MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 10 सरल रेखाएँ

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 10 सरल रेखाएँ

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Ex 10.1

प्रश्न 1.
कार्तीय तल में एक चतुर्भुज खींचिए जिसके शीर्ष (- 4, 5), (0, 7), (5, – 5) और (- 4, – 2) हैं। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए गए बिन्दुओं (- 4, 5), (0, 7), (5, -5) और (- 4, – 2) क्रमशः A, B, C, D द्वारा दर्शाया गया है। चतुर्भुज ABCD को दो भागों में बाँटा गया है। जो ∆ABD तथा ∆BDC के रूप में हैं।

प्रश्न 2.
2a भुजा के समबाहु त्रिभुज का आधार y-अक्ष के अनुदिश इस प्रकार है कि आधार का मध्य बिन्दु मूल बिन्दु पर है। त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात कीजिए।
हल:
माना ∆ABC की भुजा BC, y- अक्ष के अनुदिश है जिसका मध्य बिन्दु मूल बिन्दु O है।
⇒ B और C के शीर्ष बिन्दु (0, a) और (0, – a) हैं।
बिन्दु A, x- अक्ष पर है, AB = 2a, OB = a

समकोण त्रिभुज OAB में,
OA² = AB² – OB² = (2a)² – a²
= 4a² – a² = 3a²
∴ OA = √3a
∴ A के निर्देशांक (√3a,0) हैं।
अतः AABC के निर्देशांक (√3a,0), (0, a), (0 – a) हैं।

प्रश्न 3.
P(x₁,y₁) और Q(x₂, Y₂) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए जब :
(i) PQ,y- अक्ष के समांतर है,
(ii) PQ, x- अक्ष के समांतर है।
हल:
(i) जब कोई रेखा y-अक्ष के समांतर होती है तो उस पर जितने भी बिन्दु होंगे उनके x- निर्देशांक बराबर होते हैं अर्थात् X₁ = X₂.

(ii) जब कोई रेखा x-अक्ष के समांतर होती है तो उसके प्रत्येक बिन्दु का y- निर्देशांक बराबर होता है।
अर्थात् y₁ = Y₂

प्रश्न 4.
x- अक्ष पर एक बिन्दु ज्ञात कीजिए जो (7, 6) और (3, 4) बिन्दुओं से समान दूरी पर है।
हल:
मान लीजिए x- अक्ष पर बिन्दु A(a, 0), बिन्दु B(7, 6) और C(3, 4) से समान दूरी पर है।

अर्थात् AB = AC
या AB₂ = AC₂
या (a – 7)₂ + (0 – 6)₂ = (a – 3)₂ + (0 – 4)₂
∴ a₂ – 14a + 49 + 36 = a₂ – 6a + 9+ 16
– 14a + 6a = 25 – 85
= – 60
या – 8a = – 60

प्रश्न 5.
रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए जो मूल बिन्दु और P(0, -4) तथा B(8, 0) बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य बिन्दु से जाती है।
हल:
बिन्दु P(0, – 4) और B(8, 0) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य बिन्दु

⇒ PB का मध्य बिन्दु M के निर्देशांक (4, -2) है।
मूल बिन्दु 0 के निर्देशांक (0, 0) हैं।

प्रश्न 6.
पाइथागोरस प्रमेय के प्रयोग बिना दिखलाइए कि बिन्दु (4, 4), (3, 5) और (- 1, – 1) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
हल:
माना दिए गए बिन्दु A(4, 4), B(3, 5) और C(- 1, – 1) हैं, तब

प्रश्न 7.
उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो y- अक्ष की धन दिशा से वामावर्त्त मापा गया 30° का कोण बनाती है।
हल:
माना रेखा OP, y- अक्ष से वामावर्त्त 30° का कोण बनाती है।
∴ x- अक्ष की धन दिशा से 90° + 30° = 120° का कोण बनाती है।
⇒ रेखा OP की ढाल = tan 120 = – √3

यह रेखा मूल बिन्दु (0, 0) से होकर जाती है। रेखा का बिन्दु ढाल रूप है
y – y₁ = m(x – x₁)
∴ OP का समीकरण y – 0 = – √3 (x – 0)
या y = – √3x.

प्रश्न 8.
x का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए बिन्दु (x,- 1), (2, 1) और (4, 5) सरेख हैं।
हल:
मान लीजिए बिन्दु A (x, – 1), B(2, 1), C(4, 5) संरेख हैं यदि

प्रश्न 9.
दूरी सूत्र का प्रयोग किए बिना दिखलाइए कि बिन्दु (-2,-1), (4,0), (3, 3) और (-3, 2) एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
हल:
मान लीजिए एक चतुर्भुज के शीर्ष A(- 2, – 1), B(4, 0), C(3, 3), तथा D(- 3, 2) हैं।

अर्थात् BC || AD
अतः AB || DC, BC || AD
अतः ABCD एक मांस चतुर्भुज है।

प्रश्न 10.
x- अक्ष और (3, – 1) और (4, – 2) बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना 4(3, – 1), B(4, – 2) को मिलाने वाली रेखा AB की ढाल
यदि x- अक्ष और AB के बीच θ कोण हो, तो
tan θ = – 1 = tan 135°
θ = 135°.

प्रश्न 11.
एक रेखा की ढाल दूसरी रेखा की ढाल का दुगुना है। यदि दोनों के बीच के कोण की स्पर्शज्या (tangent) 1/3 है तो रेखाओं की ढाल ज्ञात कीजिए।
हल:
माना रेखाओं की ढाल m₁, m₂ हों, तब
∴ m₁ = 2m₂ यदि दोनों रेखाओं के बीच कोण हो, तो
tan θ = 1/3

प्रश्न 12.
एक रेखा (x₁, y₁) और (h, k) से जाती है। यदि रेखा की ढाल m है तो दिखाइए
k – y₁ = m(h – x₁).
हल:
माना रेखा AB बिन्दु A(x₁, y₁) और B(h, k) से गुजरती हो, तब

अर्थात् k – y₁ = m(h – x₁)

प्रश्न 14.
जनसंख्या और वर्ष के निम्नलिखित लेखाचित्र पर विचार कीजिए। (देखिए आकृति में) रेखा AB की ढाल ज्ञात कीजिए और इसके प्रयोग से बताइए कि वर्ष 2010 में जनसंख्या कितनी होगी ?
हल:
दी गयी आकृति में रेखा AB बिन्दु A(1985, 92) और B(1995,97) से होकर जाती है।

मान लीजिए सन् 2010 में जनसंख्या y₁ करोड़ होगी जो बिन्दु P(2010, y₁), AB पर पड़ता है।

∴ ABP सरेखीय हैं।
या AB की ढाल = BP की ढाल

सन् 2010 में जनसंख्या 104.5 करोड़ होगी।

Ex 10.2

प्रश्न 1 से 8 तक रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिए गए प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है।
प्रश्न 1.
x- अक्ष और y- अक्ष के समीकरण लिखिए।
हल:
x- अक्ष का समीकरण y = 0.
तथा y- अक्ष का समीकरण x = 0.

प्रश्न 2.
ढाल 1/2 और बिन्दु (- 4, 3) से जाने वाली।
हल:
ढाल m = 1/2 , बिन्दु (- 4, 3)
अभीष्ट रेखा का समीकरण
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 3 = 1/2 = (x + 4)
या 2y – 6 = x + 4
∴ x – 2y + 10 = 0.

प्रश्न 6.
मूल बिन्दु से ऊपर y-अक्ष को 2 इकाई की दूरी पर प्रतिच्छेद करने वाली और x-अक्ष की धन दिशा के साथ 30° का कोण बनाने वाली।
हल:
मूल बिन्दु से y-अक्ष पर 2 इकाई की दूरी पर स्थित बिन्दु (0, 2) होगा। x-अक्ष की धन दिशा के साथ रेखा 30° का कोण बनाती है।

प्रश्न 7.
बिन्दुओं (-1, 1) और (2 – 4) से जाते हुए।
हल:

या 3y – 3 = – 5x – 5
अतः 5x + 3y + 2 = 0.

प्रश्न 8.
उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी मूल बिन्दु से लांबिक दूरी 5 इकाई और लंब धन x-अक्ष से 30° का कोण बनाती है।
हल:
हम जानते हैं कि लंब रूप में रेखा AB का समीकरण,
x cos ω + y sinω = P
यहाँ पर दिया है: ω = 30°, तथा p = 5

प्रश्न 9.
∆PQR के शीर्ष P(2, 1), Q(- 2, 3) और R(4, 5) हैं। शीर्ष R से जाने वाली माध्यिका का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
PQ का मध्य बिन्दु अर्थात् m (0, 2) है।
∴ दो बिन्दुओं से जाने वाली रेखा का समीकरण,

अब बिन्दुओं R (4, 5) तथा M(0, 2) से जाने वाली रेखा का समीकरण,

या 4(y – 5) = 3 (x – 4)
या 3x – 4y + 8 = 0
अतः माध्यिका RM का समीकरण 3x – 4y + 8 = 0.

प्रश्न 10.
(- 3, 5) से होकर जाने वाली और बिन्दु (2, 5) और (- 3, 6) से जाने वाली रेखा पर लंब रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
बिन्दु A(2, 5) और B(- 3, 6) से होकर जाने वाली रेखा का ढाल

यदि PL बिन्दु P(- 3, 5) से AB पर लम्ब डाला गया हो तो उसकी ढाल m₂ मान लीजिए।
रेखाएँ PL और AB परस्पर लम्ब हैं।
यदि PL की ढाल × AB की ढाल = – 1

∴ m₂ = 5
PL की ढाल 5 है और P(- 3, 5) से होकर जाती है तो PL का समीकरण,
y – y₁ = m₂(x – x₁)
या y – 5 = 5 (x + 3)
∴ 5x – y + 20 = 0.

प्रश्न 11.
एक रेखा (1, 0) तथा (2, 3) बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखाखंड पर लम्ब है तथा उसको 1 : n के अनुपात में विभाजित करती है। रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
रेखा AB बिन्दु A(1, 0) तथा B(2, 3) से होकर जाती है।

या (n + 1)x + 3(n + 1)y = n + 2 + 9 = n + 11
या (n+ 1) x + 3 (n + 1)y = n + 11.

प्रश्न 12.
एक रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक अक्षों से समान अंत:खण्ड काटती है और बिन्दु (2, 3) से जाती है।
हल:
(i) रेखा AB बिन्दु P(2, 3) से होकर जाती है और निर्देशांक अक्षों पर समान अंत: खंड बनाती है।
OA = OB
∠BAO = 45°,
∠BAX = 135°

AB की ढाल, m = tan 135° = – 1
रेखा का समीकरण, y – y₁ = m(x – x₁)
जहाँ x₁ = 2, Y₁ = 3 तथा m = – 1
y – 3 = – (x – 2)
या x + y – 5 = 0
या x + y = 5.

प्रश्न 13.
बिन्दु (2, 2) से जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके द्वारा अक्षों से कटे अंतःखंडों का योग 9 है।
हल:
मान लीजिए P(2, 2) से होकर जाने वाली रेखा से अक्षों पर बने अंतः खंड a तथा b हैं।

प्रश्न 14.
बिन्दु (0, 2) से जाने वाली और धन x-अक्ष से  के कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। इसके समांतर और y-अक्ष को मूल बिन्दु से 2 इकाई नीचे की दूरी पर प्रतिच्छेद करती हुई रेखा का समीकरण भी ज्ञात करो।
हल:
माना एक रेखा PQ बिन्दु P(0, 2) से होकर जाती है और धन x-अक्ष के साथ  का कोण बनाती है।
∴ PQ की ढाल = tan
= – √3

प्रश्न 15.
मूल बिन्दु से किसी रेखा पर डाला गया लम्ब रेखा से बिन्दु (- 2, 9) पर मिलता है। रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए रेखा AB पर मूल बिन्दु से डाला गया लम्ब AB पर मिलता है।

प्रश्न 16.
तांबे की छड़ की लम्बाई L (सेमी में) सेल्सियस ताप C का रैखिक फलन है। एक प्रयोग में यदि L= 124.942, जब C = 20 और L= 125.134 जब C = 110 हो, तो L को C के पदों में व्यक्त कीजिए।
हल:
L ताप C का रैखिक फलन है।
(20, 124.942), (110, 125.134) इसका रैखिक फलन है। इन दो बिन्दुओं से संतुष्ट फलन

प्रश्न 17.
किसी दूध भण्डार का स्वामी प्रति सप्ताह 980 लीटर दूध, 14 रू प्रति लीटर के भाव से और 1220 लीटर दूध 16 रू प्रति लीटर के भाव से बेच सकता है। विक्रय मूल्य तथा मांग के मध्य के संबंध को रैखिक मानते हुए ज्ञात कीजिए कि प्रति सप्ताह वह कितना दूध 17 रू प्रति लीटर के भाव से बेच सकता है?
हल:
दूध के भाव और मात्रा में रैखिक सम्बन्ध है। यह रेखा दो बिन्दुओं (14, 980), (16, 1220) से होकर जाती है।
इससे प्राप्त रेखा का समीकरण,

= 120(x – 14)
y = 980 + 120 (x – 14)
जब x का मान 17 है तो y का मान नीचे दिया गया है।
y = 980 + 120(17 – 14)
= 980 + 120 × 3
= 980 + 360
= 1340
अतः 17 रू प्रति लीटर भाव का 1340 लीटर दूध बिकेगा।

प्रश्न 18.
अक्षों के बीच रेखाखंड का मध्य बिंदु P(a, b) है। दिखाइए कि रेखा का समीकरण  हैं।
P(a, b)
हल:
माना रेखा AB अक्षों पर p और q अंतःखंड बनते हैं।
∴ बिन्दु A और B के क्रमशः निर्देशांक (p, 0) और (0, q) हैं।

प्रश्न 19.
अक्षों के बीच रेखाखण्ड को बिन्दु R(h, k), 1 : 2 के अनुपात में विभक्त करता है। रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
अक्षों के बीच रेखाखंड AB को R(h, k) AR : RB = 1 : 2 के अनुपात में विभक्त करता है।
मान लीजिए अक्षों पर अंत:खण्ड OA = a और OB = b है।

a और b के मान रखने पर,

प्रश्न 20.
रेखा के समीकरण की संकल्पना का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि तीन बिन्दु (3, 0), (-2,-2) और (8, 2) संरेख हैं।
हल:
बिन्दु A(3, 0), B(- 2, – 2) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण

बिन्दु C(8, 2) इस रेखा पर पड़ता है तब इसके निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करेंगे।
∴ 2 × 8 – 5 × 2 – 6 = 0
या 16 – 16 = 0
अतः दिए हुए बिन्दु A, B, C सरेख हैं।

10.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित समीकरणों को ढाल अंतःखण्ड रूप में रूपान्तरित कीजिए और उनके ढाल तथा y-अंतः खण्ड ज्ञात कीजिए :
(i) x + 7y = 0,
(ii) 6x + 3y – 5 = 0,
(iii) y = 0.
हल:
(i) x + 7y = 0
∴ y = – 1/7x + 0
∴ ढाल = – 1/7, y-अंत: खण्ड = 0.
(ii) 6x + 3y – 5 = 0,
3y = – 6x + 5
∴ y = – 2x + 5/3
ढाल = – 2, y-अंत: खण्ड = 5/3
(iii) y = 0
या y = 0. x + 0.
ढाल = 0, y-अंत: खण्ड = 0

प्रश्न 2.
निम्नलिखित समीकरणों को अंतःखण्ड रूप में रूपान्तरित कीजिए और अक्षों पर इनके द्वारा काटे गए अंतःखण्ड ज्ञात कीजिए :
(i) 3x + 2y – 12 = 0,
(ii) 4x – 3y = 6,
(iii) 3y + 2 = 0.
हल:
(i) 3x + 2y – 12 = 0
या 3x + 2y = 12
12 से दोनों पक्षों में भाग देने पर

प्रश्न 3.
निम्नलिखित समीकरणों को लम्ब रूप में रूपान्तरित कीजिए। उनकी मूल बिन्दु से लांबिक दूरियाँ और लम्ब तथा धन x-अक्ष के बीच का कोण ज्ञात कीजिए :

(ii) y – 2 = 0 या y = 2
0·x + y·1 = 2
x cos 90° + y sin 90° = 2 [∵ cos 90° = 0, sin 90° = 1]
∴ p = 2, α = 90°.
(iii) x – y =4

प्रश्न 4.
बिन्दु (- 1, 1) की रेखा 12(x + 6) = 5(y – 2) से दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
12(x + 6) = 5(y – 2).
या 12x + 72 = 5y – 10
12x – 5y + 82 = 0

प्रश्न 6.
समान्तर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए
(i) 15x + 8y – 34 = 0 और 15x + 8y + 31 = 0
(ii) l(x +y) + p = 0 और l(x + y) – r= 0
हल:

प्रश्न 7.
रेखा 3x – 4y + 2 = 0 के समान्तर और बिन्दु (-2, 3) से जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
3x – 4y + 2 = 0
या 4y = 3x +2

या 4y – 12 = 3x + 6
या 3x – 4y + 18 = 0.
दूसरी विधि : कोई भी रेखा ax + by + c = 0 के समान्तर ax + by + k = 0 के रूप में लिखी जा सकती है।
∴ 3x – 4y + 2 = 0 के समान्तर रेखा 3x – 4y + k = 0 है
यह (- 2, 3) से होकर जाती है।
∴ 3 x (- 2) – 4 x 3 + k = 0 या k = 18
अभीष्ट समान्तर रेखा का समीकरण: 3x – 4y + 18 = 0.

प्रश्न 8.
रेखा x – 7y + 5 = 0 पर लम्ब और x-अन्तः खण्ड 3 वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ x-अंत:खण्ड = 3
∴ रेखा A(3, 0) से होकर जाती है।
रेखा PQ : x – 7y + 5 = 0
या 7y = x +5

∵ PQ ⊥ AB
∴ A से होकर जाने वाली रेखा AB की ढाल = – 7
∴ बिन्दु (3, 0) से रेखा AB का समीकरण,
y – 0 = – 7(x – 3).
= – 7x + 21
या 7x + y – 21 = 0.
दूसरी विधि : ax + by + c = 0 की लम्ब कोई रेखा bx – ay + k = 0
∴ x – 7y + 5 = 0 की लम्ब रेखा 7x + y + k = 0
यह रेखा (3, 0) से होकर जाती है।
∴ 7 x 3 + 0 + k = 0, अर्थात् k = – 21
∴ अभीष्ट रेखा का समीकरण 7x + y – 21 = 0.

प्रश्न 10.
बिन्दुओं (h, 3) और (4, 1) से जाने वाली रेखा, रेखा 7x – 9y – 19 = 0 को समकोण पर प्रतिच्छेद करती है। का मान ज्ञात कीजिए।

माना रेखा AB बिन्दु A(h, 3), B(4, 1) से जाने वाली रेखा की ढाल,

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (x₁, y₁) से जाने वाली और रेखा Ax + By + C = 0 के समान्तर रेखा का समीकरण
A(x – x₁) + B(y – y₁) = 0 है।
हल:
रेखा Ax + By + C = 0

बिन्दु (2, 3) से जाने वाली दो रेखाएँ परस्पर 60° के कोण पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि एक रेखा की ढाल 2 है तो दूसरी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना दूसरी रेखा की ढाल m है।
दोनों रेखाओं के बीच कोण

प्रश्न 13.
बिन्दुओं (3, 4) और (- 1, 2) को मिलाने वाली रेखाखण्ड के लम्ब समद्विभाजक रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बिन्दुओं A(3, 4) और B(- 1, 2) को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्य बिन्दु

रेखा CD बिन्दु D से होकर जाती है
∴ रेखा CD का समीकरण
y – 3 = – 2(x – 1)
= – 2x + 2
∴ 2x + y – 5 = 0.

प्रश्न 14.
बिन्दु (- 1, 3) से रेखा 3x – 4y – 16 = 0 पर डाले गए लम्बपाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए रेखा AB का समीकरण, 3x – 4y – 16 = 0 …(i)

प्रश्न 15.
मूल बिन्दु से रेखा y = mx + c पर डाला गया लम्ब रेखा से बिन्दु (-1, 2) पर मिलता है। m और … c के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना रेखा AB का समीकरण, y = mx + c
रेखा AB की ढाल = m

O से रेखा AB पर लम्ब OC डाला गया है जो बिन्दु C(- 1, 2) पर मिलता है।

प्रश्न 16.
यदि p और q क्रमशः मूल बिन्दु से रेखाओं x cos θ – y sin θ = k cos 2θ और x sec θ +y cosec θ = k पर लम्ब की लंबाइयाँ हैं तो सिद्ध कीजिए कि
p₂ + 4q₂ = k₂.
हल:
मूल बिन्दु (0, 0) से x cos θ – y sin θ = k cos 2θ की दूरी,

समीकरण (1) और (2) को वर्ग करके जोड़ने पर,
k₂ = p₂ + 4q₂
अतः p₂ + 4q₂ = K₂.

प्रश्न 17.
शीर्षों A(2, 3), B(4, – 1) और C(1, 2) वाले त्रिभुज ABC के शीर्ष A से उसकी सम्मुख भुजा पर लम्ब डाला गया है। लम्ब की लम्बाई तथा समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए AM रेखा BC पर लंब डाला गया है
(i) रेखा BC की ढाल

रेखा AM बिन्दु A से जाती है और ढाल = 1 है।
∴ AM का समीकरण
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 3 = 1. (x – 2)
या x – y + 1 = 0
(ii) बिन्दु B(4, – 1) और C(1, 2) से होकर जाने वाली रेखा BC का समीकरण

प्रश्न 18.
यदि p मूल बिन्दु से उस रेखा पर डाले गए लम्ब की लम्बाई हो जिसस पर अक्षों पर कटे अंत: खण्ड a और b हों, तो दिखाइए कि

हल:
उस रेखा का समीकरण, जिसकी अक्षों पर कटे अंत:खण्ड a और b हों,

मूल बिन्दु (0, 0) बसे इस रेखा पर डाले गए लम्ब की लम्बाई

विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
k के मान । ज्ञात कीजिए जब कि रेखा (k – 3)x – (4 – k²)y + K² – 7k + 6 = 0
(a) x-अक्ष के समान्तर है।
(b) y-अक्ष के समान्तर है।
(c) मूल बिन्दु से जाती है।
हल:
(i) x-अक्ष के समान्तर y = a
∴ प्रश्न में दिए गए समीकरण में x का गुणांक = 0 या k – 3 = 0 अर्थात् k = 3.
(ii) xy-अक्ष के समान्तर रेखा x =q
दिए गए समीकरण में y का गुणांक = 0 या 4 – k² = 0 अर्थात् k = ± 2.
(iii) यदि रेखा मूल बिन्दु से जाती है तो (0, 0) इसके समीकरण को संतुष्ट करेगा।
0 – 0 + K² – 7k + 6 = 0 या (k – 6) (k – 1) = 0 या k = 1, 6.

प्रश्न 2.
θ और p के मान ज्ञात कीजिए यदि समीकरण x cos θ + y sin θ = p रेखा √3x + y + 2 = 0 का लम्ब रूप है।
हल:

प्रश्न 3.
उन रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जिनके अक्षों से कटे अंतःखण्डों का योग और गुणनफल क्रमशः 1 और – 6 हैं।
हल:
मान लीजिए अक्षों पर कटे अतः खण्ड a और b हैं।
दिया है : a + b = 1, ab = – 6
b = 1 – a
∴ a(1 – a) = – 6
या a – a₂ = – 6
a₂ – a – 6 = 0
या (a – 3) (a + 2) = 0
∴ a = 3, – 2
∴ b = – 2, 3
3, – 2 अंत:खण्ड वाली रेखा का समीकरण,

प्रश्न 4.
y-अक्ष पर कौन से बिन्दु ऐसे हैं, जिनकी रेखा  से दूरी 4 इकाई है।
हल:
मान लीजिए y-अक्ष पर बिन्दु (0, y₁) है।
(0, y₁) की रेखा 4x + 3y = 12 से दूरी

प्रश्न 5.
मूल बिन्दु से बिन्दुओं (cos θ, sin θ) और (cos ϕ, sin ϕ) को मिलाने वाली रेखा की लांबिक दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
(cos θ, sin θ), (cos ϕ, sin ϕ) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण,

प्रश्न 6.
रेखाओं x – 7y + 5 = 0 और 3x + y = 0 के प्रतिच्छेद बिन्दु से खीची गई और y-अक्ष के समान्तर रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गयी रेखाएँ
x – 7y + 5 = 0 …(1)
3x + y = 0 …(2)
समी (2) से,
y = – 3x
y का मान समी (1) में रखने पर,
x – 7(- 3x) + 5 = 0
या 22x + 5 = 0

प्रश्न 8.
रेखाओं y – x = 0, x + y = 0, और x – k = 0 से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
y – x = 0 और y + x = 0 बिन्दु (0, 0) पर मिलते हैं।
x = k को y – x = 0 में रखने से, y – k = 0 या y = k
x – k = 0 और y – x = 0 बिन्दु (k, k) पर मिलते हैं।
x = k को y + x = 0 में रखने से,
y + k = 0 या y = – k
x = k और y + x = 0 बिन्दु (k, – k) पर मिलते हैं।
अब बिन्दु (0, 0), (k, k) और (k, – k) से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल

प्रश्न 9.
p का मान ज्ञात कीजिए जिससे तीन रेखाएँ 3x + y – 2 = 0, px + 2y – 3 = 0 और 2x – y – 3 = 0 एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करें।
हल:
दी गयी रेखाएँ
3x + y = 2 …(1)
2x – y = 3 …(2)
समी (1) और (2) को जोड़ने पर,
5x = 5 या x = 1
∴ y = 2 – 3x = 2 – 3 = – 1
∴ समी (1) और (2) वाली रेखाएँ बिन्दु (1, – 1) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
तीसरी रेखा px + 2y – 3 = 0 भी इसी बिन्दु से जाती है इसलिए (1, – 1) इस समीकरण को संतुष्ट करेगा।
p × 1 + 2 × (- 1) – 3 = 0
p – 2 – 3 = 0
∴ p = 5
अतः दी गयी रेखाएँ संगामी हैं यदि p = 5.

प्रश्न 10.
यदि तीन रेखाएँ जिनके समीकरण y = m₁x + c₁, y = m₂x + c₂ और y =m₃x + c₃ हैं, संगामी हैं, तो दिखाइए कि m₁(c₂ – c₃) + m₂(c₃ – c₁) + m₃(c₁ – c₂) = 0.
हल:

प्रश्न 11.
बिन्दु (3, 2) से जाने वाली उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा x – 2y = 3 से 45° का कोण बनाती है।
हल:
माना रेखा AB का समीकरण : x – 2y = 3

3y – 6 = – x + 3
या x + 3y – 9 = 0
अब जब ढाल m = 3 हो, तब बिन्दु P(3, 2) से रेखा का समीकरण,
y – 2 = 3(x – 3)
y – 2 = 3x – 9
या 3x – y – 7 = 0.

प्रश्न 12.
रेखाओं 4x + 7y – 3 = 0 और 2x – 3y + 1 = 0 के प्रतिच्छेद बिन्दु से जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो अक्षों से समान अंतः खण्ड बनाती हैं।
हल:
4x + 7y = 3 …(1)
2x – 3y = – 1 …(2)
समी (2) को 2 से गुणा करने पर,
4x – 6y = – 2 …(3)
समी (3) को (1) में से घटाने पर
13y = 5
∴ y = 5/13

जो रेखा अक्षों पर बने अंतः खण्ड समान हैं तो वह धन x-अक्ष के साथ 45° या 135° का कोण बनाती हैं। इसलिए उसकी ढाल ±1 होगी।
∴ PA और PB रेखाओं के समीकरण
y – y₁ = m(x – x₁)

प्रश्न 13.
दर्शाइए कि मूल बिन्दु से जाने वाली और रेखा y = mx + c से θ कोण बनाने वाली उस रेखा का समीकरण

हल:
रेखा PA का समीकरण y = mx + c है
यह रेखा OP के साथ कोण θ बनाती है।
रेखा PA की ढाल = m
मान लीजिए OP की ढाल = m₁ है।

प्रश्न 14.
(- 1, 1) और (5, 7) को मिलाने वाली रेखाखण्ड को रेखा x + y = 4 किस अनुपात में विभाजित करती है ?
हल:
मान लीजिए बिन्दु P रेखाखण्ड AB को k : 1 के अनुपात में विभाजित करता है। जबकि A और B के क्रमशः (- 1, 1) और (5, 7) निर्देशांक हैं।

अतः बिन्दु P रेखाखण्ड AB को 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है।

प्रश्न 15.
बिन्दु (1, 2) से रेखा 4x + 7y + 5 = 0 की 2x – y = 0 के अनुदिश दूरी ज्ञात करो।
हल:
माना रेखा PC का समीकरण, 2x – y = 0 जिस पर बिन्दु P(1, 2) स्थित है।

रेखा AB का समीकरण 4x + 7y + 5 = 0 और 2x – y = 0 को हल करने पर,

प्रश्न 16.
बिन्दु (- 1, 2) से खींची जा सकने वाली उस रेखा की दिशा ज्ञात कीजिए जिसका रेखा x + y = 4 से प्रतिच्छेदन बिन्दु दिए बिन्दु से 3 इकाई की दूरी पर है।
हल:
मान लीजिए अभीष्ट रेखा PQ की ढाल m है
रेखा PQ जो बिन्दु P(- 1, 2) से होकर जाती है और ढाल m है, का समीकरण
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 2 = m(x + 1)
या mx – y + m + 2 = 0 …(1)

रेखा AB का समीकरण x+ y = 4
∴ y = 4 – x
y का मान समी (1) में रखने पर,
mx – (4 – x) + m + 2 = 0
या (m + 1) x + m – 2 = 0

प्रश्न 17.
समकोण त्रिभुज के कर्ण के अंत्य बिन्दु (1, 3) और (- 4, 1) हैं। त्रिभुज के पाद (leg) (समकोणीय भुजाओ) का एक समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना त्रिभुज ABC एक समकोणीय त्रिभुज है जिसका कर्ण AB है। A और B के निर्देशांक क्रमशः (1, 3) और (- 4, 1) हैं।
मान लीजिए BC की ढाल m है।

AC ⊥ BC
∴ AC की ढाल = – 1/m
रेखा BC का समीकरण,
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 1 = m(x + 4)
या mx – y + 4m + 1 = 0 …(1)
रेखा AC का समीकरण
y – 3 = – 1/m(x – 1)
या my – 3m = – x + 1
या x + my – 3m – 1 = 0 …(2)
यह दोनों रेखाएँ m के दिए मान से इन का समीकरण ज्ञात कर सकते हैं। यदि BC भुजा x-अक्ष के समांतर हो तो m = 0.
BC का समीकरण, y – 1 = 0
या y = 1
∴ AC, y-अक्ष के समांतर हो और यह A(1, 3) से जाती है। अतः AC का समीकरण x = 1
अत: BC और AC के समीकरण y = 1 और x = 1 हैं।

प्रश्न 18.
किसी बिन्दु के लिए रेखा को दर्पण मानते हुए बिन्दु (3, 8) का रेखा x + 3y = 7 में प्रतिबिंब ज्ञात कीजिए।
हल:
माना रेखा AB का समीकरण x + 3y = 7 है और बिन्दु P के निर्देशांक (3, 8) हैं।

बिन्दु P का प्रतिबिंब Q होगा यदि PQ ⊥ AB, PQ और AB बिन्दु M पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि
PM = QM

रेखा AB की ढाल = – 1/3
और PQ की ढाल = 3
∴ PQ रेखा का समीकरण,
y – 8 = 3(x – 3)
= 3x – 9
या 3x – y = 1 …(1)
AB का समीकरण x + 3y = 7 …(2)
समी (1) को 3 से गुणा करके समी (2) में जोड़ने पर,
10x = 10 या x = 1
समी (1) से y = 3x – 1 = 3 – 1 = 2
∴ बिन्दु M के निर्देशांक (1, 2) हैं।
मान लीजिए Q के निर्देशांक (x₁, y₁) हैं
बिन्दु M रेखाखण्ड PQ का मध्य बिन्दु है
∴ जबकि P(3, 8) है।

प्रश्न 19.
यदि रेखाएँ y = 3x + 1 और 2y = x + 3, रेखा y = mx + 4 पर समान रूप से आनत हो तो m का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
रेखा AB का समीकरण, y = 3x + 1 की ढाल = 3
रेखा BC का समीकरण, y = mx + 4 को ढाल = m

प्रश्न 20.
यदि एक वर बिन्दु P(x, y) की रेखाओं x + y – 5 = 0 और 3x – 2y + 7 = 0 से लांबिक दूरियों का योग सदैव 10 रहे तो दर्शाइए कि P अनिवार्य रूप से एक रेखा पर गमन करता है।
हल:

प्रश्न 21.
समांतर रखाओं 9x + 6y – 7 = 0 और 3x + 2y + 6 = 0 से समदूरस्थ रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गयी समांतर रेखाएँ
9x + 6y – 7 = 0 …(1)
और 3x + 2y + 6 = 0
या 9x + 6y + 18 = 0 …(2)
एक रेखा जो इसके समांतर है, उसका समीकरण
9x + 6y + c = 0 …(3)
रेखा (1) और (3) के बीच दूरी

प्रश्न 22.
बिन्दु (1, 2) से होकर जाने वाली एक प्रकाश किरण x-अक्ष के बिन्दु A से परावर्तित होती है और परावर्तित किरण बिन्दु (5, 3) से होकर जाती है। A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए BC, x-अक्ष के अनुदिश उस बिन्दु के निर्देशांक A (a, 0) है। AN इस पर लंब है। PA एक आपतित किरण है और AQ परावर्तित किरण है।

⇒ आपतित कोण PAN = परावर्तित कोण NAQ
⇒ ∠PAB = ∠QAC
⇒ यदि QA का झुकाव 0 हो तो PA का झुकाव 180 – θ होगा।
QA की ढाल जबकि Q(5, 3) और A(a, 0) हो, तो

प्रश्न 23.
दिखाइए कि  पर खींचे गए लम्बों की लंबाइयों का गुणनफल b₂ है।
हल:

प्रश्न 24.
एक व्यक्ति समीकरणों 2x – 3y + 4= 0 और 3x + 4y – 5 = 0 से निरूपित सरल रेखीय पथों के संधि बिन्दुओं (junction/crosing) पर खड़ा है और समीकरण 6x – 7y + 8 = 0 से निरूपित पथ पर न्यूनतम समय में पहुँचना चाहता है। उसके द्वारा अनुसरित पथ का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
AB और BC दो रेखीय पथ हैं। AB व BC रेखाओं के समीकरण
2x – 3y + 4 = 0 …(1)
और 3x + 4y – 5 = 0 …(2)

AB और BC बिन्दु B पर मिलते हैं।
समी (1) को 3 से तथा समी (2) को 2 से गुणा करने पर
6x – 9y = – 12 ….(3)
6x + 8y = 10 ….(4)
समी (3) को समी (4) में से घटाने पर,
17y = 10 + 12 = 22

y का मान समी (1) में रखने पर,

B से AC तक न्यूनतम समय में पहुंचने के लिए कम से कम दूरी BD ( BD ⊥ AC) तय करनी है।

102 से गुणा करने पर,
102y – 132 = – 119x – 7
119x + 102y – 125 = 0 .
अतः B से AC तक पहुँचने के लिए BD पथ अपनाना है जिसका समीकरण 119x + 102y – 125 = 0 है।