MP Board Class 10th Maths | बहुपद

April 30, 2021

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद

Ex 2.1

प्रश्न 1.
किसी बहुपद p (x) के लिए y = p(x) का ग्राफ नीचे आकृति में दिया है। प्रत्येक स्थिति में p (x) के शून्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए।

आकृति : 2.1
हल:

कोई शून्यक नहीं
एक शून्यक
तीन शून्यक
दो शून्यक
चार शून्यक
तीन शून्यक

Ex 2.2

प्रश्न 1.
निम्न द्विघात व्यंजकों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की जाँच कीजिए:
(i) x² – 2x – 8
(ii) 4s² – 4s + 1
(iii) 6x² – 3 – 7x
(iv) 4u² + 8u
(v) t² – 15
(vi) 3x² – x – 4
हल:
(i) x² – 2x – 8 = (x – 4) (x + 2) [गुणनखण्ड करने पर]
चूँकि x² – 2x – 8 का मान शून्य होगा जब या तो x – 4 = 0
⇒ x = 4
अथवा x + 2 = 0 ⇒ x = – 2
अतः, x² – 2x – 8 के शून्यक 4 एवं – 2 होंगे।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2 1
अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

(ii) 4s² – 4s + 1 = (2s – 1)²
चूँकि 4s² – 4s + 1 का मान शून्य होगा जब
25 – 1 = 0 ⇒ 2s = 1 ⇒ s = 12
अतः, 4s² – 4s + 1 के प्रत्येक शून्यक का मान = 12
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2 2
अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

(iii) 6x² – 3 – 7x = 6x² – 7x – 3 = (2x – 3) (3x + 1)
चूँकि 6x² – 3 – 7x का मान शून्य होगा जब या तो
2x – 3 = 0 ⇒ 2x = 3 ⇒ x = 32
अथवा 3x + 1 = 0
⇒ 3x = -1 ⇒ x = –13
अतः, 6x² – 3 – 7x के शून्यक 32 और –13 होंगे।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2 3
अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

(iv) 4u² + 8u = 4u (u + 2)
चूँकि 4u² + 8u का मान शून्य होगा जब या तो u = 0
अथवा u + 2 = 0 ⇒ u = -2
अतः, 4u² + 8u के शून्यक 0 और -2 होंगे।
अब शून्यकों का योग = 0 + (-2) = -2
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2 4
अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

(v) t² – 15 = (t)² – (15−−√)² = (t + 15−−√) (t – 15−−√)
चूँकि t² – 15 का मान शून्य होगा जब या तो
t + 15−−√ = 0 ⇒ t = – 15−−√
अथवा t – 15−−√ = 0
⇒ t = 15−−√
अतः, t² – 15 के शून्यक – 15−−√ और 15−−√ होंगे।
अब शून्यकों का योग = – 15−−√ + 15−−√ = 0 = −01
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2 5
अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

(vi) 3x² – x – 4 = (3x – 4) (x + 1)
चूँकि 3x² – x – 4 का मान शून्य होगा जब
या तो 3x – 4 = 0 ⇒ 3x = 4 ⇒ x = 43
अथवा x + 1 = 0 ⇒ x = – 1
अतः, 3x² – x – 4 के शून्यक 43 और -1 होंगे।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2 6
अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

प्रश्न 2.
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्या हैं:
(i) 14, -1
(ii) 2–√, 13
(iii) 0, 5–√
(iv) 1,1
(v) –14,14
(vi) 4,1
हल:
(i) मान लीजिए कि अभीष्ट द्विघात बहुपद ax² + bx + c है जिसके शून्यक a एवं B हैं तो हम पाते हैं कि
α + β = 14 = – ba = −(−1)4
और α.β = -1 = ca = (−4)4 (हर समान करने पर)
⇒ यदि a = 4 तब b = -1 एवं c = – 4 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं, 4x² – x – 4 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (4x² – x – 4) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

(ii) मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax² + bx + c है जिसके शून्यक α एवं β हैं, तो हम पाते हैं कि
α+β=−ba=2–√=−(−32√)3
और α⋅β=ca=13 (हर समान करने पर)
⇒ यदि a= 3 तब b = – 3 2–√ एवं c = 1 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं, 3x² – 32–√ x + 1 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (3x² – 32–√ x + 1) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

(iii) मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax² + bx + c है जिसमें शून्यक α एवं β हैं तो हम पाते हैं कि
α+β=−ba=0=−01
और α.β = ca = 5–√ = =5√1
⇒ यदि a = 1 तब b = 0 एवं c = 5–√ होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं: x² + 0.x + 5–√ अर्थात् x² + 5–√ है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (x² + 5–√) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

(iv) मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax² + bx + c है जिसके शून्यक α एवं β हैं, तो हम पाते ‘हैं कि
α+β=−ba=1=−(−1)1
और α.β = ca = 1 = 11
⇒ यदि a = 1 तब b = -1 एवं c = 1 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं, x² + x + 1 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (4x² + x + 1) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

(v) मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax² + bx + c है जिसके शून्यक α एवं β हैं, तो हम पाते हैं कि
α + β = – ba = – 14
और α.β = ca = 14
⇒ यदि a = 4 तब b = 1 एवं c = 1 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं, 4x² + x + 1 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (4x² + x + 1) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

(vi) मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax² + bx + c है जिसके शून्यक α एवं β हैं तो हम पाते हैं कि
α + β = – ba = 4 = – (−4)1
और α.β = ca = 1 = 11
⇒ यदि a = 1 तब b = – 4 एवं c = 1 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं,: x² + 1 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (4x² – 4x + 1) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

Ex 2.3

प्रश्न 1.
विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके, निम्न में p (x) को g (x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए :
(i) p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3,g (x) = x²– 2
(ii) p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5,g (x) = x² + 1 – x
(iii) P (x) = x⁴ – 5x + 6, g (x) = 2 – x²
हल:
(i) p (x) = x³ – 3x² + 5x – 3 एवं g (x) = x² – 2
चरण 1 : भागफल का प्रथम पद प्राप्त करने के लिए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद x3 को भाजक के उच्चतम घात वाले पद x2 से भाग दीजिए। यह x आता है तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए, जो शेष बचता है, वह 3x² + 7x – 3 है।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 1
चरण 2 : अब भागफल का दूसरा पद ज्ञात करने के लिए नए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद -3x² को भाजक के उच्चतम घात वाले पद x² से भाग दीजिए। यह -3 आता है तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए।

चरण 3 : अब शेष बचे 7x – 9 की घात भाजक x² – 2 की घात से कम है। इसलिए हम भाग की क्रिया को और नहीं कर सकते।
अतः, अभीष्ट भागफल = x – 3 एवं शेषफल = 7x – 9 है।

(ii) p (x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5,g (x) = x² + 1 – x यहाँ भाज्य तो भाजक रूप में है, लेकिन भाजक g (x) = x² + 1 – x मानक रूप में नहीं है अत: मानक रूप में व्यवस्थित करने पर भाजक g (x) = x² – x + 1 प्राप्त होगा।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 2
चरण 1 : भागफल का प्रथम पद प्राप्त करने के लिए भाज्य की उच्चत्तम घात वाले पद x⁴ को भाजक के उच्चत्तम घात वाले पद x² से भाग दीजिए यह x² आता है तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए, जो शेष बचता है वह x³ – 4x² + 4x + 5 है।

चरण 2 : अब भागफल का दूसरा पद ज्ञात करने के लिए नए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद x³ को भाजक के उच्चतम घात वाले पद x² से भाग दीजिए। यह x आता है तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए जो शेष बचता है वह – 3x² + 3x + 5 है।

चरण 3 : अब भागफल का तीसरा पद ज्ञात करने के लिए नए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद -3x² को भाजक के उच्चतम घात वाले पद x² से भाग दीजिए। यह -3 आता है तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए, जो शेष बचता है वह 8 है।

चरण 4: अब शेष बचे 8 की घात भाजक x² – x + 1 की घात से कम है। इसलिए हम भाग की प्रक्रिया को और नहीं कर सकते।
अतः, अभीष्ट भागफल = x² + x – 3 एवं शेषफल = 8 है।

(iii) p (x) = x⁴ – 5x + 6, g (x) = 2 – x²
यहाँ भाज्य तो मानक रूप में है लेकिन भाजक g (x)= 2 – x² मानक रूप में नहीं है, इसलिए भाजक को मानक रूप में व्यवस्थित करने पर g (x) = – x² +2 प्राप्त होगा।

चरण 1 : भागफल का प्रथम पद प्राप्त करने के लिए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद x⁴ को भाजक के उच्चतम घात वाले पद -x² से भाग दीजिए, यह – x² आता है, तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए। जो शेष बचता है, वह 2x²-5x + 6
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 3

चरण 2 : अब भागफल का द्वितीय पद ज्ञात करने के लिए नए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद 2x² को भाजक के उच्चतम घात वाले पद -x² से भाग दीजिए। यह – 2 आता है, तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए। जो शेष बचता है, वह – 5x + 10 है।

चरण 3 : अब शेष बचे – 5x + 10 की घात भाजक – x² + 2 से कम है। इसलिए हम भाग की प्रक्रिया को और नहीं कर सकते।
अतः, अभीष्ट भागफल = -x² – 2 एवं शेषफल = -5x + 10 है।

प्रश्न 2.
पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड है :
(i) t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12
(ii) x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2
(iii) x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1
हल:
(i) यहाँ भाजक t² – 3 एवं भाज्य 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12 हैं जो मानक रूप में व्यवस्थित हैं।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 4
चूँकि यहाँ शेषफल शून्य आया है।
अतः, दिया हुआ प्रथम बहुपद, द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड है।

(ii) यहाँ भाजक x² + 3x + 1 तथा भाज्य 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2 हैं जो मानक रूप में व्यवस्थित हैं।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 5
चूँकि यहाँ शेषफल शून्य आया है।
अतः, दिया हुआ प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड है।

(iii) यहाँ भाजक x³ – 3x + 1 एवं भाज्य x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1 हैं जो मानक रूप में व्यवस्थित हैं।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 6
यहाँ शेषफल 2 आया है, शून्य नहीं है।
अतः, दिया हुआ प्रथम बहुपद, द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड नहीं है।

प्रश्न 3.
3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5 के अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि इसके दो शून्यक 53−−√
और – 53−−√ हैं।
हल:
चूँकि 53−−√ एवं –53−−√ दिए गए बहुपद के दो शून्यक हैं, इसलिए (x – 53−−√)(x + 53−−√) अर्धात (x² – 53) दिए गए बहुपद का एक गुणक होगा। अब विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग दिए गए बहुपद एवं (x² – 53) के लिए करते हैं :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 7
इसलिए 3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5 = (x² – 53) (3x² + 6x + 3)
अब 3x² + 6x + 3 के गुणनखण्ड 3 (x + 1)² प्राप्त होते हैं इसलिए इसके शून्यक x = -1 एवं x = -1 होंगे।
अतः, दिए बहुपद के अन्य शून्यक -1 और -1 है।

प्रश्न 4.
यदि x³ – 3x² + x + 2 को एक बहुपदg (x) से भाग देने पर भागफल और शेषफल क्रमशः x – 2 और – 2x + 4 हैं, तो g (x) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर हम पाते हैं:
g (x).(x – 2) + (-2x + 4) = x³ – 3x² + x + 2
⇒ g (x).(x – 2) x³ – 3x² + x + 2 + 2x – 4
x³ – 3x² + 3x – 2
⇒ g(x) = x3−3x2+3x−2x−2
इसलिए g (x) का मान ज्ञात करने के लिए हम बहुपद x³ – 3x² + 3x – 2 को व्यंजक x – 2 से विभाजित करेंगे
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 8
अतः,g (x) का अभीष्ट मान x² – x + 1 है।

प्रश्न 5.
बहुपदों p (x), g (x), q (x) और r (x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथ्म को सन्तुष्ट करते हों तथा
(i) घात p (x) = घात q(x)
(ii) घात q (x) = घात r (x)
(ii) घात r (x) = 0
हल:
(i) p (x) = 2x² – 2x + 14, g (x) = 2,
q(x) = x² – x + 7 एवं r (x) = 0
(ii) p (x) = x³ + x² + x + 1, g (x) = x² – 1,
q(x) = x + 1 एवं r (x) = 2x +2
(iii) p (x) = x³ + 2x² – x + 2, g (x) = x² – 1,
q(x) = x + 2 एवं r (x) = 4
ज्ञातव्य : उपर्युक्त तीनों प्रश्नों (i), (ii) एवं (iii) के अनेक उदाहरण हो सकते हैं।

Ex 2.4

प्रश्न 1.
सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शुन्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणाकों के बीच के सम्बन्ध को भी सत्यापित कीजिए :
(i) 2x³ + x² – 5x + 2; 12,1,-2
(ii) x³ – 4x² + 5x – 2; 2, 1, 1
हल:
(i) माना p (x) = 2x³ + x² – 5x +2
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4 1
अतः, 12,1 एवं – 2 दिए गए बहुपद के शून्यक हैं। सत्यापित होता है।

अतः, इस प्रकार बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच के सम्बन्ध का सत्यापन होता है।

(ii) माना p (x) = x³ – 4x² + 5x – 2 (दिया है)
⇒ p (2) = (2)³ – 4(2)² + 5 (2)-2 .
= 8 – 16 + 10 – 2 = 18 – 18 = 0
तथा p (1) = (1)³ – 4 (1)² + 5 (1) – 2
= 1 – 4 + 5 – 2 = 6 – 6 = 0
इसलिए 2 एवं 1 दिए गए बहुपद के दो शून्यक हैं, अतः (x – 2) (x – 1) अर्थात् x² – 3x + 2 इस बहुपद का एक गुणक होगा।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4 2
⇒ x³ – 4x² + 5x – 2 = (x² – 3x + 2) (x – 1)
⇒ (x – 1) दिए बहुपद x³ – 4x² + 5x – 2 का एक अन्य गुणक होगा।
⇒ दिए बहुपद का अन्य (तीसरा) शून्यक 1 होगा।
अतः, 2, 1, 1 दिए बहुपद के शून्यक हैं सत्यापित होता है।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4 4
अतः, इस प्रकार बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच सम्बन्ध का सत्यापन होता है।

प्रश्न 2.
एक त्रिघात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यकों का योग, दो शून्यकों को एक साथ लें उनके गुणनफलों का योग तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 2, -7, – 14 हों।
हल:
मान लीजिए त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d है जिसके शून्यक α,β और γ हैं तो हम पाते हैं कि
α + β + γ = –ba = 2
तथा αβ + βγ + yα = ca = -7
एवं αβγ = – da = – 14
यदि a = 1 तब b = -2, c = -7 एवं d = 14
अतः, अभीष्ट त्रिघात बहुपद = x³ – 2x² – 7x + 14 होगा।

प्रश्न 3.
यदि बहुपद x³ – 3x² + x + 1 के शून्यक a – b, a, a + b हों, तो a और b ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि x³ – 3x² + x + 1 के शून्यक a – b, a, a + b हैं इसलिए a – b + a + a + b = –(−3)1 = 3
⇒ 3a = 3 ⇒ a = 33 = 1 …(1)
तथा (a – b) (a) + (a) (a + b) + (a + b) (a – b) = 11 = 1
⇒ a² – ab + a² + ab + a² – b² = 1
⇒ 3a² – b² = 1 …(2)
एवं (a – b) (a) (a + b) = –11 = -1
⇒ a (a² – b²)= – 1 ⇒ a³ – ab² = – 1
अब समीकरण (1) एवं (2) से,
3(1)² – b² = 1 ⇒ 3 – b² = 1
⇒ b² = 3 – 1 = 2 ⇒ b = ± 2–√ …(4)
एवं समीकरण (1) एवं (3) से,
(1)³ – (1) (b²) = – 1 ⇒ 1 – b² = – 1
⇒ b² = 1 + 1 = 2 ⇒ b= ± 2–√
अतः, a और b के अभीष्ट मान a = 1 एवं b = ± 2–√ हैं।

प्रश्न 4.
यदि बहुपद x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 के दो शून्यक 2 ± 3–√ हों, तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि 2 ± 3–√ दिए गए बहुपद के दो शून्यक हैं इसलिए (x – 2 – 3–√ ) (x – 2 + 3–√ ) अर्थात्
[(x – 2)² – (3–√)²]
अर्थात् (x² – 4x + 4 – 3) अर्थात् (x² – 4x + 1) इस बहुपद का एक गुणक होगा।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4 5
इसलिए x² – 2x – 35 भी दिए हुए बहुपद का एक अन्य गुणक होगा। गुणनखण्ड करने पर,
x² – 2x – 35 = x² – (7 – 5) x – 35
= x² – 7x + 5x – 35
= x (x – 7) + 5 (x – 7)
= (x – 7) (x + 5) प्राप्त होता है।
अतः, 7 एवं – 5 दिए बहुपद के दो अन्य अभीष्ट शून्यक होंगे।

प्रश्न 5.
यदि बहुपद x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 को एक अन्य बहुपद x² – 2x + k से भाग दिया जाए तो शेषफल (x + a) आता हो, तो k तथा a ज्ञात कीजिए।
हल:
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4 7
लेकिन शेषफल = x + a दिया है। इसलिए दोनों शेषफलों की तुलना करने पर हम पाते हैं –
2k – 9 = 1 ⇒ 2k = 10 ⇒ k = 5 ….(1)
एवं K² – 8k + 10 = a ….(2)
⇒ a = (5)² – 8 (5) + 10 = 25 – 40 + 10 = 35 – 40
⇒ a = -5
अतः, k एवं a के अभीष्ट मान k = 5 एवं a = -5 हैं।

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 2 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 2 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नांकित प्रत्येक स्थिति के लिए द्विघात (वर्ग) बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों के योग एवं गुणनफल क्रमशः निम्नांकित हैं। इन बहुपदों के गुणनखण्ड विधि से शून्यक भी ज्ञात कीजिए:
(i) – 83
(ii) 218 , 516
(iii) -23–√,-9
(iv) −325√,−12
हल:
(i) यहाँ शून्यकों का योग –83 एवं गुणनफल 43 है।
∵ चूँकि द्विघात बहुपद = x² – (शून्यकों का योग) x + (शून्यकों का गुणनफल)
⇒ द्विघात बहुपद = x² – (- 83) x + 43
= 13 (3x² + 8x + 4)
अब 13 (3x² + 8x + 4) = 13 (3x² + 6x + 2x + 4)
= 13 [3x (x + 2) + 2 (x + 2)] = 13 (x + 2) (3x + 2)
⇒ शून्यक क्रमश : -2 एवं – 23
अतः, अभीष्ट द्विधात बहुपद 13 (3x² + 8x + 4) एवं उसके शून्यक क्रमशः -2 एवं – 23 हैं।

(ii) यहाँ शून्यकों का योग 218 एवं गुणनफल 516 है।
चूँकि द्विघात बहुपद = x² – (शून्यकों का योग) x + (शून्यकों का गुणनफल)
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions 1
अतः, अभीष्ट द्विघात बहुपद 116 (16x² – 42x+ 5) है तथा इसके अभीष्ट शून्यक क्रमशः 52 एवं 18 हैं।

(iii) यहाँ शून्यकों का योग -23–√ एवं गुणन -9 है।
चूँकि द्विघात बहुपद = x² – (शून्यकों का योग) x + (शून्यकों का गुणनफल)
⇒ द्विघात बहुपद = x² – (-23–√) x + (-9)
= x² + 2 3–√ x – 9
अब x² + 2 3–√ x – 9 = x2 + 3 3–√ x – 3–√ x – 9
= x (x + 3 3–√) – 3–√ (x + 3 3–√)
= (x + 3 3–√) (x – 3–√)
⇒ शून्यक क्रमशः-33–√ एवं 3–√
अतः, अभीष्ट द्विघात बहुपद x² + 2 3–√ x – 9 है तथा इसके अभीष्ट शून्यक क्रमशः -3 3–√ एवं 3–√ हैं।

(iv) यहाँ शून्यकों का योग −325√ एवं गुणन –12 है।
चूँकि द्विघात बहुपद = x² – (शून्यकों का योग) x + (शून्यकों का गुणनफल)
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions 2
अतः, अभीष्ट द्विघात बहुपद 125√(25–√x2+3x−5–√) है तथा इसके शून्यक क्रमशः
−5√2 एवं 15√ हैं।

प्रश्न 2.
2–√ घन (त्रिघात) बहुपद 6x³ + 2–√ x² – 10x – 4 2–√ का एक शून्यक है। इसके अन्य दो शून्यकों को ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि 2–√ दिए हुए त्रिघात बहुपद का एक शून्यक है इसलिए (x – 2–√) इस बहुपद का एक गुणनखण्ड होगा।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions 3
⇒ 6x³ + 2–√ x² – 10x – 42–√ = (x – 2–√) (6x² + 7 2–√x + 4)
अब 6x² + 72–√ x + 4 = 6x² + 42–√ x + 32–√ x + 4
= 2x (3x + 22–√) + 2–√ (3x + 22–√)
= (3x + 22–√ ) (2x + 2–√)
⇒ अन्य शून्यक −22√3 एवं 2√2 अर्थात् 12√
अतः, दिए हुए त्रिधात बहुपद के अन्य दो अभीष्ट शून्यक क्रमशः −22√3 एवं −2√2 अर्थात् −12√ = हैं।

प्रश्न 3.
(x – 5–√) एक त्रिघात बहुपद x³ – 3 5–√ x² + 13x – 35–√ का एक गुणनखण्ड दिया हुआ है। इस बहुपद के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि (x – 5–√) दिए हुए त्रिघात बहुपद का एक गुणनखण्ड दिया है
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions 4

अतः, दिए हुए त्रिधात बहुपद के शून्यक क्रमशः 5–√, (5–√ + 2–√) एवं (5–√ – 2–√) हैं।

MP Board Class 10th Maths Chapter 2 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बहुपदों के गुणनखण्ड विधि से शून्यक ज्ञात कीजिए एवं उनके तथा बहुपद के गुणांकों के बीच सम्बन्ध का सत्यापन कीजिए :
(1) 4x² – 3x – 1
(2) 3x² + 4x – 4
(3) 5t² + 12t + 7
(4) t³ – 2t² – 15t
(5) 2x² + 72 x + 34
(6) 4x² + 5 2–√ x – 3
(7) 2s² – (1 + 22–√ ) s + 2–√
(8) u² + 43–√ u – 15
(9) y² + 32 5–√ y – 5,
(10) 7y² – 113 y – 23
हल:
(1) 4x² – 3x – 1 = 4x² – 4x + x – 1
= 4x (x – 1)+ 1 (x – 1)
= (x – 1) (4x + 1)
जब x – 1 = 0 ⇒ x = 1 एवं जब 4x + 1 = 0 ⇒ x = – 14
अतः, अभीष्ट शून्यक 1 एवं –14 हैं।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions 5
अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(2) 3x² + 4x – 4 = 3x² + 6x – 2x – 4
= 3x (x + 2) -2 (x + 2)
= (x + 2) (3x – 2)
जब x + 2 = 0 ⇒ x = -2 एवं जब 3x – 2 = 0 ⇒ x = 23
अतः, अभीष्ट शून्यक – 2 एवं 23 है।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions 6
अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(3) 5t² + 12t + 7 = 5t² + 5t + 7t + 7
= 5t (t + 1) + 7 (t + 1)
= (t + 1) (5t + 7)
जब t + 1 = 0 ⇒ t = -1 एवं जब 5t + 7 = 0 ⇒ t = –75
अतः, अभीष्ट शून्यक -1 एवं –75 हैं।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions 7
अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(4) t³ – 2t² – 15t = t [t² – 2t – 15]
= t [t² – 5t + 3t – 15]
= t [t (t – 5) + 3 (t – 5)]
= t (t – 5) (t + 3)
t = 0, जब t – 5 = 0 ⇒ t = 5 और जब t + 3 = 0 ⇒ t = -3.
अतः, अभीष्ट शून्यक 0, 5 एवं -3 हैं।
यदि शून्यक α = 0, β = 5 एवं γ = – 3 मान हों तो
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions 8
अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(5) 2x² + 72x + 34 = 14 (8x² + 14x + 3) = 14 (8x² + 12x + 2x + 3)
= 14 [4x (2x + 3) + 1 (2x + 3)]
= 14 (2x + 3) (4x + 1)
जब 2x + 3 = 0 ⇒ x = −32 और जब 4x + 1 = 0 ⇒ x = −14
अतः, अभीष्ट शून्यक –32 एवं –14 है।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions 9
अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता हैं।

(6) 4x² + 52–√ x – 3 = 4x² + 62–√ x –2–√ x – 3
= 22–√ x (2–√x + 3) – 1 (2–√x + 3)
= (2–√x + 3) (22–√ x – 1)
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions 10
अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(7) 2s² – (1 + 22–√)s + 2–√ = 2s² – s – 22–√ s + 2–√
= s (2 s – 1) – 2–√ (2 s – 1)
= (2 s – 1) (s – 2–√)
जब 2s – 1 = 0 ⇒ s = 12 एवं ज़ब s – 2–√ = 0 ⇒ s = 2–√
अतः, अभीष्ट शून्यक 12 एवं 2–√ हैं।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions 11
अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(8) u² + 43–√ u – 15 = u² + 53–√ u – 3–√ u – 15
= u(u + 5 3–√) – 3–√ (u + 5 3–√)
= (u + 5 3–√) (u – 3–√)
जब u + 5 3–√ = 0 ⇒ u = -5 3–√ एवं जब u – 3–√ = 0 ⇒ u = 3–√
अतः, अभीष्ट शून्यक -5 3–√ एवं 3–√ हैं।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions 12
अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(9)
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions 13
अतः, अभीष्ट शून्यक – 25–√ एवं 5√2 हैं।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(10)
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions 15
जब 3y – 2 = 0 ⇒ y = 23 एवं जब 7y + 1 = 0 ⇒ y = – 17
अतः, अभीष्ट शून्यक 23 एवं –17 हैं।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 2 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए तथा पुष्टि कीजिए :
(i) 5 घातांक वाले x के बहुपद द्वारा x⁶ + 2x³ + x – 1 को विभाजित करने पर x2 – 1 भागफल हो सकता है, क्या?
(ii) क्या द्विघात बहुपद x² + kx + k के किसी विषम पूर्णांक k > 1 के लिए बराबर शून्यक हो सकते हैं?
उत्तर:
(i) नहीं हो सकता क्योंकि यहाँ भागफल एवं भाजक के गुणनफल का घातांक भाज्य बहुपद के घातांक 6 से अधिक हो रहा है जो असम्भव है।
(ii) नहीं हो सकते, क्योंकि बराबर शून्यक के लिए k² – 4k = 0 ⇒ k(k -4) = 0 होना चाहिए, जहाँ या तो k = 0 अथवा k = 4 होगा जो विषम पूर्णांक k > 1 नहीं है।

प्रश्न 2.
निम्न कथन सत्य हैं अथवा असत्य? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए :
(i) यदि किसी बहुपद ax² + bx + c के दोनों शून्यक धनात्मक तब a,b एवं c सभी के चिह्न समान होंगे।
(ii) यदि किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को केवल एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करे तो यह बहुपद द्विघात बहुपद नहीं हो सकता।
(iii) यदि किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को ठीक दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता है तो यह जरूरी नहीं कि यह द्विघात बहुपद हो।
(iv) यदि किसी घन बहुपद के दो शून्यक शून्य हों तब इसमें कोई रेखीय एवं स्थिरांक पद नहीं होगा।
(v) यदि किसी घन बहुपद के सभी शून्यक ऋणात्मक हों तो उसके सभी गुणांकों के चिन्ह समान होंगे।
(vi) यदि किसी घन बहुपद के सभी शून्यक धनात्मक हों तो a, b और c में से कम-से-कम एक तो ऋणात्मक होगा।
(vii) k का एक मात्र मान जिसके लिए द्विघात बहुपद kx² + x + k समान शून्यक रखता हो, 12 है।
उत्तर:
(i) कथन असत्य है, क्योंकि दोनों धनात्मक शून्यकों के लिए x का गुणांक b ऋणात्मक होगा।
(ii) कथन असत्य है, क्योंकि यदि द्विघात बहुपद के दोनों शून्यक समान होंगे तो उसका ग्राफ x-अक्ष को केवल एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करेगा।
(iii) कथन सत्य है, क्योंकि यह त्रिघात बहुपद भी हो सकता है, यदि इसके दो शून्यक समान हों।
(iv) कथन सत्य है, क्योंकि वह त्रिधात (घन) बहुपद ar3 ± bx2 प्रकार का होगा।
(v) कथन सत्य है, क्योंकि यदि त्रिघात बहुपद के शून्यक α, β एवं γ हैं जो ऋणात्मक है तो α + β + γ = – ba ऋणात्मक होगा जब b एवं a दोनों के चिह्न समान हों।
αβ + βγ + γα = ca धनात्मक होगा जबकि c एवं a के चिन्ह समान हो तथा αβγ = −da
ऋणात्मक होगा जबकि d एवं a के चिह्न समान हैं।
अतः a, b,c एवं d के चिह्न समान हों तभी सम्भव हैं।
(vi) कथन अ सत्य है, क्योंकि यहाँ a, b एवं c तीनों ऋणात्मक होंगे।
(vii) द्विघात बहुपद kx² + x + k के शून्यक समान होंगे यदि
(1)² – 4k² = 0 ⇒ k² = 14 ⇒ k = ± 12
अतः, कथन असत्य है क्योंकि k का मान 12 या −12 हो सकता है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 2 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 2 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि किसी द्विघात बहुपद (k – 1) x² + kx + 1 का एक शून्यक -3 है तब k का मान होगा :
(a) 43
(b) – 43
(c) 23
(d) – 23
उत्तर:
(a) 43

प्रश्न 2.
एक द्विघात बहुपद जिसके शून्यक -3 एवं 4 हैं होगा :
(a) x² – x + 12
(b) x² + x + 12
(c) x22−x2−6
(d) 2x² + 2x -24.
उत्तर:
(c) x22−x2−6

प्रश्न 3.
यदि किसी द्विघात बहुपद x² + (a + 1) x + b के शून्यक 2 एवं -3 हों, तो :
(a) a = -7, b = – 1
(b) a = 5, b = -1
(c) a = 2, b = -6
(d) a = 0, b = – 6
उत्तर:
(d) a = 0, b = – 6

प्रश्न 4.
-2 एवं 5 शून्यक वाले बहुपदों की संख्या होगी :
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 3 से अधिक
उत्तर:
(d) 3 से अधिक

प्रश्न 5.
एक त्रिघात (घन) बहुपद ax³ + bx² + cx + d का एक शून्यक शून्य (0) है, तो दो अन्य शून्यकों का गुणनफल होगा:
(a) –ca
(b) ca
(c) 0
(d) – ba
उत्तर:
(b) ca

प्रश्न 6.
यदि किसी त्रिघात (घन) बहुपद x³ + ax² + bx + c का एक शून्यक -1 हो, तब अन्य दो शून्यकों का गुणनफल होगा:
(a) b – a + 1
(b) b – a – 1
(c) a – b + 1
(d) a – b – 1
उत्तर:
(a) b – a + 1

प्रश्न 7.
एक द्विघात (वर्ग) बहुपद x² + 99x + 127 के शून्यक होंगे :
(a) दोनों धनात्मक
(b) दोनों ऋणात्मक
(c) एक धानात्मक तथा दूसरा ऋणात्मक
(d) दोनों समान।
उत्तर:
(b) दोनों ऋणात्मक

प्रश्न 8.
यदि किसी वर्ग (द्विघात) बहुपद ax² + bx + c, c ≠ 0 को शून्यक समान हों, तब
(a) c एवं a के चिह्न विपरीत होंगें
(b) c एवं b के चिह्न विपरीत होंगे
(c) c एवं a के चिह्न समान होंगे
(d) c एवं b के चिह्न समान होंगें।
उत्तर:
(c) c एवं a के चिह्न समान होंगे

प्रश्न 9.
यदि द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यक α और β हों, तो α.β का मान होगा: (2019)
(a) c/a
(b) a/c
(c) -c/a
(d) -a/c
उत्तर:
(a) c/a

प्रश्न 10.
बहुपद x² – 3 के शून्यक होंगे: (2019)
(a) ± 3–√
(b) ± 3
(c) 3
(d) 9
उत्तर:
(a) ± 3–√

रिक्त स्थानों की पूर्ति

(x – 1) (x – 2) के शून्यक होंगे …………………… एवं ……………………।
दो बहुपद का योग …………………… होता है।
ar² + bx + c एक …………………… बहुपद का उदाहरण है।
चर के वे मान जिनको बहुपद में प्रतिस्थापित करने पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है …………………… कहलाता
रैखिक बहुपद के अधिकतम …………………… शून्यक हो सकते हैं।

उत्तर:

1,2
एक बहुपद
द्विघात
शून्यक
एक।

जोडी मिलाइए
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions 17
उत्तर:

→ (c)
→ (d)
→ (e)
→ (a)
→ (b)

सत्य/असत्य कथन

प्रश्न 1.
एक द्विघात बहुपद ax² + bx + c के रूप का होता है, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0.
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 2.
x−−√ + 2 एक बहुपद है।
उत्तर:
असत्य

प्रश्न 3.
बहुपद p (x) में x की उच्चतम घात बहुपद की घात कहलाती है।
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 4.
द्विघात बहुपद में केवल एक शून्यक हो सकता है।
उत्तर:
असत्य

प्रश्न 5.
एक वास्तविक संख्या k बहुपद p(x) का शून्यक कहलाती है, यदि p (k) = 0.
उत्तर:
सत्य

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

प्रश्न 1.
रैखिक बहुपद की घात कितनी होती है?
उत्तर:
एक

प्रश्न 2.
p (x) = g (x) × q (x) + r (x) यह निष्कर्ष क्या कहलाता है?
उत्तर:
विभाजन एल्गोरिथ्म

प्रश्न 3.
यदि ax² + bx + c के शून्यक α एवं β हों तो α + β का मान क्या होगा?
उत्तर:
– ba

प्रश्न 4.
यदि ax² + bx + c के शून्यक α एवं β हों तो α.β का मान क्या होगा?
उत्तर:
ca

प्रश्न 5.
त्रिघात बहुपद के अधिकतम कितने शून्यक हो सकते हैं?
उत्तर:
तीन।

TENSE