MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 3 आव्यूह

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Ex 3.1

प्रश्न 1.

(i) आव्यूह की कोटि
(ii) अवयवों की संख्या
(iii) अवयव a₁₃, a₂₁, a₃₃, a₂₄, a₂₃
हल:
(i) आव्यूह A में पंक्तियों की संख्या = 3
तथा स्तम्भों की संख्या = 4
इसलिए आव्यूह की कोटि = 3 × 4
(ii) अवयवों की संख्या = 3 × 4 = 12 अवयव
(iii) a₁₃ = पहली पंक्ति व तीसरे स्तम्भ का अवयव = 19
इसी प्रकार,
a₂₁ = 35, a₃₃ =-5, a₂₄ = 12 तथा a₂₃ = 5/2

प्रश्न 2.
यदि किसी आव्यूह में 24 अवयव हैं तो इसकी संभव कोटियाँ क्या हैं? यदि इसमें 13 अवयव हों तो कोटियाँ क्या होंगी?
हल:
(i) 24 अवयवों वाले आव्यूह की संभव कोटियाँ निम्न प्रकार हैं
1 × 24, 24 × 1, 2 × 12, 12 × 2, 3 × 8, 8 × 3, 4 × 6, 6 × 4
(ii) 13 अवयवों वाले आव्यूह की कोटियाँ = 1 × 13 और 13 × 1

प्रश्न 3.
यदि किसी आव्यूह में 18 अवयव हैं तो इसकी संभव कोटियाँ क्या हैं? यदि इसमें 5 अवयव हों तो क्या होगा?
हल:
(i) 8 अवयवों वाले आव्यूह की कोटियाँ निम्न प्रकार हैं- 18 × 1, 2 × 9, 3 × 6, 6 × 3, 9 × 2, 1 × 18
(ii) 5 अवयवों वाले आव्यूह की कोटियाँ = 1 × 5, 5 × 1

प्रश्न 4.
एक 2 × 2 आव्यूह A = [a_ij] की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार से प्रदत्त हैं-

हल:

प्रश्न 5.
एक 3 × 4 आव्यूह की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार से प्राप्त होते हैं-
(i) a_ij = |-3i + j|
(ii) a_ij = 2i – j
हल:

प्रश्न 6.
निम्नलिखित समीकरणों से x, y तथा z के माम ज्ञात कीजिए-

हल:

∵ दोनों आव्यूह समान हैं
∴ संगत अवयवों को समान रखने पर
4 = y ⇒ y = 4
3 = z ⇒ 2 = 3
तथा x = 1
अतः x = 1, y = 4 तथा z = 3

दो आव्यूहों की समानता परिभाषा. से संगत अवयवों को समान रखने पर,
x + y = 6 ⇒ y = 6 – x
तथा xy = 8
⇒ x (6 – x) = 8 ⇒ 6x – x² = 8
x² – 6x + 8 = 0
⇒ (x – 4)(x – 2) = 0 ⇒ x = 4, 2
∴ y = 2, 4
तथा 5 + z = 5 ⇒ z = 0
अत: x = 4, y = 2 तथा z = 0 अथवा x = 2, y = 4 व z = 0

दोनों आव्यूहों के संगत अवयवों को समान रखने पर,
x + y + z = 9 …. (i)
x + z = 5 … (ii)
y + z = 7 … (iii)
समी (i) व (iii) से,
x + 7 = 9 ⇒ x²
x का मान (ii) में रखने पर,
2 + z = 5 ⇒ z = 3
तथा y = 7 – 3 = 4
अतः x = 2, y = 4 तथा z = 3

प्रश्न 7.
समीकरण  से a, b, c तथा d के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दोनों आव्यूह के संगत अवयवों को समान रखने पर,
a – b = -1 …(i)
2a – b = 0 ⇒ 2a = b …(ii)
2a + c = 5 ….(iii)
तथा 3c + d = 13 ….(iv)
समी० (i) व (ii) से,
a – 2a = -1 ⇒ a = -1
∴ b = 2
समी० (iii) से,
2 (1) + c = 5
⇒ c = 5 + 2 = 7
समी० (iv) 3c + d = 13
d = 13 – 21 = 8
अतः a = 1, b = -2, c = 7 तथा d = 8

प्रश्न 8.
A = [a_ij]_m×n एक वर्ग आव्यूह है यदि
(A) m < n (B) m > n
(C) m = n
(D) इनमें से कोई नहीं
हल:
वर्ग आव्यूह में पंक्तियों की संख्या स्तम्भों की संख्या के समान है।
m = n
अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 9.
x तथा y के प्रदत्त किन मानों के लिए आव्यूहों के निम्नलिखित युग्म समान हैं-

हल:
दिए हुए आव्यूह समान हैं।
3x + 7 = 0 ⇒ 3x = -7 ∴ x =
तथा 5 = y – 2 ⇒ 5 + 2 = y ∴ y = 7
2 – 3x = 4 ⇒ -3x = 4 – 2
⇒ -3x = 2 ∴ x =
x के दो मान  और  हैं। यह नहीं हो सकता।
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 10.
3 × 3 कोटि के ऐसे आव्यूहों की कुल कितनी संख्या होगी जिनकी प्रत्येक प्रविष्टि 0 या 1 है?
(A) 27
(B) 18
(C) 81
(D) 512
हल:
3 × 3 कोटि के 9 अवयव हों तो प्रत्येक स्थान पर 0 या 1 रख सकते हैं।
0 के स्थानों को भरने के लिए 2⁹ = 512 तरीके हो सकते हैं।
∴ सम्भव आव्यूहों की संख्या = 512
अतः विकल्प (D) सही है।

Ex 3.2

प्रश्न 1.
मान लीजिए कि

(i) A + B
(ii) A – B
(iii) 3A – C
(iv) AB
(v) BA
हल:

प्रश्न 2.
निम्नलिखित को परिकलित कीजिए-

हल:

प्रश्न 3.
निर्देशित गुणनफल परिकलित कीजिए-

हल:

प्रश्न 4.
यदि

तो (A + B) तथा (B – C) परिकलित कीजिए। साथ ही सत्यापित कीजिए कि A + (B – C) = (A + B) – C
हल:

प्रश्न 5.
यदि

तो 3A – 5B परिकलित कीजिए।
हल:

प्रश्न 6.
सरल कीजिए-

हल:

प्रश्न 7.
X तथा Y ज्ञात कीजिए यदि-

हल:
दिया है

प्रश्न 8.
X तथा Y ज्ञात कीजिए यदि

प्रश्न 9.
x तथा y ज्ञात कीजिए. यदि-

हल:

संगत अवयवों के गुणांकों की तुलना करने पर,
y + 2 = 5 ⇒ y = 3
तथा 2x + 2 = 8 ⇒ x = 3

प्रश्न 10.
प्रदत्त समीकरण को x, y, z तथा t के लिए हल कीजिए यदि

हल:

संगत अवयवों के गुणांकों की तुलना करने पर,
2x + 3 = 9 ⇒ x = 3
2y = 12 ⇒ y = 6
तथा 2z – 3 = 15 ⇒ z = 9
2t + 6 = 18 ⇒ t = 6

प्रश्न 11.

हल:

संगत अवयवों के गुणांक समान रखने पर,
⇒ -2x – y = 10 …(i)
3x + y = 5 …. (ii)
समी० (i) व (ii) को जोड़ने पर,
x = 15
x का मान समी० (ii) में रखने पर,
3 × 15 + y = 5
⇒ y = 5 – 45
y = -40
अतः x = 15, y = -40

प्रश्न 12.
यदि

x, y, z तथा w के मानों को ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 13.

प्रश्न 14.
दशाईए कि-

हल:

प्रश्न 15.

प्रश्न 16.
यदि A =  है तो सिद्ध कीजिए कि A³ – 6A² + 7A + 2I = 0
हल:

प्रश्न 17.
यदि  एवं
A² = AK – 2I हो तो k ज्ञात कीजिए।
हल:

दिया है : A² = AK – 2I

संगत अवयवों के गुणांकों की तुलना करने पर,
3k – 2 = 1 ⇒ k = 1
4k = 4 ⇒ k = 1
-2k = -2 ⇒ k = 1
अतः k का मान =1
k = 1

प्रश्न 18.

हल:

प्रश्न 19.
किसी व्यापार संघ के पास 30000 रुपयों का कोष है, जिसे दो भिन्न-भिन्न प्रकार के बांडों में निवेशित करना है। प्रथम बांड पर 5%वार्षिक तथा द्वितीय बांड पर 7% वार्षिक ब्याज प्राप्त होता है। आव्यूह गुणन के प्रयोग द्वारा यह निर्धारित कीजिए कि 30000 रुपयों के कोष को दो प्रकार के बांडों में निवेश करने के लिए किस प्रकार बांटें जिससे व्यापार संघको प्राप्त कुल वार्षिक ब्याज
(i) Rs. 1800 हो।
(ii) Rs. 2000 हो।
हल:
माना 30,000 रुपये के दो भाग क्रमश: x तथा (30000 – x) है।
माना इन्हें 1 × 2 की कोटि वाली आव्यूह A में प्रदर्शित किया मया है, तब
A =[x (30,000 – x)]
प्रथम बांड व द्वितीय बांड पर क्रमश: 5% व 7% वार्षिक है
माना इन्हें 2 × 1 की कोटि की आव्यूह R से प्रदर्शित किया गया है

⇒ [0.05x + (30,000 – x) 0.07] = [1,800]
⇒ 0.05x + (30,000 – x) × 0.07 = 1,800
⇒ 0.05x + 2,100 – 0.07x = 1,800
⇒ -0.02x = -300
⇒ x =  = 15,000
अतः प्रथम बांड में जमा धनराशि = 15,000
तथा दूसरे बांड में जमा धनराशि = 30,000 – 15,000
= 15,000 रु०

(ii) पुन: AR = 2,000

⇒ 0.05x + (30,000 – x) × 0.07 = 2000
⇒ 0.05x + 2,100 – 0.07x = 2000
⇒ 0.02x = -100
⇒ x = 5,000
अतः प्रथम बांड में निवेश धनराशि =5,000 रु०
तथा दूसरे बांड में निवेश धनराशि = 25,000 रु०

प्रश्न 20.
किसी स्कूल की पुस्तकों की दुकान में 10 दर्जन रसायन विज्ञान, 8 दर्जन भौतिक विज्ञान तथा 10 दर्जन अर्थशास्त्र की पुस्तकें हैं। इन पुस्तकों का विक्रय मूल्य क्रमशः Rs. 80, Rs. 60 तथा Rs. 40 प्रति पुस्तक है। आव्यूह बीजगणित प्रयोग द्वारा ज्ञात कीजिए कि सभी पुस्तकों को बेचने से दुकान को कुल कितनी धनराशि प्राप्त होगी?
हल:
विद्यालय में पुस्तकों की संख्या निम्न प्रकार है-
रसायन विज्ञान – 10 दर्जन- = 120 पुस्तकें
भौतिक विज्ञान – 8 दर्जन = 96 पुस्तकें
अर्थशास्त्र – 10 दर्जन = 120 पुस्तकें
ड्डसे आव्यूह A = [120 96 120] से व्यक्त करते हैं।
रसायन विज्ञान, भौतिक विज्ञान तथा अर्थशास्त्र की प्रत्येक पुस्तक का विक्रय मूल्य क्रमशः 80 रु०,60 रु० तथा 40 रु० है।

= 120 × 80 + 96 × 60 + 120 × 40
= [9600 + 5760 + 4800] = [20160]
अतःकुल प्राप्त राशि = 20160 रु०
मान लीजिए कि X, Y, z,W तथा P क्रमशः 2 × n, 3 × k, 2 × p, n × 3 तथा px k कोटियों के आव्यूह हैं।

नीचे दिए प्रश्न संख्या 21 तथा 22 में सही उत्तर चुनिए।
प्रश्न 21.
PY + WY के परिभाषित होने के लिए n, k तथा p पर क्या प्रतिबन्ध होगा?
(A) k = 3, p = n
(B) k स्वेच्छ है, p = 2
(C) p स्वेच्छ है, k = 3
(D) k = 2, p = 3
हल:
दिया है : आव्यूह : X Y ZWP
कोटियाँ : 2 × n, 3 × k, 2 × p, n × 3, p × k
∴ P की कोटि = p × k, Y की कोटि = 3 × k
∴ PY संभव है यदि k = 3
PY की कोटि = p × k = p × 3
W और Y की कोटियाँ क्रमश: n × 3 और 3 × k = 3 × 3
WY की कोटि =n × 3
PY व WY का योग तभी संभव है जब यह दोनों एक ही कोटि के हों तो
p × 3 = n × 3 = P × n
∴ PY + WY परिभाषित हैं यदि p = n और k = 3
अतः विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 22.
यदि n = p, तो आव्यूह 7X – 5Z की कोटि है
(A) p × 2
(B) 2 × n
(C) n × 3
(D) p × n
हल:
आव्यूह x तथा Z की कोटियाँ 2 × n और 2 × p हैं।
आव्यूह 7X – 5Z परिभाषित है यदि x तथा Z एक ही कोटि के हों, क्योंकि p = n दोनों की कोटि 2 × n है।
अतः विकल्प (B) सही है।

Ex 3.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित आव्यूहों में से प्रत्येक का परिवर्त ज्ञात कीजिए-

हल:
यहाँ पंक्तियों को स्तम्भों में, स्तम्भों को पंक्तियों में बदलने पर,

प्रश्न 2.



अतः (A – B)’ = A’ – B’

प्रश्न 3.

(i) (A + B)’ = A’ + B’
(ii) (A – B)’ = A’ – B’
हल:

प्रश्न 4.

प्रश्न 5.
A तथा B आव्यूहों के लिए सत्यापित कीजिए कि (AB)’ = B’A’, जहाँ

हल:

प्रश्न 6.

प्रश्न 7.

हल:

अतः आव्यूह A एक विषम सममित आव्यूह है।

प्रश्न 8.

(i) (A + A’) एक समित आव्यूह है।
(ii) (A – A’) एक विषम सममित आव्यूह है।
हल:


अतः (A – A’) एक विषम सममित आव्यूह है।

प्रश्न 9.

हल:

प्रश्न 10.
निम्नलिखित आव्यूहों को एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त कीजिए-

हल:

Ex 3.4

प्रश्न संख्या 1 से 17 तक के आव्यूहों के व्युत्क्रम, यदि उनका अस्तित्व है तो प्रारम्भिक रूपान्तरण के प्रयोग से ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 1.

हल:

प्रश्न 2.

हल:

प्रश्न 3.

हल:

प्रश्न 4.

हल:

प्रश्न 5.

हल:

प्रश्न 6.

हल:

प्रश्न 7.

हल:

प्रश्न 8.

हल:

प्रश्न 9.

हल:

प्रश्न 10.

हल:

प्रश्न 11.

हल:

प्रश्न 12.

हल:

पहली पंक्ति में दोनों अवयव शून्य हैं।
अत: A का व्युत्क्रम A^-1 का अस्तित्व नहीं है।

प्रश्न 13.

हल:

प्रश्न 14.

हल:

दूसरी पंक्ति में दोनों अवयव शून्य हैं।
अतः A के व्युत्क्रम का अस्तित्व नहीं है।

प्रश्न 15.

हल:

प्रश्न 16.

हल:

प्रश्न 17.

हल:

विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
मान लीजिए कि A =  हो तो दिखाइए कि सभी nEN के लिए (aI + bA)ⁿ = aⁿI + na^n-1 bA, जहाँ I कोटि 2 का तत्समक आव्यूह है।
हल:

प्रश्न 2.


हल:



∴ P(n) सत्य है n = k +1 के लिए,
इसलिए गणितीय आगमन सिद्धान्त के अनुसार p(n), n के सभी n ϵ N मान के लिए सत्य है जब n ϵ N.

प्रश्न 3.

हल:

∴ P(n) सत्य है n = k + 1 के लिए
इसलिए गणितीय आगमन सिद्धान्त के अनुसार P(n), n ϵ N के सभी मानों के लिए सत्य है। n ϵ N.

प्रश्न 4.
यदि A तथा B सममित आव्यूह हैं तो सिद्ध कीजिए कि AB – BA एक विषम सममित आव्यूह है।
हल:
यदि A और B सममित आव्यूह हैं।
∴ A’ = A और B’ = B
(AB – BA) = (AB)’ – (BA)’ [∵ (X – Y) = X’ – Y’]
= B’A’ – A’B’ [∵ (XY) =Y’X’]
= BA – AB [∵ B’ = B, A’ = A]
= – (AB – BA)
∴ AB – BA एक विषम सममित आव्यूह है।

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि आव्यूह B’ AB सममित अथवा विषम सममित है, यदि A सममित अथवा विषम सममित है।
हल:
(i) माना A सममित आव्यूह है।
तब A’ = A
∴ (B’ AB) = (B’ (AB)) =(AB)'(B’)’
= (B’A’)B
=B’ AB [∵ (AB)’ = B’A’ और A’ = A]
⇒ B’ AB एक सममित आव्यूह है।

(ii) माना A विषम सममित आव्यूह है।
∴ A’ = -A
अब, (B'(AB))’ = (AB)’ (B’)’ = (B’A’)B
= B'(-A)B = – B’ AB [∵ A’ = -A]
=-(B’ AB)
अत: B’ AB एक विषम सममित आव्यूह है।

प्रश्न 6.
x, y तथा z के मानों को ज्ञात कीजिए, यदि आव्यूह A =  समीकरण A’ A = I को सन्तुष्ट करता है।
हल:

प्रश्न 7.
x के किस मान के लिए

हल:

प्रश्न 8.

हल:

प्रश्न 9.

हल:

प्रश्न 10.
एक निर्माता तीन प्रकार की वस्तुएँ, x, y तथा z का उत्पादन करता है जिनका वह दो बाजारों में विक्रय करता है। वस्तुओं की वार्षिक बिक्री नीचे सूचित (निदर्शित) है-

(a) यदि x, y तथा z की प्रत्येक इकाई का विक्रय मूल्य क्रमश: Rs. 2.50, Rs. 1.50 तथा Rs. 1.00 है तो प्रत्येक बाजार में कुल आय (Revenue), आव्यूह बीजगणित की सहायता से ज्ञात कीजिए।
(b) यदि उपर्युक्त तीन वस्तुओं की प्रत्येक इकाई की लागत (Cost) क्रमश: Rs. 2.00, Rs. 1.00 तथा पैसे 50 है तो कुल लाभ (Gross Profit) ज्ञात कीजिए।
हल:
(a) वार्षिक बिक्री निम्नलिखित है-

अतः प्रत्येक बाजार से आय रु० 46,000 तथा 53,000 रु० है|

(b) प्रत्येक उत्पाद x, y, z की प्रत्येक इकाई का क्रय मूल्य क्रमशः 2.00,1: 00 तथा 0:50 रु० है।
आव्यूह रूप में लिखने पर,

पहले बाजार का लाभ = विक्रय मूल्य – क्रय मूल्य
46000 – 31000 = 15000 रु०
दूसरे बाजार का लाभ = 53000 – 36000 = 17000 रु०

प्रश्न 11.
आव्यूह X ज्ञात कीजिए, यदि

हल:

प्रश्न 12.
यदि A तथा B समान कोटि के वर्ग आव्यूह इस प्रकार हैं कि AB = BA है तो गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध कीजिए कि ABⁿ = BⁿA होगा। इसके अतिरिक्त सिद्ध कीजिए कि समस्त n ϵ N के लिए (AB)ⁿ = AⁿBⁿ होगा।
हल:
माना P(n): ABⁿ = BⁿA, जबकि AB = BA
किन्तु n = 1, AB = BA (दिया है)
∴ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
माना P(n) सत्य है, n = k के लिए,
∴ AB^k = B^k A सत्य है।
दोनों ओर B से गुणा करने पर,
L.H.S. = AB^k . B = A (B^k B) = AB^k+1
R.H.S. = (B^k A)B = B^k (AB)
= B^k (BA)
= (B^k B) A = B^k+1A [∵ AB = BA दिया है]
∴ AB^k+1 = B^k+1A
⇒ P(n) सत्य है, n = k + 1 के लिए
इसलिए गणितीय · आगमन सिद्धान्त के अनुसार P(n), n ϵ N के सभी मानों के लिए सत्य है, जबकि n ϵ N
माना P(n): (AB)ⁿ = AⁿBⁿ
n = 1 रखने पर,
L.H.S. = (AB)’ = AB
R.H.S. = A’B’ = AB
P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
माना P(n) सत्य है, n = k के लिए.
(AB)^k = A B^k
दोनों पक्षों को AB से गुणा करने पर,
L.H.S. = (AB)^k AB = (AB)^k+1
R.H.S. = A^k B^k . (AB)
= A^k B^k (BA) [∵ AB = BA दिया है।]
= A^k (B^k B)A
= A^k (B^k+1A) [∵ AB^k = B^kA]
= (A^k A)B^k+1 = A^k+1. B^k+1
अतः (AB)^k+1 = A^k+1. B^k+1
∴ P(n) सत्य है, n = k + 1 के लिए, . .
गणितीय आगमन सिद्धान्त के अनुसार P(n), n ϵ N के सभी मानों के लिए सत्य है जबकि n ϵ N.

निम्नलिखित प्रश्नों में सही उत्तर चुनिए-
प्रश्न 1.

(A) 1 + α² + βγ = 0
(B) 1 – α² + βγ = 0
(C) 1 – α² – βγ = 0
(D) 1 + α² + βγ = 0
हल:

α² + βγ = 1 या 1 – α² – βγ = 0
अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 2.
यदि एक आव्यूह सममित तथा विषम सममित दोनों ही है तो:
(A) A एक विकर्ण आव्यूह है।
(B) A एक शून्य आव्यूह है।
(C) A एक वर्ग आव्यूह है।
(D) इनमें से कोई नहीं।
हल:
सममित आव्यूह में, a_ij = a_ji …(1)
विषम सममित आव्यूह में, a_ij = -a_ji …(2)
सममित और विषम सममित आव्यूह में दोनों गुण होने चाहिए (1) और (2) को जोड़ने पर,
यदि 2a_ij = a_ij – a_ji = 0
⇒ a_ij = 0
a_ij = a_ji 0
∴ वर्ग आव्यूह एक शून्य आव्यूह (zero matrix) होगा।
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 3.
यदि A एक वर्ग आव्यूह इस प्रकार है कि A = A तो (I + A)³ – 7A बराबर है-
(A) A
(B) I – A
(C) I
(D) 3A
हल:
दिया है : A² = A
∵ A³ = A². A
= A.A = A² = A
∴ (I + A)³ – 7A = I³ +3i² A + 3IA² + A³ – 7A
= I³ + 3IA + 3IA² + A³ – 7A
= I + 3A + 3A² + A³ – 7A
= I + 3A + 3A + A² . A – 7A
= I + 3A + 3A + A – 7A
= 7A – 7A + I
अतः विकल्प (C) सही है।

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