
दिया है : PQ = OP = OQ [∵ जीवा = त्रिज्या]
∴ ΔOPQ एक समबाहु त्रिभुज है।
∠POQ = 60°
∴ क्योंकि चाप PBQ वृत्त के केंद्र पर परावर्तन ∠POQ = 360° – 60° = 300° बनाती है तथा ∠PBQ वृत्त के लघु चाप पर बनाती है।
∠PBQ = 1/2 × परावर्तन ∠POQ
= 1/2 × 300° = 150°
इसी प्रकार, ∠PAQ = 1/2(∠POQ) [∵ वृत्त के शेष भाग पर बना कोण केंद्र पर बने कोण का आधा होता है]
∴ = 1/2 × 60° = 30°
अतः जीवा द्वारा लघु चाप पर बनाया गया कोण 150° तथा दीर्घ चाप पर बनाया गया कोण = 30°

प्रश्न 3. आकृति में, ∠PQR = 100° है, जहां P,Qतथा R, केंद्र O वाले एक वृत्त पर स्थित बिंदु हैं। ∠OPR ज्ञात कीजिए।

हल :
क्योंकि एक चाप द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण, उसी चाप द्वारा बनाई गई शेष परिधि के बिंदु पर कोण का दोगुना होता है।
∴ परावर्तन ∠POR = 2∠PQR
या परावर्तन ∠POR = 2 × 100° = 200°
∠POR = 360° – 200° = 160°
ΔOPR में,
या OP = OR [एक ही वृत्त की त्रिज्याएं]
∠OPR = ∠ORP [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]
तथा ∠POR = 160° [प्रमाणित]
अतः ∠OPR = ∠ORP = 1/2(180° – 160°)
= 1/2 × 20° = 10°
∠OPR = 10° उत्तर

प्रश्न 4. आकृति में, ∠ABC = 69° और ∠ACB = 31° हो, तो ∠BDC ज्ञात कीजिए। [B.S.E.H. March, 2020]

हल :
ΔABC में,
∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°
∠A + 69° + 31° = 180° (∵ ∠ABC = 69° व ∠ACB = 319)
या ∠A = 180° – 69° – 31° = 180° – 100° = 80°
परंतु ∠A = ∠BDC [एक ही वृत्तखंड में बने कोण]
अतः
∠BDC = 80° उत्तर

प्रश्न 5. आकृति में, एक वृत्त पर A, B, C और D चार बिंदु हैं। AC और BD एक बिंद्र E पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि ∠BEC = 130° तथा ∠ECD = 20° है। ∠BAC ज्ञात कीजिए।

हल:
∠BEC + ∠DEC = 180° (रैखिक युग्म]
⇒ 130° + ∠DEC = 180° [∵ ∠BEC = 130°]
या ∠DEC = 180° – 130°
या ∠DEC = 50°
अब ΔDEC में,
∠DEC + ∠DCE + ∠D = 180°
या 50° + 20° + ∠D = 180° [त्रिभुज के कोणों का योग]
या ∠D = 180° – 50° – 200
∠D = 180° – 70° = 110°
परंतु ∠BAC = ∠D [एक ही वृत्तखंड में बने कोण]
अतः ∠BAC = 110° उत्तर

प्रश्न 6. ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसके विकर्ण एक बिंदु E पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि ∠DBC = 70° और ∠BAC = 30° हो, तो ∠BCD ज्ञात कीजिए। पुनः यदि AB = BC हो, तो ∠ECD ज्ञात कीजिए।
हल :

∠BDC = ∠BAC [एक ही वृत्तखंड में बने कोण]
परंतु ∠BAC = 30°
∠BDC = 300
अब ΔBCD में,
या ∠BDC + ∠DBC + ∠BCD = 180° [त्रिभुज के कोणों का योग]
या 30° + 70° + ∠BCD = 180° [∵ ∠DBC = 70°, ∠BDC = 30°]
∠BCD = 180° – 30° – 70° = 180° – 100° = 80°
यदि AB = BC, तब ∠BCA = ∠BAC = 30° [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण]
अब ∠ECD = ∠BCD – ∠BCE
= 80° – 30° = 50°
अतः ∠BCD = 80° व ∠ECD = 50° उत्तर

प्रश्न 7. यदि एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण उसके शीर्षों से होकर जाने वाले वृत्त के व्यास हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह एक आयत है।
हल :

दिया है : एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD जिसमें विकर्ण AC और BD एक ही वृत्त के व्यास हैं।
सिद्ध करना है : चतुर्भुज ABCD एक आयत है।
प्रमाण : ∵ एक वृत्त की सभी त्रिज्याएं बराबर होती हैं।
∴ OA = OB = OC = OD
या OA = OC = 1/2 AC
OB = OD = 1/2 BD
या AC = BD
∴ चक्रीय चतुर्भुज ABCD के विकर्ण बराबर हैं तथा एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
अतः चक्रीय चतुर्भुज ABCD एक आयत है। [इति सिद्धम]

प्रश्न 8. यदि एक समलंब की असमांतर भुजाएं बराबर हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह चक्रीय है।
हल :

दिया है : एक समलंब ABCD में AB || CD तथा AD = BC.
सिद्ध करना है : समलंब ABCD चक्रीय है।
रचना : DL ⊥ AB व CM ⊥ AB खींचो।
प्रमाण : ΔADL व ABCM में,
AD = BC [दिया है]
DL = CM [दिया है]
∠DLA = ∠CMB [प्रत्येक 90°]
∴ ΔADL ≅ ΔBCM [समकोण-कर्ण-भुजा सर्वांगसमता]
⇒ ∠A = ∠B [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
∵ AB || CD [दिया है]
∠ADC + ∠A = 180° [तियर्क रेखा के एक ओर बने कोण]
या ∠ADC + ∠B = 180° [∵ ∠A = ∠B]
अतः ABCD एक चक्रीय समलंब है।
[इति सिद्धम]

प्रश्न 9. दो वृत्त दो बिंदुओं B और C पर प्रतिच्छेद करते हैं। B से जाने वाले दो रेखाखंड ABD और PBQ वृत्तों को A, D और P, Q पर क्रमशः प्रतिच्छेद करते हुए खींचे गए हैं। (आकृति अनुसार)। सिद्ध कीजिए कि ∠ACP = ∠QCD है।

हल :
दिया है : दो वृत्त दो बिंदुओं B व C पर प्रतिच्छेद करते हैं। B से जाने वाले दो रेखाखंड ABD व PBQ वृत्तों को क्रमशः A,D और P, Q पर प्रतिच्छेद करते हैं।
सिद्ध करना है : ∠ACP = ∠QCD
प्रमाण : क्योंकि एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं।
∴ ∠ACP = ∠ABP ……(i)
∠QCD = ∠QBD ……(ii)
∠ABP = ∠QBD ……(iii)
[शीर्षाभिमुख कोण]
∴ समीकरण (i), (ii) एवं (iii) से,
∠ACP = ∠QCD [इति सिद्धम]

प्रश्न 10. यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को व्यास मानकर वृत्त खींचे जाएं, तो सिद्ध कीजिए कि इन वृत्तों का प्रतिच्छेद बिंदु तीसरी भुजा पर स्थित है।
हल :

दिया है : ΔABC की भुजाओं AB तथा AC को व्यास लेते हुए दो वृत्त बनाए गए हैं। वृत्त एक-दूसरे को A तथा D बिंदुओं पर प्रतिच्छेदित करते हैं।
सिद्ध करना है : D, BC पर स्थित है।
रचना : A तथा D को मिलाओ।
प्रमाण : ∵ AB तथा AC दो वृत्तों के व्यास हैं। [दिया है]
∴ ∠ADB = 90° [अर्द्धवृत्त में बना कोण]
तथा ∠ADC = 90° [अर्द्धवृत्त में बना कोण]
जोड़ने पर,
∠ADB + ∠ADC = 90° + 90° = 180° या.
या BDC एक सीधी रेखा है।
अतः D, BC पर स्थित है। [इति सिद्धम]

प्रश्न 11. उभयनिष्ठ कर्ण AC वाले दो समकोण त्रिभुज ABC और ADC हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠CAD = ∠CBD है।
हल :

दिया है : कर्ण AC वाले दो समकोण त्रिभुज ABC और ADC हैं अर्थात ∠B = ∠D = 90°
सिद्ध करना है : ∠CAD = ∠CBD.
रचना : बिंदु B और D को मिलाओ। प्रमाण:
∠ABC = 90° …(i) [दिया है]
∠ADC = 90° …(ii) [दिया है]
समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर
∠ABC + ∠ADC = 180°
अतः ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
∴ ∠CAD = ∠CBD [एक ही वृत्तखंड में बने कोण]
[इति सिद्धम]

प्रश्न 12. सिद्ध कीजिए कि चक्रीय समांतर चतुर्भुज आयत होता है।
हल :

दिया है : एक चक्रीय समांतर चतुर्भुज ABCD है।
सिद्ध करना है : ABCD एक आयत है।
प्रमाण : क्योंकि ABCD एक चक्रीय समांतर चतुर्भुज है।
∴ ∠A + ∠C = 180° [चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण]
∠A = ∠C (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण]
∴ ∠A = ∠C = 90°
यदि किसी समांतर चतुर्भुज का एक कोण 90° हो जाए तो वह आयत होता है।
∴ चक्रीय समांतर चतुर्भुज ABCD एक आयत है। [इति सिद्धम]