MP Board Class 10th Maths | द्विघात समीकरण

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.2

प्रश्न 1.
गुणनखण्ड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए:
(i) x² – 3x – 10 = 0
(ii) 2x² + x – 6 = 0
(iii) 2–√ x² + 7x + 52–√ = 0
(iv) 2x² – x + 18 = 0
(v) 100x² – 20x + 1 = 0
हल:
(i) x² – 3x – 10 = 0
⇒ x – 5x + 2x – 10 = 0
⇒ x (x – 5) + 2 (x – 5) = 0
⇒ (x – 5) (x + 2) = 0
या तो x – 5 = 0 ⇒ x = 5
अथवा x + 2 = 0 ⇒ x = -2
अत: दत्त समीकरण के अभीष्ट मूल 5 एवं -2 हैं।

(ii) 2x² + x – 6 = 0
⇒ 2x² + 4x – 3x – 6 = 0
⇒ 2x (x + 2)- 3 (x + 2) = 0
⇒ (x + 2) (2x – 3) = 0
या तो x + 2 = 0 ⇒ x = -2
अथवा 2x – 3 = 0 ⇒ x = 32
अतः दत्त समीकरण के अभीष्ट मूल – 2 एवं 32 हैं।

(iii) 2–√ x² + 2x + 5 2–√ = 0
⇒ 2–√ x² + 5x + 2x + 52–√ = 0
⇒ x(2–√x + 5) + 2–√ (2–√x + 5) = 0
⇒ (2–√ x + 5) (x + 2–√) = 0
या तो 2–√ x + 5 = 0 ⇒ x = −52√
अथवा x + 2–√ = 0 ⇒ x = – 2–√
अतः दत्त समीकरण के अभीष्ट मूल −52√ एवं –2–√

(iv) 2×2 – x + 18 = 0
⇒ 16x² – 4x – 4x + 1 = 0
⇒ 16x² – 4x – 4x + 1 = 0
⇒ 4x(4x – 1) -1 (4x – 1) = 0
⇒ (4x – 1) (4x – 1) = 0
⇒ (4x – 1)² = 0
⇒ 4x – 1 = 0
⇒ x = 14
अत: दत्त समीकरण के अभीष्ट मूल 14 एवं 14 हैं।

(v) 100x² – 20x + 1 = 0
⇒ 100x² – 10x – 10x + 1 = 0
⇒ 10x (10x – 1)- 1 (10x – 1) = 0
⇒ (10x – 1) (10x – 1) = 0
⇒ (10x – 1)² = 0
⇒ 10x – 1 = 0
⇒ x = 110
अतः दत्त समीकरण के अभीष्ट मूल 110 एवं 110 हैं।

प्रश्न 2.
(i) जॉन और जीवन्ती दोनों के पास कुल 45 कंचे हैं। दोनों पाँच-पाँच कंचे खो देते हैं और अब उनके पास कंचों की संख्या का गुणनफल 124 है। बताइए आरम्भ में उनके पास कितने-कितने कंचे थे?
(ii) एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौने निर्मित करता है। प्रत्येक खिलौने का मूल्य (₹ में) 55 में से एक दिन में निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर है। किसी एक दिन कुल निर्माण लागत ₹ 750 थी। उस दिन निर्माण किए गए खिलौने की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) मान लीजिए जॉन के पास प्रारम्भ में x कंचे थे तो जीवन्ती के पास प्रारम्भिक कंचों की संख्या = 45 – x
पाँच-पाँच कंचे खोने के बाद दोनों के पास शेष बचे कंचों की संख्या क्रमशः (x – 5) एवं (40 – X) हुई।
अब प्रश्नानुसार, (x – 5) (40 – x) = 124
⇒ 40x – x² – 200 + 5x = 124
⇒ x² – 45x + 324 = 0
⇒ x² – 9x – 36x + 324 = 0
⇒ x (x – 9) – 36 (x – 9) = 0
⇒ (x – 9) (x – 36) = 0
या तो x – 9 = 0 ⇒ x = 9
अथवा x – 36 = 0 ⇒x = 36
चूँकि 9 और 36 का योग 45 और गुणनफल 324 है।
अतः उनके पास अभीष्ट 9 और 36 कंचे थे।

(ii) मान लीजिए किसी दिन निर्मित खिलौनों की संख्या : है। इसलिए प्रश्नानुसार प्रत्येक खिलौने का मूल्य = ₹ (55 – x)
खिलौनों का कुल मूल्य x (55 – x) = 750
⇒ 55x – x² = 750
⇒ x² – 55x + 750 = 0
⇒ x² – 25x – 30x + 750 = 0
⇒ x (x – 25) – 30 (x – 25) = 0
⇒ (x – 25) (x – 30) = 0
या तो x – 25 = 0 ⇒ x = 25
अथवा x – 30 = 0 ⇒ x = 30
अतः उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या या तो 25 अथवा 30 है।

प्रश्न 3.
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 27 और गुणनफल 182 हो।
हल:
मान लीजिए एक संख्या x है, तो दूसरी संख्या 27 – x होगी [चूँकि योग 27 दिया है]
अब प्रश्नानुसार, x (27 – x) = 182
⇒ 27x – x² = 182
⇒ x² – 27x + 182 = 0
⇒ x² – 13x – 14x + 182 = 0
⇒ x (x – 13) – 14 (x – 13) = 0
⇒ (x – 13) (x – 14) = 0
या तो x – 13 = 0 ⇒ x = 13
अथवा x – 14 = 0 ⇒ x = 14
चूँकि 13 और 14 का योग 27 और गुणनफल 182 है।
अतः अभीष्ट संख्याएँ 13 एवं 14 हैं।

प्रश्न 4.
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 है।
हल:
मान लीजिए दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक x एवं x + 1 हैं, तो प्रश्नानुसार,
(x + 1)² + (x)² = 365
⇒ x² + 2x + 1 + x² = 365
⇒ 2x² + 2x – 364 = 0
⇒ x² + x – 182 = 0
⇒ x² + 14x – 13x – 182 = 0
⇒ x (x + 14) – 13 (x + 14) = 0
⇒ (x + 14) (x – 13) = 0
या तो x + 14 = 0 ⇒ x = – 14 (जो धनात्मक नहीं हैं)
अथवा x – 13 = 0 ⇒ x = 13
अतः अभीष्ट धनात्मक पूर्णांक 13 एवं 14 हैं।

प्रश्न 5.
एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई उसके आधार से 7 cm कम है। यदि कर्ण 13 cm का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए समकोण त्रिभुज का आधार x cm है, तो त्रिभुज की ऊँचाई = (x – 7) cm (प्रश्नानुसार)
चूँकि (आधार)² + (ऊँचाई)² = (कर्ण)² (पाइथागोरस प्रमेय से)
⇒ (x)² + (x – 7)² = (13)² (∵ कर्ण = 17 cm दिया है)
⇒ x² + x² – 14x + 49 = 169
⇒ 2x² – 14x – 120 = 0
⇒ x² – 7x – 60 = 0
⇒ x² – 12x + 5x – 60 = 0
⇒ x(x – 12) + 5 (x – 12) = 0
⇒ (x – 12) (x + 5) = 0
या तो x + 5 = 0 ⇒ x = -5 (जो असम्भव है)
अथवा x – 12 = 0 ⇒ x = 12 cm
⇒ ऊँचाई = x = 12 – 7 = 5 cm
अतः समकोण त्रिभुज का आधार = 12 cm तथा ऊँचाई = 5 cm है।

प्रश्न 6.
एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक नग की निर्माण लागत (₹ में) उस दिन के निर्माण किए गए बर्तनों की संख्या के दुगने से 3 अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत ₹ 90 थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए।
हल:
माना विशेष दिन निर्मित बर्तनों की संख्या x है, तो प्रत्येक बर्तन की लागत = (2x + 3) प्रश्नानुसार
अब कुल लागत = लागत दर × बर्तनों की संख्या
⇒ (2x + 3) × x = 90
⇒ 2x² + 3x = 90
⇒ 2x² + 3x – 90 = 0
⇒ 2x² + 15x – 12x – 90 = 0
⇒ x (2x + 15) – 6(2x + 15) = 0
⇒ (2x + 15) (x – 6) = 0
या तो 2x + 15 = 0 ⇒ x = −152 (जो असम्भव है)
अथवा x – 6 = 0 ⇒ x = 6
प्रति बर्तन लागत = 2x + 3 = 2 × 6 + 3
= 12 + 3 = 15
अत: निर्मित बर्तनों की अभीष्ट संख्या = 6 तथा प्रत्येक बर्तन की लागत = ₹ 15 है।

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3

प्रश्न 1.
यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए:
(i) 2x² – 7x + 3 = 0
(ii) 2x² + x – 4 = 0
(iii) 4x² + 43–√x + 3 = 0
(iv) 2x² + x + 4 = 0
हल:
(i) चूँकि 2x² – 7x + 3 = 0 में a = 2, b = – 7 एवं c = 3
इसलिए b² – 4ac = (-7)² – 4 (2) (3) = 49 – 24 = 25 > 0
अतः मूलों का अस्तित्व है।

अतः समीकरण के अभीष्ट मूल 12 एवं 3 हैं।

(ii) चूँकि 2x² + x – 4 = 0 में a = 2, b = 1 एवं c = -4
इसलिए b² – 4ac = (1)² – 4 (2) (-4) = 1 + 32 = 33
अतः मूलों का अस्तित्व है।

अत: समीकरण के अभीष्ट मूल = −1±33√4 हैं।

(iii) चूँकि 4x² + 43–√ x + 3 = 0 में a = 4, b = 4 3–√, c = 3
इसलिए b² – 4ac = (43–√)² (4) (3) = 48 – 48 = 0
अतः मूलों का अस्तित्व है।
अब 4x² + 4 3–√ x + 3 = 0
⇒ (2x)² + 2 (2x) (3–√) + (3–√)² = 0
(2x + 3–√)² = 0
⇒ 2x + 3–√ = 0 ⇒ x = −3√2
अत: समीकरण के अभीष्ट मूल −3√2 और −3√2 हैं।

(iv) चूँकि 2x² + x + 4 = 0 में a = 2, b = 1 एवं c = 4
इसलिए b² – 4ac = (1)² – 4 (2) (4) = 1 – 32 = -31 < 0
अत: मूलों का कोई अस्तित्त्व नहीं है।
अतः समीकरण का कोई भी वास्तविक मूल नहीं है।

प्रश्न 2.
निम्न (द्विघात) समीकरणों के मूल द्विघाती सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए –
(i) 2x² – 7x + 3 = 0
(ii) 2x² + x – 4 = 0
(iii) 4x² + 43–√ x + 3 = 0
(iv) 2x² + x + 4 = 0
हल:
(i) चूँकि 2x² – 7x + 3 = 0 में a = 2, b = – 7 एवं c = 3

अतः दत्त वर्ग समीकरण के अभीष्ट मूल 3 एवं 12 हैं।

(ii) चूँकि 2x² + x – 4 = 0 में a = 2, b = 1, एवं c = – 4

अतः द्विघात समीकरण के अभीष्ट मूल −1±33√4 हैं।

(iii) चूँकि 4x² + 43–√ x + 3 = 0 में a = 4, b = 43–√ एवं c = 3

अत: दत्त वर्ग समीकरण के अभीष्ट मूल −3√2 और −3√2 हैं।

(iv) चूँकि 2x² + x + 4 = 0 में a = 2, b = 1 एवं c = 4

चूँकि −31−−−−√ एक वास्तविक संख्या नहीं है।
अत: वर्ग समीकरण का कोई भी वास्तविक मूल नहीं है।

प्रश्न 3.
निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
(i) x – 1x = 3, x ≠ 0
(ii) 1x+4 – 1x−7 = 1130, x ≠ -4,7
हल:
(i) x – 1x = 3 ⇒ x² – 1 = 3x
⇒ x² – 3x – 1 = 0, यहाँ a = 1, b = -3 एवं c = -1

अतः दत्त समीकरण के अभीष्ट मूल 3±13√2 है।

(ii) 1x+4−1x−7=1130
⇒ 30 (x – 7) – 30 (x + 4) = 11 (x + 4) (x – 7)
⇒ 30x – 210 – 30x – 120 = 11 (x² – 7x + 4x – 28)
⇒ -330 = 11 (x² – 3x – 28)
⇒ x² – 3x – 28 = -30
⇒ x² – 3x + 2 = 0
⇒ x² – x – 2x + 2 = 0
⇒ x (x – 1)- 2 (x – 1) = 0
⇒ (x – 1) (x – 2) = 0
या तो x – 1 = 0 ⇒ x = 1
अथवा x – 2 = 0 ⇒ x = 2
अतः दत्त समीकरण के अभीष्ट मूल 1 और 2 हैं।

प्रश्न 4.
3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षों में) का व्युत्क्रम और अब से 5 वर्ष पश्चात् आयु के व्युत्क्रम का योग 13 है। उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए कि रहमान की वर्तमान आयु x वर्ष है तो प्रश्नानुसार,
1x−3 + 1x+5 = 13
⇒ 3 (x + 5) + 3 (x – 3) = (x – 3) (x + 5)
⇒ 3x + 15 + 3x – 9 = x² + 5x – 3x – 15
⇒ 6x + 6 = x² + 2x – 15
⇒ x² – 4x – 21 = 0
⇒ x² – 7x + 3x – 21 = 0
⇒ x (x – 7) + 3 (x – 7) = 0
⇒ (x – 7) (x + 3) = 0
या तो x + 3 = 0 ⇒ x = -3 (जो असम्भव है)
अथवा x – 7 = 0 ⇒ x = 7
अतः रहमान की अभीष्ट आयु = 7 वर्ष।

प्रश्न 5.
एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है। यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते, उनके अंकों को गुणनफल 210 होता। उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए अंक ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए शेफाली ने गणित में x अंक प्राप्त किए तो उसके अंग्रेजी में प्राप्त अंक = 30 – x
चूँकि दोनों विषयों के अंकों का योग 30 दिया गया है।
अब प्रश्नानुसार, (x + 2) × (30 – x – 3) = 210
⇒ (x + 2)(27 – x) = 210
⇒ 27x – x² + 54 -2x = 210
⇒ x² – 25x + 156 = 0
⇒ x² – 12x – 13x + 156 = 0
⇒ x (x – 12)- 13 (x – 12) = 0
⇒ (x – 12) (x – 13) = 0
या तो (x – 12) = 0 ⇒ x = 12
अथवा x – 13 = 0 ⇒ x = 13
जब गणित में x = 12 अंक तो अंग्रेजी में = 30 – x = 30 – 12 = 18 अंक प्राप्त होंगे और जब गणित में x = 13 अंक तो अंग्रेजी में = 30 – 13 = 17 अंक प्राप्त होंगे
अत: गणित एवं अंग्रेजी में प्राप्त अभीष्ट अंक क्रमशः 12 एवं 18 अथवा 13 एवं 17 होंगे।

प्रश्न 6.
एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मी. अधिक लम्बा है। यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मी. अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए आयताकार खेत की छोटी भुजा x मी. है तो प्रश्नानुसार विकर्ण = (x + 60) मी. एवं
बड़ी भुजा = (x + 30) मी.
अब पाइथागोरम प्रमेय से,
(विकर्ण)² = (बड़ी भुजा)² + (छोटी भुजा)²
⇒ (x + 60)² = (x + 30)² + (x)²
⇒ x² + 120x + 3600 = x² + 60x + 900 + x²
⇒ x² – 60x – 2700 = 0
⇒ x² – 90x + 30x – 2700 = 0
⇒ x (x – 90) + 30 (x – 90) = 0
⇒ (x – 90) (x + 30) = 0
या तो x + 30 = 0 ⇒ x = – 30 जो असम्भव है।
अथवा x – 90 = 0 ⇒ x = 90 मी.
⇒ छोटी भुजा = x = 90 मी.
एवं बड़ी भुजा = x + 30 = 90 + 30 = 120 मी.
अत: आयताकार खेत की अभीष्ट भुजाएँ 120 मी. एवं 90 मी. है।

प्रश्न 7.
दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए बड़ी संख्या x है तो प्रश्नानुसार,
(छोटी संख्या)² = 8x ⇒ छोटी संख्या = 8x−−√
एवं x² – 8x = 180
⇒ x² – 8x = 180 = 0
⇒ x² – 18x + 10x – 180 = 0
⇒ x(x – 18) + 10 (x – 18) = 0
⇒ (x – 18) (x + 10) = 0
यातो x – 18 = 0 ⇒ x = 18 बड़ी संख्या
तो छोटी संख्या = 8x−−√=8×18−−−−−√=144−−−√=±12
अथवा x + 10 = 0 ⇒ x = -10 जो असम्भव है।
अत: अभीष्ट संख्याएँ या तो 18 और 12 अथवा 18 और – 12 हैं।

प्रश्न 8.
एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360 km की दूरी तय करती है। यदि यह चाल 5 km/h अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घण्टा कम समय लेती। रेलगाडी की चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए रेलगाड़ी की चाल x km/h है तो 360 km दूरी तय करने में लगा समय = 360x h
अब प्रश्नानुसार, 360x+5 = 360x = 1
⇒ 1 = 360x – 360x+5
⇒ x (x + 5) = 360 (x + 5) – 360 (x)
⇒ x² + 5x = 360x + 1800 – 360x
⇒ x² + 5x – 1800 = 0
⇒ x² + 45x – 40x – 1800 = 0
⇒ x(x + 45) – 40 (x + 45) = 0
⇒ (x + 45) (x – 40) = 0
या तो x + 45 = 0 ⇒ x = -45 जो असम्भव है।
अथवा x – 40 = 0 ⇒ x = 40
अतः रेलगाड़ी की अभीष्ट चाल = 40 km/h है।

प्रश्न 9.
दो पानी के नल एक साथ एक हौज को 938 घण्टों में भर सकते हैं। बड़े व्यास वाला नल हौज को भरने में कम व्यास वाले नल से 10 घण्टे कम समय लेता है। प्रत्येक द्वारा अलग से हौज को भरने के समय ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए छोटा नल हौज को भरने में x घण्टे लेता है तो बड़ा नल उस हौज को भरने में (x – 10) घण्टे लेगा। दोनों मिलकर उस हौज को भरने में 938 = 758 घण्टे लेते हैं। 1 घण्टे में छोटा नल 1x हौज तथा बड़ा नल 1x−10 हौज भरेगा तथा 1 घण्टे में कुल 875 हौज भरेगा।
⇒ 1x + 1x−10 = 875
⇒ 75 (x – 10) + 75x = 8x (x – 10)
⇒ 75x – 750 + 75x = 8x² – 80x
⇒ 8x² – 150x – 80x + 750 = 0
⇒ 8x² – 230x + 750 = 0
⇒ 8x² – 200x – 30x + 750 = 0
⇒ 8x (x – 25) – 30 (x – 25) = 0
⇒ (x – 25) (8x – 30) = 0
या तो 8x – 30 = 0 ⇒ x = 308 = 154 = 3.75
घण्टे तब बड़े नल द्वारा लिया समय x – 10 = 3.75 – 10 = – 6:25 घण्टे, जो असम्भव है।
अथवा x – 25 = 0 ⇒ x = 25 घण्टे
तब बड़े नल द्वारा लिया समय = x – 10 = 25 – 10 = 15 घण्टे
अत: दोनों नलों द्वारा हौज को भरने में अलग-अलग लिया गया समय 25 घण्टे एवं 15 घण्टे

प्रश्न 10.
मैसूर और बैंगलौर के बीच 132 km यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी सवारी गाड़ी से 1 घण्टा कम समय लेती है। (मध्य के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान न लिया जाए) यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल सवारी गाड़ी की औसत चाल से 11 km/h अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ियों की औसत चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए सवारी गाड़ी की चाल x km/h है तो एक्सप्रेस रेलगाड़ी की चाल = (x + 11) km/h 132 km की दूरी तय करने में सवारी गाड़ी द्वारा लिया गया समय = 132x h एवं एक्सप्रेस रेलगाड़ी द्वारा लिया गया समय = 132x+11 h, तब प्रश्नानुसार,
⇒ 132x – 132x+11 = 1
⇒ 132x + 132 × 11 – 132x = x (x + 11)
⇒ 132x + 33 × 44 – 132x = x² + 11x
⇒ x² + 11x – 33 × 44 = 0
⇒ x² + 44x – 33x – 33 × 44 = 0
⇒ x(x + 44)-33 (x + 44) = 0
⇒ (x + 44) (x – 33) = 0
या तो x + 44 = 0 ⇒ x = -44 जो असम्भव है।
अथवा x – 33 = 0 ⇒ x = 33 km/h सवारी गाड़ी की चाल
⇒ एक्सप्रेस रेलगाड़ी की अभीष्ट चाल = x + 11 = 33 + 11 = 44 km/h
अत: एक्सप्रेस रेलगाड़ी की अभीष्ट चाल = 44 km/h एवं सवारी रेलगाड़ी की अभीष्ट चाल = 33 km/h.

प्रश्न 11.
दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 m² है। यदि उनके परिमापों का अन्तर 24 हो, तो दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि वर्गों के परिमापों का अन्तर = 24 m दिया है तब उनकी भुजाओं का अन्तर = 244 = 6 m
मान लीजिए कि छोटे वर्ग की भुजा x m है
तब बड़े वर्ग की भुजा = (x + 6) m होगी
⇒ क्षेत्रफलों का योग = (x + 6)² + (x)² = 468
⇒ x² + 12x + 36 + 2 = 468
⇒ 2x² + 12x – 432 = 0
⇒ x² + 6x – 216 = 0
⇒ x² + 18x – 12x – 216 = 0
⇒ x(x + 18) – 12(x + 18) = 0
⇒ (x + 18)(x – 12) = 0 या तो
⇒ x + 18 = 0 ⇒ x = -18 जो असम्भव है।
अथवा x – 12 = 0 ⇒ x = 12 m छोटे वर्ग की भुजा
अब बड़े वर्ग की भुजा = x + 6 = 12 + 6 = 18 m
अतः वर्गों की अभीष्ट भुजाएँ 12 m एवं 18 m हैं।

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.4

प्रश्न 1.
निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि मूलों का अस्तित्व हो, तो उन्हें ज्ञात कीजिए:
(i) 2x² – 3x + 5 = 0
(ii) 3x² – 4 3–√ x + 4 = 0
(iii) 2x² – 6x + 3 = 0
हल:
(i) चूँकि 2x² – 3x + 5 = 0 में a = 2, b = – 3 एवं c = 5
तो विविक्तकर b² – 4ac = (-3)² – 4(2) (5)
= 9 – 40 = – 31
अत: वास्तविक मूलों का अस्तित्व नहीं है।

(ii) चूँकि 3x² – 43–√ x + 4 = 0 में a = 3, b = – 4 3–√ एवं c = 4

अत: दोनों मूल बराबर हैं तथा प्रत्येक का मान, 23√ एवं 23√ है।

(iii) चूँकि 2x² – 6x + 3 = 0 में a = 2, b = 6 एवं c = 3
तो विविक्तकर b² – 4ac = (-6)² – 4(2) (3)
= 36 – 24 = 12

अत: मूल असमान वास्तविक हैं जिनका मान 3±3√2 है।

प्रश्न 2.
निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों
(i) 2x² + kx + 3 = 0
(ii) kx (x – 2)+ 6 = 0
हल:
(i) चूँकि समीकरण 2x² + kx + 3 = 0 में a = 2, b = k, c = 3.
एवं बराबर मूलों के लिए b² – 4ac = 0
⇒ k² – 4 × 2 × 3 = 0
⇒ k² = 24 ⇒ k = ± 2 6–√
अतः k के अभीष्ट मान = ± 2 6–√

(ii) चूँकि समीकरण kx (x – 2) + 6 = 0
⇒ kx² – 2kx + 6 = 0 में a = k, b = -2k एवं c = 6
एवं बराबर मूलों के लिए. b² – 4ac = 0
⇒ (-2k)² – 4(k) (6) = 0
⇒ 4k² – 24k = 0 ⇒ k² – 6k = 0
⇒ k (k – 6) = 0
या तो k = 0 तब समीकरण 6 = 0 जो सम्भव नहीं है।
अथवा k – 6 = 0 ⇒ k = 6
अत: k का अभीष्ट मान = 6.

प्रश्न 3.
क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना सम्भव है जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से दुगनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 m- हो? यदि है, तो उसकी लम्बाई एवं चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए आम की बगिया की चौड़ाई = x m
तो उसकी लम्बाई = 2x m
तब प्रश्नानुसार, क्षेत्रफल = 2x × x = 800 m²
⇒ 2x² = 800 ⇒ x² = 400
⇒ x = ± 400−−−√ = ± 20
लेकिन माप ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः x = 20 m
अतः बगिया की चौड़ाई = 20 m
एवं लम्बाई = 2x = 2 × 20 = 40 m
अत: बगिया बनाना सम्भव है तथा बगिया की अभीष्ट लम्बाई एवं चौड़ाई क्रमशः 40 m एवं 20 m है।

प्रश्न 4.
क्या निम्न स्थिति सम्भव है? यदि है, तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था।
हल:
मान लीजिए कि एक मित्र की आयु x वर्ष है तो दूसरे मित्र की आयु (20 – x) होगी।
अब प्रश्नानुसार (x – 4) (20 – x – 4) = 48
⇒ (x – 4) (16 – x) = 48
⇒ 16x – x² – 64 + 4x = 48
⇒ x² – 20x + 112 = 0
यहाँ a = 1, b = -20 एवं c = 112
तो b² – 4ac = (-20)² – 4 (1) (112)
= 400 – 448 = – 48
अतः दत्त स्थिति सम्भव नहीं है।

प्रश्न 5.
क्या परिमाप 80 m तथा क्षेत्रफल 400 m- के एक पार्क को बनाना सम्भव है? यदि है, तो उसकी लम्बाई एवं चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए कि पार्क की चौड़ाई = x m

अतः पार्क बनाना सम्भव है और वह वर्गाकार होगा जिसकी प्रत्येक भुजा = 20 m.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 4 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 4 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
वह प्राकृत संख्या ज्ञात कीजिए जिसके वर्ग से 84 घटाने पर वह संख्या के 8 अधिक से तीन गुना रह जाता है।
हल:
मान लीजिए अभीष्ट प्राकृत संख्या x है तो प्रश्नानुसार,
x² – 84 = 3 (x + 8)
⇒ x² – 84 = 3x + 24
⇒ x² – 3x – 108 = 0
⇒ x² – 12x + 9x – 108 = 0
⇒ x (x – 12) + 9(x – 12) = 0
⇒ (x – 12)(x + 9) = 0
या तो x + 9 = 0 तब x = – 9 लेकिन
यह एक प्राकृत संख्या नहीं है।
अथवा x – 12 = 0 तब x = 12
अतः अभीष्ट प्राकृत संख्या = 12 है।

प्रश्न 2.
एक प्राकृत संख्या में जब 12 जोड़ दिए जाएँ तो इसका मान उस संख्या के व्युत्क्रम का 160 गुना हो जाएगा। उस संख्या को ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए प्राकृत संख्या x है तो प्रश्नानुसार,
x+ 12 = 160 × 1x
⇒ x² + 12x = 160
⇒ x² + 12x – 160 = 0
⇒ x² + 20x – 8x – 160 = 0
⇒ x (x + 20) – 8 (x + 20) = 0
⇒ (x + 20) (x – 8) = 0
या तो x + 20 = 0 तथा x = – 20 जो एक प्राकृत संख्या नहीं है।
अथवा x – 8 = 0 तब x = 8,
अतः अभीष्ट प्राकृत संख्या 8 है।

प्रश्न 3.
एक रेलगाड़ी एक समान चाल से गतिमान है। यह 360 km की दूरी तय करने में 48 मिनट कम समय लेती यदि इसकी चाल वास्तविक चाल से 5 km/h अधिक होती। रेलगाड़ी की वास्तविक चाल ज्ञात कीजिए। हल:
मान लीजिए रेलगाड़ी की वास्तविक चाल x km/h है तो प्रश्नानुसार,

⇒ 4x² + 20x = 9000
⇒ x² + 5x – 2250 = 0
⇒ x² + 50x – 45x -2250 = 0
⇒ x (x + 50) – 45 (x + 50) = 0
⇒ (x + 50) (x – 45) = 0
या तो x + 50 = 0 तब x = – 50 लेकिन रेलगाड़ी की चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती
अथवा x – 45 = 0 तब x = 45
अत: रेलगाड़ी की अभीष्ट वास्तविक चाल 45 km/h

प्रश्न 4.
यदि जेबा अपनी वास्तविक आयु से 5 वर्ष कम आयु की होती तब उसकी उस उम्र आयु (वर्षों में) का वर्ग उसकी वास्तविक आयु के 5 गुने से 11 अधिक होता। उसकी वास्तविक (वर्तमान) आयु क्या है?
हल:
मान लीजिए जेबा की वास्तविक (वर्तमान) आयु x वर्ष है तो प्रश्नानुसार,
(x – 5)² = 5x + 11
⇒ x² – 10x + 25 = 5x + 11
⇒ x² – 15x + 14 = 0
⇒ x² – 14x – x + 14 = 0
⇒ x (x – 14)- 1 (x – 14) = 0
⇒ (x – 1)(x – 14) = 0
या तो x – 1 = 0 तब x = 1 (यह असम्भव है)
अथवा x – 14 = 0 तब x = 14
अतः जेबा की वास्तविक (वर्तमान) अभीष्ट आयु = 14 वर्ष।

प्रश्न 5.
निम्नांकित को के लिए हल कीजिए:


हल:

⇒ 4(x + 1)(x + 2) = (3x + 4)(x + 4)
⇒ 4(x² + 3x + 2) = (3x² + 16x + 16)
⇒ 4x² + 12x + 8 = 3x² + 16t + 16
⇒ x² – 4x – 8 = 0
यहाँ a = 1, b = -4 एवं c = – 8 है तथा

अतःx के अभीष्ट मान 2 ± 3–√ हैं।

अतःx के अभीष्ट मान 0 अथवा 4 हैं।

अतःx के अभीष्ट मान 1 अथवा – 1117

प्रश्न 6.
एक मोटर वोट जिसकी स्थिर जल में चाल 24 किमी/घण्टा है, धारा के प्रतिकूल 32 किमी जाने में वही पूरी धारा के अनुकूल जाने की अपेक्षा 1 घण्टा अधिक समय लेती है। धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए धारा की चाल = x km/h
तो धारा के अनुकूल वोट की चाल = (24 +x) km/h
एवं धारा के प्रतिकूल चाल = (24-x) km/h

अथवा x – 8 = 0, तब x = 8 km/h
अतः धारा की अभीष्ट चाल = 8 km/h.

प्रश्न 7.
दो नल एक साथ एक टैंक को 3113 घण्टे में भर सकते हैं। यदि एक नल टैंक को भरने में दूसरे नल से 3 घण्टे अधिक लेता है, तो प्रत्येक नल टैंक को भरने में कितना समय लेगा?
हल:
मान लीजिए एक नल टैंक को भरने में x घण्टे लेता है, तो दूसरा नल उसी टैंक को भरने में (x + 3) घण्टे लेगा।
चूँकि दोनों नल टैंक को भरने में 3113 = 4013 घण्टे लेते हैं अर्थात्
वे दोनों 1 घण्टे में 1340 भाग टैंक का भरेंगे।
∴ पहला नल 1 घण्टे में 1x भाग टैंक का भरेगा।
तथा दूसरा नल 1 घण्टे में 1x+3 भाग टैंक को भरेगा।
⇒ 1x + 1x+3 = 1340
⇒ x+3+xx(x+3) = 1340
⇒ 13x(x + 3) = 40(2x + 3)
⇒ 13x² + 39x = 80x + 120
⇒ 13x² – 41x – 120 = 0
⇒ 13x² – 65x + 24x – 120 = 0
⇒ 13x (x – 5) + 24(x – 5) = 0
⇒ (13x + 24) (x – 5) = 0
या तो 13x + 24 = 0, तब x = −2413 (ऋणात्मक) (जो सम्भव नहीं)
अथवा x – 5 = 0, तब x = 5 घण्टे
एवं x + 3 = 5 + 3 = 8 घण्टे
अत: दोनों नल उस टैंक को अलग-अलग भरने में क्रमशः 5 घण्टे एवं 8 घण्टे का समय लेंगे।

प्रश्न 8.
‘एक रेलगाड़ी पहले 54 किलोमीटर की दूरी किसी औसत चाल से चलती है तथा उसके बाद की 63 किलोमीटर की दूरी पहले से 6 किलोमीटर प्रति घण्टा अधिक की औसत चाल से चलती है। यदि कुल दूरी 3 घण्टे में पूरी होती है, तो रेलगाड़ी की पहली चाल क्या है?
हल:
मान लीजिए रेलगाड़ी की पहली चाल = x km/h
दूसरी चाल = (x + 6) km/h
तो प्रश्नानुसार,
54x + 63x+6 = 3
⇒ 54(x + 6) + 63 (x) = 3x (x + 6)
⇒ 54x + 324 + 63x = 3x² + 18x
⇒ 3x² + 18x – 117x – 324 = 0
⇒ 3x² – 99x – 324 = 0
⇒ x² – 33x – 108 = 0
⇒ x² – 36x + 3x -108 = 0
⇒ x (x – 36)+ 3 (x – 36) = 0
⇒ (x + 3) (x – 36) = 0
या तो x + 3 = 0 तब x = -3 (ऋणात्मक) (जो असम्भव है)
अथवा x – 36 = 0, तब x = 36
अत: रेलगाड़ी की पहली अभीष्ट चाल = 36 km/h.

प्रश्न 9.
एक आयताकार खेत का विकर्ण इसकी छोटी भुजा से 16 मीटर अधिक है। यदि इसकी बड़ी भुजा छोटी भुजा से 14 मीटर अधिक है, तो खेत की भुजाओं की लम्बाइयाँ ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए खेत की छोटी भुजा b = x m
तब उसका विकर्ण d = (x + 16) m
एवं उसकी लम्बाई 1 = (x + 14) m
चूँकि हम जानते हैं कि
d² = t² + b² (पाइथागोरस प्रमेय से)
⇒ (x + 16)² = (x + 14)² + (x)²
⇒ x² + 32x + 256 = x² + 28x + 196 + x²
⇒ x² + 32x + 256 = 2x² + 28x + 196
⇒ x² – 4x – 60 = 0
⇒ x² – 10x + 6x – 60 = 0
⇒ x(x – 10) + 6 (x – 10) = 0
⇒ (x + 6) (x – 10) = 0
या तो x + 6 = 0, तब x = -6 (ऋणात्मक) (जो असम्भव है)
अथवा x – 10 = 0, तब x = 10 m
एवं x + 14 = 10 + 14 = 24 m
अतः खेत की भुजाओं की अभीष्ट लम्बाइयाँ क्रमशः 10 m एवं 24 m हैं।

MP Board Class 10th Maths Chapter 4 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
द्विघाती सूत्र का प्रयोग करके निम्न वर्ग समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए:
(i) 2x² – 3x – 5 = 0
(ii) 5x² + 13x + 8 = 0
(iii) -3x² + 5x + 12 = 0
(iv) -x² + 7x – 10 = 0
(v) x² + 22–√ x – 6 = 0
(vi) x² – 35–√x + 10 = 0
(vii) 12 x² – 11−−√x + 1 = 0
हल:
(i) 2x² – 3x – 5 = 0
यहाँ, a = 2, b = -3 एवं c = -5 है

अतः समीकरण के अभीष मूल 52 एवं -1 हैं।

(ii) 5x² + 13x + 8 = 0
यहाँ a = 5, b = 13 एवं c = 8

अतः समीकरण के अभीष्ट मूल -1 और –85 हैं।

(iii) -3x² + 5x + 12 = 0
यहाँ a = -3, b = 5 एवं c = 12

अतः समीकरण के अभीष्ट मूल –43 और 3 हैं।

(iv) – x² + 7x – 10 = 0
यहाँ a = – 1, b = 7 एवं c = – 10


अतः समीकरण के अभीष्ट मूल 2 और 5 हैं।

(v) x² + 22–√x – 6 = 0
यहाँ a = 1, b = 22–√, एवं c = – 6

अतः समीकरण के अभीष्ट मूल 2–√ और – 32–√ हैं।

(vi) x² – 35–√x + 10 = 0
यहाँ a = 1, b = -35–√ एवं c = 10

अतः समीकरण के अभीष्ट मूल 25–√ और 5–√ हैं।

(vii) 12x² – 11−−√x + 1 = 0
⇒ x² – 211−−√x + 2 = 0
यहाँ a = 1, b = -211−−√ एवं c = 2


अतः समीकरण के अभीष्ट मूल (11−−√ + 3) और (11−−√ – 3) हैं।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित द्विघात (वर्ग) समीकरणों के मूल गुणनखण्ड विधि से ज्ञात कीजिए –
(i) 2x² + 53x – 20
(ii) 25x² – x – 35 = 0
(iii) 32–√x² – 5x – 2–√ = 0
(iv) 3x² + 55–√x – 10 = 0
(v) 21x² – 2x + 121 = 0.
हल:
(i) 2x² + 53x – 2 = 0
⇒ 6x² + 5x – 6 = 0
⇒ 6x² + 9x – 4x – 6 = 0
⇒ 3x(2x + 3) – 2(2x + 3) = 0
⇒ (2x + 3) (3x – 2)
या तो 2x + 3 = 0 तब x = –32
अथवा 3x – 2 = 0 तब x = 23
अतः समीकरण के अभीष्ट मूल – 32 और 23 हैं।

(ii) 25x² – x – 35 = 0
⇒ 2x² – 5x – 3 = 0
⇒ 2x² – 6x + x – 3 = 0
⇒ 2x (x – 3) + 1 (x – 3) = 0
⇒ (x – 3) (2x – 1) = 0
या तो x – 3 = 0 तब x = 3
अथवा 2x + 1 = 0 तब x = –12
अत: समीकरण के अभीष्ट मूल 3 और –12 हैं।

(iii) 32–√x² – 5x – 2–√ = 0
⇒ 32–√x² – 6x + x – 2–√ = 0
⇒ 32–√x(x – 2–√) + 1 (x – 2–√) = 0
⇒ (x – 2–√) (32–√x + 1) = 0
या तो x – 2–√ = 0 तब x = 2–√
अथवा 32–√x + 1 = 0 तब x = –132√
अतः समीकरण के अभीष्ट मूल 2–√ और –132√

(iv) 3x² + 55–√x – 10 = 0
⇒ 3x² + 65–√x – 5–√x – 10 = 0
⇒ 3x(x + 25–√) – 5–√ (x + 25–√) = 0
या तो x + 25–√ = 0 तब x = -25–√
अथवा 3x – 5–√ = 0 तब x = 5√3
अब समीकरण के अभीष्ट मूल – 25–√ और 5√3 हैं।

(v) 21x² – 2x + 121 = 0
⇒ 441x² – 42x + 1 = 0
⇒ 441x² – 21x – 21x + 1 = 0
⇒ 21x (21x – 1)- 1(21x – 1) = 0
⇒ (21x – 1) (21x – 1) = 0
⇒ 21x – 1 = 0 ⇒ x = 121
अतः समीकरण के अभीष मूल 121 एवं 121 हैं।

प्रश्न 3.
ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरणों के वास्तविक मूल हैं या नहीं। अगर वास्तविक मूल हैं, तो उन्हें ज्ञात कीजिए:
(i) 8x² + 2x – 3 = 0
(ii) -2x² + 3x + 2 = 0
(iii) 5x² – 2x – 10 = 0
(iv) 12x−3 + 1x−5 = 1
(v) x² + 55–√x – 70 = 0
हल:
(i) 8x² + 2x – 3 = 0
यहाँ a = 8, b = 2 एवं c = – 3
अब b² – 4ac = (2)² – 4(8) (-3)
= 4 + 96 = 100 (धनात्मक)
अतः समीकरण के मूल वास्तविक हैं।

अत: समीकरण के अभीष्ट मूल 12 और – 34

(ii) -2x² + 3x + 2 = 0
यहाँ a = 2,b = 3 एवं c = 2
b² – 4ac = (3)² – 4(-2) (2)
= 9 + 16 = 25 (धनात्मक)
अत: समीकरण के मूल वास्तविक हैं।

अतः समीकरण के अभीष्ट मूल –12 और 2 हैं।

(iii) 5x² – 2x – 10 = 0
यहाँ, a = 5, b = – 2 एवं c = -10
b² – 4ac = (-2)² – 4(5) (- 10)
= 4 + 200 = 204 (धनात्मक)
अतः समीकरण के मूल वास्तविक हैं।

अतः समीकरण के मूल वास्तविक हैं।

(v) x² + 55–√x – 70 = 0
यहाँ a = 1, b = 55–√ एवं c = – 70
b2 – 4ac = (55–√)² – 4(1)(-70)
= 125 + 280 = 405 (धनात्मक)
अतः समीकरण के अभीष्ट मूल वास्तविक हैं।

अत: समीकरण के अभीष्ट मूल 25–√ और – 75–√ हैं।

प्रश्न 4.
यदि ad ≠ bc है, तो सिद्ध कीजिए कि समीकरण (a² + b²) x² + 2(ac+ bd)x + (c² + d²) = 0
का कोई वास्तविक मूल नहीं है।
हल:
दिए हुए समीकरण में A = (a² + b²),
B = 2(ac + bd) एवं C = (c² + d²)
∵ विविक्तकर = B² – 4AC
= [2(ac + bd)]² – 4(a² + b²)(c² + d²)
= 4(a²c² + b²d² + 2abcd) – 4(a²c² + b²d² + a²d² + b²c²)
= 4a²c² +4b²d² + 8abcd – 4a²c² – 4b²d² – 4a²d² – 4b²c²
= – 4(a²d² + b²c² – 2abcd)
= -4(ad – bc)²
लेकिन ad ≠ bc (दिया है)
⇒ ad – bc ≠ 0
= (ad – bc)² धनात्मक है।
⇒ B² – 4AC ऋणात्मक है।
अतः दिए हुए समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं होगा।

प्रश्न 5.
x के लिए हल कीजिए:
3–√x2 – 22–√x – 23–√ = 0
हल:
दिए हुए वर्ग समीकरण में a = 3–√, b = – 22–√ एवं c = -23–√ हैं।

अतः x के अभीष्ट मान 6–√ अथवा –2√3√ हैं।

अतः x के अभीष्ट मान 6–√ अथवा –2√3√ हैं।

प्रश्न 6.
निम्न द्विघात समीकरण को x के लिए हल कीजिए :
4x² + 4bx – (a² – b²) = 0
हल:
दिए हुए द्विघात समीकरण में A = 4, B = 4b एवं C = – (a² – b²) = (b² – a²)

प्रश्न 7.
p का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए द्विघात समीकरण px² – 14x + 8 = 0 का एक मूल दूसरे का 6 गुना है।
हल:
दिए हुए द्विघात समीकरण px² – 14x + 8 = 0 के मूल मान लीजिए α एवं β हैं, तो प्रश्नानुसार,
β = 6α

या तो p = 0 (लेकिन यह असम्भव है क्योंकि x² का गुणांक शून्य (0) नहीं हो सकता)
अथवा p – 3 = 0 ⇒ p = 3
अतः p का अभीष्ट मान = 3 है।

प्रश्न 8.
यदि द्विघात समीकरण 2x² + px – 15 = 0 का एक मूल -5 है तथा द्विघाती समीकरण p(x² + x)+ k = 0 के मूल समान हैं, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि द्विघात समीकरण 2x² + px – 15 = 0 का एक मूल -5 है, तो
2(-5)² + p(-5) – 15 = 0
⇒ 50 – 5p – 15 = 0
⇒ 5p = 50 – 15 = 35 ⇒ p = 355 = 7 …..(1)
∴ द्विघात समीकरण p(x² + x) + k = 0 में A = p, B = p एवं C = k
चूँकि उक्त समीकरण के मूल बराबर हैं।
⇒ B² – 4AC = 0 ⇒ p² – 4pk = 0
⇒ p – 4k = 0 ⇒ k = p4 ….(2)
⇒ k = 7/4
अतःk का अभीष्ट मान = 7/4 है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 4 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
क्या निम्नलिखित वर्ग समीकरणों के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए:
(i) x² – 3x + 4 = 0
(ii) 2x + x – 1 = 0
(iii) 2x² – 6x + 92 = 0
(iv) 3x² – 4x + 1 = 0
(v) (x + 4)² – 8x = 0
(vi) (x – 2–√ )² – 2(x + 1) = 0
(vii) 2–√x² – 32√x+12√=0
(viii) x(1 – x) – 2 = 0
(ix)(x – 1) (x + 2) + 2 = 0
(x)(x + 1) (x – 2) + x = 0
हल:
(i) x² – 3x + 4 = 0
यहाँ a = 1, b = – 3 एवं c = 4
b² – 4ac = (-3)² – 4(1)(4)
9 – 16 = -7 < 0 (ऋणात्मक)
अतः समीकरण के अभीष्ट मूल वास्तविक नहीं हैं।

(ii) 2x² + x – 1 = 0
यहाँ a = 2, b = 1 एवं c = – 1
⇒ b² – 4ac = (1)² – 4(2)(-1)
= 1 + 8 = 9 > 0 (धनात्मक)
अतः समीकरण के अभीष्ट दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।

(iii) 2x² – 6x + 92 = 0 ⇒ 4x² – 12x + 9 = 0
यहाँ, a = 4, b = – 12 एवं c = 9
⇒ b2 – 4ac = (-12)² – 4(4) (9)
= 144 – 144 = 0 (शून्य)
अतः समीकरण के अभीष्ट मूल वास्तविक हैं लेकिन भिन्न नहीं हैं।

(iv) 3x² – 4x + 1 = 0
यहाँ a = 3, b = – 4 एवं c = 1
⇒ b² – 4ac = (-4)² – 4(3) (1)
= 16 – 12 = 4 > 0 (धनात्मक)
अतः समीकरण के अभीष्ट मूल वास्तविक एवं भिन्न हैं।

(v) (x + 4)² – 8x = 0 ⇒ x² + 8x + 16 – 8x = 0
⇒ x² + 16 = 0
यहाँ a = 1, b = 0 एवं c = 16
⇒ b² – 4ac = (0)² – 4(1) (16)
= 0 – 64 = -64 < 0 (ऋणात्मक)
अतः समीकरण के अभीष्ट मूल वास्तविक नहीं हैं।

(vi) (x – 2–√)² – 2(x + 1) = 0
⇒ x² – 22–√x + 2 – 2x – 2 = 0
⇒ x² – (22–√ + 2)x = 0
यहाँ a = 1, b = – (22–√ + 2) एवं c = 0
⇒ b² – 4ac = [- (22–√ + 2)]² – 4(1) (0)
= 8 + 82–√ + 4 – 0 = 12 + 82–√ > 0 (धनात्मक)
अत: समीकरण के अभीष्ट मूल वास्तविक एवं भिन्न हैं।

(vii) 2–√x2−32√x+12√=0⇒2x2−3x+1=0
यहाँ a = 2, b = – 3 एवं c = 1
b2 – 4ac = (-3)2 – 4(2) (1) = 9 – 8 = 1 > 0(धनात्मक)
अतः समीकरण के अभीष्ट मूल वास्तविक एवं भिन्न हैं।

(viii) x(1 – x) – 2 = 0 ⇒ x – x2 – 2 = 0 ⇒ x2 – x + 2 = 0
यहाँ a = 1, b = – 1 और c = 2
b² – 4ac = (-1)² – 4(1) (2)
= 1 – 8 = – 7 < 0 (ऋणात्मक)
अतः समीकरण के अभीष्ट मूल वास्तविक नहीं हैं।

(ix) (x – 1) (x + 2) + 2 = 0 ⇒ x² + 2x – x – 2 + 2 = 0
⇒ x² + x = 0
यहाँ, a = 1, b = 1 एवं c = 0
⇒ b² – 4ac = (1)² – 4(1)(0) = 1 – 0 = 1 > 0 (धनात्मक)
अतः समीकरण के अभीष्ट मूल वास्तविक एवं भिन्न हैं।

(x) (x + 1) (x – 2) + x = 0
⇒ x² – 2x + x – 2 + x = 0
⇒ x² – 2 = 0
यहाँ a = 1, b = 0 एवं c = – 2
⇒ b² – 4ac = (0)² – 4(1)(-2)
= 0 + 8 = 8 > 0 (धनात्मक)
अतः समीकरण के अभीष्ट मूल वास्तविक एवं भिन्न हैं।

प्रश्न 2.
निम्न कथन सत्य हैं या असत्य? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

1. प्रत्येक वर्ग समीकरण का ठीक एक मूल होता है।
2. प्रत्येक वर्गसमीकरण का कम-से-कम एक वास्तविक मूल होता है।
3. प्रत्येक वर्ग समीकरण के कम-से-कम दो मूल होते हैं।
4. प्रत्येक वर्ग समीकरण के अधिक-से-अधिक दो मूल होते हैं।
5. यदि किसी वर्ग समीकरण में x² का गुणांक और स्थिरांक के चिह्न विपरीत हों, तो वर्ग समीकरण के वास्तविक मूल होंगे।
6. यदि किसी वर्गसमीकरण में x² का गुणांक और स्थिरांक के चिह्न समान हों और x का गुणांक शून्य हो, तो वर्ग समीकरण के वास्तविक मूल नहीं होंगे।

हल:

1. असत्य कथन, क्योंकि x² = 1 दो मूल वाला वर्ग समीकरण है।
2. असत्य कथन, क्योंकि x² + 1 = 0 का कोई वास्तविक मूल नहीं है।
3. सत्य कथन, क्योंकि प्रत्येक वर्ग समीकरण के केवल और केवल दो ही मूल होते हैं।
4. सत्य कथन, क्योंकि किसी द्विघात बहुपद के अधिकतम दो शून्यांक होते हैं।
5. सत्य कथन, क्योंकि यदि समीकरण ax² + bx + c = 0 में a और c के चिह्न विपरीत हों, तब ac < 0 और इस प्रकार b² – 4ac > 0
6. सत्य कथन, क्योंकि यदि समीकरण ax² + bx + c = 0 में a और c के चिह्न समान हों और b = 0 हो तब b² – 4ac = – 4ac < 0

प्रश्न 3.
एक वर्ग समीकरण जिसके गुणांक पूर्णांक हों, उसके मूल भी पूर्णांक होंगे? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल:
आवश्यक नहीं, क्योंकि वर्ग समीकरण x² – 3x + 1 = 0 के गुणांक पूर्णांक हैं, लेकिन इसके मूल पूर्णांक नहीं है।

प्रश्न 4.
क्या कोई ऐसा वर्ग समीकरण हो सकता है, जिसके गुणांक परिमेय हों, लेकिन उसके दोनों मूल अपरिमेय हों? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल:
हाँ, x² – 6x + 7 = 0 एक वर्ग समीकरण है जिसके गुणांक परिमेय हैं, लेकिन मूल 3 ± 2–√ अपरिमेय हैं।

प्रश्न 5.
क्या कोई ऐसा वर्ग समीकरण हो सकता है, जिसके सभी गुणांक विभिन्न अपरिमेय हों, लेकिन उसके दोनों मूल परिमेय हैं? क्यों?
हल:
हाँ हो सकता है, क्योंकि वर्ग समीकरण 3–√x² – 73–√x + 123–√ = 0 के गुणांक विभिन्न अपरिमेय हैं लेकिन इसके दोनों मूल 3 एवं 4 हैं, जो परिमेय हैं।

प्रश्न 6.
क्या 0.2 वर्ग समीकरण x² – 0.4 = 0 का एक मूल है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल:
नहीं हो सकता, क्योंकि 0.2 का वर्ग 0-4 नहीं, बल्कि 0.04 होता है।

प्रश्न 7.
यदि b = 0 एवं c <0 तो क्या यह सत्य है कि वर्ग समीकरण x2 + bx + c = 0 के मूल संख्यात्मक रूप से बराबर लेकिन विपरीत चिह्नों वाले होंगे। अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल:
हाँ, यह सत्य है, क्योंकि ax² – c = 0 के मूल x = ±ca−−√ अर्थात् ca−−√ एवं –ca−−√ होंगे जो संख्यात्मक रूप से बराबर हैं, लेकिन उनके चिह्न विपरीत हैं।

प्रश्न 8.
यदि द्विघात समीकरण px² – 25–√ px + 15 = 0 के दो समान मूल हों, तो p का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए समीकरण में a = p, b = -25–√p एवं c = 15 है तथा दोनों मूल समान हैं।
b² – 4ac = 0 ⇒ (-25–√p)² – 4p (15) = 0
⇒ 20p² – 60p = 0
⇒ p² – 3p = 0
⇒ p(p – 3) = 0
या तो p = 0 (जो असम्भव है)
अथवा p – 3 = 0 ⇒ p = 3
अतः p का अभीष्ट मान = 3 है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 4 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 4 बहु-विकल्पीय

प्रश्न 1.
निम्न में कौन एक वर्ग समीकरण है?
(a) x² + 2x + 1 = (4 – x)² + 3
(b) – 2x² = (5 – x) (2x – 25)
(c) (k + 1)x² + 32x = 7, जहाँ k = -1
(d) x² – x² = (x – 1)²
उत्तर:
(d) x² – x² = (x – 1)²

प्रश्न 2.
निम्न में कौन एक वर्ग समीकरण नहीं है?
(a) 2(x – 1)² = 4x² – 2x + 1
(b) 2x – x² = x² + 5
(c) (2–√x + 3–√)² + x² = 3x² – 5x
(d) (x² + 2x)² = x⁴ + 3 + 4x³
उत्तर:
(c) (2–√x + 3–√)² + x² = 3x² – 5x

प्रश्न 3.
निम्न में से किस वर्ग समीकरण का मूल 2 है?
(a) x² – 4x + 5 = 0
(b) x² + 3x – 12 = 0
(c) 2x² – 7x + 6 = 0
(d) 3x² – 6x – 2 = 0
उत्तर:
(c) 2x² – 7x + 6 = 0

प्रश्न 4.
यदि 12 वर्ग समीकरण x² + kx – 54 = 0 का एक मूल है, तो k का मान है :
(a) 2
(b) -2
(c) 14
(d) 12
उत्तर:
(a) 2

प्रश्न 5.
निम्न में किस वर्ग समीकरण के मूलों का योग 3 है?
(a) 2x² – 3x + 6 = 0
(b) -x² + 3x – 3 = 0
(c) 2–√x² – 32√ + 1 = 0
(d) 3x² – 3x + 3 = 0
उत्तर:
(b) -x² + 3x – 3 = 0

प्रश्न 6.
k का मान जिसके लिए वर्ग समीकरण 2x² – kx + k = 0 के दोनों मूल बराबर हों, होगा :
(a) केवल 0
(b) 4
(c) केवल 8
(d) 0,8
उत्तर:
(d) 0,8

प्रश्न 7.
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से वर्ग समीकरण 9x² + 34x – 2–√ = 0 को हल करने के लिए इसमें कौन-सा स्थिरांक जोड़ा और घटाया जाना आवश्यक है?
(a) 18
(b) 164
(c) 14
(d) 964
उत्तर:
(b) 164

प्रश्न 8.
वर्ग समीकरण 2x² – 5–√x + 1 = 0 के होते है:
(a) दो विभिन्न वास्तविक मूल
(b) दो समान वास्तविक मूल
(c) कोई वास्तविक मूल नहीं
(d) दो से अधिक वास्तविक मूल
उत्तर:
(c) कोई वास्तविक मूल नहीं

प्रश्न 9.
निम्न वर्ग समीकरणों में से किसके दो विभिन्न वास्तविक मूल होते हैं?
(a) 2x² – 32–√x + 94 = 0
(b) x² + x – 5 = 0
(c) x² + 3x + 22–√ = 0
(d) 5x² – 3x +1= 0
उत्तर:
(b) x² + x – 5 = 0

प्रश्न 10.
निम्न में से किस वर्ग समीकरण के मूल वास्तविक नहीं होते?
(a) x² – 4x + 32–√ = 0
(b) x² + 4x – 32–√ = 0
(c) x² – 4x – 32–√ = 0
(d) 3x² + 43–√ x + 4 = 0
उत्तर:
(a) x² – 4x + 32–√ = 0

प्रश्न 11.
समीकरण (x² + 1)² – x² = 0 के होते हैं:
(a) चार वास्तविक मूल
(b) दो वास्तविक मूल
(c) कोई वास्तविक मूल नहीं
(d) एक वास्तविक मूल।
उत्तर:
(c) कोई वास्तविक मूल नहीं

MP Board Class 10th Maths Chapter 4 रिक्त स्थानों की पूर्ति

प्रश्न 1.
यदि p(x) एक द्विघात बहुपद है तो p(x) = 0 को ………………… कहते हैं।
उत्तर:
वर्ग समीकरण

प्रश्न 2.
किसी वर्ग समीकरण में अधिकतम ………………… मूल होते हैं।
उत्तर:
दो

प्रश्न 3.
वर्ग समीकरण में ax² + bx + c = 0 का विविक्तकर D = ………………… है।
उत्तर:
b² – 4ac

प्रश्न 4.
वह समीकरण जिसमें अज्ञात राशि की अधिकतम घात दो हों ………………… कहलाता है।
उत्तर:
वर्ग समीकरण

प्रश्न 5.
वर्ग समीकरण (x – 4) (x -3) = 0 में मूल ………………… होंगे।
उत्तर:
4 और – 3

प्रश्न 6.
एक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 में कोई वास्तविक मूल नहीं होता यदि ………… (2019)
उत्तर:
b² < 4ac

प्रश्न 7.
समीकरण 3x² – 2x + 13 = 0 का विविक्तकर ……….. है। (2019)
उत्तर:
0 (शून्य)

जोड़ी मिलाइए

उत्तर:

1. → (c)
2. → (d)
3. → (e)
4. → (a)
5. → (b)

सत्य/असत्य कथन

प्रश्न 1.
वर्ग समीकरण के अनेक हल हो सकते हैं।
उत्तर:
असत्य

प्रश्न 2.
वर्ग समीकरण को हल करने के लिए सूत्र के प्रणेता श्रीधराचार्य थे।
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 3.
वर्ग समीकरण में चर की अधिकतम घात कुछ भी हो सकती है।
उत्तर:
असत्य

प्रश्न 4.
x (x – 1)= 0 में x के मान 0 एवं 1 हैं।
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 5.
x² – 4x + 4 = 0 के मूल बराबर हैं।
उत्तर:
सत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

प्रश्न 1.
वह समीकरण जिसमें अज्ञात राशि (चर) की अधिकतम घात दो हो क्या कहलाता है?
उत्तर:
वर्ग समीकरण

प्रश्न 2.
समीकरण ax² + bx + c = 0 में (b² – 4ac) को क्या कहते हैं?
उत्तर:
विविक्तकर

प्रश्न 3.
किसी वर्ग समीकरण के चर के दोनों मान उस वर्ग समीकरण के क्या कहलाते हैं?
उत्तर:
मूल

प्रश्न 4.
यदि किसी वर्ग समीकरण का विविक्तकर शून्य हो तो उसके मूल कैसे होंगे?
उत्तर:
समान एवं वास्तविक

प्रश्न 5.
यदि किसी वर्ग समीकरण का विविक्तकर धनात्मक पूर्ण वर्ग संख्या हो तो उसके मूल कैसे होंगे?
उत्तर:
परिमेय एवं असमान

प्रश्न 6.
यदि किसी वर्ग समीकरण का विविक्तकर धनात्मक हो लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं हो तो उसके मूल कैसे होंगे?
उत्तर:
अपरिमेय एवं असमान

प्रश्न 7.
यदि किसी वर्ग समीकरण का विविक्तकर ऋणात्मक हो तो उसके मूल कैसे होंगे?
उत्तर:
अधिकल्पित (अवास्तविक, वास्तविक नहीं)

प्रश्न 8.
यदि किसी वर्ग समीकरण का विविक्तकर धनात्मक हो, तो उसके मूल कैसे होंगे?
उत्तर:
असमान एवं वास्तविक

प्रश्न 9.
वर्ग समीकरण 2x² + 4x + 6 = 0 में मूलों का योग क्या होगा?
उत्तर:
(-2)

प्रश्न 10.
वर्ग समीकरण 2x² + 4x + 6 = 0 में मूलों का गुणनफल क्या होगा?
उत्तर:
3

TENSE