MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन
Ex 2.1
निम्नलिखित के मुख्य मानों को ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 1.
प्रश्न 2.
प्रश्न 3.
cosec-1(2)
हल :
माना y = cosec-1 (2)
⇒ cosec y = 2
cosec y = cosec 
⇒ cosec-1(cosec y) =
y =
अतः cosec-1 (2) का मुख्य मान =
प्रश्न 4.
प्रश्न 5.
प्रश्न 6.
tan-1(-1)
हल :
माना y = tan-1(1)
⇒ tan y = -1
प्रश्न 7.
sec-1 
हल :
माना y = sec-1
प्रश्न 8.
प्रश्न 9.
प्रश्न 10.
प्रश्न 11.
निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए
प्रश्न 12.
हल :
प्रश्न 13.
यदि sin-1 x = y तो
हल :
प्रश्न 14.
अतः विकल्प (B) सही है।
Ex 2.2
निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए-
प्रश्न 1.
3 sin-1 x = sin-1(3x – 4x3), x ϵ 
हल:
माना sin-1x = y
⇒ x = sin y
R.H.S. = sin-1 (3x – 4x3)
= sin-1(3 sin y – 4 sin3 y)
= sin-1 (sin 3y)
(∵ sin 3y = 3 sin y – 4 sin3y)
= 3y (∵ sin-1 sin x = x)
= 3 sin-1 x
= L.H.S.
अत: 3 sin-1x = sin-1(3x – 4x3)
प्रश्न 2.
3 cos-1 x = cos-1 (4x3 – 3x), x ϵ 
हल:
सिद्ध करना है
3cos-1 x = cos-1 (4x3 – 3x) …(1)
माना cos-1 = y
⇒ x = cosy
∴ समी० (1) का RH.S.
=cos-1(4x3 – 3x)
= cos-1 (4cos3 y – 3cos y)
=cos-1 (cos 3y)
= 3y
= 3cos-1x (∵ cos-1 x = y)
अत: 3cos-1 = cos-1 (4x3 – 3x)
प्रश्न 3.
प्रश्न 4.
निम्नलिखित फलनों को सरलतम रूप में लिखिए-
प्रश्न 5.
हल:
माना x = tan θ ⇒ θ = tan-1x
प्रश्न 6.
प्रश्न 7.
हल:
प्रश्न 8.
प्रश्न 9.
प्रश्न 10.
हल:
निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए
प्रश्न 11.
हल:
प्रश्न 12.
cot (tan-1 a + cot-1 a)
हल:
माना y = cot (tan-1a + cot-1a)
= cot 
[∵ tan-1a + cot-1a = ]
= 0 [∵ cot = 0]
प्रश्न 13.
|x| < 1, y > 0 तथा xy < 1
हल:
माना
प्रश्न 14.
यदि sin(sin-1 
+ cos-1x) = 1, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न 15.
हल:
प्रश्न संख्या 16 से 18 में दिए गए प्रत्येक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए-
प्रश्न 16.
हल:
माना y = , तब
प्रश्न 17.
प्रश्न 18.
प्रश्न 19.
cos-1(cos 
) का मान बराबर है-
हल:
cos-1[cos ]
cos-1 की मुख्य मान शाखा [0, π] है।
अत: विकल्प (B) सही है।
प्रश्न 20.
हल:
अत: विकल्प (D) सही है।
प्रश्न 21.
विविध प्रश्नावली
निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए-
प्रश्न 1.
हल:
माना y =
cos-1 की मुख्य मान शाखा का परिसर [0, π] है।
प्रश्न 2.
प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए-
हल:
प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए
हल:
यहाँ
प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए-
हल:
प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए-
प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए-
प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिए-
सिद्ध कीजिए
प्रश्न 9.
प्रश्न 10.
हल:
प्रश्न 11.
हल:
प्रश्न 12.
हल:
निम्नलिखित समीकरणों को सरल कीजिए।
प्रश्न 13.
2 tan-1(cosx) = tan-1(2cosec x)
हल:
2 tan-1(cosx) = tan-1(2 cosecx)
प्रश्न 14.
हल:
प्रश्न 15.
sin (tan-1x), |x| < 1 बराबर होता है-
हल:
sin (tan-1x)
माना tan-1x = θ
x = tanθ
प्रश्न 16.
यदि sin-1(1 – x) – 2 sin-1 x = , तो x का मान बराबर है-
(A) 0, 
(B) 1,
(C) 0
(D)
हल:
sin-1(1 – x) – 2sin-1 x =
हम जानते हैं, = sin-1(1 – x) + cos-1(1 – x)
∴ sin-1 (1 – x) – 2sin-1 x = sin-1 (1 – x) + cos-1 (1 – x)
⇒ -2sin-1 x = cos-1 (1 – x) … (1)
माना sin-1x = θ
∴ x = sin θ
∴ cos 2θ = 1 – 2sin2 θ = 1 – 2x2
cos (-2θ) = 1 – 2x2
-2θ = cos-1 (1 – 2x2)
-2sin-1 x = cos-1 (1 – 2x2) …(2)
समीकरण (1) व (2) से,
cos-1(1 – 2x2) = cos-1 (1 – x)
1 – 2x2 = 1 – x
x2 – 2x2 = 0
x(1 – 2x2) = 0 = x = 0, x =
x = समीकरण को सन्तुष्ट नहीं करता है।
∴ x = 0
अतः विकल्प (C) सही है।
प्रश्न 17.
The Complete Educational Website