MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज

Ex 13.1

प्रश्न 1 से 22 तक निम्नलिखित सीमाओं के मान प्राप्त कीजिए :
प्रश्न 1.
lim_x→3 x + 3.
हल:

प्रश्न 2.

हल:

प्रश्न 3.
lim_r→1(πr²).
हल:

प्रश्न 4.

हल:

प्रश्न 5.

हल:

प्रश्न 6.

हल:

वैकल्पिक विधि : हम जानते हैं :

प्रश्न 7.

हल:

प्रश्न 8.

हल:

प्रश्न 9.

हल:

प्रश्न 10.

हल:

प्रश्न 11.

हल:

प्रश्न 12.

हल:

प्रश्न 13.

हल:

प्रश्न 14.

हल:

प्रश्न 15.

हल:

प्रश्न 16.

हल:

 

प्रश्न 17.

हल:

प्रश्न 18.

हल:

प्रश्न 19.

हल:

प्रश्न 21.

हल:

प्रश्न 22.

हल:

प्रश्न 23.

हल:

प्रश्न 24.

हल:

समी (i) और (ii) से,

∴ अतः x = 1 पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।

प्रश्न 25.

हल:

प्रश्न 26.

हल:

प्रश्न 27.
lim_x→5 f(x) ज्ञात कीजिए, जहाँ f(x) = |x|- 5.
हल:

प्रश्न 28.

और यदि limx→1 f(x) = f(1), तो a और b के संभव मान क्या हैं?
हल:

समी (i) और (ii) को जोड़ने पर,
2b = 8 या b = 4
समी (i) में b = 4 रखने पर,
4 + a = 4 या a = 0
अतः a = 0, b = 4.

प्रश्न 29.
मान लीजिए a₁,a₂,…..a_n, अचर वास्तविक संख्याएँ हैं और एक फलन f(x) = (x – a₁) (x – a₂)…..(x – a_n) से परिभाषित है। lim_x→a1 f(x) क्या है? किसी a ≠ a₁,a₂,…..a_n के लिए lim_x→a f(x) का परिकलन कीजिए।
हल:

प्रश्न 30.

हल:
दिया गया फलन:


अतः सभी a, a ≠ 0 के लिए lim_x→a f(x) का अस्तित्व है।

प्रश्न 31.

हल:

प्रश्न 32.
किन पूर्णांकों m और n के लिए lim_x→0 f(x) और lim_x→1 f(x) दोनों का अस्तित्व है, यदि

हल:

अतः lim_x→0 f(x) के अस्तित्व हेतु m = n अनिवार्य रूप से होना चाहिए; m तथा n के किसी भी पूर्णांक मान के लिए lim_x→1 f(x) का अस्तित्व है।

Ex 13.2

प्रश्न 1.
x = 10 पर x² – 2 का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 2.
x = 100 पर 99x का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल:

 

प्रश्न 3.
x = 1 पर x का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 4.
प्रथम सिद्धांत से निम्नलिखित फलनों का अवकलज ज्ञात कीजिए :
(i) x³ – 27.
हल:
दिया है, f(x) = x³ – 27
f(x + h) = (x + h)³ – 27
= x³ + 3x²h + 3xh² + h³ – 27
f(x + h) – f(x) = (x³ + 3x²h + 3xh² + h³ – 27) – (x³ – 27)
= 3x²h + 3xh² + h³
= h(3x² + 3xh + h²)

(ii) (x – 1)(x – 2).
हल:
f(x) = (x – 1) (x – 2) = x² – 3x + 2 .
f(x + h) = (x + h)² – 3(x + h) + 2
∴ f(x + h) – f(x) = (x² + 2xh + h²) – (3x + 3h) + 2 – (x² – 3x + 2)
= 2xh + h² – 3h
= h(2x + h – 3)

प्रश्न 6.
किसी अचर वास्तविक संख्या a के लिए xⁿ + ax^{n – 1} + a²x^{n – 2} +….+ a^{n – 1} + aⁿ का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 7.
किन्हीं अचरों a और b के लिए
(i) (x – a)(x – b) का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
f(x) = (x – a) (x – b)
= x² – (a + b)x + ab
इसका अवकलन करने पर
f′(x) = 2x^{2 – 1} – (a + b) .1 + 0
= 2x – (a + b).

(ii) (ax² + b)² का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल:
माना f(x) = (ax² + b)² = a²x⁴ + 2abx² + b²
∴ f'(x) = a² . 4x³ + 2ab . 2x + 0
= 4a²x³ + 4abx
= 4ax(ax² + b)

(iii) x ^{– 3}(5 + 3x).
हल:
माना f(x) = x ^{– 3}(5 + 3x)
= 5x ^{– 3} + 3x.x ^{– 3} = 5x ^{– 3} + 3x ^{– 3}
अवकलन करने पर
f'(x) = 5 (- 3)x^{– 3 – 1} + 3 (- 2). x^{– 2 – 1}
= – 15 x ^{– 4} – 6x ^{– 3}

(iv) x⁵ (3 – 6x^{– 9}).
हल:
माना f(x) = x⁵ (3 – 6x^{– 9})
= 3x⁵ – 6.x^{5 – 9} = 3x⁵ – 6x^{– 4}
∴ f'(x) = 3 . 5x^{5 – 1} – 6(- 4)x^{– 4 – 1}.

(v) x^{– 4} (3 – 4x^{– 5}).
हल:
माना f(x) = x^{– 4} (3 – 4x^{– 5}).
= 3. x^{– 4} – 4. x^{– 4} . x^{– 5} = 3x^{– 4} – 4x^{– 9}
अवकलज करने पर

प्रश्न 10.
प्रथम सिद्धांत से cos x का अवकलज ज्ञात कीजिए ।
हल:

प्रश्न 11.
निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए:
(i) sin x cos x.
हल:
माना
f(x) = sin x cos x
∵ (uv)’ = u’v + uv’

(v) 3 cot x + 5 cosec x.
हल:
f(x) = cot x
f(x + h) = cot (x + h)
f(x + h) – f(x) = cot (x + h) – cot x

(vii) 2 tan x – 7 sec x.
हल:

विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
प्रथम सिद्धांत से निम्नलिखित फलनों का अवकलज ज्ञात कीजिए :
(i) – x.
हल:

(ii) (- x)^{– 1}.
हल:
मान लीजिए

(iii) sin (x + 1).
हल:
मान f(x) = sin (x + 1)
∴ f(x + h) = sin (x + h + 1)
या f(x + h) – f(x) = sin (x + h +1) – sin (x + 1)

निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, p, 4, r और s निश्चित शून्येत्तर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।)
प्रश्न 2.
(x + a).
हल:

प्रश्न 3.
(px + q) (r/x + s)
हल:
माना f(x) = (px + q) (r/x + s)

प्रश्न 4.
(ax + b) (cx + d)².
हल:
माना, f(x) = (ax + b)(cx + d)²

= a. (cx + a)² + (ax + b). 2c (cx + d)
= 2c(ax + b) (cx + d) + a(cx + d)².

प्रश्न 12.
(ax + b)ⁿ.
हल:
माना f(x) = (ax + b)ⁿ
x के आपेक्ष अवकलन करने पर
f'(x) = n(ax + b)^{n – 1} d/dx(ax + b)
= n(ax + b)^{n – 1} . a
= na(ax + b)^{n – 1}.

प्रश्न 13.
(ax + b)ⁿ (cx + d)^m .
हल:
माना, fx= (ax + b)ⁿ (cx + d)^m

प्रश्न 14.
sin (x + a).
हल:
माना f(x) = sin (x + a)
x + a को u रखने पर
f(x) = sin u
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 15.
cosec x cot x.
हल:
माना f(x) = cosec x cot x
∵ (uv)’ = u’v + uv’
∴ f'(x) = (d/dx cosec x) cot x + cosec x d/dx (cot x)
= (- cosec x cot x) cot x + cosec x (- cosec² x)
= – cosec³ x – cosec x cot² x.

प्रश्न 19.
sinⁿx
हल:

प्रश्न 20.

हल:

प्रश्न 22.
x⁴(5 sin x – 3cos x)
हल:

प्रश्न 23.
(x² + 1)cosx.
हल:

प्रश्न 24.
(ax² + sinx)(p + q cosx).
हल:

प्रश्न 25.
(x + cos x)(x – tan x).
हल:

= (1 – sin x)(x – tan x) + (x + cos x)(1 – sec² x)
= (1 – sin x)(x – tan x) – (x + cos x) tan²x.

प्रश्न 26.

हल:

प्रश्न 27.

हल:

प्रश्न 29.
(x + sec x) (x – tan x).
हल:

प्रश्न 30.

हल:
माना