MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 10 सदिश बीजगणित

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 10 सदिश बीजगणित

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 10 सदिश बीजगणित

Ex 10.1

प्रश्न 1.
उत्तर से 30° पूर्व में 40 km के विस्थापन का आलेखीय निरूपण कीजिए।
हल:
20 km को 1 cm मानते हुए 2 cm का एक रेखाखण्ड OP, OY की दायीं ओर OY के साथ 30° का कोण बनाते हुए खींचा गया।
इस प्रकार सदिश  OY से 30° पूर्व में 40 km के विस्थापन को निरूपित करता है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित मापों को अदिश एवं सदिश के रूप में श्रेणीबद्ध कीजिए।
(i) 10 kg,
(ii) 2 मीटर उत्तर-पश्चिम,
(iii) 40°,
(iv) 40 वॉट,
(v) 10^-19 कूलम्ब,
(vi) 20 m/s²
हल:
अदिश-
(i) 10 kg,
(iii) 40°,
(iv) 40 वॉट,
(v) 10^-19 कूलम्ब

सदिश-
(ii) 2 मीटर उत्तर-पश्चिम
(vi) 20 m/s²

प्रश्न 3.
निम्नलिखित को अदिश एवं सदिश राशियों के रूप में श्रेणीबद्ध कीजिए।
(i) समय कालांश
(ii) दूरी
(iii) बल
(iv) वेग
(v) कार्य
हल:
(a) अदिश राशि-
(i) समय कालांश,
(ii) दूरी,
(v) कार्य

(b) सदिश राशि-
(iii) बल,
(iv) वेग।।

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति (एक वर्ग) में निम्नलिखित सदिशों को पहचानिए-
(i) सह-आदिम,
(ii) समान,
(iii) संरेख परन्तु असमान।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित का उत्तर सत्य अथवा असत्य के रूप में दीजिए।
(i)  तथा −  संरेख हैं।
(ii) दो संरेख सदिशों का परिमाण सदैव समान होता है।
(iii) समान परिमाण वाले दो सदिश संरेख होते हैं।
(iv) समान परिमाण वाले दो संरेख सदिश समान होते हैं।
हल:
(i) सत्य,
(ii) असत्य,
(iii) असत्य,
(iv) असत्य

Ex 10.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सदिशों के परिमाण का परिकलन कीजिए-

हल:

प्रश्न 2.
समान परिमाण वाले दो विभिन्न सदिश लिखिए
हल:
माना  दो भिन्न वेक्टर हैं परन्तु इनके परिणाम समान हैं।

प्रश्न 3.
समान दिशा वाले दो विभिन्न सदिश लिखिए
हल:

प्रश्न 4.

प्रश्न 5.
एक सदिश का प्रारम्भिक बिन्दु (2, 1) और अन्तिम बिन्दु (-5, 7) है। इस सदिश के अदिश एवं सदिश घटक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना सदिश के प्रारम्भिक व अन्तिम बिन्दु A (2, 1) व B (-5, 7) हैं। तब

प्रश्न 6.
सदिश  का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 7.

प्रश्न 8.
सदिश  के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दु P और Q क्रमशः (1, 2, 3) और (4, 5, 6) हैं।
हल:

प्रश्न 9.
दिए हुए सदिशों  के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 10.
सदिश  के अनुदिश एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जिसका परिमाण 8 इकाई है।
हल:

प्रश्न 11.

प्रश्न 12.

प्रश्न 13.
बिन्दुओं A (1, 2,-3) एवं B(-1, -2, 1) को मिलाने वाले एवं A से B की तरफ दिष्ट सदिश की दिक् cosine ज्ञात कीजिए।
हल:
A (1, 2, -3) एवं B (-1, – 2, 1)

प्रश्न 14.
दर्शाइए कि सदिश अक्षों OX,OY तथा OZ के साथ बराबर झुका हुआ है।
हल:
माना
माना सदिश   अक्ष OX, OY एवं OZ के साथ क्रमश: α, β तथा γ कोण बनाता है तथा इनके दिक् cosine cos α, cos β तथा cos γ हैं।

प्रश्न 15.
बिन्दुओं  को मिलाने वाली रेखा को 2 : 1 के अनुपात में (i) अंत: (ii) बाह्य, विभाजित करने वाले बिन्दु R का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) अन्त : विभाजन

(ii) बाह्य विभाजन
बिन्दु R रेखा को 2 : 1 में बाह्य विभाजित करता है अतः

प्रश्न 16.
दो बिन्दुओं P(2, 3, 4) और Q (4, 1, -2) को मिलाने वाले सदिश का मध्य बिन्दु ज्ञात कीजिए।
हल:
P और Q को मिलाने वाले सदिश का मध्य बिन्दु

प्रश्न 17.
दर्शाइए कि बिन्दु A, B और C जिनके स्थिति सदिश क्रमश: और  हैं, एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों का निर्माण करते हैं।
हल:

प्रश्न 18.
संलग्न चित्र में त्रिभुज ABC के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य नहीं है?

हल:
सदिशों के योगफल त्रिभुज नियम के अनुसार,

Ex 10.3

प्रश्न 1.
दो सदिशों   तथा   के परिमाण क्रमशः व 2 हैं। और हैं, तो और  के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
दो सदिश और  है के बीच का कोण हो तो

प्रश्न 2.
सदिशों  के बीच का कोण ज्ञात कीजिए
हल:

प्रश्न 3.

प्रश्न 4.
सदिश  पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 5.
दर्शाइए कि दिए हुए निम्नलिखित तीन सदिशों में से प्रत्येक मात्रक सदिश हैं-  यह भी दर्शाइए कि सदिश परस्पर एक-दूसरे के लम्बवत् हैं।
हल:



अतः सदिश परस्पर एक-दूसरे के लम्बवत् हैं।

प्रश्न 6.
यदि  ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 7.
 का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 8.
दो सदिशों और के परिमाण ज्ञात कीजिए यदिइनके परिमाण समान हैं और इनके बीच का कोण 60° है, तथा इनका अदिश गुणनफल  है।
हल:
हम जानते हैं कि सदिश तथा  के बीच का कोण

प्रश्न 9.
यदि एक मात्रक सदिश के लिए  ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 10.
यदि इस प्रकार है कि , पर लम्ब है तो λ का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है  पर लम्ब हैं।

प्रश्न 11.

प्रश्न 12.
यदि • = 0 और • = 0 तो सदिश  के बारे में क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है?
हल:
दिया है • = 0 तथा •  = 0
अत:  = 0
तब  भी सदिश हो सकता है।

प्रश्न 13.
यदि हे मात्रक सदिश इस प्रकार हैं, कि  का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 14.
यदि  परन्तु विलोम का सत्य होना आवश्यक नहीं है। एक उदाहरण द्वारा अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल:

प्रश्न 15.
यदि किसी ∆ABC के शीर्ष A, B, C क्रमशः (1, 2, 3), (-1, 0, 0) (0, 1, 2) हैं, तो ∠ABC ज्ञात कीजिए। [∠ABC सदिशों एवं  के बीच का कोण है।]
हल:
∠ ABC सदिशों तथा  के बीच का कोण है

प्रश्न 16.
दर्शाइए कि बिन्दु A (1, 2, 7), B(2, 6, 3) और C(3, 10, -1) संरेख हैं।
हल:

अतः तीनों बिन्दु संरेख हैं।

प्रश्न 17.
दर्शाइए कि सदिश  एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों की रचना करते हैं।
हल:

अतः दिए गए सदिश समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।

Ex 10.4

प्रश्न 1.
यदि  ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 2.
सदिश की लम्ब दिशा में मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ और  है।
हल:

प्रश्न 3.
यदि एक मात्रक सदिश के साथ एक न्यून कोण 8 बनाता है तो 0 का मान ज्ञात कीजिए और इसकी सहायता से  के घटक भी ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 4.
दर्शाइए कि

प्रश्न 5.
λ और μ ज्ञात कीजिए यदि

हल:
दिया है

प्रश्न 6.

प्रश्न 7.
मान लीजिए सदिश क्रमशः  के रूप में दिए हुए हैं तब दर्शाइए कि
 
हल:
सिद्ध करना है-

प्रश्न 8.
यदि  होता है। क्या विलोम सत्य है? उदाहरण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल:

प्रश्न 9.
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष A (1, 1, 2), B(2, 3, 5) और C (1, 5, 5) हैं।
हल:
दिया है A (1, 1, 2), B (2, 3, 5) और C (1, 5, 5)

प्रश्न 10.
एक समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी संलग्न भुजाएँ सदिश  द्वारा निर्धारित हैं।
हल:
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसकी संगत भुजाएँ सदिश

विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
XY-तल में, x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ वामावर्त दिशा में 30° का कोण बनाने वाला मात्रक सदिश लिखिए।
हल:

प्रश्न 2.
बिन्दु P (x₁, y₁, z₁) और Q (x₂, y₃, z₃) को मिलाने वाले सदिश के अदिश घटक और परिमाण ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 3.
एक लड़की पश्चिम दिशा में 4 km चलती है। उसके पश्चात् वह उत्तर से 30° पश्चिम की दिशा में 3 km चलती है और रुक जाती है। प्रस्थान के प्रारम्भिक बिन्दु से लड़की का विस्थापन ज्ञात कीजिए।
हल:
माना O बिन्दु से Ox की ओर OP (4 km) चलती है। इसे सदिश निरूपित करते हैं। अतः  अब वह उत्तर से 30° पश्चिम की ओर 3 km चलती है, वह Q बिन्दु जा पहुँचती है।
PQ ऊर्ध्वाधर से 30° का कोण बनाती है और OX’ के साथ 60° का कोण बनाती है।
PQ का OX’ पर प्रक्षेप PM है।

प्रश्न 4.

प्रश्न 5.
x का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए  एक मात्रक सदिश है।
हल:
एक मात्रक सदिश है।

प्रश्न 6.
सदिशों  के परिणामी के समान्तर एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जिसका परिणाम 5 इकाई है।
हल:

प्रश्न 7.
यदि  के समान्तर एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 8.
दर्शाइए कि बिन्दु A (1, -2, -8), B (5, 0, -2) और C (11, 3, 7)संरेख हैं और B द्वारा AC को विभाजित करने वाला अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
बिन्दु A, B, C के स्थिति सदिश इस प्रकार हैं-
A(1, -2, -8), B (5, 0, -2), C (11, 3, 7)

प्रश्न 9.
दो बिन्दुओं  को मिलाने वाली रेखा को 1 : 2 के अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाले बिन्दु R का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए। यह भी दर्शाइए कि बिन्दु P रेखाखण्ड RQ का मध्य बिन्दु है।
हल:
बिन्दु P, Q के स्थिति सदिश क्रमश:  हैं।
बिन्दु R, PQ को बाह्य 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है।


जो P का स्थिति सदिश है।
अतः P, RQ का मध्य बिन्दु है।

प्रश्न 10.
एक समान्तर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ  हैं। इसके विकर्ण के समान्तर एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना ABCD एक समान्तर चतुर्भुज इस प्रकार है कि

प्रश्न 11.
दर्शाइए कि OX, OY एवं OZ अक्षों के साथ बराबर झुके हुए सदिश की दिक-कोसाइन कोज्याएँ  हैं|
हल:
∵ सदिश अक्ष OX, OY तथा OZ के साथ बराबर झुके हैं
∴ α = β = γ
⇒ cos α = cos β = cos γ
परन्तु cos² α + cos² β + cos² γ = 1
⇒ cos² α + cos² α + cos² α = 1
3 cos²α = 1

प्रश्न 12.
मान लीजिए एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जो और के दोनों पर लम्ब है और
हल:
माना और  है पर कोई लम्ब सदिश ×  है।

प्रश्न 13.
सदिश  के योगफल की दिशा में मात्रक सदिश के साथ अदिश गुणनफल 1 के बराबर है, तो λ का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 14.
यदि समान परिमाणों वाले परस्पर लम्बवत् सदिश हैं तो दर्शाइए कि सदिश  के साथ बराबर झुका हुआ है।
हल:
दिया है  सदिश परस्पर लम्बवत् हैं अतः

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए कि यदि और केवल यदि लम्बवत् हैं। यह दिया हुआ है कि  है
हल:

प्रश्नों के सही उत्तर का चयन कीजिए।

प्रश्न 1.
यदि दो सदिशों और  के बीच का कोण है तो  होगा यदि-
(A) 0 < θ <
(B) 0 ≤ θ ≤ 
(C) 0 < θ < π
(D) 0 ≤ θ ≤ π
हल:

अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 2.
मान लीजिए और  दो मात्रक सदिश हैं और उनके बीच का कोण θ है तो  +  के एक मात्रक सदिश है, यदि-

हल:


अतः विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 3.
 का मान है-
(A) 0
(B) -1
(C) 1
(D) 3
हल:
 परस्पर लम्बवत् मात्रक सदिश हैं।

अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 19.
यदि दो सदिशों और  के बीच का कोण 0 है तो  जब θ बराबर है
(A) 0
(B)
(C)
(D) π
हल:

अतः विकल्प (B) सही है।

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