Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 त्रिभुज Exercise 7.5

प्रश्न 1. ABC एक त्रिभुज है। इसके अभ्यंतर में एक ऐसा बिंदु ज्ञात कीजिए, जो ΔABC के तीनों शीर्षों से समदूरस्थ है।
हल :

माना एक ΔABC में, OD तथा OE, क्रमशः भुजा BC तथा CA के लंब समद्विभाजक हैं।
O रेखाखंड BC के दोनों सिरों B तथा C से समान दूरी पर है, क्योंकि O, BC के
लंब समद्विभाजक पर स्थित है।
इसी प्रकार O, C तथा A से भी समान दूरी पर है, क्योंकि O, CA के लंब
समद्विभाजक पर स्थित है।
आकृति इसीलिए, भुजा BC, CA तथा AB के लंब समद्विभाजकों प्रतिच्छेदन बिंदु O, आवश्यक बिंदु है जो ΔABC के शीर्षों से समदूरस्थ है। [इति सिद्धम]

प्रश्न 2. किसी त्रिभुज के अभ्यंतर में एक ऐसा बिंदु ज्ञात कीजिए, जो त्रिभुज की सभी भुजाओं से समदूरस्थ है।
हल :

माना BE और CF क्रमशः ∠ABC तथा ∠ACB के कोण समद्विभाजक हैं। ये AC तथा AB को क्रमशः E तथा F पर काटते हैं।
क्योंकि O, ∠ABC के कोण समद्विभाजक BE पर स्थित है।
इसलिए O, AB तथा BC से समान दूरी पर है।
इसी प्रकार O, ∠ACB के कोण समद्विभाजक पर स्थित हैं। इसलिए O, BC और CA से समान दूरी पर है। इस प्रकार ΔABC के कोणों का समद्विभाजक अभीष्ट बिंदु है। [इति सिद्धम]

प्रश्न 3. एक बड़े पार्क में, लोग तीन बिंदुओं (स्थानों) पर केंद्रित हैं। (देखिए आकृति)
A : जहाँ बच्चों के लिए फिसल पट्टी और झूले हैं।
B : जिसके पास मानव-निर्मित एक झील है।
C : जो एक बड़े पार्किंग स्थल और बाहर निकलने के रास्ते के निकट है।
एक आइसक्रीम का स्टॉल कहाँ लगाना चाहिए, ताकि वहाँ लोगों की अधिकतम संख्या पहुंच सके ?
हल :

आइसक्रीम का स्टॉल A, B और C से समान दूरी पर होना चाहिए, जिसके लिए AB और BC का समद्विभाजक करना पड़ेगा, जोकि O पर मिलेंगे।
इसीलिए O आवश्यक बिंदु है जोकि A, B तथा C से समान दूरी पर है,
जहाँ पर आइसक्रीम का स्टॉल स्थापित किया जा सकता है।

प्रश्न 4. षडभुजीय और तारे के आकार की रंगोलियों [देखिए आकृति (i) और (ii)] को 1 cm भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों से भर कर पूरा कीजिए। प्रत्येक स्थिति में, त्रिभुजों की संख्या गिनिए। किसमें अधिक त्रिभुज हैं ?

हल :

प्रत्येक आकृति को 1 cm के समबाहु त्रिभुजों के साथ भरने पर हमें प्राप्त हुआ कि आकृति
(i) में इस प्रकार के त्रिभुजों की संख्या = 150 तथा आकृति
(ii) में इस प्रकार के त्रिभुजों की संख्या 300 है।
अतः तार के आकार की रंगोलियों में त्रिभुजों की संख्या अधिक है।