MP Board Class 10th Maths | वृतों से संबंधित क्षेत्रफल

MP Board Class 10th Maths | वृतों से संबंधित क्षेत्रफल

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.1

प्रश्न 1.
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमश: 19 cm और 9 cm हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर हो।
उत्तर:
प्रथम वृत्त की परिधि C₁ = 2πr₁ = 2π (19) cm
द्वितीय वृत्त की परिधि C₂ = 2πr₂ = 2π (9) cm
चूंकि संयुक्त परिधि C = C₁ + C₂
⇒ 2πr = 2π (19) + 2π (9)
= 2π (19 + 9)
= 2π (28) cm
⇒ r = 28 cm
अतः अभीष्ट त्रिज्या = 28 cm है।

प्रश्न 2.
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमश: 8 cm और 6 cm हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफल के योग के बराबर है।
हल :
प्रथम वृत्त का क्षेत्रफल A₁ = πr₁² = π (8)² = 64π
द्वितीय वृत्त का क्षेत्रफल A₂ = πr₂² = π (6)² = 36π
चूँकि संयुक्त क्षेत्रफल A = A₁ + A₂
⇒ πr² = 64π + 36π = 100π
⇒ r² = 100
⇒ r = √100 = 10 cm
अतः अभीष्ट त्रिज्या = 10 cm है।

प्रश्न 3.
संलग्न आकृति 12.3 एक तीरंदाजी लक्ष्य को दर्शाती है जिसमें केन्द्र से बाहर की ओर पाँच क्षेत्र Gold, Red, Blue, Black और White चिह्नित हैं, जिनसे अंक अर्जित किए जा सकते हैं। Gold अंक वाले क्षेत्र का व्यास 21 cm तथा प्रत्येक अन्य पट्टी 10.5 cm चौड़ी है। अंक प्राप्त कराने वाले इन पाँचों क्षेत्रों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

दिया है Gold वाले क्षेत्र का व्यास = 21 सेमी
⇒ त्रिज्या r=212 = 10.5 cm
तथा प्रत्येक पट्टी की चौड़ाई = 10.5 cm
⇒ पाँचों वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः r₁ = 10.5 cm, r₂ = 21 cm, r₃ = 31.5 cm, r₄ = 42 cm एवं r₅ = 52.5 cm²
प्रथम वृत्त का क्षेत्रफल A₁ = πr₁² = 227 x 10.5 x 10.5 = 346.5 cm²
द्वितीय वृत्त का क्षेत्रफल A₂ = πr₂² = 227 x 21 x 21 = 1386 cm²
तृतीय वृत्त का क्षेत्रफल A₃ = πr₃² = 227 x 31.5 x 31.5 = 3118.5 cm²
चतुर्थ वृत्त का क्षेत्रफल A₄ = πr₄² = 227 x 42 x 42 = 5544 cm²
पंचम वृत्त का क्षेत्रफल A₅ = πr₅² = 227 x 52.5 x 52.5 = 8662.5 cm²
Gold अंक वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल = A₁ = 346.5 cm²
Red क्षेत्र का क्षेत्रफल = A₂ – A₁ = 1386 – 346.5 = 1039.5 cm²
Blue क्षेत्र का क्षेत्रफल = A₃ – A₂ = 3118.5 – 1386 = 1732.5 cm²
Black क्षेत्र का क्षेत्रफल = A₄ – A₃ = 5544 – 3118.5 = 2425.5 cm²
एवं White क्षेत्र का क्षेत्रफल = A₅ – A₄ = 8662.5 – 5544 = 3118.5 cm²
अतःअभीष्ट क्षेत्रफलक्रमश: Gold = 346.5 cm², Red = 1039.5 cm², Blue = 1732.5 cm², Black = 2425.5 cm² एवं White = 3118.5 cm² है।

प्रश्न 4.
किसी कार के प्रत्येक पहिये का व्यास 80 cm है। यदि यह कार 66 km प्रति घण्टे की चाल से चल रही है, तो 10 मिनट में प्रत्येक पहिया कितने चक्कर लगाता है?
हल :
कार द्वारा 10 मिनट में चली गयी दूरी = 1060 x 66 = 11 km = 11000 m
मान लीजिए कार के प्रत्येक पहिया द्वारा लगाए गए चक्करों की संख्या n हो तो
πd x n = चली गयी दूरी

अभीष्ट चक्करों की संख्या = 4375 है।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए तथा अपने उत्तर का औचित्य दीजिए :
यदि एक वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर हैं, तो उस वृत्त की त्रिज्या है:
(A) 2 मात्रक
(B) π मात्रक
(C) 4 मात्रक
(D) 7 मात्रक
उत्तर-
(A) 2 मात्रक।
क्योंकि संख्यात्मक रूप में वृत्त का क्षेत्रफल = वृत्त की परिधि
⇒ πr² = 2πr
⇒ r = 2 मात्रक

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2

प्रश्न 1.
6 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60° है। (2019)
हल :
ज्ञात है : r = 6 cm एवं θ° = 60°
चूँकि त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = θ∘360∘×πr2
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = 60360×227×(6)2
= 1327cm2
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल = 1327cm2

प्रश्न 2.
एक वृत्त के चतुर्थांश (quadrant) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि 22 cm है।
हल :
चूंकि परिधि = 2πr
2 x 227 x r = 22
r=22×72×22=72cm
चूँकि चतुर्थांश का क्षेत्रफल = 14πr2
चतुर्थाश का क्षेत्रफल = 14×227×(72×72)
= 778cm2
अतः चतुर्थांश का अभीष्ट क्षेत्रफल = 778cm2

प्रश्न 3.
एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लम्बाई 14 cm है। इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि मिनट सुई 1 घण्टे में (60 मिनट में) वृत्त का एक चक्कर लगाती है।
इसलिए 5 मिनट में 560=112 वृत्त को रचेगी।
इस वृत्त की त्रिज्या r = सुई की लम्बाई = 14 cm
वृत्त के अंश का क्षेत्रफल

अतः अभीष्ट क्षेत्रफल = 1543cm2 है।

प्रश्न 4.
10 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर एक समकोण अन्तरित करती है। निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :
(i) संगत लघु वृत्तखण्ड।
(ii) संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)
हल :

दिया है : r = 10 cm एवं θ = 90°
(i) चूँकि लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = θ360πr2
ar (OAPB) = 90360 x 3.14 x (10)²
= 14 x 3.14 x 100
ar (OAPB) = 78.5 cm²
ar (∆OAB) = 12 OA x OB
ar (OAB) = 12 x 10 x 10 = 50 cm² …(2)
चूँकि संगत लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल
ar (APB) = ar (OAPB) – ar (OAB)
= 78.5 – 50 = 28.5 cm² [समीकरण (1) एवं (2) से]
अतः संगत लघु वृत्त खण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 28.5 cm² है।

(ii) चूँकि संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = 360−θ360πr2

अतः संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 235.5 cm² है।

प्रश्न 5.
त्रिज्या 21 cm वाले वृत्त का एक चाप केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करता है। ज्ञात कीजिए :
(i) चाप की लम्बाई (2019)
(ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल (2019)
(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल।
हल :

(i) चूंकि चाप की लम्बाई = θ∘360∘×2πr
चाप की लम्बाई = 60∘360∘×2×227×21
चाप (APB) = 16 x 22 x 6 = 22 cm
अतः चाप की अभीष्ट लम्बाई = 22 cm

(ii) चूँकि त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = 12
ar (OAPB) = 12
= 16 x 22 x 3 x 21 = 231 cm²
अतः चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 231 cm² है।

(iii) चूँकि ∆OAB में ∠AOB = 60° एवं ∠OAB = ∠OBA
तथा ∠OAB + ∠OBA = 180° – 60° = 120°
∠OAB = ∠OBA = 1202 = 60°
∆OAB एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा = 21 cm
चूँकि समबाहु ∆ का क्षेत्रफल = 3√4 (भुजा)²
ar(OAB) = 3√4(21)2=4413√4cm2
और चूँकि वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = संगत त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल – संगत त्रिभुज का क्षेत्रफल
ar (APB) = ar (OAPB) – ar (OAB)
= (231−4413√4)cm2
अतः संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = (231−4413√4)cm2 है।

प्रश्न 6.
15 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करती है। संगत लघु और दीर्घ वृत्तखण्डों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(π = 3.14 और √3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए।)
हल :

ज्ञात है : वृत्त की त्रिज्या OA = OB = 15 cm
एवं ∠AOB = 60°
∠OAB + ∠OBA = 180° – 60°
= 120° …(1)
और ∠OAB = ∠OBA …(2) [∵ OA = OB]
∠OAB = ∠OBA
= 12 x 120° = 60°[समीकरण (1) एवं (2) से]
∆OAB एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी प्रत्येक भुजा 15 cm
चूँकि त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = θ360∘×πr2
ar (OAPB) = 60∘360∘ x 3.14 x 15 x 15
= 16 x 3.14 x 15 x 15
= 1.57 x 75
ar (OAPB) = 117.75 cm² …(3)
चूँकि समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = 3√4 (भुजा)²
ar (OAB) = 3√4×15×15=2253√4
ar (OAB) = 225×1⋅734 = 97.31 cm² [लगभग] …(4)
चूँकि लघु वृत्तखण्ड APB का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड OAPB का क्षेत्रफल – ∆OAB का क्षेत्रफल
ar (APB) = ar (OAPB) – ar (OAB)
ar (APB) = 117.75 – 97.31
= 20.44 cm² …(5)
[समीकरण (3) एवं (4) से मान रखने पर ]
चूँकि वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
= 3.14 x 15 x 15
= 706.5 cm² …(6)
चूँकि दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल
ar (AQB) = 706.5 – 20.44
= 686.06 cm² (लगभग)
अतः लघु वृत्तखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 20.44 cm² (लगभग) एवं दीर्घ वृत्तखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 686.06 cm² (लगभग) है।

प्रश्न 7.
त्रिज्या 12 cm वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर 120° का कोण अन्तरित करती है। संगत वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(π = 3.14 और √3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए।)
हल :

ज्ञात है : केन्द्र O वाला वृत्त जिसकी त्रिज्या 12 cm है तथा एक जीवा AB केन्द्र O पर ∠AOB = 120° का कोण बनाती है।
O से OM ⊥ AB खींचिए जो AB को M पर प्रतिच्छेद करती है।
चूँकि समद्विबाहु त्रिभुज OAB में OM शीर्ष लम्ब है।
इसलिए यह ∠AOB = 120° को समद्विभाजित करेगी
अर्थात्
∠AOM = ∠BON = 1202 = 60°
एवं AM = BM = 12 AB.
अब समकोण ∆OMA में,

AM = 6 √3 = 6 x 1.73 = 10.38 cm
[∵ sin 60° = 3√2 ]
AB = 2 AM = 2 x 10.38 = 20.76 cm
त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल = 12 x AB x OM
ar (OAB) = 12 x 20.76 x 6 = 62.28 cm² …(1)
चूँकि त्रिज्यखण्ड OAPB का क्षेत्रफल = 120360 x 3.14 x (12)²
ar (OAPB) = 3.14 x 48 = 150.72 cm² ….(2)
चूँकि वृत्तखण्ड APB = ar (OAPB) – ar (OAB)
ar (APB) = 150.72 – 62.28
[समीकरण (1) एवं (2) से मान रखने पर]
ar (APB) = 88.44 cm²
अतः संगत वृत्तखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 88.44 cm² है।

प्रश्न 8.
15 m भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूटे से घोड़े को 5 m लम्बी रस्सी से बाँध दिया गया है (देखिए संलग्न आकृति 12.8) ज्ञात कीजिए :
(i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा घास चर सकता है।
(ii) चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि यदि घोड़े को 5 m रस्सी के स्थान पर 10 m लम्बी रस्सी से बाँध दिया जाय। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए।)
हल :

(i) घोड़े द्वारा घास चरे जा सकने वाला मैदान एक वृत्त का चतुर्थांश होगा जिसकी त्रिज्या 5 m है।
मैदान का क्षेत्रफल = 14 x 3.14 x (5)²
A1=78⋅504
= 19.625 m²
अतः घास के मैदान का अभीष्ट क्षेत्रफल = 19.625 m² है।

(ii) अब घोड़े द्वारा चरे जा सकने वाले घास का मैदान 10 m त्रिज्या के वृत्त का चतुर्थांश होगा
मैदान का क्षेत्रफल = 14 x 3.14 x (10)²
A2 = 78.5 m²
घास के मैदान में वृद्धि = A2 – A1 = 78.5 – 19.625
= 58.875 m²
अतः घास के मैदान में अभीष्ट वृद्धि = 58.875 m² है।

प्रश्न 9.
एक वृत्ताकार बूच (brough) को चाँदी के तार से बनाया जाता है, जिसका व्यास 35 mm है। तार को वृत्त के 5 व्यासों को बनाने में प्रयुक्त किया गया है जो उसे 10 बराबर त्रिज्यखण्डों में विभाजित करता है जैसा कि संलग्न आकृति 12.9 में दर्शाया गया है। तो ज्ञात कीजिए :
(i) कुल वांछित चाँदी के तार की लम्बाई।
(ii) बूच के प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल।
हल :

(i) चाँदी के तार से वृत्त की परिमाप एवं पाँच व्यास बनाने हैं। व्यास = 35 mm दिया है।
वृत्त की परिमाप (परिधि) = πd = 227 x 35 = 110 mm
पाँच व्यासों की लम्बाई = 5 x d = 5 x 35 = 175 mm
तार की कुल लम्बाई = 110 mm + 175 mm = 285 mm
अतः वांछित चाँदी के तार की अभीष्ट लम्बाई = 285 mm है।

(ii) पाँच व्यासों द्वारा वृत्त 10 बराबर त्रिज्यखण्डों में विभाजित हो रहा है।
इसलिए प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = 110×227×352×352
= 11×354=3854
अतः प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 3854mm2 है।

प्रश्न 10.
एक छतरी में आठ ताने हैं, जो बराबर दूरी पर लगे हुए हैं। (देखिए संलग्न आकृति 12.10)। छतरी को 45 cm त्रिज्या वाला एक सपाट वृत्त मानते हुए इसकी दो क्रमांगत तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

बराबर दूरी पर लगी आठ तानें वृत्त को आठ बराबर त्रिज्यखण्डों में विभक्त करती हैं जिसकी त्रिज्या 45 cm दी है।
प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

अतः दो तानों के बीच अभीष्ट क्षेत्रफल = 2227528cm2 है।

प्रश्न 11.
किसी कार के दो वाइपर (Wiper) हैं, परस्पर कभी भी अच्छादित नहीं होते हैं। प्रत्येक वाइपर की पत्ती की लम्बाई 25 cm है और 115° के कोण तक घूमकर सफाई कर सकता है। पत्तियों
की प्रत्येक बुहार के साथ जितना क्षेत्रफल साफ हो जाता है, वह ज्ञात कीजिए।
हल :
प्रत्येक वाइपर 25 cm की त्रिज्या वाले उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल साफ करता है जिसकी त्रिज्याओं के बीच कोण θ = 115° है।
दोनो वाइपरों द्वारा कुल साफ किया गया क्षेत्रफल (एक बार में)

अतः दोनों वाइपरों द्वारा प्रत्येक बुहार में साफ किया गया अभीष्ट क्षेत्रफल = 158125126 है।

प्रश्न 12.
जहाजों को समुद्र में जल स्तर के नीचे स्थित चट्टानों को चेतावनी देने के लिए, एक लाइट हाउस (Light house) 80° कोण वाले एक त्रिज्यखण्ड में 16.5 km की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है। समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिससे जहाजों को चेतावनी दी जा सके। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)।
हल :

लाइट हाउस द्वारा जहाजों को दी जाने वाली चेतावनी के लिए क्षेत्रफल एक त्रिज्यखण्ड होगा जिसकी त्रिज्याएँ r = 16.5 km एवं त्रिज्याओं के बीच का कोण θ = 80° होगा।
चूँकि त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = θ360πr2
समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल = 80∘360∘ x 3.14 x 16.5 x 16.5 .
= 6.28 x 5.5 x 5.5
= 189.97 km²
अतः समुद्र के भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 189.97 km² है।

 

प्रश्न 13.
एक गोल मेजपोश पर छः समान डिजाइन बने हुए हैं, जैसा कि संलग्न आकृति 12.12 में दर्शाया गया है। यदि मेजपोश की त्रिज्या 28 cm है, तो Rs 0.35 प्रतिवर्ग सेण्टीमीटर की दर से इन डिजाइनों को बनाने की लागत ज्ञात कीजिए। (√3 = 1.7 का प्रयोग कीजिए।)
हल :

मेजपोश कुल छः बराबर त्रिज्यखण्डों में विभक्त है जिनकी त्रिज्या 28 cm तथा त्रिज्याओं के बीच कोण 3606 = 60° होगा।
मान लीजिए कि एक त्रिज्यखण्ड OAPB संलग्न आकृति 12.13 में दिखाया गया है।
∆OAB एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा 28 cm है।
[क्योंकि ∠AOB = 60° एवं ∠OAB = ∠OBA = 60°]
समबाहु त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल = 3√4 x (28)²
ar (OAB) = 333.2 cm² …(1)
त्रिज्यखण्ड OAPB का क्षेत्रफल = θ360∘×πr2

ar (OAPH) = 60∘360∘×227(28×28)
= 22×563cm2
= 410.67 cm²
वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = ar (OAPB) – ar (OAB)
= 410.67 – 333.2
= 77.47
6 वृत्तखण्डों का कुल क्षेत्रफल = 6 x 77.47 = 464.82 cm²
डिजाइन बनाने की लागत = दर x कुल क्षेत्रफल
= 0.35 x 464.82
= Rs 162.68
अत: अभीष्ट लागत = Rs 162.68 है।

प्रश्न 14.
निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए : त्रिज्या R वाले वृत्त के उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल जिसका कोण P° है, निम्नलिखित है :

उत्तर-
(D) P/720×2πR2

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.3

प्रश्न 1.
संलग्न आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि PQ = 24 cm, PR = 7 cm तथा O वृत्त का केन्द्र है।
हल :

∠RPQ = 90° (अर्द्धवृत्त का कोण है)
समकोण ∆RPQ में पाइथागोरस प्रमेय से,
चूँकि QR² = PQ² + PR²
= (24)² + (7)²
= 576 + 49
= 625
= (25)²
⇒ OR = 25
⇒ 2r = 25
⇒ r=252 [∵ QR वृत्त का व्यास है] .
चूँकि अर्द्धवृत्त RPQ का क्षेत्रफल = 12πr2
⇒ ar (अर्द्धवृत्त RPQ) = 12×227×(252)2=11×62528=687528cm2
चूँकि समकोण ∆RPQ का क्षेत्रफल = 12 x RP x PQ
⇒ ar (∆RPQ) = 12 x 7 x 24 = 84 cm²
∴ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = ar (अर्द्धवृत्त RPQ) – ar (∆RPQ)
⇒ ar (छायांकित भाग) = 687528−84=6875−235228=452328cm2
अतः अभीष्ट छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 452328cm2 है।

प्रश्न 2.
संलग्न आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि केन्द्र O वाले दोनों संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 7 cm और 14 cm हैं तथा ∠AOC = 40° है।
हल :

मान लीजिए संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः r1 = 14 cm एवं r2 = 7 cm तथा ∠θ = ∠AOC = ∠BOD = 40°

अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 1543 cm² है।

प्रश्न 3.
संलग्न आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि ABCD भुजा 14 cm का एक वर्ग है तथा APD तथा BPC दो अर्द्धवृत्त हैं।
हल :

ज्ञात है : वर्ग की भुजा a = 14 cm
अर्द्धवृत्त का व्यास 2r = 14 cm अर्थात् त्रिज्या r = 142 = 7 cm
दोनों अर्द्धवृत्त एक पूर्ण वृत्त बनाते हैं।
चूँकि छायांकित भाग का क्षेत्रफल, ar (छायांकित भाग) = वर्ग का क्षेत्रफल – वृत्त का क्षेत्रफल
= a² – m²
= (14)² – 227 x (7)²
= 196 – 154
= 42 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 42 cm² है।

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जहाँ भुजा 12 cm वाले एक समबाहु त्रिभुज OAB के शीर्ष O को केन्द्र मानकर 6 cm त्रिज्या वाला एकवृत्तीय चाप खींचा
गया है।
हल :

चित्रानुसार छायांकित भाग में एक a = 12 cm भुजा वाला समबाहु त्रिभुज तथा एक 6 cm त्रिज्या का कोण θ = 360° – 60° = 300° वाला दीर्घ त्रिज्यखण्ड सम्मिलित है।
ar (छायांकित भाग) = ar (OAB) + ar (दीर्घ त्रिज्यखण्ड)

अत: छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = (6607+363–√)cm2 है।

 

प्रश्न 5.
भुजा 4 cm वाले एक वर्ग के प्रत्येक कोने से 1 cm त्रिज्या वाले वृत्त का एक चतुर्थांश काटा गया है तथा बीच में 2 cm व्यास का एक वृत्त भी काटा गया है, जैसा कि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है। वर्ग के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है कि a = 4 cm भुजा वाले एक वर्ग ABCD के बीच में व्यास 2 cm अर्थात् 1 cm त्रिज्या वाला एक वृत्त तथा 1 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के 4 चतुर्थांश चारों कोनों में से काटे गए हैं। इस प्रकार वर्ग से 1 cm त्रिज्या वाले दो वृत्त काटे गए हैं।
छायांकित (वृत्त के शेष) भाग का क्षेत्रफल
= वर्ग का क्षेत्रफल – 2 x वृत्त का क्षेत्रफल
ar (छायांकित मान) = a² – 2 x πr²
= (4)² – 2 x 227 x (1)²
= 16−447=112−447=687cm2
अतः वर्ग के शेष भाग (छायांकित भाग) का अभीष्ट क्षेत्रफल = 687cm2 हैं।

प्रश्न 6.
एक वृत्ताकार मेज पोश जिसकी त्रिज्या 32 cm है, के बीच में एक समबाहु त्रिभुज ABC छोड़ते हुए एक डिजाइन बना हुआ है, जैसा कि संलग्न आकृति में दिखाया गया है। इस डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए दिया हुआ वृत्त दिए हुए समबाहु त्रिभुज ABC का परिकेन्द्र है जिसका केन्द्र O त्रिभुज की माध्यिका AD पर स्थित है तथा AO = r = 32 cm तथा OD = r2=322 = 16 cm (O के माध्यिका B को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है)
⇒ AD = 32 + 16 = 48 cm
समकोण ∆ADB में पाइथागोरस एक प्रमेस से,
a² – (a2)2 = (AD)² = (48)²

अत: डिजाइन का अभीष्ट क्षेत्रफल = (225287−7683–√)cm2 है।

प्रश्न 7.
संलग्न आकृति में ABCD एक 14 cm भुजा वाला वर्ग है। A, B, C और D को केन्द्र मानकर चार वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि प्रत्येक वृत्त शेष तीन वृत्तों में से दो वृत्तों को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

ABCD वर्ग की प्रत्येक भुजा a = 14 cm दिया है। चित्रानुसार
प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या = a2=142 = 7 cm.
वर्ग में से चार वृत्त-चतुर्थांश अर्थात् एक वृत्त क्षेत्रफल को हटाकर शेष भाग छायांकित किया गया है।
⇒ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – वृत्त का क्षेत्रफल
= a² – πr²
= (14)² – 227 x (7)²
= 196 – 154
= 42 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 42 cm² है।

प्रश्न 8.
संलग्न आकृति एक दौड़ने का पथ (racing track) दर्शाती है जिसके बाएँ और दाएँ सिरे अर्द्धवृत्ताकार हैं।

दोनों आन्तरिक समानान्तर रेखाखण्डों के बीच की दूरी 60 m है तथा इनमें से प्रत्येक रेखाखण्ड 106 m लम्बा है। यदि यह पथ 10 m चौड़ा है तो ज्ञात कीजिए :
(i) पथ के आन्तरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली गयी दूरी।
(ii) पथ का क्षेत्रफल।
हल :
ज्ञात है कि सिरे के दोनों अर्धवृत्ताकार मार्ग एक वृत्ताकार वलय का निर्माण करते हैं तथा समानान्तर रेखाखण्ड दो b = 10 m चौड़े तथा l = 106 m लम्बे आयताकार खण्डों का निर्माण करते हैं। वृत्त की आन्तरिक त्रिज्या r₂ = 602 = 30 m तथा बाह्य त्रिज्या r₁ = 30 + 10 = 40 m है।
(i) पथ के आन्तरिक किनारों के अनुदिश एक चक्कर लगाने में चली गयी दूरी
= वृत्त की आन्तरिक परिधि + 2 x समानान्तर रेखाखण्ड की लम्बाई
= 2πr₂ + 2l
= 2 x 227 x 30 + 2 x 106
= 13207 + 212
= 1320+14847
= 28047 m
अत: एक चक्कर लगाने में चली गयी अभीष्ट दूरी = 28047 m है।

(ii) पथ का क्षेत्रफल = वृत्त के वलय का क्षेत्रफल + 2 x आयताकार खण्ड का क्षेत्रफल
= π (r₁² – r₂²) + 2 x l x b
= 227 [(40)² – (30)²] + 2 x 106 x 10
= 227 (1600 – 900) + 2120
= 227 x 700 + 2120
= 2200 + 2120
= 4320 m²
अतः पथ का अभीष्ट क्षेत्रफल = 4320 m² है।

प्रश्न 9.
संलग्न आकृति में AB और CD केन्द्र O वाले वृत्त के दो परस्पर लम्ब व्यास हैं तथा OD छोटे वृत्त का व्यास है। यदि OA = 7 cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

चित्रानुसार बड़े वृत्त की त्रिज्या r₁ = OA = 7 cm (दिया है) = OB = OC = OD छोटे वृत्त का व्यास d = OD = OA = 7 cm
⇒ छोटे वृत्त की त्रिज्या r2=d2=72cm
त्रिभुज ABC का आधार AB = OA + OB
= 7 + 7
= 14 cm
तथा उसका शीर्षलम्ब OC = OA = 7 cm
∵ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = छोटे वृत्त का क्षेत्रफल + बड़े अर्धवृत्त का क्षेत्रफल – ∆ABC का क्षेत्रफल [देखिए संलग्न आकृति]
⇒ ar (छायांकित भाग)

= 38.5 + 77 – 49
= 115.5 – 49
= 66.5 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल= 66.5 cm² है।

प्रश्न 10.
एक समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 17320.5 cm² है। इस त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष को केन्द्र मानकर त्रिभुज की भुजा के आधे के बराबर की त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा जाता है। (देखिए संलग्न आकृति 12.24) छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 और √3 = 1.73205 लीजिए।)

हल :
मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा a cm है तो

∵ वृत्त के प्रत्येक त्रिज्यखण्ड की त्रिज्या r = 100 cm एवं केन्द्र पर बना कोण θ = 60° (समबाहु त्रिभुज का शीर्ष कोण)
∵ तीनों त्रिज्यखण्डों का क्षेत्रफल = 3×θ360∘πr2
= 3 x 60∘360∘ x 3.14 x (100)²
3ar (त्रिज्यखण्ड) = 1.57 x 10000
= 15700 cm²
ar (छायांकित भाग) = ar (ABC) – 3ar (त्रिज्यखण्ड)
= 17320.5 – 15700
= 1620.5 cm².
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 1620.5 cm² है।

प्रश्न 11.
एक वर्गाकार रूमाल पर नौ वृत्ताकार डिजाइन बने हैं, जिनमें A से प्रत्येक की त्रिज्या 7 cm है (देखिए संलग्न आकृति 12.25) रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है : क वर्गाकार रूमाल पर 9 समान वृत्ताकार डिजाइन जिनमें प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या r = 7 cm है।
⇒ वर्ग की भुजा a = 6 x 7 cm
= 42 cm (चित्रानुसार)
वर्गाकार रूमाल का क्षेत्रफल = a² = (42)²
= 1764 cm²
एवं 9 वृत्ताकार डिजायनों के क्षेत्रफल = 9 x πr²
= 9 x 227 x (7)²
= 1386 cm²
शेष भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – 9 वृत्तों के क्षेत्रफल
= 1764 – 1386 = 378 cm²
अतः रूमाल के शेष भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 378 cm² है।

प्रश्न 12.
संलग्न आकृति में OACB केन्द्र O और त्रिज्या 3.5 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है। यदि OD = 2 cm है, तो निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
(i) चतुर्थांश OACB
(ii) छायांकित भाग।
हल :

चूँकि OB = OA = 3.5 cm = r वृत्त के चतुर्थांश की त्रिज्या दी हुई है।
OD = 2 cm (दिया है)
(i) चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल = 14πr2
ar (OACB) = 14×227×(3⋅5)2=778cm2
अत: चतुर्थांश OACB का अभीष् क्षेत्रफल 778cm2 है।

(ii) समकोण ADOB का क्षेत्रफल = 12 BO x OD
ar (DOB) = 12×3⋅5×2=3⋅5cm2=72cm2
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = ar (OACB) – ar (DOB)
= 778−72=77−288=498cm2
अत: छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल 498cm2 है।

प्रश्न 13.
संलग्न आकृति 12.27 में एक चतुर्थांश OPBQ के अन्तर्गत एक वर्ग OABC बना हुआ है। यदि OA = 20 cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए।) हल :

दिया है : चतुर्थांश OPBQ के अन्तर्गत बना वर्ग OABC जिसकी
भुजा a = OA = 20 cm दी है।
चूँकि चतुर्थांश OPBQ की त्रिज्या r = OB है जो वर्ग OABC का विकर्ण है।
r = a√2 = 20√2 cm
चतुर्थांश का क्षेत्रफल

वर्ग का क्षेत्रफल = a² = (20)² = 400 cm²
∵ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = चतुर्थांश का क्षेत्रफल – वर्ग का क्षेत्रफल
ar (छायांकित भाग) = 628 – 400 = 228 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 228 cm² है।

प्रश्न 14.
AB और CD केन्द्र 0 और त्रिज्याओं 21 cm और 7 cm वाले दो संकेन्द्रीय वृत्तों के दो चाप है (देखिए संलग्न आकृति 12.28)। यदि ∠AOB = 30° है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

त्रिज्यखण्ड OAB की त्रिज्या r1 = 21 cm एवं शीर्ष कोण θ = 30°
एवं त्रिज्यखण्ड OCD की त्रिज्या r2 = 7 cm एवं कोण θ = 30° है।

ar (OCD) = 776 cm²
ar (छायांकित भाग) = ar (OAB) – ar (OCD)

अत: छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 3083 cm² है।

प्रश्न 15.
संलग्न आकृति 12.29 में ABC त्रिज्या 14 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है तथा BC को व्यास मानकर एक अर्द्धवृत्त खींचा गया है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

चित्रानुसार समकोण समद्विबाहु त्रिभुज BAC में ∠A = 90°,
भुजा a = AB = AC = वृत्त की त्रिज्या = r1 = 14 cm
समकोण ∆BAC में,

= अर्द्ध वृत्त का व्यास

ar (छायांकित भाग) = ar (BAC) + ar (अर्द्धवृत्त) – ar (चतुर्थांश)
= 98 + 154 – 154
= 98 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 98 cm² है।

प्रश्न 16.
संलग्न आकृति 12.30 में छायांकित डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो 8 cm त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के चतुर्थांशों के बीच उभयनिष्ठ है।
हल :

प्रथम विधि-आकृति के अनुसार छायांकित भाग दो चतुर्थांशों की अवधाओं से मिलकर बना है। चतुर्थांश की त्रिज्या r = 8 cm है तथा समकोण समद्विबाहु त्रिभुज की समकोण बनाने वाली भुजाएँ = 8 cm जो कि P वृत्त की त्रिज्या है।
चतुर्थांश का क्षेत्रफल = 14πr2=14×227×(8)2=3527cm2
एवं संगत समकोण ∆ का क्षेत्रफल = 12 x 8 x 8 = 32 cm
⇒ संगत अवधा का क्षेत्रफल

ar (छायांकित भाग) = 2 x अवधा का क्षेत्रफल
= 2 x 1287
= 2567 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 2567 cm² है।
द्वितीय विधि (वैकल्पिक विधि)-
दी हुई आकृति के अनुसार छायांकित डिजायन दो समान चतुर्थांशों के योग में से वर्ग को घटाकर बनाया गया है।
चूँकि 2 x ar (चतुर्थांश) = 2×14πr2=2×14×227×(8)2
= 7047cm2
चूँकि ar (वर्ग) = (8)² = 64 cm²
चूँकि ar (छायांकित डिजायन) = 2 x ar (चतुर्थांश) – ar (वर्ग)
= 7047−64=704−4487=2567cm2
अतः छायांकित डिजायन का अभीष्ट क्षेत्रफल = 256/7cm2 है।

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 12 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 12 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
संलग्न आकृति 12.35 में ABCD एक आयत है, जिसकी विमाएँ 21 cm x 14 cm है। BC को व्यास मानकर एक अर्द्धवृत्त खींचा गया है। आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल तथा परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है : एक आयत जिसकी विमाएँ 21 cm x 14 cm
तथा एक अर्द्धवृत्त जिसका व्यास 14 cm, दिया है
अर्द्धवृत्त की त्रिज्या = 142 = 7 cm
आयत का क्षेत्रफल = 21 x 14 = 294 cm²
अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल = 12πr2=12×227×(7)2
= 77 cm²
चूँकि ar (छायांकित भाग) = ar (आयत) – ar (अर्द्धवृत्त)
ar (छायांकित भाग) = 294 – 77 = 217 cm²
छायांकित भाग की परिमाप = AB + DC + AD + πr
छायांकित भाग की परिमाप = 21 + 21 + 14 + 227 x 7
= 21 + 21 + 14 + 22
= 78 cm
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 217 cm² एवं अभीष्ट परिमाप = 78 cm है।

प्रश्न 2.
संलग्न आकृति 12.36 में O केन्द्र वाले दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 21 cm एवं 42 cm है यदि ∠AOB = 60° है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π=227 का प्रयोग कीजिए।)
हल :

ज्ञात है : बाह्य वृत्त की त्रिज्या r1 = 42 cm एवं आन्तरिक वृत्त की त्रिज्या r2 = 21 cm. छोटे वृत्त के दीर्घ त्रिज्यखण्ड का शीर्ष कोण θ2 = 360° – 60° = 300° तथा बड़े वृत्त के त्रिज्यखण्ड का शीर्ष कोण θ1 = 60° है।
∵ar (दीर्घ त्रिज्यखण्ड) = θ2360∘×πr22
⇒ ar (दीर्घ त्रिज्यखण्ड) = 300∘360∘×227×(21)2
= 5 x 11 x 21
= 1155 cm²
∵ ar (बड़े वृत्त का त्रिज्यखण्ड) = θ1360∘×π(r1)2
= 60∘360∘×227×(42)2=924cm2
= 924 cm²
∵ बड़े वृत्त का क्षेत्रफल = πr21=227×(42)2
⇒ ar (दीर्घ वृत्त) = 5544 cm²
ar (छायांकित भाग) = ar (दीर्घ वृत्त) – ar (छोटे वृत्त का दीर्घ त्रिज्यखण्ड) – ar (छोटे वृत्त का लघु त्रिज्यखण्ड)
⇒ ar (छायांकित भाग) = 5544 – 1155 – 924
= 5544 – 2079
= 3465 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 3465 cm² है।

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में, प्रत्येक 3 cm व्यास के तीन अर्द्धवृत्त, 4.5 cm त्रिज्या का एक अर्द्धवृत्त बनाए गए है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

चूँकि 4.5 cm त्रिज्या के अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल

चूँकि 4.5 cm व्यास अर्थात् 94 cm त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल = 227(94)2=89156cm2
चूँकि 3 cm व्यास अर्थात् 32 cm त्रिज्या के एक अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल

कुल क्षेत्रफल = ar ( 92 cm त्रिज्या का अर्द्धवृत्त ) + ar (32 cm त्रिज्या का अर्द्धवृत्त)
कुल क्षेत्रफल

रिक्त स्थान का क्षेत्रफल = ar(94 cm त्रिज्या का वृत्त) + 2 x ar (32 cm त्रिज्या का अर्द्धवृत्त)

ar (छायांकित भाग) = कुल क्षेत्रफल – रिक्त स्थान का क्षेत्रफल

अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 12.375 cm² है।

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति में केन्द्र वाले वृत्त का एक त्रिज्यखण्ड OAP दर्शाया गया है जिसका केन्द्र पर अन्तरित कोण θ है। AB वृत्त की त्रिज्या OA पर लम्ब है जो OP को बढ़ाने पर बिन्दु B पर काटता है। सिद्ध कीजिए कि रेखांकित भाग का परिमाप r[tanθ+secθ+πθ180−1] है।
हल :

समकोण ∆OAB में,
tan θ = ABr ⇒ AB = r tan θ …(1)
एवं sec θ = OBr ⇒ OB = r sec θ …(2)
तथा चाप AP=θ180∘πr …(3)
चूँकि छायांकित भाग की परिमाप = AB + PB + चाप AP
= AB + (OB – OP) + चाप AP

अत: अभीष्ट परिमाप = r[tanθ+secθ+πθ180−1] है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
संलग्न आकृति 12:39 में दो संकेन्द्रीय वृत्तों, जिनकी त्रिज्याएँ 7 cm तथा 14 cm है, के बीच घिरे छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जबकि ∠AOC = 40° है। (π=227 लीजिए।)
हल :

ज्ञात है : बड़े वृत्त की त्रिज्या r1 = 14 cm
छोटे वृत्त की त्रिज्या r2 = 7 cm तथा त्रिज्यखण्ड AOC का शीर्ष कोण θ1 = 40° है। छोटे वृत्त के दीर्घ त्रिज्यखण्ड का कोण θ2 = 360° – 40° = 320°
बड़े वृत्त का क्षेत्रफल

छोटे वृत्त के दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

बड़े वृत्त के लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

रिक्त स्थान का क्षेत्रफल = दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल + लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

छायांकित भाग का क्षेत्रफल = बड़े वृत्त का क्षेत्रफल – रिक्त स्थान का क्षेत्रफल
= 616 – 205.33
= 410.67 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 410.67 cm² है।

प्रश्न 6.
संलग्न आकृति 12.40 में O केन्द्र वाले वृत्त का व्यास AB = 13 cm है तथा AC = 12 cm है। BC को मिलाया गया है। छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए।)
हल :

ज्ञात है : ∆ACB में ∠C समकोण है (चूँकि अर्द्धवृत्त का कोण है), विकर्ण AB = 13 cm तथा AC = 12 cm, वृत्त का व्यास AB = 13 cm तो त्रिज्या r = 132 cm
या समकोण ∆ACB में पाइथागोरस प्रमेय से

समकोण ∆ACB का क्षेत्रफल

अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल

ar (छायांकित क्षेत्र) = ar (अर्द्धवृत्त) – ar (ABC)
= 66.33 – 30
= 36.33 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 36.33 cm² है।

प्रश्न 7.
संलग्न आकृति में PQRS एक वर्गाकार लॉन है जिसकी भुजा PQ = 42 m है। दो वृत्ताकार फूलों की क्यारियाँ भुजा PS तथा QR पर हैं जिनका केन्द्र इस वर्ग के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिन्दु O है। दोनों फूलों की क्यारियों (छायांकित भाग) का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

दिया है PQRS एक वर्गाकार लॉन जिसकी भुजा PQ = 42 m है अर्थात् PS = PQ = QR = RS = 42 m. हम जानते हैं कि वर्ग के विकर्ण समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। मान लीजिए OP = r वृत्त की त्रिज्या है। समकोण ∆SOP में पाइथागोरस प्रमेय से,
OP² + OS² = PS²
⇒ r² + r² = (42)²
⇒ 2r² = 42 x 42
⇒ r² = 21 x 42

ar (छायांकित वृत्तखण्ड) = ar (त्रिज्यखण्ड) – ar (POS)
= 693 – 441
= 252 m²
कुल छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 2 x 252
= 504 m²
अतः दोनों फूलों की क्यारियों (छायांकित भाग) का अभीष्ट क्षेत्रफल = 504 m² है।

प्रश्न 8.
14 cm त्रिज्या वाले उस लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका केन्द्रीय कोण 60° है। संगत दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। (π=227 लीजिए)।
हल :

मान लीजिए O केन्द्र वाले वृत्त की त्रिज्या r = OA = OB = 14 cm तथा OA और OB के बीच केन्द्र पर बना कोण (लघु वृत्तखण्ड का केन्द्रीय कोण) θ = 60° दिया है।
∆OAB एक समबाहु त्रिभुज होगा जिसकी भुजा a = OA = AB = OB = 14 cm है।
∵त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

∵समबाहु ∆OAB का क्षेत्रफल

∵वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल – त्रिभुज का क्षेत्रफल

अतः लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = 7(44−213√)3cm2 है।
∵वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = 227 x (14)²
= 22 x 28
= 616 cm²
∵दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल

अतः दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल 7(220+213√)3cm2 है।

प्रश्न 9.
एक वृत्ताकार खेल के मैदान का क्षेत्रफल 22176 m² है। इसकी चारदीवारी लगवाने का खर्च कितना होगा यदि दर Rs 50 प्रति मीटर हो।
हल :
वृत्ताकार मैदान का क्षेत्रफल = πr² = 22176
227 r² = 22176
r² = 22176×722 = 7056
r = √7056
= 84 m
वृत्ताकार मैदान की परिधि = 2πr = 2 x 227 x 84
= 528 m
चार दीवार लगवाने का व्यय = दर x परिधि
= 50 x 528
= Rs 26,400
अतः वृत्ताकार खेल के मैदान की चारदीवारी लगवाने का अभीष्ट व्यय = Rs 26,400 होगा।

प्रश्न 10.
एक त्रिभुजाकार मैदान की भुजाएँ 15 m, 16 m एवं 17 m हैं। मैदान के कोनों में एक गाय, एक भैंस एवं एक घोड़ा अलग-अलग 7 m लम्बे रस्से से प्रत्येक को घास चरने के लिए बाँधा गया है। मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसको चरा नहीं गया है।

हल :
मान लीजिए त्रिभुजाकार मैदान ABC की भुजाएँ AB = 15 m, BC = 16 m एवं CA = 17 m हैं। शीर्ष A, B एवं C से 7 m लम्बे रस्से में क्रमशः गाय, भैंस एवं घोड़ा बाँधा गया है जो 7 m त्रिज्या वाले तथा शीर्ष कोण क्रमश: ∠A, ∠B, ∠C वाले त्रिज्यखण्डों से घास चर सकेंगे तथा छायांकित भाग मैदान का वह भाग होगा जहाँ से घास नहीं चरी जा सकेगी।

तीनों पशुओं द्वारा चरे गए मैदान के भाग का क्षेत्रफल

चरे नहीं जा सकने वाले मैदान के भाग का क्षेत्रफल
= (24 √21 – 77) m²
अतः चरे नहीं जा सकने वाले मैदान के भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल
= (24 √21 – 77) m² है।

प्रश्न 11.
12 cm त्रिज्या वाले वृत्त के उस वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके संगत त्रिज्यखण्ड का केन्द्र पर बना कोण 60° है। (π = 3.14 का प्रयोग करें।)
हल :

मान लीजिए OA = OB = 12 cm त्रिज्या तथा O केन्द्र वाला एक वृत्त है जिसका त्रिज्यखण्ड OADB तथा संगत वृत्तखण्ड ADB है। त्रिज्यखण्ड का केन्द्रीय कोण θ = ∠AOB = 60°
∠O = ∠A = ∠B = 60°
∆OAB एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी प्रत्येक भुजा a = 12 cm है।

ar (छायांकित भाग) = 75.36 – 62.35
ar (ADB) = 13.01 cm²
अतः वृत्तखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 13.01 cm² है।

प्रश्न 12.
एक वृत्ताकर पोखर (तालाब) का व्यास 17.5 m है। यह 2 m चौड़े रास्ते से घिरा हुआ है। Rs 25 प्रति m² की दर से रास्ते को बनवाने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है : O केन्द्र वाले वृत्ताकार तालाब का व्यास d = 2r1 = 17.5 m
r1 = 8.75 m = 354 = m
इसके चारों ओर 2 m चौड़ा रास्ता है।
बाह्य वृत्त की त्रिज्या r2 = 8.75 + 2 = 10.75 m = 434m

रास्ते का क्षेत्रफल = ar (O, r2) – ar (O, r1)

रास्ते के बनवाने का कुल व्यय = दर x क्षेत्रफल
= Rs 25 x 8587
= 214507
= Rs 3064.29
अतः रास्ते को बनवाने का अभीष्ट व्यय = Rs 3064.29 है।

प्रश्न 13.
संलग्न आकृति 12.46 में ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसमें AB || DC, AB = 18 cm, DC = 32 cm एवं AB तथा DC के बीच दूरी = 14 cm है। यदि A, B, C एवं D को केन्द्र लेकर क्रमशः 7 cm की त्रिज्या के चाप खींचे गए हैं। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है कि एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD जिसमें AB || DC, AB = 18 cm, DC = 32 cm एवं AB तथा DC के मध्य दूरी = 14 cm. शीर्ष A, B,C एवं D से 7 cm त्रिज्या के चाप काटे हैं।
समलम्ब चतुर्भुज क्षेत्रफल = 12 (AB + DC) x बीच की दूरी
ar (ABCD) = 12 (18+32) x 14 cm²
= 12 x 50 x 14 = 350 cm²
अब शीर्षों पर बने त्रिज्यखण्डों के क्षेत्रफल,

ar (छायांकित भाग) = ar (ABCD) – ar (चारों त्रिज्यखण्ड)
= 350 – 154
= 196 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 196 cm² है।

प्रश्न 14.
3.5 cm प्रत्येक त्रिज्या वाले तीन वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि प्रत्येक वृत्त शेष दो वृत्तों को बाह्यतः स्पर्श करे। इन वृत्तों से बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए r = 3.5 cm = 72 cm त्रिज्या वाले तीन वृत्त जिनके केन्द्र P, Q एवं R है। संलग्न आकृति 12.47 के अनुसार खींचे गए हैं। उनसे घिरे छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। चूँकि ∆PQR एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी प्रत्येक भुजा की लम्बाई a = 72+72 = 7 cm है तथा इसके अन्तर्गत प्रत्येक त्रिज्यखण्ड की त्रिज्या r = 72 cm एवं केन्द्रीय कोण θ = 60° है।

ar (छायांकित भाग) = ar (PQR) – 3 ar (त्रिज्यखण्ड)
= 21.217 – 19.25
= 1.967 cm²
अतः छायांकित भाग अर्थात् वृत्तों के मध्य घिरे हुए क्षेत्र का अभीष्ट क्षेत्रफल =1.967 cm² है।

प्रश्न 15.
5 सेमी त्रिज्या वाले उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके संगत चाप की लम्बाई 3.5 cm है।
हल :

मान लीजिए O केन्द्र का एक वृत्त है जिसकी त्रिज्या r = 5 cm है तथा, चाप PRQˆ की लम्बाई 3.5 cm है केन्द्र पर θ कोण अन्तरित करता है। इसका संगत त्रिज्यखण्ड OPRQ है।

चूँकि त्रिज्यखण्ड OPRQ का क्षेत्रफल

अतः त्रिज्यखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 8.75 cm² है।

प्रश्न 16.
7 cm त्रिज्या वाले 4 वृत्ताकार समान कार्ड बोर्ड के टुकड़े आपस में सटाकर एक कागज पर इस प्रकार रखे हैं कि प्रत्येक शेष तीन वृत्तों में से दो को स्पर्श करता है। इन चारों के बीच घेरे हुए कागज के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

ABCD वर्ग की प्रत्येक भुजा a = 14 cm दिया है। चित्रानुसार
प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या = a2=142 = 7 cm.
वर्ग में से चार वृत्त-चतुर्थांश अर्थात् एक वृत्त क्षेत्रफल को हटाकर शेष भाग छायांकित किया गया है।
⇒ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – वृत्त का क्षेत्रफल
= a² – πr²
= (14)² – 227 x (7)²
= 196 – 154
= 42 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 42 cm² है।

प्रश्न 17.
784 cm² क्षेत्रफल वाले एक वर्गाकार कार्ड बोर्ड पर चार समान (सर्वांगसम) अधिकतम माप की वृत्ताकार प्लेटें इस प्रकार रखी गयी हैं कि प्रत्येक शेष में से दो को बाह्यतः स्पर्श करें तथा वर्ग की प्रत्येक भुजा दो वृत्ताकार प्लेटों की स्पर्श रेखा हो, तो A. इन प्लेटों से अनाच्छादित कार्ड बोर्ड के रिक्त क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:

मान लीजिए एक वर्गाकार कार्ड बोर्ड ABCD है जिसका क्षेत्रफल 784 cm² है। आकृति के अनुसार चार सर्वांगसम वृत्ताकार प्लेटें P, Q, R एवं S रखी हैं। चूँकि दो प्लेटें परस्पर स्पर्श कर रही हैं ।

कार्ड बोर्ड के अनाच्छादित क्षेत्र का क्षेत्रफल
ar (छायांकित क्षेत्र) = ar (ABCD) – 4ar (वृत्त)
= 784 – 616 [∵ ar (ABCD) = 784 दिया है।]
= 168 cm²
अतः कार्ड बोर्ड के अनाच्छादित रिक्त क्षेत्रफल का अभीष्ट क्षेत्रफल = 168 cm² है।

प्रश्न 18.
एक वृत्त के केन्द्रीय कोण 200° वाले त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल 770 cm² है। इस त्रिज्यखण्ड के संगत चाप की माप ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए एक वृत्त (O, r) है जिसका θ = 200° केन्द्रीय कोण वाला दीर्घ त्रिज्यखण्ड OQRP है तथा संगत चाप QRP है तथा ar (OQRP) = 770 cm² (दिया है)। चूँकि त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल


अतः चाप की अभीष्ट माप = 7313 cm है।

प्रश्न 19.
7 cm एवं 21 cm त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के क्रमशः केन्द्रीय कोण 120° एवं 40° वाले त्रिज्यखण्ड हैं। दोनों त्रिज्यखण्डों के क्षेत्रफल तथा उनके संगत चापों के माप ज्ञात कीजिए। आप क्या प्रेक्षित करते है?
हल :

मान लीजिए O एवं x केन्द्र वाले दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः r1 = 7 cm एवं r2 = 21 cm है तथा केन्द्रीय कोण θ1 = 120° एवं θ2 = 40° वाले त्रिज्यखण्ड क्रमशः OPRQ एवं xytz हैं
जिनके संगत चाप क्रमशः PRQˆ एवं ytzˆ है।

अत: दोनों त्रिज्यखण्डों के अभीष्ट क्षेत्रफल क्रमश: 1543 cm² एवं 154 cm² हैं तथा संगत चापों की माप क्रमशः 443 cm एवं 443 cm हैं जो बराबर हैं। इस प्रकार हम प्रेक्षित करते हैं कि चाप बराबर होते हुए भी उनके संगत त्रिज्यखण्डों के क्षेत्रफल अलग-अलग हैं।

प्रश्न 20.
एक वृत्ताकार पहिए द्वारा 176 m दूरी तय करने में लगाए गए चक्करों की संख्या ज्ञात कीजिए जबकि उसका क्षेत्रफल = 1.54 m².
हल :
चूँकि वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
227 r² = 1.54
r² = 1.54×722
= 0.49
चूँकि वृत्त की परिधि (एक चक्कर में चली गई दूरी) = 2πr
= 2 x 227 x 0.7 = 4.4 m

अतः चक्करों की अभीष्ट संख्या = 40 चक्कर है।

प्रश्न 21.
केन्द्र पर 90° का कोण अन्तरित करने वाले तथा 5 cm लम्बाई की जीवा द्वारा किसी वृत्त को विभाजित करने पर बने दोनों वृत्तखण्डों के क्षेत्रफलों का अन्तर ज्ञात कीजिए।
हल :

वृत्त (O,r) की जीवा PQ द्वारा केन्द्र O पर ∠POQ = 90° अन्तरित किया गया है, जहाँ जीवा PQ, ∆POQ का कर्ण है, तो समकोण ∆POQ में,
OP² + OQ² = PQ²
2r² = (5)² = 25
r² = 252 …(1)
लघु त्रिज्यखण्ड OPRQ का क्षेत्रफल = θ360∘πr2

दीर्घ त्रिज्यखण्ड OQSP का क्षेत्रफल = 360∘−θ360∘πr2

वृत्तखण्ड PRQ का क्षेत्रफल = ar (OPRQ) – ar (OPQ)

अतः दोनों वृत्तखण्डों का अभीष्ट अन्तर = (254π+252)cm2 है।

प्रश्न 22.
21 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केन्द्रीय कोण 120° वाले त्रिज्यखण्ड का उसके संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड के क्षेत्रफलों का अन्तर ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए r = 21 cm त्रिज्या वाले वृत्त (O, r) का केन्द्रीय कोण θ1 = 120° वाला एक त्रिज्यखण्ड OPRQ तथा इसके संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड OQSP है जिसका केन्द्रीय कोण θ2 = 360° – 120° = 240° है।


ar (OQSP) – ar (OPRQ) = 924 – 462
= 462 cm²
अतः दोनों त्रिज्यखण्डों के क्षेत्रफलों में अभीष्ट अन्तर = 462 cm² है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 12 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि 15 cm एवं 18 cm त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों की परिधियों का योग है।
हल :
मान लीजिए कि वृत्त की अभीष्ट त्रिज्या = r हो तो प्रश्नानुसार,
2πr = 2π (15) + 2π (18)
2πr = 2π (15 + 18)
r = 15 + 18
= 33 cm
अतः वृत्त की अभीष्ट त्रिज्या = 33 cm है।

प्रश्न 2.
28 cm त्रिज्या वाले उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्रीय शीर्ष कोण 45° हो।
हल :
चूँकि त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

= 308 cm²
अतः त्रिज्यखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 308 cm² है।

प्रश्न 3.
एक मोटर साइकिल के पहिये की त्रिज्या 35 cm है। वह 1 मिनट में कितने चक्कर लगाएगा जबकि उसकी चाल 66 km/h हो।
हल :
मोटर साइकिल द्वारा 1 मिनट में चली गयी दूरी
= चाल x समय = 66 km/h x 160 h = 1.1 km
= 1100 m
= 110000 cm.
पहिये की परिधि = 2πr = 2 x 227 x 35 = 220 cm

अतः मोटरसाइकिल का पहिया 500 चक्कर लगायेगा।

प्रश्न 4.
एक गाय 14 m लम्बी रस्सी से एक आयत के शीर्ष से बधी है जिसकी विमाएँ 20 m x 16 m है। गाय द्वारा चरे जा सकने वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
गाय एक 14 m त्रिज्या के चतुर्थांश की घास को चर पायेगी
⇒ चरे जाने वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल = 14πr2
= 14×227×(14)2
= 154 m²
अतः गाय द्वारा चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल का अभीष्ट क्षेत्रफल = 154 m² है।

प्रश्न 5.
एक 14 cm त्रिज्या वाले वृत्त के लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जबकि उसके संगत त्रिज्यखण्ड का शीर्ष कोण 60° है।
हल :
वृत्त (O, r) की त्रिज्या r = 14 cm तथा अवधा PRQ के संगत त्रिज्यखण्ड OPRQ का शीर्ष कोण θ = ∠POQ = 60° है तो त्रिभुज समबाहु ∆ होगा जिसकी भुजा a = r = 14 cm त्रिज्यखण्ड का

अत: लघु वृत्तखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = (3083−493–√)cm2 है।

प्रश्न 6.
संलग्न आकृति में ABCD एक वर्ग है जिसकी भुजा a = 12 cm जिसमें उसके शीर्षों A, B, C एवं D को केन्द्र लेकर इस प्रकार चाप खींचे गए हैं कि ये चाप वर्ग की भुजाओं AB, BC, CD और DA को उनके मध्य-बिन्दुओं क्रमशः P, Q, R और S पर प्रतिच्छेद करते हैं। छायांकित क्षेत्र PORS का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। π = 3.14 का प्रयोग कीजिए।
हल :

वृत्त के चार चतुर्थांश ASP, BPQ, CQR एवं DRS हैं जिनमें प्रत्येक की त्रिज्या r = 122 = 6 cm है। वर्ग ABCD का क्षेत्रफल = ar (ABCD) = a² = 12² = 144 cm²
चारों वृत्तखण्डों का क्षेत्रफल = 4 x 14 πR²
= 4 x 14 x 3.14 x (6)
= 113.04 cm²
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – चतुर्थांशों का क्षेत्रफल
= 144 – 113.04
= 30.96 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 30.96 cm² है।

प्रश्न 7.
संलग्न आकृति में 10 cm भुजा वाले समबाहु त्रिभुज ABC के शीर्ष A, B एवं C को लेकर चाप खींचे गए है जो भुजाओं BC, CA एवं AB को उनके मध्य बिन्दुओं क्रमशः D, E एवं F पर प्रतिच्छेद करते हैं। छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। π = 3.14 का प्रयोग कीजिए।
हल :

छायांकित भाग तीन सर्वांसगम त्रिज्यखण्डों से बना है जिनमें प्रत्येक की त्रिज्या r = 102 = 5 cm तथा केन्द्रीय शीर्ष कोण θ = 60° (समबाहु ∆ के कोण) है।
ar (छायांकित क्षेत्र)

अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 39.25 cm² है।

प्रश्न 8.
संलग्न आकृति में ∆POR के शीर्षों P, Q एवं R को केन्द्र लेकर 14 cm त्रिज्या के चाप खींचे गए हैं। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

छायांकित भाग तीन त्रिज्यखण्डों के योग से बना है जिनमें प्रत्येक की त्रिज्या r = 14 cm दी है तथा मान लीजिए उनके शीर्ष कोण क्रमशः ∠P, ∠Q और ∠R हैं तो
छायांकित भाग का क्षेत्रफल

अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 308 cm² है।

प्रश्न 9.
एक वृत्ताकर पार्क चारों ओर से एक 21 m चौड़ी सड़क से घिरा है। यदि पार्क की त्रिज्या 105 m हो, तो सड़क का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

सड़क एक वृत्ताकार वलय है जिसकी आन्तरिक त्रिज्या r1 = 105 m दी है तथा इसकी बाह्य त्रिज्या r2 = 105 m + 21 m = 126 m है।
सड़क का क्षेत्रफल = π (R₂² – R₁²)
= 227 x [(126)² – (105)²]
= 227 (126 + 105) (126 – 105)
= 227 x 231 x 21
= 15246 m²
अतः सड़क का अभीष्ट क्षेत्रफल = 15246 m² है।

प्रश्न 10.
संलग्न आकृति 12.59 में चतुर्भुज ABCD के शीर्ष A, B, C एवं D को केन्द्र लेकर 21 cm त्रिज्या के चाप खींचे गए हैं। छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

चारों शीर्षों पर चार त्रिज्यखण्ड बने हैं जिनमें प्रत्येक की त्रिज्या r = 21 cm तथा शीर्ष केन्द्रीय कोण ∠A, ∠B, ∠C एवं ∠D हैं।

[∴ ∠A+ ∠B + ∠C+ ∠D = 360° चतुर्भुज के शीर्ष कोणों का योग]
= πr²
= 227 (21)²
= 22 x 63
= 1386 cm² .
अतः छायांकित क्षेत्र का अभीष्ट क्षेत्रफल = 1386 cm² है।

प्रश्न 11.
20 cm लम्बा एक तार का टुकड़ा एक वृत्त की चाप की शक्ल में मोड़ा गया है, जो वृत्त के केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करता है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल :
चाप की लम्बाई = 20 cm तथा केन्द्र पर कोण θ = 60° अन्तरित है।
चूँकि

अतः वृत्त की अभीष्ट त्रिज्या = 60π cm है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 12 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
क्या एक वर्ग जिसकी भुजा a cm है के अन्तर्वृत्त का क्षेत्रफल πa² cm होगी? अपने उत्तर का कारण बताइए।
हल :
नहीं हो सकता, क्योंकि इसकी त्रिज्या a2 होगी तथा क्षेत्रफल 14πa2cm2.

प्रश्न 2.
क्या यह कहना सत्य होगा कि एक वर्ग की परिमाप जो a cm त्रिज्या वाले वृत्त का परिगत है, 8a cm होगी। अपने उत्तर का कारण दीजिए।
हल :
हाँ, यह कथन सत्य है, क्योंकि वर्ग की भुजा 2a cm है।

प्रश्न 3.
क्या यह कहना सत्य है कि किसी वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल संगत त्रिज्यखण्ड के क्षेत्रफल से कम है? और क्यों?
हल :
यह सदैव सत्य नहीं। यह केवल लघु वृत्तखण्ड एवं लघु त्रिज्यखण्ड के लिए सत्य है।

प्रश्न 4.
क्या यह कहना सत्य है कि किसी वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = संगत त्रिज्यखण्ड क्षेत्रफल-संगत त्रिभुज का क्षेत्रफल? और क्यों?
हल :
यह कथन सदैव सत्य नहीं है। यह केवल लघु वृत्तखण्ड एवं लघु त्रिज्यखण्ड के लिए सत्य है।

प्रश्न 5.
क्या यह सत्य है कि किसी d cm व्यास वाले पहिए द्वारा एक चक्कर में चली गयी दूरी 2πd cm होगी? और क्यों?
हल :
नहीं क्योंकि यह πd cm होगी।

प्रश्न 6.
r त्रिज्या वाले किसी पहिए द्वारा s m की दूरी तय करने में उसे S2πr चक्कर लगाने पड़ेंगे। क्या यह कथन सत्य हैं? और क्यों?
हल :
हाँ कथन सत्य है क्योंकि 1 चक्कर में चली गयी दूरी = 2πr m.

प्रश्न 7.
किसी वृत्त के क्षेत्रफल का संख्यात्मक मान उसकी परिधि के संख्यात्मक मान के बराबर होगा। क्या यह कथन सत्य है? और क्यों?
हल :
यह कथन सदैव सत्य नहीं है, क्योंकि वह त्रिज्या r के मान पर निर्भर करेगा और जब r का मान 2 मात्रक होगा तभी यह सत्य होगा।

प्रश्न 8.
किसी r मात्रक त्रिज्या के वृत्त का चाप दूसरे 2r मात्रक त्रिज्या के वृत्त के चाप के बराबर है। तो प्रथम वृत्त के संगत त्रिज्यखण्ड का शीर्ष (केन्द्रीय) कोण दूसरे वृत्त के संगत त्रिज्यखण्ड के शीर्ष (केन्द्रीय) कोण का दूना होगा। क्या यह कथन असत्य है? और क्यों?
हल :
नहीं, कथन सत्य है, क्योंकि चाप = कोण x त्रिज्या।

प्रश्न 9.
दो भिन्न वृत्तों के समान संगत चापों द्वारा निर्मित त्रिज्यखण्डों के क्षेत्रफल समान होंगे। क्या यह कथन सत्य है? और क्यों?
हल :
यह कथन सदैव सत्य नहीं है क्योंकि यह केवल समान वृत्तों के लिए ही सत्य है।

प्रश्न 10.
दो विभिन्न वृत्तों के त्रिज्यखण्डों के क्षेत्रफल यदि समान हों, तो क्या यह आवश्यक है कि उनके संगत चापों की लम्बाई समान होगी? और क्यों?
हल :
यह कथन सदैव सत्य नहीं है। यह केवल समान वृत्तों के चापों के लिए ही सत्य है।

प्रश्न 11.
क्या a cm लम्बाई एवं b cm चौड़ाई वाले आयत (जहाँ a > b) के अन्तर्गत खींचे गए। बड़े-से-बड़े वृत्त का क्षेत्रफल πb² cm² होगा? और क्यों?
हल :
नहीं, क्योंकि वृत्त की त्रिज्या b/2 होगी।

प्रश्न 12.
दो भिन्न वृत्तों के क्षेत्रफल बराबर हैं, तो क्या यह आवश्यक है कि उनकी परिधियाँ की बराबर होंगी? और क्यों?
हल :
हाँ, क्योंकि उनकी त्रिज्याएँ बराबर हैं।

प्रश्न 13.
दो वृत्तों की परिधियाँ बराबर हैं, तो क्या यह आवश्यक है कि उनके क्षेत्रफल भी बराबर होंगे? और क्यों?
हल :
हाँ क्योंकि उनकी त्रिज्याएँ बराबर हैं।

प्रश्न 14.
क्या यह कहना सत्य होगा कि एक वृत्त के अन्तर्गत बने वर्ग का क्षेत्रफल p² cm² होगा यदि वृत्त का व्यास p cm हो? और क्यों?
हल :
नहीं, क्योंकि वर्ग का विकर्ण p cm होगा।

MP Board Class 10th Maths Chapter 12 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 12 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
वृत्त का चाप, वृत्त की त्रिज्या और चाप द्वारा केन्द्र पर बने कोण में क्या सम्बन्ध है :
(a) कोण = चाप x त्रिज्या
(b) चाप = कोण x त्रिज्या
(c) त्रिज्या = चाप x कोण
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(b) चाप = कोण x त्रिज्या

प्रश्न 2.
यदि किसी वृत्त का क्षेत्रफल 154 cm² है, तो इसकी परिमाप होगी :
(a) 11 cm
(b) 22 cm
(c) 44 cm
(d) 55 cm.
उत्तर:
(c) 44 cm

प्रश्न 3.
त्रिज्या के वृत्त के एक त्रिज्यखण्ड का केन्द्रीय कोण θ(डिग्री में) है, तो त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल होगा:

उत्तर:
πr2θ360∘

प्रश्न 4.
यदि त्रिज्याओं R₁ एवं R₂ वाले वृत्तों के क्षेत्रफलों का योगफल तीसरे R त्रिज्या वाले वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर हो, तो :
(a) R₁ + R₂ = R
(b) R₁² + R₂² = R²
(c) R₁ + R₂ < R
(d) R₁² + R₁² < R².
उत्तर:
(b) R₁² + R₂² = R²

प्रश्न 5.
यदि त्रिज्याओं R1 एवं R2 वाले वृत्तों की परिधियों का योगफल तीसरे R त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि के बराबर हो, तो :
(a) R₁ + R₂ = R
(b) R₁ + R₂ > R
(c) R₁ + R₂ < R
(d) नहीं कह सकते।
उत्तर:
(a) R₁ + R₂ = R

प्रश्न 6.
r त्रिज्या वाले अर्द्धवृत्त के अन्तर्गत खींचे गए बड़े-से-बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा :
(a) r² वर्ग मात्रक
(b) 12 r² वर्ग मात्रक
(c) 2r² वर्ग मात्रक
(d) √2 r² वर्ग मात्रक।
उत्तर:
(a) r² वर्ग मात्रक

प्रश्न 7.
एक वृत्त की परिधि एक वर्ग की परिमाप के बराबर हो तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात होगा :
(a) 22 : 7
(b) 14 : 11
(c) 7 : 22
(d) 11 : 14.
उत्तर:
(b) 14 : 11

प्रश्न 8.
एक एकल वृत्ताकार पार्क बनाना प्रस्तावित है जिसका क्षेत्रफल दो छोटे वृत्ताकार पार्कों के क्षेत्रफल के योगफल के बराबर है। यदि छोटे पार्कों के व्यास क्रमश: 16 m एवं 12 m हों, तो नए पार्क की त्रिज्या होगी :
(a) 10 m
(b) 15 m
(c) 20 m
(d) 24 m.
उत्तर:
(a) 10 m

प्रश्न 9.
6 cm भुजा वाले वर्ग के अन्तर्गत खींचे गए वृत्त का क्षेत्रफल होगा :
(a) 36π cm²
(b) 18π cm²
(c) 12π cm²
(d) 9π cm².
उत्तर:
(d) 9π cm².

प्रश्न 10.
8 cm त्रिज्या के वृत्त के अन्तर्गत बनने वाले वर्ग का क्षेत्रफल होगा :
(a) 256 cm²
(b) 128 cm²
(c) 64√2 cm²
(d) 64 cm².
उत्तर:
(b) 128 cm²

प्रश्न 11.
एक वृत्त की परिधि 36 cm एवं 20 cm त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों की परिधियों का योग है, तो उस वृत्त की त्रिज्या होगी:
(a) 56 cm
(b) 42 cm
(c) 28 cm
(d) 16 cm.
उत्तर:
(c) 28 cm

प्रश्न 12.
एक वृत्त का क्षेत्रफल 24 cm एवं 7 cm त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के क्षेत्रफल का योग है, तो उस वृत्त का व्यास होगा:
(a) 31 cm
(b) 25 cm
(c) 62 cm
(d) 50 cm.
उत्तर:
(d) 50 cm.

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. वृत्त के अनुदिश एक बार चलने में तय की गई दूरी उस वृत्त की ………… कहलाती है।
2. वृत्त की परिधि के मध्य घिरे हुए क्षेत्र की माप उस वृत्त का ………… कहलाता है।
3. एक वृत्तीय क्षेत्र का वह भाग जो दो त्रिज्याओं और संगत चाप से घिरा (परिबद्ध) हो उस वृत्त का एक ………….. कहलाता है।
4. त्रिज्यखण्ड की संगत चाप की माप उस चाप की ………… कहलाती है।
5. वृत्तीय क्षेत्र का वह भाग जो जीवा और संगत चाप से परिबद्ध हो उस वृत्त का ………… कहलाता है।
5. कोण θ वाले त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल का सूत्र ………… है। (2019)
उत्तर-
1. परिधि (परिमाप),
2. क्षेत्रफल,
3. त्रिज्यखण्ड,
4. लम्बाई,
5. वृत्तखण्ड,
6. त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = θ360∘πr2

जोड़ी मिलाना

उत्तर-
1.→(c),
2.→(d),
3.→(e),
4.→(a),
5.→(b).

सत्य/असत्य कथन

1. सर्वांगसम वृत्तों के क्षेत्रफल सदैव बराबर होते हैं।
2. समरूप वृत्तों के क्षेत्रफल सदैव बराबर होते हैं।
3. सर्वांगसम वृत्तों की परिमाप सदैव बराबर होती है।
4. समरूप वृत्तों की परिमाप सदैव बराबर होती है।
5. यदि एक वृत्त की परिधि एवं एक वर्ग की परिमाप बराबर है तो वृत्त का क्षेत्रफल > वर्ग का क्षेत्रफल
उत्तर-
1. सत्य,
2. असत्य
3. सत्य,
4. असत्य,
5. सत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. एक वृत्त के व्यास d एवं परिधि में क्या सम्बन्ध है?
2. एक वृत्त के व्यास d एवं उसके क्षेत्रफल में क्या सम्बन्ध है?
उत्तर-
1. परिधि = πd,
2. वृत्त का क्षेत्रफल = 14πd2

TENSE