MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता

Ex 13.1

प्रश्न 1.
यदि E और F इस प्रकार की घटनाएँ हैं कि P(E) = 0.6, P (F) == 0.3 और P(E ∩F) = 0.2, तो  ज्ञात कीजिए।
हल:
ज्ञात है
P(E) = 0.6
P(F) =03
तथा P(EMF) = 0.2

प्रश्न 2.
 ज्ञात कीजिए, यदि P (B) = 0.5 और P(A ∩ B) = 0.32
हल:
∵ P(B) =0.5
तथा P (A ∩ B) =0.32

प्रश्न 3.
यदि P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 और  = 0.4 ज्ञात कीजिए।
(i) P (A ∩ B)
(ii) P
(iii) P(AUB)
हल:
दिया है :
P(A) = 0.8, P(B) = 0.5
और = 0.4

(iii) ∵ P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩B)
= 0.8 + 0.5 – 0.32
=1.3 – 0.32
= 0.98

प्रश्न 4.
P (AUB) ज्ञात कीजिए यदि

प्रश्न 5.

निम्नलिखित प्रश्न 6 से 9 तक P(EF) ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 6.
एक सिक्के को तीन बार उछाला गया है-
(i) E : तीसरे उछाल पर चित F : पहली दोनों उछालों पर चित।
(ii) E : न्यूतनम दो चित F : अधिकतम एक चित।
(iii) E : अधिकतम दो पट F : न्यूनतम एक पट।
हल:
सम्भावित परिणाम =8
(i) E = {HHH, HTH, THH, TTH}
तथा F = {HHH, HHT}
E∩F = {HHH}

∴ 
(ii) ∵ E : न्यूनतम दो चित
∴ E = {HHH, HTH, THH, HHT}
F: अधिकतम दो चित
∴ F = {TTT, HTT, THT, HTT, HHT, HTH,THH}
∴ E ∩ F = {HHT, HTH, THH}

(iii) E : अधिकतम दो पट
∴ E = {HTT, THT, TTH, HHT, HTH,THH, HHH}
F : न्यूनतम दो पट
F = {THH, HTH, HHT, TTH, THT, HTT, TTT}
∴ E ∩ F = {HTT,THT,TTH,THH, HTH, HHT}

प्रश्न 7.
दो सिक्कों को एक बार उछाला गया है –
(i) E : एक सिक्के पर पट प्रकट होता है F : एक सिक्के पर चित प्रकट होता है।
(ii)E : कोई पट प्रकट नहीं होता F: कोई चित प्रकट नहीं होता है।
हल : (i) E = एक सिक्के पर पट प्रकट होता है।
= {TH, HT}
F = एक सिक्के पर चित प्रकट होता है।
= {HT, TH}
∴ E ∩F = {TH, HT}

(ii) E = कोई पट प्रकट नहीं होता है
= {H, H}
F = कोई चित प्रकट नहीं होता है
= {TT}
∴ E ∩ F=ϕ

प्रश्न 8.
एक पासे को तीन बार उछाला गया है
E : तीसरी उछाल पर संख्या 4 प्रकट होना
F : पहली दो उछालों पर क्रमशः 6 तथा 5 प्रकट होना।
हल:
E = तीसरी उछाल पर संख्या 4 प्रकट होना
= (1, 1, 4), (1, 2, 4), (1, 3, 4), …(1, 6, 4)
=(2, 1, 4), (2, 2, 4), (2, 3, 4), …(2, 6, 4)
= (3, 1, 4), (3, 2, 4), (3, 3, 4), …(3, 6, 4)
= (4,1, 4), (4, 2, 4), (4, 3, 4), …(4, 6, 4)
= (5, 1, 4), (5, 2, 4), (5, 3, 4), …(5, 6, 4)
=(6, 1, 4), (6, 2, 4), (6, 3, 4), … (6, 6, 4)
= 36 परिणाम
F = पहली दो उछालों पर क्रमश: 6 तथा 5 प्रकट होना
= {(6, 5, 1), (6, 5, 2), ( 6, 5, 3), ( 6, 5, 4), ( 6, 5, 5), (6, 5, 6)} = 6 परिणाम
∴ E ∩ F = {6, 5, 4}

प्रश्न 9.
एक पारिवारिक चित्र में माता, पिता व पुत्र या यादृच्छया खड़ें हैं –
E : पुत्र एक सिरे पर खड़ा है F : पिता मध्य में खड़े हैं।
हल:
माना पुत्र (s), पिता (f) तथा माता (m) यादृच्छया खड़े है।
E = पुत्र एक सिरे पर खड़ा है।
= {smf, sfm, fms, mfs}
तथा F : पिता मध्य में खड़े हैं।
∴ F = { mfs, sin}
⇒ E ∩ F = {mfs, sfm}

प्रश्न 10.
एक काले और एक लाल पासे को उछाला गया हैं –
(a) पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग 9 से अधिक होने की सप्रतिबन्ध प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि काले पासे पर 5 प्रकट हुआ है।
(b) पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग 8 होने की सप्रतिबन्ध प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि लाल पासे पर प्रकट संख्या 4 से कम है।
हल:
(a) जब दो पासे उछाले जाएँ तो उनका योग 9 से अधिक हो
A = {(4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)}
B = काले पासे पर 5 प्रकट हुआ है।
= {(5,1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}
A∩B = {(5, 5), (5, 6)}

(b) A = प्राप्त संख्याओं का योग 8 है।
= {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}
B = लाल पासे पर प्रकट संख्या 4 से कम है।
B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}
A ∩ B = {(2, 6), (3, 5)}

प्रश्न 11.
एक न्याय्य पासे को उछाला गया है। घटनाओं E = {1, 3, 5}, F = {2, 3} और G = {2, 3, 4,5} के लिए
निम्नलिखित ज्ञात कीजिए –



(iii) E = {1, 3, 5}, F = {2, 3}, G = {2, 3, 4, 5}
⇒E ∩ G = {3, 5} E ∩ G = {2, 3},
(E ∩ F) ∩ G = {3}

प्रश्न 12.
मान लें कि जन्म लेने वाले बच्चे का लड़का या लड़की होना समसंभाव्य है। यदि किसी परिवार में दो बच्चे हैं तो दोनों बच्चों के लड़की होने की सप्रतिबन्ध प्रायिकता क्या है, यदि यह दिया गया है कि
(i) सबसे छोटा बच्चा लड़की है
(ii) न्यूनतम एक बच्चा लड़की है।
हल:
माना पहले तथा दूसरे बच्चे, लड़कियाँ G₁,G₂, तथा लड़के B₁, B₂ हैं।
∴ S = {(G₁.G₂), (G₁, B₂), (G₂, B₁), (B₁, B₂)}
माना A = दोनों बच्चे लड़कियाँ हैं।
= {G₁G₂}
B = सबसे छोटा बच्चा लड़की है।
= {G₁G₂. B₁G₂}
C = न्यूनतम एक बच्चा लड़की है।
= {G₁B₂,G₁G₂, B₁G₂}
A ∩ B = {G₁G₂}, A ∩ C = {G₁G₂}

प्रश्न 13.
एक प्रशिक्षक के पास 300 सत्य/असत्य प्रकार के आसान प्रश्न, 200 सत्य/असत्य प्रकार के कठिन प्रश्न, 500 बहुविकल्पीय प्रकार के आसान प्रश्न और 400 बहुविकल्पीय प्रकार के कठिन प्रश्नों का संग्रह है। यदि प्रश्नों के संग्रह से एक प्रश्न यादृच्छया चुना जाता है तो एक आसान प्रश्न की बहुविकल्पीय होने की प्रायिकता क्या होगी?
हल:
दिए गए आँकड़ों की टेबिल निम्न प्रकार है –

माना E = सरल प्रश्न, D = कठिन प्रश्न, T = सत्य/असत्य प्रश्न, M = बहुविकल्पीय प्रश्न
सरल बहुविकल्पीय प्रश्नों की संख्या = 500
कुल प्रश्नों की संख्या = 1400
P(E ∩ M) = आसन और बहुविकल्पीय प्रश्नों की प्रायिकता

बहुविकल्पीय प्रश्नों की कुल संख्या = 500 + 400 = 900
P(M) = एक बहुविकल्पीय प्रश्नों की प्रायिकता

प्रश्न 14.
यह दिया गया है कि दो पासों को फेंकने पर प्राप्त संख्याएँ भिन्न-भिन्न हैं। दोनों संख्याओं का योग 4 होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
दो पासों को फेंकने से प्रतिदर्श समष्टि के परिणाम
= 6 x 6 =36
माना A = दो संख्याओं का योग 4
= [(1,3), (2, 2), (3,1)]
दो पासों को फेंकने पर समान संख्या वाले परिणाम
= {(1, 1), (2, 2), (3,3),(4, 4) (5,5), (6, 6)}
B = जब संख्या भिन्न हो तो ऐसे परिणाम
=36 – 6 = 30
A∩B = [(1, 3), (3, 1)]
P(A∩B) = 2/36,
P(B) =30/36

प्रश्न 15.
एक पासे को फेंकने के परीक्षण पर विचार कीजिए। यदि पासे पर प्रकट संख्या 3 का गुणज है तो पासे को पुनः फेंकें और यदि कोई अन्य संख्या प्रकट हो तो एक सिक्के को उछालें। घटना न्यूनतम एक पासे पर संख्या 3 प्रकट होना’ दिया गया है तो घटना ‘सिक्के पर पट प्रकट होने’ की सप्रतिबन्ध प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
माना यहाँ 3 का गुणज प्रत्येक समय n बार फेंका गया।

अन्त में (n + 2)^th उछाल में कम-से-कम 3 और पट प्राप्त होने की प्रायिकता

यदि n→∞; एक पासे पर संख्या 3 प्रकट होना, दिया गया है तो सिक्के पर पट होने की सप्रतिबन्ध प्रायिकता

Ex 13.2

प्रश्न 1.
यदि  और A तथा B स्वतंत्र घटनाएँ हैं तो P (ARB) ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ A तथा B स्वतंत्र घटनाएँ हैं
∴ P(A ∩ B) = P (A)x P (B)

प्रश्न 2.
52 पत्तों की एक गड्डी में से यादृच्छया बिना प्रतिस्थापित किए गए दो पत्ते निकाले गए। दोनों पत्तों के काले रंग का होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
पत्तों की कुल संख्या = 52
गड्डी में काले पत्तों की कुल संख्या = 26
∴ एक पत्ता यादृच्छया खींचने पर काले पत्ते की प्रायिकता

एक पत्ता खींचने पर शेष पत्तों की संख्या = 52 – 1 = 51
तथा काले पत्तों की संख्या = 26 – 1 = 25
∴ दूसरा काला पत्ता होने की प्रायिकता
अतः दोनों पत्ते काले रंग के होने की प्रायिकता
= E₁ x E₂

प्रश्न 3.
संतरों के एक डिब्बे का निरीक्षण उसमें से तीन संतरों को यादृच्छया बिना प्रतिस्थापित किए हुए निकाल कर किया जाता है। यदि तीनों निकाले गए संतरे अच्छे हों तो डिब्बे को बिक्री के लिए स्वीकृत किया जाता है अन्यथा अस्वीकृत कर देते हैं। एक डिब्बा जिसमें 15 संतरे हैं जिनमें से 12 अच्छे व 3 खराब संतरे हैं, के बिक्री के लिए स्वीकृत होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
डिब्बा जिसमें 12 अच्छे और 3 खराब सन्तरे हैं।
12 संतरों में से 3 अच्छे संतरे निकालने के प्रकार = 12C₃
15 सन्तरों में से 3 सन्तरे निकालने के प्रकार = 15C₃
स्वीकृत होने की प्रायिकता =3 अच्छे सन्तरों को चुनने की प्रायिकता

प्रश्न 4.
एक न्याय्य सिक्का और एक अभिनत पासे को उछाला गया। मान लें A घटना ‘सिक्के पर चित प्रकट होता है’ और B घटना ‘पासे पर सख्या 3 प्रकट होती है’ को निरूपित करते हैं। निरीक्षण कीजिए कि घटनाएँ A और B स्वतन्त्र हैं या नहीं?
हल:
घटना A पर, चित आने की प्रायिकता P(A) =
घटना B पर 3 प्रकट होने की प्रायिकता P(B) =  जब पासे और सिक्के को उछाला जाता है, तब कुल संख्या
= [HI, H2, H3. H4, Hz, H6 ]
= [TI,T2,T3,TA,TH,T6]
अब H₃ का प्रकट होना एक ही तरीके से हो सकता है।
3 और चित आने की प्रायिकता =

अतः A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं।

प्रश्न 5.
एक पासे पर 1,2,3 लाल रंग से और 4, 5, 6 हरे रंग से लिखे गए हैं। इस पासे को उछाला गया। मान लेंA घटना ‘संख्या सम है’ और Bघटना संख्या लाल रंग से लिखी गई है’ को निरूपित करते हैं। क्या A और B स्वतन्त्र हैं?
हल:
पासे पर सम संख्याएँ 2, 4, 6 हैं।
घटना A पर सम संख्या आने की प्रायिकता

पासे पर दो रंग लाल और हरा है।
घटना (B) पर लाल रंग आने की प्रायिकता P(B) = 
लाल रंग में सम संख्या 2 है।
लाल रंग और सम संख्याएँ होने की प्रायिकता
P(A ∩ B) = 
≠P(A ∩ B)
A और B स्वतन्त्र घटना नहीं है।

प्रश्न 6.
मान लें E तथा F दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि  तब क्या E तथा F स्वतन्त्र हैं।
हल:

∵ P(E ∩ F) ≠ P(E) x P(F)
अतः E तथा F स्वतन्त्र घटनाएँ नहीं हैं।

प्रश्न 7.
A और B ऐसी घटनाएँ दी गई हैं जहाँ P(A)= , P(AUB) =  तथा P(B) = P
p का मान ज्ञात कीजिए यदि
(i) घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं
(ii) घटनाएँ स्वतन्त्र हैं।
हल:
माना P(A ∩ B) =x
अब P(A) = , P(A ∪ B) = , P(B) = P
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

(i) जब घटनाएँ A और B परस्पर अपवर्जी हैं x = 0

(ii) जब घटनाएँ A और B स्वतन्त्र हैं
P(A ∩ B) = P(A) x P(B)

प्रश्न 8.
मान लें A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं तथा P(A) = 0.3 और P(B) = 0.4 तब .
(i) P(A ∩ B)
(ii) P(A U B)
(iii)
(iv)  ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) दिया है :
P(A) = 0.3, P(B) = 0.4
जब A और B स्वतन्त्र घटना है
P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
= 0.3 x 0.4 = 0.12
(ii) P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 0.3 + 0.4 – 0.12
= 0.7 – 0.12 = 0.57

प्रश्न 9.
दी गई घटनाएँ A और B ऐसी हैं, जहाँ P(A) = P(B) =  और P(A ∩ B) = तब P(A – नहीं और B – नहीं) ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 10.
मान लें A तथा B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं और  क्या A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं?

A और B स्वतन्त्र घटनाएँ नहीं हैं।

प्रश्न 11.
A और B स्वतन्त्र घटनाएँ दी गई हैं जहाँ P(A) = 0.3, P (B)= 0.6 तो
(i) P(A और B)
(ii) P(A और B – नहीं)
(iii) P(A या B)
(iv) P(A और B में कोई भी नहीं ) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है : A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं
(i) ∴ P (A और B) = P(A ∩ B)
=P(A) × P (B) [∵P (A)= 0.3, P (B)= 0.6]
= 0.3 x 0.6 = 0.18
(ii) P (A और B नहीं)

= P(A) – P(A ∩ B)
= 0.3 – 0.18 [∵ P(A ∩ B) = 0.18]
= 0.12
(iii) यहाँ P (A) = 0.3, P (B) = 0.6,
P (A ∩ B) = 0.18
∴ P(A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
= 0.3 + 0.6 – 0.18
= 0.72
⇒ P(A या B) = 0.72

= [1 – P (A)] x [1 – P (B)]
=[1 – 0.3] x [1 – 0.6]
= 0.7 x 0.4
= 0.28

प्रश्न 12.
एक पासे को तीन बार उछाला जाता है तो कम-से-कम एक बार विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
पासे को एक बार उछालने पर विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता
तथा सम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता
इसलिए पासे को तीन बार उछालने पर सम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता
अतः पासे को तीन बार उछालने पर कम से कम 1 बार विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता

प्रश्न 13.
दो गेंद एक बॉक्स से बिना प्रतिस्थापित किए निकाली जाती है। बॉक्स में 10 काली और 8 लाल गेंदें हैं तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए-(i) दोनों गेंदें लाल हों, (i) प्रथम काली एवं दूसरी लाल हो, (iii) एक काली तथा दूसरी लाल
हो।
हल:
(i) प्रथम गेंद लाल होने की प्रायिकता

प्रश्न 14.
एक विशेष समस्या को A और B द्वारा स्वतन्त्र रूप से हल करने की प्रायिकताएँ क्रमशः और  हैं। यदि दोनों, स्वतंत्र रूप से, समस्या हल करने का प्रयास करते हैं तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि –
(i) समस्या हल हो जाती है।
(ii) उनमें से तथ्यतः कोई एक समस्या हल कर लेता है।
हल:
(i) A द्वारा समस्या हल करने की प्रायिकता =  = P(A)
∴ A के द्वारा समस्या हल न होने की प्रायिकता

प्रश्न 15.
ताश के 52 पत्तों की एक सुमिश्रित गड्डी से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है।
निम्नलिखित में से किन दशाओं में घटनाएँ E और F स्वतन्त्र हैं?
(i) E : ‘निकाला गया पत्ता हुकुम का है’
F : ‘निकाला गया पत्ता इक्का है’
(ii) E : ‘निकाला गया पत्ता काले रंग का है’
F : ‘निकाला गया पत्ता एक बादशाह है’
(iii)E : ‘निकाला गया पत्ता एक बादशाह या एक बेगम है’
F: “निकाला गया पत्ता एक बेगम या एक गुलाम है’
हल:
ताश के 52 पत्तों की एक गड्डी है।
(i) हुकुम के पत्तों की संख्या = 13
∴ निकाले गए हुकुम के पत्ते की प्रायिकता

ताशों की एक गड्डी में चार इक्के हैं।
निकाला गया पत्ता इक्का की प्रायिकता

= P(E) x P(F)
⇒ P(E ∩ F) = P(E) x P(F)
E तथा F स्वतन्त्र घटनाएँ हैं।
(ii) ताश के 52 पत्तों की गड्डी में 26 काले रंग के पत्ते हैं।

= P(E ∩ F)
अतः P(E ∩ F) = P(E) x P(F)
⇒ E और F स्वतन्त्रघटनाएँ हैं।
(iii) यहाँ 4 बेगम और 4 बादशाह के पत्ते हैं।
∴ एक बादशाह या एक बेगम खींचने की प्रायिकता

अतः E और F स्वतन्त्र घटनाएँ नहीं हैं।

प्रश्न 16.
एक छात्रावास में 60% विद्यार्थी हिन्दी का, 40% अंग्रेजी का और 20% दोनों अखबार पढ़ते हैं। एक छात्रा को यादृच्छया चुना जाता है।
(a) प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह न तो हिन्दी और न ही अंग्रेजी का अखबार पढ़ती है।
(b) यदि वह हिन्दी का अखबार पढ़ती है तो उसके अंग्रेजी का अखबार भी पढ़ने वाली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(c) यदि वह अंग्रेजी का अखबार पढ़ती है तो उसके हिन्दी का अखबार भी पढ़ने वाली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
(a) माना छात्रों के हिन्दी और अंग्रेजी के अखबार पढ़ने की घटनाओं को क्रमश: H और E से निरूपित करते हैं।

छात्रों के कम से कम एक अखबार पढ़ने की प्रायिकता
=P(H U E)
P(H) = 0.6, P(E) = 0.4, P(H U E) = 0.2
∴ P(H U E) = 0.6 + 0.4 – 0.2
=1 – 0.2 = 0.8
∴ छात्रों के न तो हिन्दी और न ही अंग्रेजी का अखबार पढ़ने की प्रायिकता
=1 – P(H U E) = 1 – 0.8
= 0.2 = 20%
स्पष्ट है कि 20% विद्यार्थी अखबार नहीं पढ़ते
(b) यदि वह हिन्दी का अखबार पढ़ती है तो उसमें अंग्रेजी का अखबार भी पढ़ने वाली होने की प्रायिकता

(c) यदि वह अंग्रेजी का अखबार पढ़ती है तो उसके हिन्दी | का अखबार भी पढ़ने वाली होने की प्रायिकता

Ex 13.3

प्रश्न 1.
एक कलश में 5 लाल और 5 काली गेंदें हैं। यादृच्छया एक गेंद निकाली जाती है, इसका रंग नोट करने के बाद पुनः कलश में रख दी जाती है। पुनः निकाले गए रंग की 2 अतिरिक्त गेंदें कलश में रख दी जाती हैं तथा कलश में से एक गेंद निकाली जाती है दूसरी गेंद की लाल होने की प्रायिकता क्या है?
हल:
एक कलश में 5 लाल और 5 काली गेंदें हैं।
(i) माना एक लाल गेंद निकाली जाती है।

प्रश्न 2.
एक थैले में 4 लाल और 4 काली गेंदें हैं और एक अन्य थैले में 2 लाल और 6 काली गेंदें हैं दोनों थैलों में से एक को यादृच्छया चुना जाता है और उसमें से 1 गेंद निकाली जाती है जो कि लाल है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि गेंद पहले थैले से निकाली गई है?
हल:
माना पहले थैले चुनने की घटना E₁ व दूसरे थैले को चुनना E₂ है
∴1 थैले चुनने की प्रायिकता = 
⇒ P(E₁) = P(EE₂) = 
∵ पहले थैले में 4 लाल व 4 काली गेंद हैं
∴ इनमें से लाल गेंद चुनने की प्रायिकता

प्रश्न 3.
यह ज्ञात है कि महाविद्यालय के छात्रों में से 60% छात्रावास में रहते हैं और 40% छात्रावास में नहीं रहते हैं। पूर्ववर्ती वर्ष के परिणाम सूचित करते हैं कि छात्रावास में रहने वाले छात्रों में से 30% और छात्रावास में न रहने वाले छात्रों में से 20% छात्रों ने A- ग्रेड लिया। वर्ष के अन्त में महाविद्यालय के एक छात्र को यादृच्छया चुना गया और यह पाया गया कि उसे A- ग्रेड मिला है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि वह छात्र छात्रावास में रहने वाला है?
हल:
माना छात्रावास में रहने वाले और न रहने वाले छात्रों की घटनाएँ क्रमश: E₁ तथा E₁ हैं।
छात्रावास में रहने वाले छात्रों की प्रायिकता = 60% = 0.6
छात्रावास में न रहने वाले छात्रों की प्रायिकता = 40% = 0.4
A- ग्रेड छात्रावास में रहने वाले छात्रों की प्रायिकता = 30%

A- ग्रेड छात्रावास में रहने की प्रायिकता

प्रश्न 4.
एक बहुविकल्पीय प्रश्न का उत्तर देने में एक विद्यार्थी या तो प्रश्न का उत्तर जानता है या वह अनुमान लगाता है। मान लें कि उसके उत्तर जानने की प्रायिकता है और अनुमान लगाने की प्रायिकता है। मान लें कि छात्र के प्रश्न के उत्तर का अनुमान लगाने पर सही उत्तर देने की प्रायिकता  है तो इस बात की क्या प्रायिकता है कि कोई छात्र प्रश्न का उत्तर जानता है यदि यह ज्ञात है कि उसने सही उत्तर दिया है?
हल:
माना घटनाएँ
E₁ = विद्यार्थी के उत्तर जानने की
E₂ = वह अनुमान लगाता है।
P(E₁) = , P(E₂) = 
माना A उत्तर सही होने की घटना है।
यदि विद्यार्थी उत्तर जातना है
⇒ उत्तर सही है।

∴ इस बात की प्रायिकता कि कोई छात्र प्रश्न का उत्तर जानता है यदि यह ज्ञात है कि उसने सही उत्तर दिया है —

प्रश्न 5.
किसी विशेष रोग के सही निदान के लिए रक्त की जाँच 99% असरदार है, जब वास्तव में रोगी उस रोग से ग्रस्त होता है। किन्तु 0.5% बार किसी स्वस्थ व्यक्ति की रक्त जाँच करने पर निदान गलत रिपोर्ट देता है यानी व्यक्ति को रोग से ग्रस्त बतलाता है। यदि किसी जनसमुदाय में 0.1% लोग उस रोग से ग्रस्त हैं तो क्या प्रायिकता है कि कोई यादृच्छया चुना गया व्यक्ति उस रोग से ग्रस्त होगा यदि उसके रक्त की जाँच में यह बताया जाता है कि उसे यह रोग है?
हल:
माना घटनाएँ E = रोग से ग्रस्त व्यक्ति
E’ = रोग से ग्रस्त नहीं व्यक्ति
A = रक्त की जाँच में रोग
रोग से ग्रस्त व्यक्ति की प्रायिकता
P(E) = 0.1% = 0.001
रोग से ग्रस्त नहीं व्यक्ति की प्रायिकता
P(E’) =1 – P(E)
=1 – 0.001 = 0.999
उन व्यक्तियों की प्रायिकता जो रोगी तथा रक्त की जाँच में रोग हो

किसी स्वस्थ व्यक्ति के रक्त की जाँच करने पर निदान गलत रिपोर्ट देता हैं यानि व्यक्ति को रोग से ग्रस्त बताने की प्रायिकता

कोई यादृच्छया चुना गया व्यक्ति उस रोग से ग्रस्त होगा यदि उसके रक्त की जाँच में पाये जाने की प्रायिकता

प्रश्न 6.
तीन सिक्के दिए गए हैं। एक सिक्के के दोनों ओर चित ही है। दूसरा सिक्का अभिनत है जिसमें चित 75% बार प्रकट होता है और तीसरा अनभिनत सिक्का है। तीनों में से एक सिक्के को यादृच्छया चुना गया और उसे उछाला गया है। यदि सिक्के पर चित प्रकट हो तो क्या प्रायिकता है कि वह दोनों चित वाला सिक्का है?
हल:
कुल सिक्कों की संख्या = 3
∴ तीनों सिक्कों में से 1 सिक्का चुनने की प्रायिकता = 
माना तीनों सिक्कों की घटनाएँ E₁, E₂ व E₃ हैं तथा चित आने की घटना A है
∴ P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) =  = 
∵ एक सिक्के के दोनों और चित है

प्रश्न 7.
एक बीमा कम्पनी 2000 स्कूटर चालकों, 4000 कार चालकों और 6000 ट्रक चालकों का बीमा करती है। दुर्घटनाओं की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.01, 0.03 और 0.15 हैं। बीमाकृत व्यक्तियों (चालकों) में से एक दुर्घटनाग्रस्त हो जाता है। उस व्यक्ति के स्कूटर चालक होने की प्रायिकता क्या है?
हल:
माना
E₁ = स्कूटर चालक का बीमा होना
E₂ = कार चालक का बीमा होना
E₃ = ट्रक चालक का बीमा होना
एक बीमा कम्पनी 2000 स्कूटर चालकों 4000 चालकों और 6000 ट्रक चालकों का बीमा करती है।
कुल चालकों की संख्या
= 2000 + 4000 + 6000 = 12000
माना स्कूटर चालकों के होने की प्रायिकता

बीमाकृत चालकों में से एक दुर्घटनाग्रस्त हो जाता है। उस व्यक्ति के स्कूटर चालक होने की प्रायिकता

प्रश्न 8.
एक कारखाने में A और B दो मशीने लगी हैं। पूर्व विवरण से पता चलता है कि कुल उत्पादन का 60% मशीन A और 40% मशीन B द्वारा किया जाता है। इसके अतिरिक्त मशीन A का 2% मशीन B का 1% उत्पादन खराब है। यदि कुल उत्पादन का एक ढेर बना लिया जाता है और उस ढेर से यादृच्छया निकाली गई वस्तु खराब हो तो इस वस्तु के ‘मशीन A द्वारा बने होने की प्रायिकता क्या होगी?
हल:
माना मशीन A द्वारा उत्पादन की घटना = E₁
तथा मशीन B द्वारा उत्पादन की घटना = E₂
माना C खराब उत्पादन को प्रदर्शित करते हैं
∴ मशीन A द्वारा उत्पादन की गई वस्तु की प्रायिकता
P(E₁) = 60%
= 0.6
तथा मशीन B द्वारा उत्पादन की गई वस्तु की प्रायिकता
= 0.4
तथा मशीन A द्वारा खराब उत्पादन की प्रायिकता

∵ कुल उत्पादन के ढेर से निकाली खराब वस्तु के मशीन A द्वारा बने होने की प्रायिकता

प्रश्न 9.
दो दल एक निगम के निदेशक मंडल में स्थान पाने की प्रतिस्पर्धा में हैं। पहले तथा दूसरे दल के जीतने की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.6 तथा 0.4 हैं। इसके अतिरिक्त यदि पहला दल जीतता है तो एक नए उत्पाद के प्रारम्भ होने की प्रायिकता 0.7 है और यदि दूसरा दल जीतता है तो इस बात की संगत प्रायिकता 0.3 है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि नया उत्पादन दूसरा दल द्वारा प्रारम्भ किया गया था।
हल:
माना
E₁ = पहले दल के जीतने की घटना
E₂ = दूसरे दल के जीतने की घटना
A/E₁ = पहला दल नया उत्पाद प्रारम्भ करेगा
A/E₂ = दूसरा दल नया उत्पाद प्रारम्भ करेगा
पहले दल के जीतने की प्रायिकता = P(E₁) = 0.6
दूसरे दल के जीतने की प्रायिकता = P(E₂) = 0.4
पहला दल जीतता है तो एक नये उत्पाद के प्रारम्भ होने की प्रायिकता

प्रश्न 10.
मान लीजिए कि कोई लड़की एक पासा उछालती है। यदि उसे 5 या 6 की संख्या प्राप्त होती है तो वह एक सिक्के को तीन बार उछालती है और ‘चितों’ की संख्या नोट करती है। यदि उसे 1,2,3 या 4 की संख्या प्राप्त होती है तो वह एक सिक्के को एक बार उछालती है और यह नोट करती है कि उस पर ‘चित’ या ‘पट’ प्राप्त हुआ। यदि उसे ठीक एक चित प्राप्त होता है तो उसके द्वारा उछाले गए पासे पर 1,2,3 या 4 प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है?
हल:
5 या 6 की संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता

यदि उसे ठीक एक चित प्राप्त होता है तो उसके द्वारा उछाले गए पासों पर 1, 2, 3 या 4 प्राप्त होने की प्रायिकता

प्रश्न 11.
एक व्यावसायिक निर्माता के पास A, B तथा C मशीन ऑपरेटर हैं। प्रथम ऑपरेटर A 1% खराब सामग्री उत्पादित करता है तथा ऑपरेटर B और C क्रमश: 5% और 7% खराब सामग्री उत्पादित करता है। कार्य पर A कुल समय का 50% लगाता है, B कुल समय का 30% तथा C कुल समय का 20% लगाता है। यदि एक खराब सामग्री उत्पादित है तो इसे A द्वारा उत्पादित किए जाने की प्रायिकता क्या है?
हल:
माना तीन मशीनों द्वारा समय के अनुसार घटनाएँ E₁, E₂, E₃ घटती हैं।
P(E₁) =50% = 0.5,
P(E₂) =30% = 0.3,
P(E₃) = 20% = 0.2
माना A खराब उत्पाद की घटना है।
प्रथम ऑपरेटर 1% खराब वस्तुएँ बनाता है।

Ex 13.4

प्रश्न 1.
बताइए कि निम्नलिखित प्रायिकता बंटनों में कौन-से एक यादृच्छिक चर के लिए संभव नहीं है। अपना उत्तर कारण सहित लिखिए।

हल:
(i) प्रायिकताओं का योग
= 0.4 + 0.4 + 0.2 = 1
यह बंटन प्रायिकता बंटन है।
(ii) एक की प्रायिकता – 0.1 ऋणात्मक है।
∴ यह प्रायिकता बंटन नहीं है।
(iii) प्रायिकताओं का योग
= 0.6 + 0.1+ 0.2 = 0.9 ≠ 1 है।
∴ दिया गया बंटन, प्रायिकता बंटन नहीं है।
(iv) प्रायिकताओं का योग
= 0.3 + 0.2 + 0.4 + 0.1 + 0.05
= 1.05 >1
∴ यह प्रायिकता बंटन नहीं है।

प्रश्न 2.
एक कलश में 5 लाल और 2 काली गेंद हैं। दो गेंद यादृच्छया निकाली गईं। मान लीजिए x काली गेंदों की संख्या को व्यक्त करता है। X के संभावित मान क्या हैं? क्या x यादृच्छिक चर है?
हल:
एक कलश से, दो गेंदें निकाली गईं RR, RB, BR, BB जहाँ लाल गेंद को R से तथा काली गेंद को B से व्यक्त करते है।
X चर के मान 0, 1, 2
यहाँ कोई काली गेंद नहीं, एक काली गेंद या दोनों गेंदें काली है।
∴ हाँ, X यादृच्छिक है।

प्रश्न 3.
मान लीजिए x चितों की संख्या और पटों की संख्या में अन्तर को व्यक्त करता है, जब एक सिक्के को 6 बार उछाला जाता है। X के संभावित मूल्य क्या हैं?
हल:
जब एक सिक्के को 6 बार उछाला जाता है, हम चित और पटों की संख्या निम्न प्रकार व्यक्त करते हैं-

प्रश्न 4.
निम्नलिखित के प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए-
(i) एक सिक्के की दो उछालों में चितों की संख्या का
(ii) तीन सिक्कों को एक साथ एक बार उछालने पर पटों की संख्या का
(iii) एक सिक्के की चार उछालों में चितों की संख्या का
हल :
(i) जब एक सिक्के की दो उछालों में चितों की संख्या
S = {IT, TH, HT, HH}
X एक यादृच्छिक चर है जो 0, 1 या 2 मानते हैं।

∴ X का प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-

(ii) तीन सिक्कों को एक साथ एक-बार उछालने पर पटों की संख्या
S = {TIT, TTH, THT, HTT, THH, HTH, HHT, HHH}
X एक यादृच्छिक चर है जो 0, 1, 2 3 मानते हैं। अब, P(X = 0) = P (पट नहीं) = सभी चित [HHH]

∴ X का प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-

(iii) जब एक सिक्के को चार बार उछाला जायX एक यादृच्छिक चर है, जो 0, 1, 2, 3, 4 मानते हैं।

प्रश्न 5.
एक पासा दो बार उछालने पर सफलता की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए जहाँ
(i) ‘4’ से बड़ी संख्या’ को एक सफलता माना गया है
(ii) ‘पासे पर संख्या 6 का प्रकट होना’ को एक सफलता माना गया है।
हल:
(i) यदि प्रत्येक पासे पर 1, 2, 3, 4 संख्या है
∴ सम्भव परिणाम = {(1,1), (1,2)…(2,1), (2, 2) …(4,4)} = 16 परिणाम
तथा प्रतिदर्श समष्टि में परिणामों की कुल संख्या
= 6 x 6 =36

∴ X का प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-

प्रश्न 6.
30 बल्बों के एक ढेर से जिसमें 6 बल्ब खराब हैं। 4 बल्बों का एक नमूना (प्रतिदर्श) यादृच्छया बिना प्रतिस्थापना के निकाला जाता है। खराब बल्बों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
हल:
30 बल्बों के एक ढेर से जिसमें 6 बल्ब खराब हैं। खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता
अच्छे बल्ब निकालने की प्रायिकता
माना 4 बल्बों के नमूने में खराब बल्बों का बंटन x से व्यक्त करते हैं।

∴ खराब बल्बों की प्रायिकता बंटन निम्नवत् है।

प्रश्न 7.
एक सिक्का समसर्वय सन्तुलित नहीं है जिसमें चित प्रकट होने की संभावना पट प्रकट होने की संभावना की तीन गुनी है। यदि सिक्का दो बार उछाला जाता है तो पटों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
हल:
जब सिक्का उछाला जाता है, जिसमें चित प्रकट होने की संभावना पट प्रकट होने की संभावना की तीन गुनी है।
माना पट x बार आए।
∴ चित 3x बार आएगा।
परिणामों की कुल संख्या = x + 3x = 4x

प्रश्न 8.
एक यादृच्छिक चर x का प्रायिकता बंटन नीचे दिया गया है।

ज्ञात कीजिए–
(i) k
(ii) P (X <3) (iii) P(X >6)
(iv) P(0 < X <3)
हल:
(i) प्रायिकताओं का योग =1
0 + k + 2k + 2k + 3k + k² + 2x² + 7k² + k =1

∴ प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-

प्रश्न 9.
एक यादृच्छिक चर X का प्रायिकता फलन (x) निम्न प्रकार से है जहाँ k कोई संख्या है।

(b) (i) P(X < 2) = P(0) + P(1)

प्रश्न 10.
एक न्याय्य सिक्के की तीन उछालों पर प्राप्त चितों की संख्या का माध्य ज्ञात कीजिए।
हल:
एक न्याय्य सिक्के को तीन बार उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि
= [TTT, TTH, THT, HTT, THH, HTH, HHT, HHH]

∴ प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-

प्रश्न 11.
दो पासों को युग्मत उछाला गया है। यदि x छक्कों की संख्या को व्यक्त करता है तो X की प्रत्याशा ज्ञात कीजिए।
हल:
छक्कों की संख्या को X से व्यक्त करते हैं। एक पासा उछालने से प्रतिदर्श समष्टि = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
एक पासे पर छक्का प्राप्त होने की प्रायिकता = 
एक पासे पर 1, 2, 3, 4, 5 प्रकट होने की प्रायिकता = 
जब दो पासे उछाले जाते हैं n(s) =36.

∴ प्रायिकता बंटन निम्नवत् है

प्रश्न 12.
प्रथम छः धन पूर्णांकों में से दो संख्याएँ यादृच्छया (बिना प्रतिस्थापन) चुनी गईं। मान लें X दोनों संख्याओं में से बड़ी संख्या को व्यक्त करता है। E(X) ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ छ: धन पूर्णांक संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 5, 6 हैं।
एक अंक 6 तरीकों से चुना जा सकता है।
जब 1 संख्या को चुना जाता है तब 5 संख्याएँ छोड़ते हैं।
प्रथम छ: धन पूर्णांकों में से दो संख्याएँ यादृच्छया या (बिना प्रतिस्थापन) चुनी गई संख्या = 6 x 5 = 30
अब, P(X = 2)

प्रश्न 13.
मान लीजिए दो पासों को फेंकने पर प्राप्त संख्याओं के योग को x से व्यक्त किया गया है। x का प्रसारण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
हल: जब दो पासे फेंके जाते हैं, तब परिणामों की संख्या
= 6 x 6 = 36

अतः प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-

प्रश्न 14.
एक कक्षा में 15 छात्र हैं जिनकी आयु 14, 17, 15, 14, 21, 17, 19, 20, 16, 18, 20, 17, 16, 19 और 20 वर्ष है। एक छात्र को इस प्रकार चुना गया कि प्रत्येक छात्र के चुने जाने की संभावना समान है और चुने गए छात्र की आयु (X) को लिखा गया। यादृच्छिक चर x का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए। X का माध्य, प्रसरण व मानक विचलन भी ज्ञात कीजिए।
हल:
एक कक्षा में 15 छात्र हैं। एक छात्र को इस प्रकार चुना गया कि प्रत्येक छात्र के चुने जाने की संभावना समान है।
प्रत्येक छात्र के चुने जाने की प्रायिकता = 
प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-

प्रश्न 15.
एक बैठक में 70% सदस्यों ने किसी प्रस्ताव का अनुमोदन किया और 30% सदस्यों ने विरोध किया। एक सदस्य को यादृच्छया चुना गया और, यदि उस सदस्य ने प्रस्ताव का विरोध किया हो तो x = 0लिया गया, जबकि यदि उसने प्रस्ताव का अनुमोदन किया हो तो x = 1 लिया गया। E(X) और var (X)ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ चर मान 1 और 0 है।
किसी प्रस्ताव का अनुमोदन करने वाले सदस्यों की प्रायिकता
=70% = 0.70
किसी प्रस्ताव का विरोध करने वाले सदस्यों की प्रायिकता
=30% = 0.30
∴ प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-

Ex 13.5

प्रश्न 1.
एक पासे को 6 बार उछाला जाता है। यदि ‘पासे पर सम संख्या प्राप्त होना एक सफलता है तो निम्नलिखित की प्रायिकताएँ क्या होंगी?
(i) तथ्यतः 5 सफलताएँ?
(ii) न्यूनतम 5 सफलताएँ?
(iii) अधिकतम 5 सफलताएँ?
हल:
एक पासे पर 3 सम संख्या हैं।
∴ एक पासे पर सम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता


(iii) P (अधिकतम 5 सफलताएँ)
= P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5)
= [P(O) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6)] – P(6)

प्रश्न 2.
पासों के एक जोड़े को 4 बार उछाला जाता है। यदि ‘पासों पर प्राप्त अंकों का दिक होना’ एक सफलता मानी जाती है तो 2 सफलताओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
जब पासे के एक जोड़े को उछाला जाता है, तब n(s) =36
पासों पर प्राप्त अंकों का दिक् प्राप्त होने की प्रायिकता

प्रश्न 3.
वस्तुओं के एक ढेर से 5%त्रुटियुक्त वस्तुएँ हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि 10 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श में एक से अधिक त्रुटियुक्त वस्तुएँ नहीं होंगी?
हल:
एक त्रुटियुक्त वस्तु प्राप्त होने की प्रायिकता

10 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श में एक से अधिक त्रुटियुक्त वस्तुएँ नहीं होंगी।

प्रश्न 4.
52 ताश के पत्तों की एक भली-भाँति फेंटी गई गड्डी में से 5 पत्ते उत्तरोतर प्रतिस्थापना सहित निकाले जाते हैं। इनकी क्या प्रायिकता है कि–
(i) सभी 5 पत्ते हुकुम के हों?
(ii) केवल 3 पत्ते हुकुम के हों?
(iii) एक भी पत्ता हुकुम का नहीं हो?
हल:
ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या =52
तथा हुकुम के पत्तों की संख्या =13
∴ 1 पत्ता खींचने पर हुकुम का पत्ता आने की प्रायिकता

प्रश्न 5.
किसी फैक्टरी में बने एक बल्ब की 150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज होने की प्रायिकता 0.05 है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस प्रकार के 5 बल्बों में से
(i) एक भी नहीं
(ii) एक से अधिक नहीं
(iii) एक से अधिक
(iv) कम-से-कम एक, 150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज हो जाएँगें।
हल:
∵ 150 दिनों के उपयोग होने के बाद फ्यूज की प्रायिकता = 0.05
∴ फ्यूज न होने की प्रायिकता =1 – 0.05 = 0.95
(i) 5 बल्बों में से 150 दिनों के उपयोग होने के बाद फ्यूज न होने की प्रायिकता
= (0.95)⁵ = 0.7738 = 0.77
(ii) एक से अधिक बल्ब फ्यूज नहीं होने की प्रायिकता
= P(0) + P(1)
= (0.95)⁵ + ⁵C₁ x (0.95)⁴ x (0.05)
= (0.95)⁴ (0.95 + 5 x 0.05)
= (0.95)⁴ (0.95 + 0.25)
=(0.95)⁴ x 1.2 = 9.5
(iii) एक से अधिक फ्यूज होने की प्रायिकता
= P(2) + P(3) + P(4) + P(5)
= [P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) – P(O) + P(1)]
= 1 – [P(0) + P(1)]
= 1 – (0.95)⁴ x 1.2
= 1 – 0.52 = 0.43
(iv) कम से कम 1 बल्ब फ्यूज होने की प्रायिकता
= P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5)
= P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) – P(0)
=1 – P(0)
=1 – (0.95)⁵ = 1 – 0.77
= 0.23

प्रश्न 6.
एक थैले में 10 गेंदें हैं जिनमें से प्रत्येक पर 0 से 9 तक के अंकों में से एक अंक लिखा है। यदि थैले से 4 गेंदे उत्तरोत्तर पुन: वापस रखते हुए निकाली जाती हैं तो इसकी क्या प्रायिकता है कि उनमें से किसी भी गेंद पर अंक 0 न लिखा हो?
हल:
एक थैले में 10 गेंदें हैं जिन पर 0 से 9 तक के अंकों में से एक अंक लिखा है।
0 अंक वाली एक गेंद प्राप्त होने की प्रायिकता

गेंद पर 0 न लिखा होने की प्रायिकता
= 1 – 0.1 = 0.9
अब 4 गेंदें निकाली गईं।
उनमें से किसी भी गेंद पर अंक 0 न लिखा होने की प्रायिकता

प्रश्न 7.
एक सत्य-असत्य प्रकार के 20 प्रश्नों वाली परीक्षा में मान लें कि एक विद्यार्थी एक न्याय्य सिक्के को उछाल कर प्रत्येक प्रश्न का उत्तर निर्धारित करता है। यदि पासे पर चित प्रकट हो तो वह प्रश्न का उत्तर ‘सत्य’ देता है और यदि पट प्रकट हो तो ‘असत्य’ लिखता है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह कम-से-कम 2 प्रश्नों का सही उत्तर देता है।
हल:
P (सिक्का उछालने पर चित आता है) = 
P (सिक्का उछालने पर चित नहीं आता है)

सत्य उत्तर लिखने की प्रायिकता = 
असत्य उत्तर लिखने की प्रायिकता = 
P (कम-से-कम 2 प्रश्नों के उत्तर सत्य हैं)

प्रश्न 8.
मान लीजिए कि x का बंटन बंटन है। दर्शाइए कि x =3 अधिकतम प्रायिकता वाला परिणाम है।
हल:


अतः X = 3 पर अधिकतम प्रायिकता वाला परिणाम है।

प्रश्न 9.
एक बहुविकल्पीय परीक्षा में 5 प्रश्न हैं जिनमें प्रत्येक के तीन संभावित उत्तर हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि एक विद्यार्थी केवल अनुमान लगाकर चार या अधिक प्रश्नों का सही उत्तर दे देगा।
हल:
∵ 1 प्रश्न के तीन सम्भावित उत्तर हैं।

प्रश्न 10.
एक व्यक्ति एक लॉटरी के 50 टिकट खरीदता है, जिसमें उसके प्रत्येक में जीतने की प्रायिकता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह
(a) न्यूनतम एक बार
(b) तथ्यतः एक बार
(c) न्यूनतम दो बार, इनाम जीत लेगा।
हल:

(c) न्यूनतम दो बार, इनाम जीतने की प्रायिकता
= P(2) + P(3) +…P(50)
= P(0) + P(1) +…P(50) – [P(0) + P(1)] = 1 – [P(O) + P(1)]
=1 – [P(0) + P(1)]

प्रश्न 11.
एक पासे को सात बार उछालने पर तथ्यतः दो बार 5 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
पासे को 1 बार उछालने पर 5 आने की प्रायिकता = 
तथा 5 न आने की प्रायिकता
इसलिए पासे को सात बार उछालने पर दो बार 5 आने की प्रायिकता

प्रश्न 12.
एक पासे को छः बार उछालने पर अधिकतम 2 बार 6 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
पासे को 1 बार उछालने पर 6 आने की प्रायिकता =
तथा 6 न आने की प्रायिकता
अत: पासे को 6 बार उछालने पर अधिकतम दो बार 6 आने की प्रायिकता

प्रश्न 13.
यह ज्ञात है कि किसी विशेष प्रकार की निर्मित वस्तुओं की संख्या में 10% खराब हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि इस प्रकार की 12 वस्तुओं के यादृच्छिक प्रतिदर्श में से 9 खराब हों?
हल:
निर्मित वस्तुओं में खराब वस्तुओं के चुनने की प्रायिकता

12 वस्तुओं के यादृच्छिक प्रतिदर्श में से 9 खराब होने की प्रायिकता

विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
A और B इस प्रकार घटनाएँ हैं कि P(A) ≠ 0.
p  ज्ञात कीजिए यदि
(i) A, समुच्चय B का उपसमुच्चय है।
(ii) A ∩ B = ϕ
हल:
(i) B का उपसमुच्चय A है।

प्रश्न 2.
एक दम्पति के दो बच्चे हैं–
(i) दोनों बच्चों के लड़का होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात है कि दोनों बच्चों में से कम-से-कम एक बच्चा लड़का है।
(ii) दोनों बच्चों के लड़की होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात है कि बड़ा बच्चा लड़की है।
हल:
(i) माना A = दोनों बच्चे लड़के हैं = {MM}
B = कम-से-कम एक बच्चा लड़का है
={MF, FM, MM }

प्रश्न 3.
कल्पना कीजिए कि 5% पुरुषों और 0.25% महिलाओं के बाल सफेद हैं। एक सफेद बालों वाले व्यक्ति को यादृच्छिक चुना गया है। इस व्यक्ति के पुरुष होने की प्रायिकता क्या है? यह मान लें कि पुरुषों और महिलाओं की संख्या समान है।
हल:
माना घटना E₁ – पुरुष का होना तथा घटना
E₂ – महिला का होना
तथा घटना A – सफेद बाल का होना
∴ 1 पुरुष चुनने की प्रायिकता = P (E₁) = 
1 महिला चुनने की प्रायिकता = P (E₂) =
5% पुरुषों के बाल सफेद हैं

इसलिए सफेद बालों वाला पुरुष होने की प्रायिकता

प्रश्न 4.
मान लीजिए कि 90% लोग दाहिने हाथ से काम करने वाले हैं। इसकी प्रायिकता क्या है कि 10 लोगों में से यादृच्छया चुने गए अधिक-से-अधिक 6 लोग दाहिने हाथ से काम करने वाले हों?
हल : 90% लोग दाहिने हाथ से काम करते हैं।

P (अधिक-से-अधिक 6 लोग दाहिने हाथ से काम करने वाले हों)
= p(O) + p (1) +…+ p (6)

प्रश्न 5.
एक कलश (पात्र) में 25 गेंदें हैं, जिनमें से 10 गेंदों पर चिन्ह ‘x’ अंकित है और शेष 15 पर चिन्ह ‘Y’ अंकित है। कलश में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है और उस पर अंकित चिन्ह को नोट (लिख) करके उसे कलश में तिस्थापित कर दिया जाता है। यदि इस प्रकार से 6 गेंदें नेकाली जाती हों तो निम्नलिखित प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए।
(i) सभी पर चिन्ह ‘X’ अंकित हो।
(ii) 2 से अधिक पर चिन्ह ‘Y’ नहीं अंकित हो।
(iii) कम-से-कम 1 गेंद पर चिन्ह ‘Y’ अंकित हो।
(iv) ‘x’ तथा ‘x’ चिन्हों से अंकित गेंदों की संख्याएँ नमान हों।
हल:
गेंदों की कुल संख्या = 25
X अंकित गेंदों की संख्या =10
माना X अंकित गेंदों की घटना X से व्यक्त करते हैं।
Y = Y गेंद की घटना

प्रश्न 6.
एक बाधा दौड़ में एक प्रतियोगी को 10 बाधाएँ पार करनी हैं। इसकी प्रायिकता कि वह प्रत्येक बाधा को पार कर  लेगा है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह 2 से कम बाधाओं को गिरा देगा (नहीं पार कर पाएगा)?
हल:
दौड़ प्रतियोगिता में कुल बाधाएँ = 10
∵ बाधा को पार करने की प्रायिकता = 
∴ बाधा को पार न करने की प्रायिकता
अतः 2 से कम बाधाओं को गिराने की प्रायिकता
= P (10) + P (2)

प्रश्न 7.
एक पासे को बार-बार तब तक उछाला जाता है जब तक कि उस पर 6 का अंक तीन बार प्राप्त नहीं हो जाता। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पासे पर तीसरा 6 का अंक उसे छठी बार उछालने पर प्राप्त होता है।
हल:
एक पासे को बार-बार उछाला जाता है।
एक उछाल में 6 का अंक आने की प्रायिकता = 
एक उछाल में 6 का अंक न आने की प्रायिकता

पासे पर 5 उछालों पर 2. बार 6 और 3 बार 6 न आने की प्रायिकता
= ⁵C₂
छठी बार उछालने में 6 आने की प्रायिकता = 
∴ पासे पर तीसरा 6 का अंक उसे छठी बार उछालने पर प्राप्त प्रायिकता

प्रश्न 8.
यदि एक लीप वर्ष को यादृच्छया चुना गया हो तो इसकी क्या प्रायिकता है कि उस वर्ष में 53 मंगलवार होंगे।
हल:
∵ एक लीप वर्ष में होते हैं = 366 दिन
अर्थात् 52 सप्ताह तथा 2 दिन (अलग से)
अतिरिक्त दो दिन हो सकते हैं
= (Mon, Tue), (Tue, Wed), (Wed, Thu), (Thu, Fri), (Fri, Sat), (Sat, Sun), (Sun, Mon)
सम्भावित परिणाम = 7
अनुकूल परिणाम = 2 (Mon, Tue) (Tue, Wed)
अतः 53 मंगलवार होने की प्रायिकता = 2/7

प्रश्न 9.
एक प्रयोग के सफल होने का संयोग उसके असफल होने से दो गुना है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अगले छः परीक्षणों में कम-से-कम 4 सफल होंगे।
हल:
माना सफल होने की प्रायिकता p तथा असफल होने की प्रायिकता q है।
एक प्रयोग के सफल होने का संयोग उसके असफल होने से दो गुना है।
⇒ p = 2q = 2 (1 – p) = 2 – 2p
∴ 3p = 2 या p =
∴ q = 
अगले छ: परीक्षणों में कम-से-कम 4 सफल होने की प्रायिकता
= P(4) + P(5) + P(6)

प्रश्न 10.
एक व्यक्ति एक न्याय्य सिक्के को कितनी बार उछाले कि कम-से-कम एक चित की प्रायिकता 90% से अधिक हो?
हल:
माना सिक्के को x बार उछाला गया है।
चित आने की प्रायिकता = 
तथा चित न आने की प्रायिकता
∴ कम-से-कम एक चित आने की प्रायिकता
इसलिए हम कम-से-कम एक चित की प्रायिकता ज्ञात करेंगे जो कि 90% (0.9) से अधिक हो।
अतः कम-से-कम एक चित आने की प्रायिकता > 0.9

अतः एक न्याय्य सिक्के को कम-से-कम 4 बार उछालना पड़ेगा।

प्रश्न 11.
एक खेल में किसी व्यक्ति को एक न्याय्य पासे को उछालने के बाद छः प्रकट होने पर एक रुपया मिलता है और अन्य कोई संख्या प्रकट होने पर वह एक रुपया हार जाता है। एक व्यक्ति यह निर्णय लेता है कि वह पासे को तीन बार फेंकेगा लेकिन जब भी छः प्राप्त होगा वह खेलना छोड़ देगा। उसके द्वारा जीती/हारी गई राशि की प्रत्याशा ज्ञात कीजिए।
हल:
जब पासे को उछालते हैं, तब 6 प्रकट होने की प्रायिकता

पहली उछाल में 6 प्रकट होने पर एक रुपया मिलता है।
दूसरी उछाल में 6 प्रकट होने पर (1 – 1) रुपये = 0 रुपये मिलते हैं।
तीसरी उछाल में 6 प्रकट होने पर प्राप्त होता है
= ( – 1 – 1 + 1) रुपये
=( – 1) Rs. = 1 रुपया कम

प्रश्न 12.
मान लीजिए हमारे पास A, B, Cऔर D बक्से हैं जिसमें रखी संगमरमर की लाल, सफेद और काली टुकड़ियों का विवरण निम्न तरीके से है यादृच्छया एक बॉक्स चुना जाता है तथा इससे एक टुकड़ा निकाला जाता है। यदि टुकड़ा लाल हो तो इसे बॉक्स A; बॉक्स B, बॉक्स C से निकाले जाने की क्या प्रायिकता है?

हल:
माना एक बॉक्स चुने जाने की घटना F है और लाल गेंद चुनने की घटना A है।

प्रश्न 13.
मान लीजिए किसी रोगी को दिल का दौरा पड़ने का संयोग 40% है। यह मान लिया जाता है कि ध्यान ओर योग विधि दिल का दौरा पड़ने के खतरे को 30% कम कर देता है और दवा द्वारा खतरे को 25% कम किया जा सकता है। किसी भी समय रोगी इन दोनों में से किसी एक विकल्प का चयन करता है। यह दिया गया है कि उपरोक्त विकल्पों से किसी एक का चुनाव करने वाले रोगियों से यादृच्छया चुना गया रोगी दिल के दौरे से ग्रसित हो जाता है। रोगी द्वारा ध्यान और योग विधि का उपयोग किए जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
माना E₁ = ध्यान और योग विधि का इलाज
E₂ = दवा द्वारा खतरे को कम किए जाने का इलाज
A = दिल के दौरे से रोगी
P(E₁) = , P(E₂) = 
माना P(A) = 40% = 0.40
दवा द्वारा दिल का दौरा पड़ने का 25% खतरा कम हो जाता है।
⇒ दवा द्वारा दिल का दौरा पड़ने से खतरा 75% है।

प्रश्न 14.
यदि 2 कोटि के एक सारणिक के सभी अवयव शून्य या एक हों तो सारणिक का धनात्मक मान होने की क्या प्रायिकता है। (मान लीजिए कि सारणिक के प्रत्येक अवयव स्वतन्त्र रूप से चुने जा सकते हैं तथा प्रत्येक की चुने जाने की प्रायिकता 1 है।)
हल:
यहाँ 2 कोटि के सारणिक में चार अवयव हैं।
∴ सारणिकों द्वारा बनाई गई संख्या = 2⁴ =16
सारणिक का मान धनात्मक है।

सारणिक का धनात्मक मान होने की प्रायिकता = 

प्रश्न 15.
एक इलेक्ट्रॉनिक एसेंबली के दो सहायक निकाय A और B हैं। पूर्ववर्ती निरीक्षण द्वारा निम्न प्रायिकताएँ ज्ञात हैं
P(A के असफल होने की) = 0.2
P(B के अकेले असफल होने की) = 0.15
P(A और B के असफल होने की) = 0.15
तो, निम्न प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए
(i) P(A असफल / B असफल हो चुकी हो)
(ii) P(A के अकेले असफल होने की)
हल:

= 0.20 – 0.15 = 0.05

प्रश्न 16.
थैला I में 3 लाल तथा 4 काली गेंदें हैं तथा थैला II में 4 लाल और 5 काली गेंदें हैं। एक गेंद को थैला 1 से थैला II में स्थानान्तरित किया जाता है और तब एक गेंद थैला II से निकाली जाती है। निकाली गई गेंद लाल रंग की है। स्थानान्तरित गेंद की काली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
थैला I में 3 लाल तथा 4 काली गेंदें हैं।
थैला II में 4 लाल तथा 5 काली गेंदें हैं।
माना E₁ = थैला I में लाल गेंद निकालने की घटना।
E₂ = थैला I में काली गेंद निकालने की घटना

माना लाल गेंद निकालने की घटना A है।

निम्नलिखित प्रश्नों में सही उत्तर का चुनाव कीजिए-

प्रश्न 1.
यदि A और B दो ऐसी घटनाएँ हैं कि P(A) ≠ 0 और P(BA) = 1, तब
(A) A ⊂ B
(B) B ⊂ A
(C) B = ϕ
(D) A = ϕ
हल:
= 1v

प्रश्न 2.
यदि  > P(A), तब निम्न में से कौन सही है।
(A)  < P(B)
(B) P(A ∩ B) < P (A). P (B) (C)  > P(B)
(D)  = P(B)
हल:

अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 3.
यदि A और B ऐसी दो घटनाएँ हैं कि P(A) + P (B) – P(A और B) = P(A), तब

हल:
P (A) + P (B) – P(A ∩ B) = P (A)
⇒ P(B) – P (A ∩ B) = 0
या P(A ∩ B) = P (B)

अतः विकल्प (B) सही है।

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