MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 15 सांख्यिकी

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 15 सांख्यिकी

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 15 सांख्यिकी

Ex 15.1

प्रश्न 1 व 2 में दिए गए आँकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष विचलन ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 1.
4, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 17.
हल:

प्रश्न 2.
38, 70, 48, 40, 42, 55, 63, 46, 54, 44.
हल:

प्रश्न 3 व 4 के आँकड़ों के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 3.
13, 17, 16, 14, 11, 13, 10, 16, 11, 18, 12, 17.
हल:

प्रश्न 4.
36, 72, 46, 42, 60, 45, 53, 46, 51, 49.
हल:
दिए हुए आँकड़ों को आरोही क्रम में लिखने पर
36, 42, 45, 46, 46, 49, 51, 53, 60, 72
n = 10
∴ 10/2 = 5 वाँ पद = 46, और 5 + 1 = 6वाँ पद = 49

प्रश्न 5 व 6 के आँकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 5.

हल:

प्रश्न 6.

हल:

प्रश्न 7 व 8 के आँकड़ों के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 7.

हल:

प्रश्न 8.

हल:

प्रश्न 9 व 10 के आँकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 9.

हल:

= 157.92.

प्रश्न 10.

हल:

प्रश्न 11.

हल:

प्रश्न 12.
नीचे दिए गए 100 व्यक्तियों की आयु के बंटन की माध्यिका आयु के सापेक्ष माध्य विचलन की गणना कीजिए :

हल:
दिए गए आँकड़ों की सतत बारंबारता बंटन में बदलते हुए :

Ex 15.2

प्रश्न 1 से 5 तक के लिए आँकड़ों के लिए माध्य व प्रसरण ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 1.
6, 7, 10, 12, 13, 4, 8, 12.
हल:

प्रश्न 2.
प्रथम n प्राकृत संख्याएँ।
हल:
पहली n प्राकृत संख्याएँ : 1, 2, 3,….., n

 

प्रश्न 3.
3 के प्रथम 10 गुणज।
हल:
प्रथम दस 3 के गुणज : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30

अतः माध्य = 16.5, प्रसरण = 74.25.

प्रश्न 4.

हल:

प्रश्न 5.

हल:
मान लीजिए कल्पित माध्य A = 98, ∴ y_i = x_i – 98

प्रश्न 6.
लघु विधि द्वारा माध्य व मानक विचलन ज्ञात कीजिए :

हल:
मान लीजिए कल्पित माध्य A = 64
तथा y_i = x_i – 64

प्रश्न 7 व 8 में दिए गए बारंबारता बंटन के लिए माध्य व प्रसरण ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 7.

हल:
माना कल्पित माध्य A = 105, वर्ग अंतराल h = 30

प्रश्न 8.

हल:
माना कल्पित माध्य A = 25, वर्ग अंतराल = 10

प्रश्न 9.
लघु विधि द्वारा माध्य, प्रसरण व मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

हल:

प्रश्न 10.
एक डिजाइन में बनाए गए वृत्तों के व्यास (मिमी में) नीचे दिए गए हैं।

वृत्तों के व्यासों का मानक विचलन व माध्य व्यास ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए हुए असतत आँकड़ों को सतत बारंबारता बंटन में बदलने के लिए अंतराल इस प्रकार हैं।
32.5 – 36.5, 36.5 – 40.5, 40.50 – 44.5, 44.5 – 48.5, 48.5 – 52.5

Ex 15.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित आँकड़ों से बताइए कि A या B में से किसमें अधिक बिखराव है :

हल:
माना कल्पित माध्य A = 45, h = 10.


सूमह A के लिए:

सूमह B के लिए:

∴ σ = 15.62

समूह B का विचरण गुणांक समूह A के विचरण गुणांक से अधिक है।
अतः समूह B में अंकों का बिखराव सूमह A के अंकों से अधिक है।

प्रश्न 2.
शेयरों X और Y के नीचे दिए गए मूल्यों से बताइए कि किसके मूल्यों में अधिक स्थिरता है ?

हल:
माना शेयर X के आँकड़ों में कल्पित माध्य = 52
और शेयर Y के आँकड़ों में कल्पित माध्य = 105


विचरण गुणांक Y शेयर में x शेयर की तुलना में कम है।
अतः शेयर Y में, शेयर X की तुलना में अधिक स्थिरता है।

प्रश्न 3.
एक कारखाने की दो फर्मों A और B के कर्मचारियों को दिए मासिक वेतन के विश्लेषण का निम्नलिखित परिणाम है :

(i) A और B में से कौन सी फर्म अपने कर्मचारियों को वेतन के रूप में अधिक राशि देती है?
(ii) व्यक्तिगत वेतनों में किस फर्म A या B में अधिक विचरण है ?
हल:
फर्म के लिए: वेतन पाने वाले कर्मचारियों की संख्या = 586
मासिक वेतन की माध्य = 5253 रू
फर्म A द्वारा दिया गया कुल वेतन = 5253 x 586
= 3078258 रू
वेतन बंटन का प्रसरण = 100
मानक विचलन = 10

फर्म B के लिए:
वेतन पाने वाले कर्मचारियों की संख्या = 648
मासिक वेतन का संख्या = 5253 रू
फर्म B द्वारा गया कुल वेतन = 5253 x 648 रू
= 3403944 रू
वेतन बंटन का प्रसरण = 121
∴ मानक विचलन = 11

(i) फर्म A द्वारा दिया गया कुल मासिक वेतन = 3078258 रू
फर्म B द्वारा दिया गया कुल मासिक वेतन = 3403944 रू
अतः फर्म B फर्म A की तुलना में अधिक मासिक वेतन देती है।

(ii) फर्म A के वेतन बंटन का विचरण गुणांक = 0.19 और
फर्म A के वेतन बंटन का विचरण गुणांक = 0.21
अतः फर्म B के वेतन बंटन में अधिक बिखराव है।

प्रश्न 4.
टीम A द्वारा एक सत्र में खेले गए फुटबॉल मैचों के आँकड़े नीचे दिए गए हैं :

टीम B द्वारा खेले गए मैचों में बनाए गए गोलों का माध्य 2 प्रति मैच और गोलों का मानक विचलन 1.25 था। किस टीम को अधिक संगत (consistent) समझा जाना चाहिए ?
हल:

प्रश्न 5.
पचास वनस्पति उत्पादों की लंबाई x (सेमी में) और भार y (ग्राम में) के योग और वर्गों के योग नीचे दिए गए हैं :

लंबाई या भार में किसमें अधिक विचरण है ?
हल:
लंबाई के लिए :


भार के लिए:

भार का विचरण गुणांक, लंबाई के विचरण गुणांक से अधिक है।
अतः भार के बंटन में अधिक विचरण है।

विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
आठ प्रेक्षणों का माध्य तथा प्रसरण क्रमश: 9 और 9.25 है। यदि इनमें से छः प्रेक्षण 6, 7, 10, 12, 12, और 13 हैं, तो शेष दो प्रेक्षण ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए वे दो संख्याएँ x और y हैं।

= 6² + 7² + 10² + 12² + 12² + 13² + x² + y²
722 = 36 + 49 + 100 + 144 + 144 + 169 + x² + y².
= 642 + x² + y²
x² + y² = 722 – 642 = 80
∴ x² + y² = 80 …(2)
समीकरण (1) और (2) से
या x² + (12 – x)² = 80
या 2x² – 24x + 144 = 80
या x² – 12x + 32 = 0
(x – 4) (x – 8) = 0
∴ x = 4 या 8
∴ y = 8 या 4
अतः वे दो संख्याएँ 4 और 8 हैं।

प्रश्न 2.
सात प्रेक्षणों का माध्य तथा प्रसरण क्रमशः 8 और 16 हैं। यदि इनमें से पाँच प्रेक्षण 2, 4, 10, 12, 14 हैं तो शेष दो प्रेक्षण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि वे दो संख्याएँ x और y हैं।

या 2² + 4² + 10² + 12² + 14² + x² + y² = 560
460 + x² + y² = 560
x² + y² = 560 – 460 = 100 …….(2)
समीकरण (1) और (2) से
x² + (14 – x)² = 100
या 2x² – 28x + 196 – 100 = 0
या x² – 14x + 48 = 0
∴ (x – 6) (x – 8) = 0
∴ x = 6 या 8
∴ y = 8 या 6
∴ वे दो संख्याएँ 6 और 8 हैं।

प्रश्न 3.
छः प्रेक्षणों का माध्य तथा मानक विचलन क्रमशः 8 तथा 4 हैं। यदि प्रत्येक प्रेक्षण को 3 से गुणा कर दिया जाए तो परिणामी प्रेक्षणों का माध्य व मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 5.
बीस प्रेक्षणों का माध्य तथा मानक विचलन क्रमशः 10 तथा 2 हैं। जांच करने पर यह पाया गया कि प्रेक्षण 8 गलत है। निम्न में से प्रत्येक का सही माध्य तथा मानक विचलन ज्ञात कीजिए यदि
(i) गलत प्रेक्षण हटा दिया जाए।
(ii) उसे 12 से बदल दिया जाए।
हल:

प्रश्न 6.
एक कक्षा के पचास छात्रों द्वारा तीन विषयों गणित, भौतिक शास्त्र व रसायन शास्त्र में प्राप्तांकों का माध्य व मानक विचलन नीचे दिए गए हैं :

किस विषय में सबसे अधिक विचलन है तथा किसमें सबसे कम विचलन है?
हल:

प्रश्न 7.
100 प्रेक्षणों का माध्य और मानक विचलन क्रमशः 20 और 3 हैं। बाद में यह पाया गया कि तीन प्रेश्च 21, 21 तथा 18 गलत थे। यदि गलत प्रेक्षणों को हटा दिया जाए तो माध्य व मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
हल: