Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 रेखाएँ और कोण Exercise 6.3

प्रश्न 1. आकृति में, ΔPQR की भुजाओं QP और RQ को क्रमशः बिंदुओं 5 और T तक बढ़ाया गया है। यदि ∠SPR = 135° है और ∠PQT = 110° है, तो ∠PRQ ज्ञात कीजिए।

हल :
क्योंकि QS एक रेखा है।
∴ ∠QPR + ∠SPR = 180° [रैखिक युग्म]
या ∠QPR + 135° = 180°
या ∠QPR = 180° – 135° = 45°
अब ∠TQP = ∠QPR + ∠PRQ [∵ बाह्य कोण, अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है]
या 110° = 45° + ∠PRQ
या ∠PRQ = 110° – 45° = 65°
अतः ∠PRQ = 65° उत्तर

प्रश्न 2. आकृति में, ∠X = 62° और ∠XYZ = 54° है। यदि YO और ZO क्रमशः ΔXYZ के ∠XYZ और ∠XZY के समद्विभाजक हैं, तो ∠OZY और ∠YOZ ज्ञात कीजिए।

हल :
ΔXYZ में,
∠YXZ + ∠XYZ + ∠XZY = 180°
या 62° + 54° + ∠XZY = 180°
[∵ ∠YXZ = 62°, ∠XYZ = 54°]
या ∠XZY = 180° – 62° – 54° = 180° – 116° = 64°
क्योंकि YO तथा ZO, ∠XYZ तथा ∠XZY के समद्विभाजक हैं, इसलिए
∠OYZ = 1/2 × ∠XYZ = 1/2 × 54° = 27°
तथा
∠OZY = 1/2 × ∠XZY = 1/2 × 64° = 32°
अब ΔOYZ में,
∠YOZ + ∠OYZ + ∠OZY = 180° .
या ∠YOZ + 27° + 32° = 180°
या ∠YOZ + 59° = 180°
या ∠YOZ = 180° – 59° = 121°
अतः ∠OZY = 32° व ∠YOZ = 121° उत्तर

प्रश्न 3. आकृति में, यदि AB || DE, ∠BAC = 35° और ∠CDE = 53° है, तो ∠DCE ज्ञात कीजिए।

हल :
आकृति में, AB || DE तथा तिर्यक रेखा AE इन्हें क्रमशः A तथा E पर काटती है।
∴ ∠DEA = ∠BAE [एकांतर कोण]
परंतु ∠BAE = 35°
⇒ ∠DEA = 35° या ∠DEC = 35°
ΔDEC में,
∠DCE + ∠DEC + ∠CDE = 180°
या ∠DCE + 35° + 53° = 180°
⇒ ∠DCE = 180° – 35° – 53° = 180° – 88° = 92°
अतः ∠DCE = 92° उत्तर

प्रश्न 4. आकृति में, यदि रेखाएँ PQ और Rs बिंदु T पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती हैं कि ∠PRT = 40°, ∠RPT = 95° और ∠TSQ = 75° है, तो ∠SQT ज्ञात कीजिए।

हल :
ΔPRT में,
∠PRT + ∠RTP + ∠TPR = 180°
या 40° + ∠RTP + 95° = 180°
⇒ ∠RTP = 180° – 40° – 95° = 180° – 135° = 45°
परंतु ∠STQ = ∠RTP [शीर्षाभिमुख कोण]
⇒ ∠STQ = 45°

अब ΔTQS में,
∠SQT + ∠STQ + ∠TSQ = 180°
या ∠SQT + 45° + 75° = 180°
या ∠SQT = 180° – 45° – 75°
= 180° – 120° = 60°
अतः SQT = 60° उत्तर

प्रश्न 5. आकृति में, यदि PQ ⊥ PS, PQ || SR, ∠SQR = 28° और ∠QRT = 65° है, तो x और y के मान ज्ञात कीजिए।

हल :
हम जानते हैं कि किसी त्रिभुज का बाय कोण अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
∴ ΔSRQ में,
∠QRT = ∠QSR + ∠RQS
या 65° = ∠QSR + 28°
या ∠QSR = 65° – 28° = 37°
अब क्योंकि PQ || SR तथा तिर्यक रेखा PS इन्हें क्रमशः P और S पर प्रतिच्छेदित करती है।
∴ ∠PSR + ∠SPQ = 180° [अंतः कोण युग्म]
या (∠PSQ + ∠QSR) + 90° = 180°
या y + 37° + 90° = 180°
या y + 127° = 180°
या y = 180° – 127° = 53°
समकोण ΔPQS में,
∠PQS = 180° – ∠SPQ – ∠PSQ
या x = 180° – 90° = 53°
x = 180° – 143° = 37°
अतः x = 37° व y = 53° उत्तर

प्रश्न 6. आकृति में, ΔPQR की भुजा QR को बिंदु S तक बढ़ाया गया है। यदि ∠PQR और ∠PRS के समद्विभाजक बिंदु T पर मिलते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि ∠QTR = 1/2∠QPR है।

हल :
ΔPOR में, बाह्य ∠PRS = ∠P + ∠Q
दोनों ओर 2 से भाग करने पर
⇒ 1/2 बाह्य ∠PRS = 1/2∠P + 1/2∠Q ……(i)
क्योंकि. TR, ∠PRS को समद्विभाजित करता है।
∴ ∠PRS = 2∠TRS
इसी प्रकार TQ, ∠Q को समद्विभाजित करता है।
∴ ∠Q = 2∠TQR
∠PRS व ∠Q का मान समीकरण (i) में रखने पर
1/2(2∠TRS) = 1/2∠P + 1/2(2∠TQR)
या ∠TRS = 1/2∠P + ∠TQR
परंतु ΔTQR में, ∠TRS = ∠TQR + ∠QTR
अतः ∠TQR + ∠QTR = 1/2∠P + ∠TQR
या ∠QTR = 1/2∠P
या ∠QTR = 1/2∠QPR [इति सिद्धम]