MP Board Class 10th Maths | त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग

MP Board Class 10th Maths | त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग Ex 9.1

प्रश्न 1.
सर्कस का एक कलाकार एक 20 m लम्बी डोर पर चढ़ रहा है, जो अच्छी तरह से तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खम्भे के शिखर से बँधा हुआ है। यदि भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण 30° का हो, तो खम्भे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (देखिए संलग्न आकृति : 9.3)
हल :
∆ABC में ∠B समकोण है एवं कोण C = 30° तथा डोरी की लम्बाई AC = 20 m (दिया हुआ है) चूँकि

अतः, खम्भे की अभीष्ट ऊँचाई = 10 m है।

प्रश्न 2.
आँधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ 30° का कोण बनाता है। पेड़ के पाद-बिन्दु की दूरी, जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है, 8 m है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए एक पेड़ PQ = h m लम्बा आँधी के कारण QR = x m की ऊँचाई पर स्थित R बिन्दु से टूट जाता है तथा इसका शीर्ष P पृथ्वी पर बिन्दु S पर टिक जाता है तथा पेड़ का यह भाग पृथ्वी के साथ ∠RSQ = 30° का कोण बनाता है तथा इस भाग की लम्बाई SR = PR = (h – x) m होगी अब समकोण ∆RQS में,



समीकरण (1) से x=83√ का मान समीकरण (2) में रखने पर,

अतः, पेड की अभीष्ट ऊँचाई = 8√3 m है।

प्रश्न 3.
एक ठेकेदार बच्चों को खेलने के लिए एक पार्क में दो फिसलन-पट्टी लगाना चाहती है। 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए वह एक ऐसी फिसलन पट्टी लगाना चाहती है जिसका शिखर 1.5 m की ऊँचाई पर हो और भूमि के साथ 30° के कोण पर झुका हुआ हो, जबकि इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए वह 3 m की ऊँचाई पर एक अधिक ढाल की फिसलनपट्टी लगाना चाहती है, जो भूमि के साथ 60° का कोण बनाती है। प्रत्येक स्थिति में फिसलन-पट्टी की लम्बाई क्या होनी चाहिए?
हल:

मान लीजिए 5 वर्ष से कम उम्र की बच्चों के लिए AC = l₁, m की लम्बाई की फिसलन-पट्टी लगायी जाती है जिसका शिखर A, AB = 1.5 m ऊँचाई पर है तथा फिसलन-पट्टी पृथ्वी के साथ ∠ACB = 30° का कोण बनाती है। [देखिए आकृति 9.5 (a)]

अतः, छोटी फिसलन-पट्टी की अभीष्ट लम्बाई = 3 m है।
अब मान लीजिए 5 वर्ष से अधिक उम्र के बच्चों के लिए PR = l₂, m की लम्बाई की फिसलनपट्टी लगायी जाती है जिसका शिखर P, PQ = 3 m की ऊँचाई पर है तथा यह फिसलन-पट्टी पृथ्वी के साथ ∠PRQ = 60° का कोण बनाती है। [देखिए आकृति : 9.5 (b)]

अतः, बड़ी फिसलन-पट्टी की अभीष्ट लम्बाई = 2√3 m है।

प्रश्न 4.
भूमि के एक बिन्दु से, जो मीनार के पाद-बिन्दु से 30 m की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए PQ एक दी हुई मीनार है जिसकी ऊँचाई PQ = h m है तथा इसके पाद बिन्दु Q से QR = 30 m की दूरी पर स्थित बिन्दु R पर मीनार के शिखर P का उन्नयन कोण ∠PRQ = 30° है। (देखिए आकृति 9.6)

अतः, मीनार की अभीष्ट ऊँचाई = 10√3 m है।

प्रश्न 5.
भूमि से 60 m की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है। पतंग में लगी डोरी को अस्थायी रूप से भूमि के एक बिन्दु से बाँध दिया गया है। भूमि के साथ डोरी का झुकाव 60° है। यह मानकर कि डोरी में कोई ढील नहीं है, डोरी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए PR = l m की लम्बाई वाली एक डोरी के सिरे P पर एक पतंग है तथा इसका दूसरा सिरा बिन्दु R पर खूटे से बँधा है।
पतंग की पृथ्वी से ऊँचाई PQ = 60 m है। डोरी पृथ्वी के साथ ∠PRQ = 60° का कोण बनाती है (देखिए आकृति 9.7)।

अतः, डोरी की अभीष्ट लम्बाई = 40√3 m है।

प्रश्न 6.
1.5 m लम्बा एक लड़का 30 m ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है। जब वह ऊँचे भवन की ओर जाता है, तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है। बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर गया है ?
हल :
मान लीजिए PQ = 30 m ऊँचा एक भवन है। एक लड़का AB = 1.5 m ऊँचाई का पृथ्वी पर बिन्दु B पर खड़ा है। लड़के के नेत्रों से जाने वाली क्षैतिज रेखा PQ को बिन्दु R पर प्रतिच्छेद करती है, जहाँ RQ = AB = 1.5 m
⇒ PR = PQ – RQ = 30 m – 1.5 m
= 28.5m

इस स्थिति में P का उन्नयन ∠PAR = 30° और मान लीजिए यह लड़का भवन की ओर x m चलकर CD स्थिति में आ जाता है, जहाँ P का उन्नयन कोण ∠PCR = 60° हो जाता है। यदि CR = y m हो (देखिए आकृति 9.8)
तो समकोण ∆PRC में,

एवं समकोण ∆PRA में,

समीकरण (1) से y का मान समीकरण (2) में रखने पर,

अतः, लड़के द्वारा चली गयी अभीष्ट दूरी = 19√3 m है।

प्रश्न 7.
भूमि के एक बिन्दु से एक 20 m ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमश: 45° और 60° हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए एक भवन PQ = 20 मी ऊँचाई का दिया है जिसके ऊपर PR एक संचार मीनार लगा है। बिन्दु S के मीनार के तल एवं शिखर R के उन्नयन कोण क्रमशः 45° एवं 60° हैं।
पुनः मान लीजिए कि SQ = x m एवं PR = h m (देखिए आकृति 9.9) तो समकोण ∆PQS में,


एवं समकोण ∆ROS में,

समीकरण (1) से x = 20 m का मान समीकरण (2) में रखने पर,
⇒ h+2020 = √3 ⇒ h + 20 = 20√3
⇒ h = 20√3 – 20 = 20 (√3 – 1) m
अतः, संचार मीनार की अभीष्ट ऊँचाई = 20 (√3 – 1) m है।

प्रश्न 8.
एक पेडस्टल के शिखर पर एक 1.6 m ऊँची मूर्ति लगी है। भूमि के एक बिन्दु से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और उसी बिन्दु से पेडस्टल के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। पेडस्टल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए PQ = h m की ऊँचाई का एक पेडस्टल है जिसके ऊपर RP = 1.6 m ऊँची एक मूर्ति लगी है। पेडस्टल के पाद से QS = x m की दूरी पर स्थित बिन्दु S से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण 60° एवं पेडस्टल के शिखर का उन्नयन कोण 45° है (देखिए आकृति 9.10)
तो समकोण त्रिभुज PQS में,

एवं समकोण त्रिभुज PQS में, RQQS=RP+PQQS=tanRSQ

समीकरण (1) से x = h का मान समीकरण (2) में रखने पर,

अतः, पेडस्टल की अभीष्ट ऊँचाई = 0.8 (√3 + 1) m है।

प्रश्न 9.
एक मीनार के पाद बिन्दु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है और भवन के पाद बिन्दु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार 50 m ऊँची हो, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए पृथ्वी पर एक मीनार PQ = 50 m ऊँची एवं उसके पाद से QS = x m दूरी पर स्थित एक भवन RS = h m है। मीनार के पाद Q से भवन के शिखर R का उन्नयन कोण ∠ROS = 30° है तथा भवन के पाद S से मीनार के शिखर P का उन्नयन कोण PSQ = 60° है (देखिए आकृति 9.11)। तो समकोण ∆RSQ में,


एवं समकोण ∆PQS में,

समीकरण (1) से x = h√3 का मान समीकरण (2) में रखने पर,
h√3 x √3 = 50 ⇒ 3h = 50
⇒ h=503 = 1623 m
अतः, भवन की अभीष्ट ऊँचाई = 1623 m है।

प्रश्न 10.
एक 80 m चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने-सामने समान लम्बाई वाले दो खम्भे लगे हुए हैं। इन दोनों खम्भों के बीच सड़क के एक बिन्दु से खम्भों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमश:
60° और 30° हैं। खम्भों की ऊँचाई और खम्भों से बिन्दु की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए दो खम्भे PQ = RS = h m के एक-दूसरे से SQ = 80 m की दूरी पर है। QS के बिन्दु S से ST = x m की दूरी पर बिन्दु T है।
T से R का उन्नयन कोण ∠RTS = 60° एवं P का उन्नयन कोण ∠PTQ = 30° है। यहाँ TQ = SQ – ST = (80 – x)m (देखिए आकृति 9.12)

अब समकोण ∆RST में,
RSST=tanRTS⇒hx=tan60∘=3–√
h = x √3 …(1)
एवं समकोण ∆PQT में,

समीकरण (1) से h = x√3 का मान समीकरण (2) में रखने पर,
80 – x = x √3 × √3 = 3x
⇒ 4x = 80 ⇒ x = 804 = 20 m ⇒ ST = 20 m
QT = 80 – x = 80 – 20 = 60 m
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
h = 20√3 m
अतः, प्रत्येक खम्भे की अभीष्ट ऊँचाई = 20√3 m एवं अभीष्ट बिन्दु की स्थिति एक खम्भे से 20 m तथा दूसरे खम्भे से 60 m की दूरी पर है।

प्रश्न 11.
एक नहर के एक तट पर एक टीवी टॉवर ऊर्ध्वाधरतः खड़ा है। टॉवर के ठीक सामने दूसरे तट के एक अन्य बिन्दु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। इसी तट पर इस बिन्दु से 20 m दूर और इस बिन्दु को मीनार के पाद से मिलाने वाली रेखा पर स्थित एक अन्य बिन्दु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 30° है (देखिए संलग्न आकृति 9.13)। टॉवर की ऊँचाई और नहर की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

हल :
मान लीजिए कि एक नहर के एक सिरे पर एक मीनार AB = h m दिया है जिसके शिखर A का नहर के दूसरे सिरे से उन्नयन कोण ∠ACB = 60° है। C से DC = 20 m दूरी पर स्थित बिन्दु D से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण ∠ADE = 30° है तथा नहर की चौड़ाई CB =x मीटर है तो समकोण ∆ABC में,

एवं समकोण ∆ABD में,

समीकरण (1) से h = x √3 का मान समीकरण (2) में रखने पर,
⇒ 20 + x = x√3 × √3 = 3x
⇒ 2x = 20 ⇒ x = 202 = 10 m
⇒ x = 10 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
h = 10√3
अतः, मीनार की अभीष्ट ऊँचाई = 10√3 m एवं नहर की चौड़ाई = 10 m है।

प्रश्न 12.
7 m ऊँचे भवन के शिखर से एक केबल टॉवर का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45° है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए केबल टॉवर PQ = h मीटर ऊँचा तथा भवन RS = 7m ऊँचा दिया है। भवन के शिखर से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण ∠PRT = 60° है जहाँ RT क्षैतिज रेखा है जो PQ के बिन्दु T पर मिलती है तथा इस शिखर R से टॉवर के पाद Q का अवनयन कोण ∠TRQ = 45° है। (देखिए आकृति: 9.14)
यहाँ TQ = RS = 7 m एवं PT = (h – 7) m तथा .
RT = SQ = xm तो समकोण ∆RTQ में,


एवं समकोण ∆PRT में,

समीकरण (1) से x = 7 समीकरण (2) में रखने पर, .
h – 7 = 7√3
h = 7√3 + 7
= 7(√3 + 1) m
अतः, केबल टॉवर की अभीष्ट ऊँचाई = 7 (√3 + 1) m है।

प्रश्न 13.
समुद्र तल से 75 m ऊँची लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30° और 45° हैं। यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक
पीछे हो तो जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए लाइट हाउस PQ = 75 m ऊँची तथा उसके एक ही ओर दो जहाज R एवं S दिए हैं जिनके अवनमन कोण लाइट हाउस के शिखर P से क्रमश: ∠TPR = 30° एवं ∠TPS = 45° हैं, जहाँ TP एक क्षैतिज रेखा है। (देखिए आकृति 9.15) यहाँ ∠PRQ = ∠TPR = 30° एवं ∠PSQ = ∠TPS = 45° है तथा RS =x m एवं SQ = y m है तो समकोण ∆PQS में,


एवं समकोण ∆PQR में,

समीकरण (1) से y = 75 m का मान समीकरण (2) में रखने पर,
⇒ x + 75 = 75√5
⇒ x = 75√3 – 75 = 75 (√3 – 1) m
अतः, जहाजों के बीच की अभीष्ट दूरी = 75 (√3 – 1) m है।

प्रश्न 14.
1.2 m लम्बी एक लड़की भूमि से 88.2 m की ऊँचाई पर एक क्षैतिज रेखा में हवा में उड़ रहे गुब्बारे को देखती है। किसी भी क्षण लड़की की आँख से गुब्बारे का उन्नयन कोण 60° है। कुछ समय बाद उन्नयन कोण घटकर 30° हो जाता है (देखिए आकृति: 9.16)। इस अन्तराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गयी दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए एक गुब्बारा P पृथ्वी से PC = 88.2 मीटर की ऊँचाई पर एक क्षैतिज रेखा में उड़ रहा है जो कुछ समय बाद वह Q स्थिति में आता है जिसकी ऊँचाई QD = PC = 88.2 m है। एक लड़की AB = 1.2 m की बिन्दु B पर खड़ी है। लड़की के नेत्रों से जाने वाली क्षैतिज रेखा AST है। A से गुब्बारे की प्रथम स्थिति P का उन्नयन कोण ∠PAS = 60° तथा स्थिति Q का उन्नयन कोण ∠QAT = 30° है। यहाँ TD = SC = AB = 1.2 m एवं PS = QT = QD – TD = 88.2 – 1.2 = 87 m तथा AS = x m एवं ST = y m .
तो समकोण ∆PSA में,

एवं समकोण ∆QTA में,

समीकरण (1) से x=873√ का मान समीकरण (2) में रखने पर,

अतः, गुब्बारे द्वारा चली गयी अभीष्ट दूरी = 58√3 m है।

प्रश्न 15.
एक सीधा राजमार्ग एक मीनार के पाद तक जाता है। मीनार के शिखर पर खड़ा एक आदमी एक कार को 30° के अवनमन कोण पर देखता है जो कि मीनार के पाद की ओर एकसमान चाल से जाती है। छः सेकण्ड बाद कार का अवनमन कोण 60° हो गया। इस बिदु से मीनार के पाद तक पहुँचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए कि एक आदमी RP किसी मीनार PQ के शिखर P पर खड़ा है तथा स्थिति A पर कार का अवनमन कोण ∠SRA = 30° है तथा कार v m/s की चाल से AB = 6 vm की दूरी तय करते हुए B पर आ जाती है, जहाँ उनका अवनमन कोण ∠SRB = 60° हो जाता है। इस बिन्दु से मीनार के पाद तक जाने में 1 सेकण्ड में BQ = tv m दूरी तय करती है, तो
∠RAQ = ∠SRA = 30°
एवं ∠RBQ = ∠SRB = 60°
क्योंकि उन्नयन कोण अवनमन कोण के बराबर होते हैं। यदि आदमी सहित मीनार की ऊँचाई RQ = h m हो तो समकोण ∆RQB में,

एवं समकोण ∆RQA में,


समीकरण (1) से h का मान समीकरण (2) में रखने पर,
tv√3 x √3 = 6v + tv
3tv = 6v + tv ⇒ 2t = 6 ⇒ t = 62 = 3
अतः, कार द्वारा लिया गया अभीष्ट समय = 3 सेकण्ड है।

प्रश्न 16.
मीनार के आधार से एक सरल रेखा में 4m और 9 m की दूरी पर स्थित दो बिन्दुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण पूरक कोण हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 6 m है।
हल :
मान लीजिए एक मीनार PQ = h m ऊँची है जिसके पाद से AQ = 4 m एवं BQ = 9 m की दूरी पर दो बिन्दु क्रमशः A और B स्थित हैं, जहाँ पर मीनार के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः ∠PAQ = θ एवं ∠PBQ = (90° – θ) हैं, क्योंकि दोनों कोण पूरक कोण हैं।

अब समकोण ∆PQA में,

एवं समकोण ∆PQB में,

अतः, मीनार की ऊँचाई 6 m है।
इति सिद्धम्

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 9 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 9 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण किसी बिन्द से 30° है। यदि प्रेक्षक 20 मीटर मीनार की ओर चलता है तो उस मीनार के शीर्ष का कोण 15° बढ़ जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए PQ एक मीनार है जिसके शीर्ष P का बिन्दु R पर उन्नयन कोण ∠PRQ = 30° है तथा मीनार की ओर RS = 20 m चलने पर उन्नयन कोण ∠PSQ = 30° + 15° = 45° हो जाता है। पुनः मान लीजिए मीनार की ऊँचाई PQ = hm तथा दूरी QS = x m है तो
समकोण ∆PQS में,
PQQS = tan PSQ
⇒ hx = tan 45° = 1
⇒ h = x …(1)
एवं समकोण ∆PQR में,

अतः, मीनार की अभीष्ट ऊँचाई = 10 (√3 + 1) m है।

प्रश्न 2.
किसी मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण दो बिन्दुओं पर जो मीनार के पाद से क्रमशः s एवं t मात्रक की दूरी पर हैं, एक दूसरे के पूरक हैं तो सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई √st है।
हल :

जैसा कि संलग्न आकृति 9.21 में दिखाया गया है। मान लीजिए मीनार PQ = h मात्रक ऊँची है। RQ = s एवं SQ = t है तथा ∠PRQ = θ एवं ∠PSQ = (90° – θ) है। समकोण ∆PRQ में,
PQRQ = tan PRQ
hs = tanθ …..(1)
समकोण ∆PSQ में,

h² = st
h = √st
अतः, मीनार की अभीष्ट ऊँचाई = √st है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
एक सड़क के ऊर्ध्वाधरतः स्थित एक गुब्बारे से एक ही दिशा में दो कारों के अवनमन कोण क्रमशः 45° एवं 60° पाये जाते हैं। यदि कारों के बीच की दूरी 100 m हो तो गुब्बारे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए गुब्बारे P की सड़क से ऊर्ध्वाधर ऊँचाई PQ = h m है तथा सड़क पर दो कारें A एवं B एक-दूसरे से AB = 100 m की दूरी पर हैं। P से A का अवनमन कोण ∠XPA = 45° एवं B का अवनमन कोण ∠XPB = 60° है। पुनः मान लीजिए कि BQ = x m तो चित्रानुसार ∠PAQ = ∠XPA = 45° (एकान्तर कोण हैं) एवं ∠PBQ = ∠XPB = 60° (एकान्तर कोण हैं)। समकोण त्रिभुज PQA में,

एवं समकोण ∆PQB में,
PQBQ = tan PBQ
⇒ hx = tan 60° = √3 .
⇒ h = x√3 …(2)
⇒ h = (h – 100) √3 समीकरण (1) एवं (2) से]
⇒ h = h√3 – 100√3
⇒ (h√3 – h) = 100√3
⇒ h (√3 – 1) = 100√3

⇒ h = 50 (3 + √3) m
अतः, गुब्बारे की अभीष्ट ऊँचाई = 50 (3 + √3) m है।

प्रश्न 4.
एक हवाई जहाज भूतल से ऊपर 300 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहा है। इस ऊँचाई पर उड़ते हुए हवाई जहाज से एक नदी के दोनों किनारों पर परस्पर विपरीत दिशाओं में स्थित दो बिन्दुओं के अवनमन कोण क्रमशः 45° तथा 60° हैं। नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए। [√3 = 1.732 का प्रयोग कीजिए।]
हल :

PQ = 300 m की ऊँचाई पर उड़ रहे हवाई जहाज से नदी के किनारे पर स्थित बिन्दुओं R एवं S के अवनमन कोण ∠XPR = 60° एवं ∠XPS = 45° है। ∠PRQ = ∠XPR = 60° एवं ∠PSQ = ∠XPS = 45° मान लीजिए कि SR = x m एवं RQ = y m हैं समकोण ∆PQS में,

एवं समकोण ∆PQR में,
PQRQ = tan PRQ
300y = tan 60° = √3
y = 3003√ = 100√3 = 100 x 1.732 = 173.2 m …(2)
x + 173.2 = 300 [समीकरण (1) एवं (2) से]
x = 300 – 173.2
= 126.8 m
अतः, नदी की अभीष्ट चौड़ाई = 126.8 m है।

प्रश्न 5.
एक मीनार के पाद से गुजरने वाली सीधी रेखा पर पाद से क्रमशः 4 m तथा 16 m की दूरियों पर स्थित दो बिन्दु C और D स्थित हैं। यदि C और D से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण एक-दूसरे के पूरक हों, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए एक मीनार PQ = h m ऊँची है जिसके पाद Q से बिन्दुओं C एवं D की दूरियाँ क्रमशः QC = 4 m एवं QD = 16 m हैं तथा ∠PCQ = α° एवं ∠PDQ = (90 – α)° है। अब समकोण ∆PQC में,
PQQC = tan PCQ ⇒ h4 = tan a …(1)
एवं समकोण ∆PQD में,

अतः, मीनार की अभीष्ट ऊँचाई = 8 m है।

प्रश्न 6.
भूमि के एक बिन्दु Xसे एक ऊर्ध्वाधर मीनार PQ के शिखर Q का उन्नयन कोण 60° है। एक अन्य बिन्दु Y जो X से 40 m ऊर्ध्वाधर रूप में ऊँचा है, से शिखर Q का उन्नयन कोण 450
है। मीनार PQ की ऊँचाई तथा दूरी PX ज्ञात कीजिए। (√3 = 1.73 लीजिए)
हल :

मान लीजिए PQ = h m ऊँची मीनार के पास P से PX = x m की दूरी पर स्थित बिन्दु के ऊर्ध्वाधरतः XY = 40 m ऊपर बिन्दु Y है। X एवं Y पर मीनार के शिखर Q के उन्नयन कोण ∠QXP = 60° और ∠QYR = 45° दिए हैं।
चित्रानुसार,
YR = PX = x m
PR = XY = 40 m
⇒ QR = PQ – PR = (h – 40)
समकोण त्रिभुज ∆ORY में,
QRYR = tan QYR ⇒ h−40x = tan 45°
h – 40 = x tan 45° = x ⇒ h = x + 40 …(1)
समकोण ∆QPX में,

अतः, मीनार की अभीष्ट ऊँचाई = 94.60 m है।

प्रश्न 7.
एक व्यक्ति एक जलयान के डैक जो पानी के स्तर से 10 m ऊँचा है, से एक पहाड़ी के शिखर का उन्नयन कोण 60° तथा पहाड़ी के तल का अवनमन कोण 30° पाता है। पहाड़ी से जलयान की दूरी तथा पहाड़ी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए PQ = h m ऊँची एक पहाड़ी से QB = x m की दूरी पर स्थित AB = 10 m ऊँचा जलयान का डैक है जिससे पहाड़ी के शिखर P का उन्नयन कोण ∠PAR = 60° एवं पहाड़ी के तल Q का अवनमन कोण RAQ = 30° है।
RQ = AB = 10 m
एवं AR = QB = x m
तथा PR = PQ – RQ = (h – 10) m
अब समकोण ∆ARO में,
RQAR = tanRAQ
10x = tan 30° = 13√
x = 10√3 …(1)
एवं समकोण ∆PRA में,
PRAR = tan PAR ⇒ h−10x = tan 60° = √3
(h – 10) = x√3 …(2)
h – 10 = 10 √3 x 3 [समीकरण (1) एवं (2) से]
h = 30 + 10 = 40 m
अतः, पहाड़ी से जलयान की अभीष्ट दूरी = 10√3 m तथा पहाड़ी की ऊँचाई = 40 m है।

प्रश्न 8.
एक झील में पानी के तल से 20 m ऊँचे बिन्दु A से, एक बादल का उन्नयन कोण 30° है। झील में बादल के प्रतिबिम्ब का A से अवनमन कोण 60° है। A से बादल की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए एक बादल पानी के तल BC से PC = h m की ऊँचाई पर स्थित है जिसका प्रतिबिम्ब जल में बिन्दु Q पर बनेगा। इस प्रकार कि CQ = PC = h m (प्रकाश के परावर्तन के नियम से)। जल स्तर से AB = 20 m की ऊँचाई पर बिन्दु A से बादल P का उन्नयन कोण ∠PAD = 30° एवं बादल के प्रतिबिम्ब Q का अवनमन कोण ∠QAD = 60° एवं AD = x m है
⇒ DC = AB = 20 m

एाव PD = PC – DC = (h – 20) m
तथा QD = CQ + DC = (h + 20) m
अब समकोण ∆PDA में,

एवं समकोण ∆QDA में,

अब समकोण ∆PDA में,

अतः, बादल की बिन्दु A से अभीष्ट दूरी = 40 m है।

प्रश्न 9.
धरातल के एक बिन्दु A से हवाई जहाज का उन्नयन कोण 60° है। 15 सेकण्ड की उड़ान के पश्चात्, उन्नयन कोण 30° का हो जाता है। यदिहवाई जहाज एक निश्चित ऊँचाई 1500√3 m पर उड़ रहा हो, तो हवाई जहाज की गति किलोमीटर/घण्टा ज्ञात कीजिए।
हल :

मानलीजिए एक हवाईजहाज PR = 1500 √3 m की ऊँचाई पर बिन्दु P पर स्थित है तथा यह गति करते हुए 15 s में x m की दूरी तय करके बिन्दु Q पर आता है, जहाँ QS ऊँचाई = 1500 √3 m है। R से AR = y m की दूरी पर स्थित बिन्दु A से बिन्दु P का उन्नयन कोण ∠PAR = 60° एवं बिन्दु Q का उन्नयन कोण ∠QAS = 30° है।
RS = PQ = x m
एवं AS = AR + RS = (y + x) m
अब समकोण ∆PRA में,
PRAR = tan PAR ⇒ 15003√y = tan 60° = √3
⇒ y = 1500 m ……(1)
एवं समकोण ∆QAS में,
QSAS = tan QAS
15003√y+x = tan 30° = 13√
y + x = 1500√3 x √3 = 4500 m
1500 + x = 4500
x = 4500 – 1500 = 3000 m
हवाई जहाज द्वारा चली गयी दूरी = 3000m = 3 km
तथा यात्रा में लिया गया समय

चाल = 3 x 240 = 720 k/h
अतः, हवाई जहाज की अभीष्ट चाल = 720 k/h है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 9 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
सूर्य का उन्नतांश (उन्नयन कोण) ज्ञात कीजिए जबकि h m ऊँचे किसी खम्भे की छाया √3 h m लम्बी है।
हल :

मान लीजिए PQ = h m ऊँचे खम्भे की छाया QR = h√3 m है तथा सूर्य का उन्नतांश (उन्नयन कोण) ∠PRQ = θ है। तो समकोण त्रिभुज PQR में,
PQQR = tan PRQ
12 = tanθ
tan θ = 12 = tan 30°
θ = 30°
अतः, सूर्य का अभीष्ट उन्नतांश (उन्नयन कोण) = 30° है।

प्रश्न 2.
एक 15 m लम्बी सीढ़ी एक ऊर्ध्वाधर दीवार के शीर्ष तक ठीक-ठीक पहुँचती है। यदि सीढ़ी 60° का कोण दीवार के साथ बनाती है तो दीवार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए AB = 15 m लम्बी एक सीढ़ी दीवार के शीर्ष के साथ ∠ABC = 60° का कोण बनाते हुई खड़ी है। दीवार की ऊँचाई BC = h m है। समकोण ∆BCA में,
BCAB = COS ABC
⇒ h15 = cos 60°= 12
⇒ h = 152
= 7.5 m
अतः, दीवार की अभीष्ट ऊँचाई = 7.5 m है।

प्रश्न 3.
1.5 m ऊँचा एक प्रेक्षक एक 22 m ऊँची मीनार से 20.5m की दूरी पर खड़ा है। मीनार के शिखर का उन्नयन कोण प्रेक्षक की आँख से ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए PQ = 22 m एक मीनार है जिससे AR = BQ = 20.5 m की दूरी पर एक प्रेक्षक AB = 1.5 m ऊँचा खड़ा है। प्रेक्षक की आँख से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण ∠PAR = θ°
PR = PQ – RQ
= PQ – AB
= 22 – 1.5
= 20.5 m.
समकोण ∆PRA में,

अतः, अभीष्ट उन्नयन कोण = 45° है।

प्रश्न 4.
यदि 30 m ऊँची एक मीनार भूमि पर 10√3 m लम्बी छाया बनाती है, तो सूर्य का उन्नयन कोण क्या है?
हल :

मान लीजिए PQ = 30 m ऊँची मीनार की छाया भूमि पर RQ = 10√3 m है तथा सूर्य का उन्नयन कोण ∠PRQ = θ है तो समकोण ∆PQR में,
tanθ = PQRQ=30103√ = √3
⇒ tanθ = tan 60°
⇒ θ = 60°
अतः, सूर्य का अभीष्ट उन्नयन कोण = 60° है।

प्रश्न 5.
एक दीवार के साथ लगी सीढ़ी क्षैतिज के साथ 60° का कोण बनाती है। यदि सीढ़ी का पाद दीवार से 2.5m की दूरी पर है तो सीढ़ी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए AB = l m लम्बी एक सीढ़ी क्षैतिज के साथ ∠BAC = 60° का कोण बनाती है तथा बिन्दु A दीवार से AC = 2.5 m की दूरी पर है तो समकोण ∆ACB में,
cos BAC = ACAB
⇒ cos 60°= 2⋅5l=12
⇒ l = 2 x 2.5 = 5m
अतः, सीढ़ी की अभीष्ट लम्बाई = 5 m है।

प्रश्न 6.
संलग्न आकृति 9.37 में एक मीनार AB की ऊँचाई 20 m है और इसकी भूमि पर परछाईं BC की लम्बाई 20√3 है। सूर्य का उन्नतांश ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए AB = 20 m ऊँची मीनार की परछाई BC = 20√3 m है तथा सूर्य का उन्नातांश θ° है तो समकोण ∆ABC में,
tan ACB = ABBC
⇒ tan θ = 20203√=13√
⇒ tan θ = tan 30°
⇒ θ = 30°
अतः, सूर्य का अभीष्ट उन्नतांश = 30° है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 9 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

निम्नलिखित प्रश्नों में सत्य/असत्य कथन लिखिए तथा अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।

प्रश्न 1.
एक मीनार की छाया की लम्बाई बढ़ने के साथ-साथ ही सूर्य का उन्नतांश भी बढ़ता जाता है।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि उन्नतांश बढ़ने पर छाया की लम्बाई घटती है।

प्रश्न 2.
एक मनुष्य एक झील के तल से 3 m ऊँचे प्लेटफार्म पर खड़ा एक बादल एवं उसके प्रतिबिम्ब का प्रेक्षण करता है तब वह देखता है कि बादल का उन्नयन कोण उसके प्रतिबिम्ब के अवनमन
कोण के बराबर है।
हल:
कथन असत्य है, क्योंकि प्रतिबिम्ब का अवनमन कोण बादल के उन्नयन कोण से अधिक होगा।

प्रश्न 3.
किसी मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। यदि मीनार की ऊँचाई दूनी कर दी जाए तो इसके शीर्ष का उन्नयन कोण भी दूना हो जायेगा।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि उन्नयन कोण मीनार की ऊँचाई से तीन गुना करने पर दूना होगा।

प्रश्न 4.
किसी मीनार की ऊँचाई और इसके प्रेक्षक बिन्दु की दूरी में 10% वृद्धि कर दी जाए तो उन्नयन कोण समान रहेगा।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि दोनों भुजाओं का अनुपात समान रहने पर tanθ का मान और इसलिए कोण θ का मान वही रहेगा।

MP Board Class 10th Maths Chapter 9 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 9 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि धूप में खड़े एक व्यक्ति की छाया उसकी ऊँचाई की √3 गुना हो, तो उस समय सूर्य का उन्नयन कोण होगा :
(a) 30°
(b) 45°
(c) 60°
(d) 75°
उत्तर:
(a) 30°

प्रश्न 2.
एक पेड़ की छाया 20√3 मीटर है। यदि पेड़ की ऊँचाई 20 मीटर हो, तो सूर्य का उन्नयन कोण होगा:
(a) 30°
(b) 45°
(c) 60°
(d) 75°
उत्तर:
(a) 30°

प्रश्न 3.
एक व्यक्ति किसी बिजली के खम्भे के शिखर से देखता है कि धरातल के एक बिन्दु का अवनमन कोण 60° है। यदि खम्भे के पाद से बिन्दु की दूरी 25 मीटर हो, तो खम्भे की ऊँचाई होगी :
(a) 25 मीटर
(b) 25√2 मीटर
(c) 25√3 मीटर
(d) 1 मीटर।
उत्तर:
(c) 25√3 मीटर

प्रश्न 4.
पुल पर बैठा एक व्यक्ति नदी में एक नाव देखता है, जिसका अवनमन कोण 45° है। यदि पुल की ऊँचाई 15 मीटर हो, तो नाव की पुल से दूरी होगी :
(a) 10 मीटर
(b) 15 मीटर
(c) 25 मीटर
(d) 5 मीटर।
उत्तर:
(b) 15 मीटर

प्रश्न 5.
पेड़ की छाया, उसकी ऊँचाई के बराबर है। सूर्य का उन्नतांश (उन्नयन) कोण होगा :
अथवा
यदि मीनार की ऊँचाई एवं छाया की लम्बाई समान हो, तो सूर्य के उन्नयन कोण का मान होगा :
(a) 30°
(b) 60°
(c) 90°
(d) 45.
उत्तर:
(d) 45.

प्रश्न 6.
एक भवन के पाद से 30 मीटर की दूरी से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। भवन की ऊँचाई है:
(a) 25 मीटर
(b) 30 मीटर
(c) 25√2 मीटर
(d) 30√2 मीटर।
उत्तर:
(b) 30 मीटर

प्रश्न 7.
एक 6 m ऊँचे खम्भे की छाया 2√3 m लम्बी है तो सूर्य का उन्नतांश होगा :
(a) 60°
(b) 45°
(c) 30°
(d) 90°.
उत्तर:
(a) 60°

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. नीचे खड़े रहकर ऊपर की ओर देखने के लिए दृष्टि रेखा को क्षैतिज से जितना ऊपर की ओर घुमाना पड़ता है, वह कोण ……….. कहलाता है।
2. ऊपर के किसी बिन्दु से नीचे के किसी बिन्दु को देखने के लिए दृष्टि रेखा को क्षैतिज से जितना नीचे की ओर घुमाना पड़ता है, वह कोण ………… कोण कहलाता है।
3. यदि किसी मीनार (पेड़) की ऊँचाई एवं उसकी छाया (की लम्बाई) बराबर (समान) हो, तो उस समय उसका (सूर्य का) उन्नयन कोण ……….. होगा।
4. एक भवन के पास से 25 मीटर की दूरी से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 45° है, तो भवन की ऊँचाई …………. होगी।
उत्तर-
1. उन्नयन कोण,
2. अवनमन,
3. 45°,
4.25 मीटर।

सत्य/असत्य कथन

1. क्षैतिज तल से ऊपर की ओर देखने पर दृष्टि रेखा क्षैतिज रेखा के साथ अवनमन कोण बनाती है।
2. वह रेखा जो हमारी आँख से वस्तु को जिसे हम देख रहे हैं, जोड़ती है, दृष्टि रेखा कहलाती है।
3. देखी गई वस्तु का उन्नयन कोण दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा से बना कोण होता है, जबकि वस्तु को देखने के लिए अपने सिर को नीचे की ओर झुकाना पड़ता है। (2019)
उत्तर-
1. असत्य,
2. सत्य,
3. असत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. उस मापक यन्त्र का नाम लिखिए जिसके द्वारा किसी दूरस्थ बिन्दु या ऊँचाई का कोण मापन किया जा सकता है।
2. वह रेखा क्या कहलाती है जो हमारी आँख से सीधे भूमि के समानान्तर जाती है?
3. हमारी आँख से उस वस्तु को जिसे हम देख रहे हैं, जोड़ने वाली रेखा क्या कहलाती है?
4. जब वस्तु आँख की क्षैतिज रेखा से ऊपर हो, तो उसे देखने के प्रक्रम में हमारी दृष्टि रेखा जिस कोण से ऊपर को मुड़ जाती है, उस कोण को क्या कहते हैं?
5. जब वस्तु आँख की क्षैतिज रेखा से नीचे हो, तो उसे देखने के प्रक्रम में हमारी दृष्टि रेखा जिस कोण से नीचे की ओर मुड़ जाती है, उस कोण को क्या कहते हैं?
6. एक वृक्ष की ऊँचाई एवं उसकी छाया बराबर हो, तो उस समय सूर्य का उन्नयन कोण कितना होगा?
उत्तर-
1. षष्टक,
2. क्षैतिज रेखा,
3. दृष्टि रेखा,
4. उन्नत (उन्नयन) कोण,
5. अवनत (अवनमन) कोण,
6. 45°

TENSE