MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 11 त्रिविमीय ज्यामिति

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Ex 11.1

प्रश्न 1.
यदि एक रेखा x, y और अक्ष के साथ क्रमश: 90°, 135°, 45° के कोण बनाती है तो इसकी दिक् कोसाइन ज्ञात कीजिए
हल:
माना x, y और 2 के साथ रेखा के दिक् कोसाइन l, m, n हैं तथा दिया है α = 90°, β=135° तथा γ = 45° तब
l = cos α = cos 90° = 0
m = cos β = cos 135° = –
n = cos γ = cos 45° =

प्रश्न 2.
एक रेखा की दिक् कोसाइन ज्ञात कीजिए जो निर्देशांकों के साथ समान कोण बनाती है। हल : माना रेखा अक्षों के साथ समान कोण ए बनाती है
α = β = γ = 0 (माना)
अतः दिक् कोसाइन cos α , cos β, cos γ होंगे
परन्तु cos²α + cos²β +cos²γ = 1
⇒ cos²θ + cos²q + cos²θ = 1 (∵ α = β = γ = θ)

प्रश्न 3.
यदि एक रेखा के दिक्-अनुपात- 18, 12, – 4 हैं तो इसके दिक् कोसाइन क्या हैं?
हल:
माना दिक् कोसाइन l, m तथा n हैं, तथा a = – 18, b = 12, c = – 4 तब

प्रश्न 4.
दर्शाइए कि बिन्दु (2, 3, 4), (-1, -2, 1), 5, 8,7) संरेख हैं।
हल:
माना बिन्दु A(2, 3, 4) B (-1, -2, 1), C (5, 8, 7) हैं।
∴ A और B को मिलाने वाली रेखा के दिक् अनुपात
– 1 – 2, – 2 – 3, 1 – 4 हैं।
या – 3, – 5, – 3 हैं।
तथा B और C को मिलाने वाली रेखा के दिक् अनुपात 5 + 1, 8 + 2, 7 – 1 अर्थात् 6, 10, 6 हैं।
स्पष्ट है कि AB और BC के दिक् अनुपात समानुपाती हैं,
अत: AB और BC समान्तर हैं परन्तु AB और BC दोनों में B उभयनिष्ठ हैं। अतः A, B, C संरेख बिन्दु हैं।

प्रश्न 5.
एक त्रिभुज की भुजाओं की दिक् कोसाइन ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुज के शीर्ष बिन्दु (3, 5, – 4), (- 1, 1, 2) और (- 5, – 5, – 2) हैं।
हल:
माना त्रिभुज के शीर्ष बिन्दु (3, 5, – 4), B (- 1, 1, 2) था C (- 5, – 5, 2) हैं।
AB के दिक् अनुपात – 1 – 3, 1 – 5, 2 + 4 या – 4, – 4, 6
∴ AB के दिक् कोसाइन

Ex 11.2

प्रश्न 1.
दर्शाइए कि दिक् कोसाइन  वाली तीन रेखाएँ परस्पर लम्बवत्
हल:
माना


अतः तीनों रेखाएँ परस्पर लंब हैं।

प्रश्न 2.
दर्शाइए कि बिन्दुओं (1, – 1, 2), (3, 4, – 2) से होकर जाने वाली रेखा बिन्दुओं (0, 3, 2) और (3, 5, 6) से जाने वाली रेखा पर लंब है।
हल:
बिन्दुओं (1, – 1, 2) तथा (3, 4, – 2) से होकर जाने वाली रेखा के दिक् अनुपात 3 – 1, 4 + 1, – 2, – 2 या 2, 5, – 4
माना a₁ = – 2, b₁ = 5 तथा C₁ = – 4
अब बिन्दु (0, 3, 2) तथा (3, 5, 6) से होकर जाने वाली रेखा के दिक् अनुपात
3 – 0, 5 – 3, 6 – 2 या 3, 2, 4
अब a₁ a₂ + b₁ b₂ + c₁ c₂
= 2 x 3 + 5 x 2 + (- 4) x 4
= 6 + 10 – 16 = 0
∴ रेखाएँ परस्पर लंब हैं।

प्रश्न 3.
दर्शाइए कि बिन्दुओं (4, 7, 8) (2, 3, 4) से होकर जाने वाली रेखा बिन्दुओं (- 1, – 2, 1), (1, 2, 5) से जाने वाली रेखा के समांतर है।
हल:
बिन्दुओं (4, 7, 9), (1, 2, 5) से जाने वाली रेखा के दिक् अनुपात 2, – 4, 3 – 7, 4 – 8 या – 2, – 4, – 4
माना a₁ = – 2, b₁ = – 4 तथा c₁= – 4
अब बिन्दुओं (- 1, – 2, 1) (1, 2, 5) से होकर जाने वाली रेखा के दिक् अनुपात 1 + 1, 2 + 2, 5 – 1 या 2, 4, 4
माना a₁ = 2, b₂ = 4, C₂ = 4

∴ रेखाएँ परस्पर समांतर हैं।

प्रश्न 4.
बिन्दु (1, 2, 3) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो सदिश  के समांतर है।
हल:
दिया है

यही रेखा के समी० का कार्तीय रूप है।

प्रश्न 5.
बिन्दु जिसकी स्थिति सदिश  की दिशा में जाने वाली रेखा का सदिश और कार्तीय रूपों में समी० ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है

यही रेखा के समी०का कार्तीय रूप हैं।

प्रश्न 6.
उस रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (- 2, 4, – 5) से जाती है और  के समांतर हैं।
हल:
बिन्दु (- 2, 4, – 5 ) से होकर जाने वालों और रेखा
के समांतर रेखा के समीकरण का
कार्तीय समीकरण
 हैं।

प्रश्न 7.
उस रेखा का कार्तीय समीकरण  है। इसका सदिश समीकरण ज्ञात 37 2 कीजिए।
हल:
दी गई रेखा का कार्तीय समीकरण

इससे स्पष्ट होता है कि रेखा बिन्दु A (+ 5, – 4, 6) से होकर जाती है तथा यह सदिश के समांतर है। तथा A का स्थिति सदिश

प्रश्न 8.
मूल बिन्दु और (5, – 2, 3) से जाने वाली रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूपों में समी० ज्ञात कीजिए।
हल:
माना O(0, 0,0) तथा A (5, – 2, 3) दो बिन्दु है।

जोकि रेखा का कार्तीय रूप है।

प्रश्न 9.
बिन्दुओं (3, – 2, – 5) और (3, – 2, 6) से गुजरने वाली रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना P(3, – 2, – 5) और Q(3, – 2, 6) दो बिन्दु स्थिति सदिश हैं।

यही अभीष्ट कार्तीय समीकरण है।

प्रश्न 10.
निम्न रेखायुग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए–

हल:

(ii) माना  तथा दोनों रेखाओं के मध्य कोण θ है इसलिए

प्रश्न 11.
निम्नलिखित रेखायुग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

हल:
(i) पहली रेखा के दिक् अनुपात 2, 5, – 3 तथा दूसरी रेखा के दिक् अनुपात – 1, 8, 4 हैं।
माना इनके बीच का कोण θ है, तब

प्रश्न 12.
p का मान ज्ञात कीजिए ताकि रेखायें  परस्पर लम्ब हों।
हल:
समी० को व्यापक रूप में लिखने पर

प्रश्न 13.
दिखाइये कि रेखाएँ
हल:
पहली व दूसरी रेखा के दिक् अनुपात 7, – 5, 1 तथा 1, 2, 3 हैं।
तब a₁ a₂ + b₁ b₂ + c₁ c₂ = 7 · 1 + 2 · – 5 + 3 · 1
= 7 – 10 + 3 = 10 – 10 = 0
अतः रेखायें परस्पर लम्ब हैं।

प्रश्न 14.
रेखाओं  के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गई रेखाएँ-

रेखाओं के बीच की दूरी

प्रश्न 15.
रेखाएँ, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित हैं, के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

प्रश्न 16.
रेखाएँ जिनकी सदिश समीकरण निम्नलिखित हैं, के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:
पहली रेखा का समीकरण


इसका मान (1) में रखने पर

Ex 11.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित प्रश्नों में से प्रत्येक में समतल के अभिलम्ब का दिक् कोसाइन और मूल बिन्दु से दूरी ज्ञात कीजिए-
(a) z = 2
(b) x + y + z = 1
(c) 2x + 3y – 2 = 5
(d) 5y + 8 = 0
हल:
माना दिये गये समतल का कार्तीय समीकरण ax + by + cz =d तथा अभिलम्ब के दिक् अनुपात a, b, c हैं।
तब मूल बिन्दु से लम्बवत् दूरी
(a) समतल का समी० z = 2
∴ दिक् कोसाइन 0, 0, 1 हैं।
(b) समतल x + 1 + z = 1
दिक अनुपात 1, 1, 1 हैं।
तब दिक् कोसाइन

प्रश्न 2.
उस समतल का सदिश समी० ज्ञात कीजिए जो मूल बिन्दु से 7 मात्रक दूरी पर है और सदिश  पर अभिलम्ब है।
हल:

प्रश्न 3.
निम्नलिखित समतलों का कार्तीय समी० ज्ञात कीजिए–

हल:

प्रश्न 4.
निम्न स्थितियों में, मूल बिन्दु से खींचे गए लम्ब के पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए–
(a) 2x + 3y + 4z – 12 = 0
(b) 3y + 4z – 6 = 0
(c) x + y + z = 1
(d) 5y + 8 = 0
हल:
(a) समतल का समीकरण
2x + 3y + 4z – 12 = 0 ……(i)

(b) समतल का समीकरण


(c) समतल का समीकरण

(d) समतल का समीकरण

प्रश्न 5.
निम्नलिखित प्रतिबंधों के अन्तर्गत समतलों का सदिश व कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो-
(a) बिन्दु (1,0,-2) से जाता हो और  समतल पर अभिलंब हो।
(b) बिन्दु (1, 4, 6) से जाता हो और  समतल पर अभिलम्ब सदिश है।
हल:
(a) बिन्दु (1, 0, – 2) का स्थिति सदिश

यही अभीष्ट कार्तीय समीकरण है।

यही अभीष्ट कार्तीय समीकरण है।

प्रश्न 6.
उन समतलों का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निम्नलिखित तीन बिन्दुओं से गुजरता है।
(a) (1, 1, – 1), (6, 4, – 5), (- 4, – 2, 3)
(b) (1, 1, 0), (1, 2, 1), (- 2, 2, – 1)
हल:
(a) माना
(x₁, y₁, z₁) ≡ (1, 1, – 1)
(x₂, y₂, z₂) ≡ (6, 4, – 5)
(x₃, y₃, z₃) ≡ ( – 4, – 2, 3)
इन तीन बिन्दुओं से जाने वाले समतल का समी०

समीकरण (1), (2), (3) में से a, b, c को लुप्त करने से, समतल का समीकरण

⇒ 2(x – 1) + 3 (y – 1) – 3z = 0
⇒ 2x – 2 + 3y – 3 – 3z = 0
⇒ 2x + 3y – 3z = 5

प्रश्न 7.
समतल 2x + y – x = 5 द्वारा काटे गये अन्तः खण्डों को ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया समतल 2x + y – z = 5 समी० को अन्तः खण्ड रूप में लिखने पर

प्रश्न 8.
उस समतल का समी० ज्ञात कीजिए जिसका y- अक्ष पर
अंतः खण्ड 3 और जो तल ZOX के समांतर है।
हल:
अक्ष ZOX का समी० y = 0 है।
∴ इस समतल के समांतर समी० y = a
∵ समतल का -अक्ष पर अंत: खण्ड 3 है इसलिए समतल y- अक्ष पर (0, 3, 0) पर मिलता हैं।
∴ 3 = a
अतः समतल का समी० y = 3

प्रश्न 9.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलों 3x – y + 22 – 4 = 0 और x + y + z – 2 = 0 के प्रतिच्छेदन तथा बिन्दु (2, 2, 1) से होकर जाता है।
हल:
समतल तथा उसके प्रतिच्छेदन बिन्दु से जाने वाले तल का समीकरण
(3x – y + 2z – 4) + λ (x + y + z – 2) = 0 …(i)
परन्तु तल बिन्दु (2.2.1) से होकर जाता है तब
(6 – 2 + 2 – 4) + (2 + 2 + 1 – 2) = 0
2 + 3λ = 0
λ =
λ का यह मान समीकरण (i) में रखने पर
(3x – y + 2z – 4)  (x + y + z – 2) = 0
(9x – 3y + 6z – 12) – (2x + 2y + 2z – 4) = 0
7x – 5y + 4z – 8 = 0

प्रश्न 10.
उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलो  के प्रतिच्छेदन रेखा और (2, 1, 3) से होकर जाता है।
हल:

प्रश्न 11.
तलों x + y+ z = 1 और 2x + 3y + 4z = 5 के प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले तथा तल x – y + z = 0 पर लम्बवत् तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
समतल x + y + z = 1 और 2x + 3y + 4z = 5 के प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाली समतल का समीकरण
(x + y + z – 1) + λ (2x + 3y + 4z – 5) = 0
या (1+ 2λ) x + (1+3λ) y+ (1+4λ) z – 1 – 5λ = 0
यह तल x – y + z = 0 पर लम्बवत् है
∴ (1 + 2λ) . 1 + (1 + 3λ)(- 1) + (1 + 4λ) . 1 = 0 (∵ a₁ a₂ + b₁ b₂ + c₁ c₂) = 0
या 1 = 2λ – 1 – 3λ + 1 + 4λ = 0
⇒ 1 + 3λ = 0

λ का मान समी० (i) में रखने पर,

x – z + 2 = 0

प्रश्न 12.
समतलों जिनके सदिश समीकरण  हैं के बीच का कोण ज्ञात करो।
हल:
माना

प्रश्न 13.
निम्नलिखित प्रश्नों में ज्ञात कीजिए कि क्या दिए गए समतलों के युग्म समान्तर हैं अथवा लम्बवत् हैं और उस स्थिति में, जब ये न तो समान्तर हैं और न ही लम्बवत्, उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
(a) 7x + 5y + 6z + 30 = 0 और 3x -y – 10z + 4 = 0
(b) 2x + y + 3z – 2 = 0 और x – 2y + 5 = 0
(c) 2x – 2y + 4x + 5 = 0 और 3x – 3y + 6z – 1 = 0
(d) 2x – y + 3z – 1 = 0 और 2x – y + 3x + 3 =0
(e) 4x + 8y + 7 – 8 = 0 और y + 2 – 4 = 0
हल:


(b) दिए गए समतल

प्रश्न 14.
निम्न प्रश्नों में प्रत्येक दिये गये बिन्दु से दिये गये संगत समतलों की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
दिखाइए कि मूल बिन्दु से (2, 1, 1) मिलाने वाली रेखा, बिन्दुओं (3, 5, -1 ) और (4, 3, – 1)से निर्धारित रेखा पर लम्ब है।
हल:
बिन्दु A(2, 1, 1) और मूल बिन्दु B (0, 0, 0) से जाने वाली रेखा AB के दिक्-अनुपात 2 – 0, 1 – 0 या 2, 1, 1
बिन्दु C (3, 5, – 1) और D (4, 3, – 1) से निर्धारित रेखा के दिक्-अनुपात 4 – 3, 3 – 5, – 1 + 1 या 1, – 2, 0 हैं।
AB और CD लम्ब हैं यदि
a₁a₂ + b₁b₂+ c₁c₂ = 0
अब a₁a₂ + b₁b₂+ c₁c₂
= 2 x 1 + 1 x (- 2) + 1 x 0
= 2 – 2 + 0 = 0
अतः AB और CD परस्पर लम्ब हैं।

प्रश्न 2.
यदि दो परस्पर लम्ब रेखाओं की दिक्-कोसाइन l₁, m₁, n₁, और l₂, m₂, n₂ हों तो दिखाइए कि इन दोनों पर
लम्ब रेखा की दिक्-कोसाइन m₁n₂ – m₂n₁ – n₁l₂ – n₂l₁, l₁m₂ – l₂m₁ हैं।
हल:
माना दो रेखाएँ AB और CD जिसकी दिक्-कोसाइन क्रमश: l₁, m₁, n₁ और l₂, m₂, n₂ हैं
जो परस्पर लम्ब हैं।
l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0
l₁, m₁, n₁ और l₂, m₂, n₂ दिक्-कोसाइन है तो

प्रश्न 3.
उन रेखाओं के मध्य का कोण ज्ञात कीजिए जिनके दिक् अनुपात a, b, c और b – c, c – a, a – b हैं।
हल:
माना रेखाओं के मध्य का कोण θ है तब

cos θ = 0
⇒ θ =90°

प्रश्न 4.
x- अक्ष के समांतर तथा मूल बिन्दु से जाने वाली रेखा का समी० ज्ञात कीजिए।
हल:
x- अक्ष के दिक् कोसाइन 1, 0, 0 हैं।
∴ x अक्ष के समांतर रेखा के दिक् कोसाइन भी 1, 0, 0 होंगे
अतः रेखा का समी० जो मूल बिन्दु से जाती है जिसमें दिक कोसाइन 1, 0, 0 हैं।

प्रश्न 5.
यदि बिन्दुओं A, B, C और D के निर्देशांक क्रमशः (1, 2, 3), (4, 5, 7) (- 4, 3, – 6) और (2, 9, 2) हैं तो AB और CD रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
रेखा AB के दिक् अनुपात 4 – 1, 5 – 2, 7 – 3
या 3, 3, 4
इसी प्रकार CD के दिक् अनुपात 2 + 4, 9 – 3, 2 + 6
या 6, 6, 8 हैं।
यह दिक् अनुपात समानुपाती हैं इस प्रकार 
इसलिए रेखाओं AB और CD के बीच का कोण 0° हैं।
अतः रेखाएँ समांतर हैं।

प्रश्न 6.
यदि रेखाएँ  परस्पर लंब हों तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गयी रेखाओं के दिक् अनुपात – 3, 2k, 2 और 3k, 1, – 5 हैं।
∵ रेखाएँ परस्पर लंब है तब a₁a₂ + b₁b₂+ c₁c₂ = 0
∴ – 3.3k + 2k.1+ 2.(- 5) = 0
⇒ 9k + 2k – 10 = 0
– 7k = 10

प्रश्न 7.
बिन्दु (1, 2, 3) से जाने वाली तथा तल  पर लंबवत् रेखा का सदिश समी० ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
समतल का समी०

∴ समतल के अभिलंब के दिक् अनुपात 1, 2, – 5 होंगे।
∴ बिन्दु (1, 2, 3) से जाने वाले समतल का सदिश समीकरण होगा।

प्रश्न 8.
बिन्दु (a, b, c) से जाने वाले तथा तल  के समांतर तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
दिये गये तल के समांतर तल का समी०

प्रश्न 9.
रेखाओं  के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
यदि दो बिन्दु , a2 रेखा पर और b1 और 22 उनकी direction तब उनके बीच न्यूनतम दूरी

प्रश्न 10.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दुओं (5, 1, 6) और (3, 4, 1) को मिलाने वाली रेखा YZ-तल को काटती है।
हल:
बिन्दु (x₁, y₁, z₁ ) और (x₁, y₁, z₁) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण

प्रश्न 11.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दुओं (5, 1, 6) और (3, 4, 1) को मिलाने वाली रेखा ZX- तल को काटती है।
हल:
यहाँ बिन्दु (5, 1, 6) और (3, 4, 1) को मिलाने वाली रेखा

प्रश्न 12.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दुओं (3, – 4, – 5) और (2, – 3, 1) से गुजरने वाली रेखा, समतल 2x + y + z = 7 के पार जाती है।
हल:
दो बिन्दु (3, -4, -5) और (2, -3, 1) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण ।

प्रश्न 13.
बिन्दु (- 1, 3, 2) से जाने वाले तथा समतलों x + 2y + 3z = 5 और 3x + 3y+ c = 0 में से प्रत्येक पर लम्ब समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बिन्दु (- 1, 3, 2) से जाने वाले समतल का समीकरण :
a (x + 1) + b(y – 3) + c (z – 2) …(1)
यह समतल x + 2y + 37 = 5 पर लम्ब है।
a + 2b +3c =0 …2
समी० (1) 3x + 3y + x = 0 के अनुलम्ब है।
3a + 3b + c = 0 …(3)
समी० (2) और (3) से,

प्रश्न 14.
यदि बिन्दु (1, 1, p) और (-3, 0, 1) समतल 7.(3i +4j -12k) + 13 = 0 से समान दूरी पर स्थित हों तो p का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

20 – 12p = ± 8
धनात्मक चिन्ह लेने पर,
20 – 12p = 8
12p = 20 – 8 = 12
∴ p=1
ऋणात्मक चिन्ह लेने पर,
20 – 12p = – 8
12p = 20 +8 = 28

प्रश्न 15.
यदि मूल बिन्दु 0 तथा बिन्दु P के निर्देशांक (1, 2, – 3) हैं तो बिन्दु P से जाने वाले तथा OP के लम्बवत्तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ बिन्दु O(0, 0, 0) और P(1, 2, –3) से होकर जाने वाली रेखा का दिक्-अनुपात OP, 1-0, 2-0, -3 -0 या
1, 2, -3 हैं।
⇒ अभीष्ट समतल के लम्ब के दिक्-अनुपात (1, 2, – 3)
और समतल P(1, 2, – 3) से होकर जाता है।
a (x – x₁) + b (y – y₁) + c (z – z₁) = 0
1.(x – 1) + 2 (y – 2) – 3(z + 3) = 0
⇒ x – 1 + 2y – 4 – 3z -9 = 0
∴ x + 2y – 37 – 14 = 0
यही अभीष्ट समतल का समीकरण है।

प्रश्न 16.
समतलों  के प्रतिच्छेदन रेखा को अंतर्विष्ट करने वाले तथा तल 7 (5i +3j-6k) +8 = 0 के लम्बवत् तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए गए समतल

प्रश्न 17.
बिन्दु (- 1,- 5, – 10) से रेखा  के प्रतिच्छेदन बिन्दु के मध्य की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ रेखा

प्रश्न 18.
बिन्दु (1, 2, 3) से जाने वाली तथा समतलों  के समान्तर रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बिन्दु (1, 2, 3) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण

समतल का अभिलम्ब और रेखा (1) परस्पर लम्बवत् हैं।
∴ b₁ – b₂ + 2b₃ = 0

प्रश्न 19.
बिन्दु (1, 2, – 4) से जाने वाली और दोनों रेखाओं  पर लम्ब रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना अभीष्ट रेखा

प्रश्न 20.
यदि एक समतल के अन्तःखण्ड a,b,c हैं और इसकी मूल बिन्दु से दूरी p इकाई है तो सिद्ध कीजिए कि
1a2+1b2+1c2=1p2
हल:

सही प्रश्न के उत्तर का चयन कीजिए।

प्रश्न 1.
दो समतलों 2x + 3y + 4z =4 और 4x + 6y + 8z = 12 के बीच की दूरी है-
(A) 2 इकाई
(B) 4 इकाई
(C) 8 इकाई
(D)  इकाई।
हल:
समतलों का समीकरण
2x + 3y + 4z = 4 …(1)
4x + 6y + 8z = 12 …(2)
समी० (2) में 2 से भाग करने पर,
2x + 3y + 4z = 6 …(3)
समतलों के बीच की दूरी
ax + by + cz = d₁, और ax + by + cz = d₂

अतः विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 2.
समतल 2x – y + 4z = 5 और 5x – 2.5y + 10z = 6 हैं-
(A) परस्पर लम्ब
(B) समान्तर
(C) y-अक्ष पर प्रतिच्छेदन करते हैं
(D) बिन्दु  से गुजरते हैं।
हल:
समतलों के समीकरण
2x – y + 4z = 5 …(1)
5x – 2.5y + 10z = 6 …(2)
x, y, z के गुणांकों की तुलना करने पर

(1) व (2) समान्तर हैं।
अतः विकल्प (B) सही है।

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