Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 रेखाएँ और कोण Exercise 6.2

Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 रेखाएँ और कोण Exercise 6.2

प्रश्न 1. आकृति में, x और y के मान ज्ञात कीजिए और फिर दर्शाइए कि AB || CD है।

हल :
यहाँ पर PQ एक रेखा है।

∴ ∠PRA + ∠ARQ = 180° [रैखिक युग्म]
50° + x = 180°
या x = 180° – 50° = 130° उत्तर …………..(i)
अब CD और PQ दो प्रतिच्छेद रेखाएँ S पर प्रतिच्छेद करती हैं।
∴ ∠QSC = ∠DSR [शीर्षाभिमुख कोण]
⇒ 130° = y
या y = 130° उत्तर ………………(ii)
समीकरण (i) व (ii) से
∠x = ∠y [प्रत्येक 130°]
परंतु ये एकांतर कोण हैं
∴ AB || CD [इति सिद्धम]

प्रश्न 2. आकृति में, यदि AB || CD, CD || EF और y : z = 3 : 7 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए। 

हल :
क्योंकि CD || EF तथा तिर्यक रेखा PQ उनको क्रमशः S तथा T पर काटती है।

∴ ∠CST = ∠STF [एकांतर कोण]
या 180°- y = z [∵ y + ∠CST = 180° रैखिक युग्म]
या y + z = 180°
परंतु y : z = 3 : 7
अनुपाती योग = 3 + 7 = 10
∴ ∠y = 3/10 × 180° = 54°
∠z = 7/10 × 180° = 126°
अब क्योंकि AB || CD तथा तिर्यक रेखा PQ उनको क्रमशः R तथा S पर काटती है।
∴ ∠ARS + ∠RSC = 180°
[∵ अभ्यंतर कोण संपूरक होते हैं।]
या x + y = 180°
या x = 180° – y = 180° – 54° = 126°
[∵ y = 54°]
अतः x = 126° उत्तर

प्रश्न 3. आकृति में, यदि AB || CD, EF ⊥ CD और ∠GED = 126° है, तो ∠AGE, ∠GEF और ∠FGE जात कीजिए।

हल :
क्योंकि AB || CD तथा तिर्यक रेखा GE इन्हें क्रमशः G तथा E पर प्रतिच्छेद करती है ∠AGE = ∠GED [एकांतर कोण]
परंतु ∠GED = 126°
∴ ∠AGE = 126°
आकृति अनुसार
∠GEF = ∠GED – ∠FED
= 126°- 90° = 36°
या ∠FGE = ∠GEC [एकांतर कोण]
⇒ ∠FGE = 90° – ∠GEF [त्रिभुज GEF का तीसरा कोण]
= 90° – 36° = 54°
अतः
∠AGE = 126°, ∠GEF = 36°
∠FGE = 54° उत्तर

प्रश्न 4. आकृति में, यदि PQ || ST, ∠PQR = 110° और ∠RST = 130° है, तो ∠QRS ज्ञात कीजिए।

हल :
यहाँ पर PQ को M बिंदु पर काटने के लिए SR तक बढ़ाया।

अब PM || ST तथा तिर्यक रेखा SM क्रमशः उनको M तथा S पर काटती है।
∠SMQ = ∠TSM [एकांतर कोण]
परंतु ∠TSM = 130°
अतः
∠SMQ = 130°
⇒ ∠QMR = 180° – 130° = 50°
[∵ SR एक रेखा है]
क्योंकि किरण RQ, PM को Q पर काटती है।
∴ ∠PQR + ∠RQM = 180°
या 110° + ∠RQM = 180°
या ∠RQM = 180° – 110° = 70°
अब ΔQRM में,
∠QRM + ∠RQM + ∠QMR = 180°
या ∠QRS + 70° + 50° = 180°
या ∠QRS + 120° = 180°
या ∠QRS = 180° – 120° = 60° उत्तर

प्रश्न 5. आकृति में, यदि AB || CD, ∠ARQ = 50° और ∠PRD = 127° है, तो x और y ज्ञात कीजिए।

हल :
आकृति अनुसार AB || CD तथा तिर्यक रेखा PQ इनको क्रमशः P और Q पर प्रतिच्छेद करती है।
∠PQR = ∠APQ [एकांतर कोण]
परंतु ∠PQR = x व ∠APQ = 50°
∴ x = 50°
अब क्योंकि AB || CD तथा तिर्यक रेखा PR इनको क्रमशः P तथा R पर प्रतिच्छेद करती है।
∴ ∠APR = ∠PRD [एकांतर कोण]
या ∠APQ + ∠QPR = 127° [∵ ∠PRD = 127°]
या 50° + y = 127° [∵ ∠APQ = 50°]
या y = 127° – 50° = 77°
इस प्रकार x = 50° तथा y = 77° उत्तर

प्रश्न 6. आकृति में, PQ और RS दो दर्पण हैं जो एक-दूसरे के समांतर रखे गए हैं। एक आपतन किरण (incident ray) AB, दर्पण PQ से B पर टकराती है और परावर्तित किरण (reflected ray) पथ BC पर चलकर दर्पण Rs से C पर टकराती है तथा पुनः CD के अनुदिश परावर्तित हो जाती है। सिद्ध कीजिए कि AB || CD है।

हल :
यहाँ पर दो समतल दर्पण PQ तथा RS एक-दूसरे के समांतर रखे गए हैं।
∴ PQ || RS [दिया है।

दी गई आपतित किरण AB परावर्तित होने के बाद पथ BC और CD से होकर जाती है।
BN तथा CM समतल दर्पण PQ तथा Rs के अभिलंब खींचे गए हैं।
क्योंकि BN ⊥ PQ, CM ⊥ RS तथा PQ || RS
⇒ BN || CM
इसलिए BN तथा CM दो समांतर रेखाएँ हैं तथा तिर्यक रेखा BC इन्हें क्रमशः B तथा C पर काटती है।
∴ ∠2 = ∠3 [एकांतर कोण]
परंतु परावर्तन के नियम से
∠1 = ∠2 और ∠3 = ∠4
⇒ ∠1 + ∠2 = ∠2 + ∠2
और ∠3 + ∠3 = ∠3 + ∠4
⇒ ∠1 + ∠2 = 2∠2
और ∠3 + ∠4 = 2∠3
परंतु ∠2 = ∠3 या 2∠2 = 2∠3
⇒ ∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠4
⇒ ∠ABC = ∠BCD
परंतु ये एकांतर अंतः कोण हैं।
इसलिए AB || CD