Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 5 युक्लिड के ज्यामिति का परिचय Exercise 5.2

प्रश्न 1. आप यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा को किस प्रकार लिखेंगे ताकि वह सरलता से समझी जा सके ?
हल :
यूक्लिड की अमिधारणा 5 : यदि एक सीधी रेखा दो सीधी रेखाओं पर गिर कर अपने एक ही ओर दो अंतः कोण (interior angles) इस प्रकार बनाए कि इन दोनों कोणों का योग मिल कर दो समकोणों से कम हो, तो वे दोनों सीधी रेखाएँ अनिश्चित रूप से बढ़ाए जाने पर उसी ओर मिलती हैं जिस ओर यह योग दो समकोणों से कम होता है।
इन अभिगृहीत को 2 तथ्यों में निम्नलिखित प्रकार से समझा जा सकता है
(i) P से गुजरती हुई एक रेखा है जो कि l के समांतर है।
(ii) ऐसी केवल एक ही रेखा है।

प्रश्न 2. क्या क्लिा की पाँचीं अमिधारणा से समांतर रेखाओं के अस्तित्व का औचित्य निर्धारित होता है ? स्पष्ट कीजिए।
हल :
यदि एक सीधी रेखा l, दो सीधी रेखाओं m तथा n पर इस प्रकार मिलती हैं कि आंतरिक कोणों का योग दो समकोण हो तो, l भुजा के एक ओर हो तो यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा के अनुसार रेखाएँ l के इस ओर नहीं मिलेंगी।

हम जानते हैं कि l के दूसरी ओर आंतरिक कोणों का योग भी दो समकोण होगा। इसलिए वे रेखाएँ इस ओर भी नहीं मिलेंगी। अतः ये कभी भी नहीं मिलेंगी। इसलिए ये समांतर हैं, जो समांतर रेखाओं के अस्तित्व का औचित्य निर्धारित करती हैं।