Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Exercise 10.6

प्रश्न 1. सिद्ध कीजिए कि दो प्रतिच्छेद करते हुए वृत्तों की केंद्रों की रेखा दोनों प्रतिच्छेद बिंदुओं पर समान कोण अंतरित करती है।
हल :
दिया है : दो वृत्त जिनके केंद्र A तथा B हैं। एक-दूसरे को C तथा D बिंदुओं पर काटते हैं।
सिद्ध करना है : ∠ACB = ∠ADB.

रचना : AC, AD, BD व BC को मिलाओ।
प्रमाण : ΔACB और ΔADB में,
AC = AD [एक ही वृत्त की त्रिज्याएं]
BC = BD [एक ही वृत्त की त्रिज्याएं]
AB = AB [उभयनिष्ठ]
∴ ΔACB ≅ ΔADB [भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता]
⇒ ∠ACB = ∠ADB [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
[इति सिद्धम]

प्रश्न 2. एक वृत्त की 5 सें०मी० तथा 11 सें०मी० लंबी दो जीवाएं AB और CD समांतर हैं और केंद्र की विपरीत दिशा में स्थित हैं। यदि AB और CD के बीच की दूरी 6 सें०मी० हो, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल :
माना O दिए गए वृत्त का केंद्र है, जिसकी त्रिज्या r सें०मी० है OP ⊥ AB तथा OQ ⊥ CD खींचिए।
क्योंकि OP ⊥ AB, OQ ⊥ CD तथा AB || CD है।
∴ P, O व Q सरेख हैं।

अब AB = 5 सें०मी०
⇒ AP = 5/2 = 2.5 सें०मी०
CD = 11 सें०मी०
⇒ CQ = 11/2 = 5.5 सें०मी०
माना OP = x सें०मी० तो OQ = (6 – x) सें०मी० [∵ PQ = 6 सें०मी०]
OA = OC = r सें०मी०
समकोण ΔOAP व ΔOCQ में,
OA² = OP² + AP² तथा OC² = OQ² + CQ²
या r² = x² + (2.5)² …….(i)
तथा r² = (6 – x)² + (5.5)²
⇒ x² + (2.5)² = (6 – x) + (5.5)²
या x² + 6.25 = 36 – 12 x + x² + 30.25
या 12x = 60 या x = 5
समीकरण (i) में x = 5 रखने पर,
r² = (5)² + (2.5)² = 25 + 6.25 = 31.25
या r = √31.25 = 5.6 सें०मी० (लगभग)
अतः वृत्त की त्रिज्या = 5.6 सें०मी० (लगभग) उत्तर

प्रश्न 3. किसी वृत्त की दो समांतर जीवाओं की लंबाइयां 6 सें०मी० तथा 8 सें०मी० हैं। यदि छोटी जीवा केंद्र से 4 सें०मी० की दूरी पर हो, तो दूसरी जीवा केंद्र से कितनी दूर है ?
हल :
माना O केंद्र वाले वृत्त की AB तथा CD दो समांतर जीवाएं इस प्रकार हैं कि AB = 6 सें०मी० व CD = 8 सें०मी०।
माना वृत्त की त्रिज्या = r सें०मी०
OP ⊥ AB व OQ ⊥ CD डालो।
क्योंकि AB || CD तथा OP ⊥ AB, OQ ⊥ CD इसलिए बिंदु O, Q तथा P सरेख है।
प्रश्नानुसार, OP = 4 सें०मी० तथा P, Q क्रमशः AB तथा CD के मध्य-बिंदु हैं।

∴ AP = 1/2 AB = 3 सें०मी०
तथा CQ = 1/2 CD = 4 सें०मी०
समकोण ΔOAP में,
OA² = OP² + AP²
या r² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
या r = 5 सें०मी०
समकोण ΔOCQ में,
OC² = OQ² + CQ²
⇒ r² = OQ² + (4)²
(5)² = OQ² + (4)²
या (5)² – (4)² = OQ²
या OQ² = 25 – 16 = 9
या OQ = √9 = 3 सें०मी०
अतः दूसरी जीवा की केंद्र से दूरी = 3 सें०मी० उत्तर

प्रश्न 4. मान लीजिए कि कोण ABC का शीर्ष एक वृत्त के बाहर स्थित है और कोण की भुजाएं वृत्त से बराबर जीवाएं AD और CE काटती हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠ABC जीवाओं AC तथा DE द्वारा केंद्र पर अंतरित कोणों के अंतर का आधा है।
हल :
दिया है : ∠ABC का शीर्ष 0 केंद्र वाले वृत्त के बाहर स्थित है। कोण की भुजाएं वृत्त से बराबर जीवाएं AD व CE काटती हैं अर्थात AD = CE.

सिद्ध करना है : ∠ABC = 1/2(∠AOC – ∠DOE)
रचना : DC को मिलाओ।
प्रमाण : ΔBDC में,
बाह्य ∠ADC = अंतःसम्मुख (∠DBC + ∠DCB) …….(i)
परंतु किसी चाप द्वारा केंद्र पर बना कोण शेष वृत्त पर बने कोण से दोगुना होता है।
∠ADC = 1/2∠AOC …..(ii)
तथा ∠DCB = 1/2∠DOE …..(iii)
समीकरण (i), (ii) व (iii) से
1/2∠AOC = ∠DBC + 1/2∠DOE
1/2∠AOC – 1/2∠DOE = ∠ABC [∵∠DBC व ∠ABC एक ही हैं]
∴ ∠ABC = 1/2[∠AOC – ∠DOE] [इति सिद्धम]

प्रश्न 5. सिद्ध कीजिए कि किसी समचतुर्भुज की किसी भुजा को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त उसके विकर्णों के प्रतिच्छेद बिंदु से होकर जाता है।
हल :
दिया है : ABCD एक समचतुर्भुज है। AC व BD इसके विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं।
सिद्ध करना है : AB को व्यास मानकर बनाया गया वृत्त O से होकर गुजरेगा।
रचना : O से PQ || AD तथा EF || AB खींचो।

प्रमाण : AB = DC [समचतुर्भुज की भुजाएं।
⇒ 1/2 AB = 1/2 DC
⇒ AQ = DP [∵ Q तथा P, AB तथा CD के मध्य-बिंदु हैं]
इसी प्रकार से, AE = OQ
या AQ = OQ = QB
या Q को केंद्र लेते हुए बनाया गया वृत्त A, O तथा B से होकर गुजरता है और इसकी त्रिज्या AQ है।
इसीलिए प्राप्त किया गया वृत्त ही अभीष्ट वृत्त है। [इति सिद्धम]

प्रश्न 6. ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। A, B और C से जाने वाला वृत्त CD (यदि आवश्यक हो तो बढ़ाकर) को E पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि AE = AD है।
हल :
दिया है : ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, जिसके शीर्षों A, B व C से cl होकर एक वृत्त जाता है जो भुजा CD को E पर प्रतिच्छेद करता है।
सिद्ध करना है : AE = AD.
रचना : AE को मिलाओ।
प्रमाण : क्योंकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

∴ ∠ABC = ∠ADC …..(i)
परंतु ∠AED = ∠ABC ……(ii)
[∵ चक्रीय चतुर्भुज का बहिष्कोण अंतःभिमुख कोण के बराबर होता है]
समीकरण (i) व (ii) की तुलना से,
∠AED = ∠ADC
⇒ AE = AD [समान कोणों की सम्मुख भुजाएं]
[इति सिद्धम]

प्रश्न 7. AC और BD एक वृत्त की जीवाएं हैं जो परस्पर समद्विभाजित करती हैं। सिद्ध कीजिए (i) AC और BD व्यास हैं, (i) ABCD एक आयत है।
हल :
दिया है : एक वृत्त की दो जीवाएं AC और BD परस्पर बिंदु E पर समद्विभाजित करती हैं। अर्थात
AE = EC व BE = ED
सिद्ध करना है : (i) AC व BD वृत्त के व्यास हैं।
(ii) ABCD एक आयत है।

प्रमाण : (i) ΔABE व ΔCDE में,
AE = EC [दिया है]
BE = ED [दिया है]
∠1 = ∠2 [शीर्षाभिमुख कोण]
∴ ΔABE ≅ ΔCDE [भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता से]
⇒ AB = CD [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]

अतः जीवा BD वृत्त को दो समान भागों में बांटती है।
⇒ BD वृत्त का व्यास है।
इसी प्रकार AC भी वृत्त का व्यास है। [इति सिद्धम]
(ii) ΔABE ≅ ΔCDE [प्रमाणित]
∴ ∠3 = ∠4 [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
परंतु ये एकांतर कोण हैं।
∴ AB || CD
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं AD || BC
∴ ABCD एक || चतुर्भुज है।
परंतु ∠BAD = 90° [अर्द्धवृत्त में बना कोण]
∴ ABCD एक आयत है। [इति सिद्धम]

प्रश्न 8. एक त्रिभुज ABC के कोणों A, B और C के समद्विभाजक इसके परिवृत्त को क्रमशः D, E और F पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज DEF के कोण 90° – 1/2 A, 90° – 1/2 B तथा 90° – 1/2 C हैं।
हल :
दिया है : ΔABC के कोणों A, B तथा C के समद्विभाजक क्रमशः AD, BE व CF हैं, जो त्रिभुज के परिवृत्त को क्रमशः D, E व F पर प्रतिच्छेद करते हैं।

प्रश्न 9. दो सर्वांगसम वृत्त परस्पर बिंदुओं A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं। A से होकर कोई रेखाखंड PAQ इस प्रकार खींचा गया है कि Pऔर Q दोनों वृत्तों पर स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि BP = BQ है।
हल :

दिया है : दो सर्वांगसम वृत्त परस्पर बिंदुओं A व B पर प्रतिच्छेद करते हैं। A से खींचा गया रेखाखंड PAQ इस प्रकार है कि Pव Q बिंदु दोनों वृत्तों पर हैं।
सिद्ध करना है : BP = BQ.
प्रमाण : क्योंकि दोनों वृत्त सर्वांगसम हैं तथा AB इनकी उभयनिष्ठ जीवा है।

प्रश्न 10. किसी त्रिभुज ABC में, यदि ∠A का समद्विभाजक तथा BC का लंब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि वे ΔABC के परिवृत्त पर प्रतिच्छेद करेंगे।
हल :

दिया है : O केंद्र वाले एक वृत्त के अंदर ABC एक त्रिभुज है। E, वृत्त पर एक बिंदु इस प्रकार है कि AE, ∠BAC का अभ्यंतर कोण समद्विभाजक है तथा D, BC का मध्य-बिंदु है।
सिद्ध करना है : DE, BC का लंब समद्विभाजक है।
अर्थात ∠BDE = ∠CDE = 90°
रचना : BE व EC को मिलाओ।
प्रमाण : ΔBDE तथा ΔCDE में
BE = CE [∵ ∠BAE = ∠CAE]
BD = CD [दिया है]
DE = DE [उभयनिष्ठ]
∴ ΔBDE ≅ ΔCDE [भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता]
⇒ ∠BDE = ∠CDE [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत कोण]
∠BDE + ∠CDE = 180° [रैखिक युग्म]
∠BDE = ∠CDE = 90°
अतः DE, BC का लंब समद्विभाजक है।
[इति सिद्धम]