MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 4 सारणिक

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Ex 4.1

प्रश्न 1 से 2 तक में सारणिकों का मान ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1.

प्रश्न 2.

=cose θ cosθ – (sin θ) × (-sin θ)
= cos²θ + sin²θ
= 1

= (x² – x + 1)(x + 1) – (x + 1)(x – 1)
= (x + 1) – (x² – 1) = x³ + 1 – x² + 1
= x³ – x² + 2

प्रश्न 3.

प्रश्न 4.

हलः

प्रश्न 5.
निम्नलिखित सारणिकों का मान ज्ञात कीजिए-

हल:



= 0[0-(-3) × 3][-1 × 0 – (-3) × (-2)] + 2[3 × (-1) – (-2) × 0]
= 0 × 9 – 1[0 – 6] + 2[-3 – 0]
= 0 – 1 × (-6) + 2 × (-3)
= 6 – 6 = 0

= 2[2 × 0 – (-1) × (-5)] + 1[0 × 0 – (-1) × 3] – 2[0 × (-5) – 2 × 3]
= 2[0 – 5] + 1[0 + 3] – 2 × [0 – 6]
= 2 × (-5) + 1 × 3 – 2 × (-6)
= -10 + 3 + 12 = -10 + 15 = 5

प्रश्न 6.

हल:

प्रश्न 7.
x के मान ज्ञात कीजिए यदि

हल:

⇒ 2 – 20 = 2x² – 24
⇒ -18 = 2x² – 24
⇒ 2x² – 24 +18 = 0
⇒ 2x² -6 =0
⇒ x² = 3
⇒ x = ±√3

⇒ 10 – 12 = 5x – 6x
-2x³ = – x
x = 2

प्रश्न 8.
यदि  हो तो x बराबर है-
(A) 6
(B) ±6
(C) -6
(D) 0
हल:

⇒ x × x -2 × 18 = 6 × 6 – 2 × 18
⇒ x² – 36 = 36 – 36
⇒ x² – 36 = 0
⇒ x = 36
∴ x = ±6
अतः विकल्प (B) सही है।

Ex 4.2

बिना प्रसरण किए और सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके निम्नलिखित प्रश्न 1 से 5 को सिद्ध कीजिए-

प्रश्न 1.

हल:

प्रश्न 2.

हल:

प्रश्न 3.

हल:

प्रश्न 4.

हल:

प्रश्न 5.

हल:

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके प्रश्न 6 से 14 तक को सिद्ध कीजिए-

प्रश्न 6.

हल:

= 0 – a(0 + bc) – b(-ac + 0)
= -abc + abc
= 0
= R.H.S.

प्रश्न 7.

हल:

प्रश्न 8.

हल:

प्रश्न 9.

हल:


= (x – y)(y – z)(z – x)[(z² – xy) – z(x + y + z)]
= (x – y)(y – z)(z – x)[z² – xy – xz – zy –z²]
= (x – y)(y – z)(z – x)[-(xy + yz + zx)]
= -(x – y)(y – z)(z – x)(xy + yz + zx)= R.H.S.

प्रश्न 10.

हल:

प्रश्न 11.

हल:

प्रश्न 12.

हल:


= (1 – x)² (1 + x + x²)[1 + x(1 + x)]
= (1 – x)² (1 + x + x² )[1 + x + x²]
= (1 – x)² (1 + x + x²)²
= [(1 – x)(1 + x + x²)]²
= (1 – x³)² = R.H.S.

प्रश्न 13.

हल:

प्रश्न 14.

हल:

R₁ के अनुदिश प्रसरण करने पर
∆ = (a² + 1)[(b² + 1)(c² + 1) – bc.cb] – ab [ab (c² + 1) – bc.ca] + ac[ab. cb – ac.b² + 1]
= (a² + 1)[b²c² + b² + c² + 1 – b²c²] – ab[abc² + ab – abc] + ac[ab²c – acb² – ac]
= (a² + 1)(b² + c² + 1) – ab (ab) – ac (ac)
=a²b² + a²c² + a² + b² + c² + 1 – a²b² – a²c²
= 1 + a² + b² + c²

Ex 4.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित प्रत्येक में दिए गए शीर्ष बिन्दुओं वाले त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(i) (1, 0), (6, 0), (4, 3)
(ii) (2, 7), (1, 1), (10, 8)
(iii) (-2, -3), (3, 2), (-1, -8)
हल:
(i) (1, 0), (6, 0), (4, 3)
त्रिभुज का क्षेत्रफल :

= [1(0 – 3) – 0(6 -4 ) + 1(18 – 0)]
= [-3 + 18]
=  वर्ग इकाई

(ii) (2, 7), (1, 1), (10, 8) x₁ = 2 y₁ = 7, x₂ = 1, y₂ = 1, x₃ = 10, y₃ = 8

= [2(1 × 1 – 1 × 8) – 7(1 × 1 – 10 × 1) + 1(1 × 8 – 10 × 1)]
= [2 × (1 – 8) – 7(1 – 10) + 1(8 – 10)]
= [2 × (-7) – 7 × (-9) + 1 × (-2)]
= [-14 + 63 – 2] = [63 – 16]
= × 47 =  = 23 वर्ग इकाई

(iii) (-2, -3), (3, 2), (-1, -8) त्रिभुज का क्षेत्रफल

= [-2(2 + 8) + 3 (3 + 1) + 1(-24 + 2)]
= [-20 + 12 – 22]
= [-30] = [30] ऋणात्मक चिन्ह को छोड़ने पर
= 15 वर्ग इकाई

प्रश्न 2.
दर्शाइए कि बिन्दु A (a, b + c), B (b, c + a) और C(c, a + b) संरेख हैं।
हल:
यहाँ त्रिभुज के शीर्ष A (a, b+ c),B (b, c + a) और C(c, a + b)
x₁ = a x₂ = b x₃ = c y₁ = b + c y₂ = c + a y₃ = a + b

C₁ तथा C₃ समान हैं।
अतः बिन्दु A, B, C संरेख हैं।

प्रश्न 3.
प्रत्येक में k का मान ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुजों का क्षेत्रफल 4 वर्ग इकाई है, जहाँ शीर्षबिन्दु निम्नलिखित हैं-
(i) (k, 0), (4, 0), (0, 2)
(ii) (-2, 0), (0, 4), (0, k)
हल:
(i) (k, 0), (4, 0), (0, 2)
त्रिभुज का क्षेत्रफल = 4 वर्ग इकाई

⇒ [k(-2) + 0 + 1(8)] = ±4
⇒ -k + 5 = ±4
⇒ k= 0 या 8

(ii) त्रिभुज के शीर्ष (-2, 0), (0, 4), (0, k)
x₁ = -2, x₂ = 0, x₃ = 0
y₁ = 0, y₂₁ = 4, y₃ = k

±4 = [-2(4 – k) + 1(0 – 0)]
±8 = -2(4 – k) ⇒ ±8 = k – 8
+ चिह्न लेने पर, 8 = 2k – 8 ⇒ 2k = 16 ∴ k = 8
-चिह्न लेने पर, -8 = 2k – 8 ∴ k = 0

प्रश्न 4.
(i) सारणिकों का प्रयोग करके (1, 2) और (3, 6) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
(ii) सारणिकों का प्रयोग करके (3, 1) और (9, 3) को मिलाने वाली,रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) माना बिन्दु A (1, 2) व B(3, 6) से मिलाने वाले रेखाखण्ड पर स्थित बिन्दु P(x, y) हैं।
इसलिए बिन्दु A, B, P संरेख होंगे।
∴ ∆PAB का क्षेत्रफल = 0

⇒ x (2 – 6) – y(1 – 3) + 1(6 – 6) = 0
⇒ -4x + 2y = 0
⇒ 2x – y = 0
अतः अभीष्ट रेखा का समी० 2x – y = 0 है।

(ii) माना कोई बिन्दु (x, y) है।
तो त्रिभुज के शीर्ष (x, y), (3, 1) और (9, 3)

∆ = [x × (-2) – y(-6) + 1 × 0]
∆ = [-2x + 6y] = -x + 3y
बिन्दु (x, y), (3, 1), (9, 3) संरेख हैं।
यदि ∆ = 0
∴ 0 = -x + 3y ⇒ x – 3y = 0

प्रश्न 5.
यदि शीर्ष (2, -6), (5, 4) और (k, 4) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 35 वर्ग इकाई है तो k का मान है
(A) 12
(B) -2
(C) -12, -2
(D) 12 ,-2
हल:
त्रिभुज के शीर्ष (2, -6), (5, 4) तथा (k, 4)

±35 = [2(4 – 4) + 6(5 – k) + 1(20 -4k)]
±35 =  [2 x 0 + 6(5 – k) + 1(20 – 4k)]
±70 = 6(5 – k) + 20 – 4k
±70 = 30 – 6k + 20 – 4k
±70 = 50 = 10k ⇒ ±7 – 5 – k
+ चिह्न लेने पर, 7 = 5 – k
k = 5 – 7 = -2
– चिह्न लेने पर, -7 = 5 – k ⇒ -12 = -k
∴ k = 12
अतः k = -2, 12
अत: विकल्प (D) सही है।

Ex 4.4

निम्नलिखित सारणिकों के अवयवों के उपसारणिक एवं सहखण्ड लिखिए।

प्रश्न 1.

हल:

a₁₁ का उपसारणिक M₁₁ = 3
a₁₂ का उपसारणिक M₁₂ = 0
a₂₁ का उपसारणिक M₂₁ = -4
a₂₂ का उपसाराणिक M₂₂ = 2
a₁₁ का सहखण्ड = A₁₁ = (-1)¹⁺¹
M₁₁ = (-1)² × 3 =3
a₁₂ का सहखण्ड = A₁₂ = (-1)¹⁺²
M₁₂ = (-1)³ × 0 = 0
a₂₁ का सहखण्ड = A₁₃ = (-1)² + 1
M₂₁ = (-1)³ × (-4) = 4
a₂₂ का सहखण्ड = A₂₂ = (-1)²⁺²
M₂₂ = (-1)⁴ × 2 = 2

(ii) यहाँ सारणिक  के अवयवों के उपसारणिक निम्न हैं-
M₁₁ = d
M₁₂ = b
M₂₁ = c
M₂₂ = a
इसलिए सहखंड निम्न होंगे-
A₁₁ = d
A₁₂ = -b
A₂₁ = -c
तथा A₂₂ = 1

प्रश्न 2.

हल:


A₁₁ = (-1)¹⁺¹ M₁₁ = (-1)² × 1 = 1
A₁₂ = 1¹⁺² M₁₂ = (-1)³ × 0= 0
A₁₃ = (-1)¹⁺³ M₁₃ = (-1)⁴ × 0 = 0
A₂₁ = (-1)²⁺¹ M₂₁ = (-1)³ × 0 = 0
A₂₂ = (-1)²⁺² M₂₂ = (-1)⁴ × 1 = 1
A₂₃ = (-1)²⁺³ M₂₃ = (-1)⁵ × 0 = 0
A₃₁ =(-1)³⁺¹ M₃₁ = (-1)⁴ × 0 = 0
A₃₂ = (-1)³⁺² M₃₂ = (-1)⁵ × 0= 0
A₃₃ = (-1)³⁺³ M₃₃ = (-1)⁶ × 1 = 1

(ii) यहाँ  उपसारणिक और सहखण्ड की परिभाषां से a₁ का उपसारणिक M₁ =  = 10 + 1 = 11
हल:

प्रश्न 3.
दूसरी पंक्ति के अवयवों के सहखण्डों का प्रयोग करके ∆ =  का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

दूसरी पंक्ति से सारणिक का विस्तार करने पर,
∆ = a₂₁ A₂₁ + a₂₂ A₂₂ + a₂₃ A₂₃
= 2 × 7 + 0 × 7 + 1 × (-7)
= 14 + 0 – 7 = 7

प्रश्न 4.
तीसरे स्तम्भ के अवयवों के सहखण्डों का प्रयोग करके ∆ =  का मान ज्ञात कीजिए।
हल:


∴ ∆ = a₁₃ A₁₃ + a₂₃ A₂₃ + a₃₃ A₃₃
= yz (z – y) + zx (-z + x) + xy(y – x)
= yz² – y²z – xz² + x²z + xy² – x²y
= (-y²z + yz²) + (y² – xz²) + (-x²y + x²z)
= – yz (y – z) + x(y² – z² ) – x²(y – z)
= (y – z)[-yz + x (y + z) – x²]
= (y – z)[z (x – y) – x(x – y)]
= (y – z)(x – y)(z – x)
= (x – y)(y – z)(z – x)

प्रश्न 5.
यदि ∆ =  और a_ij का सहखण्ड A_ij हो तो ∆ का मान निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जाता है
(A) A₁₁ A₃₁ + a₁₂ A₃₂ + a₁₃ A₃₃
(B) a₁₁ A₁₁ + a₁₂ A₂₁ + a₁₃ A₃₁
(C) a₂₁ A₁₁ + a₂₂ A₁₂ + a₂₃ A₁₃
(D) a₁₁ A₁₁ + a₂₁ A₂₁ + a₃₁ A₃₁
हल:
∆ = किसी पंक्ति (या स्तम्भ) के अवयवों तथा उनके संगत सहखण्डों के गुणन का योग
C₁ स्तम्भ के अवयव (a₁₁, a₂₁, a₃₁)
इनमें सहखण्ड a₁₁, A₂₁, A₃₁
⇒ ∆ = a₁₁ A₁₁ + a₂₁ A₂₁ + a₃₁ A₃₁
अत: विकल्प (D) सही है।

Ex 4.5

प्रश्न 1 और 2 में प्रत्येक आव्यूह का सहखंडज E (adjoint) ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.

हल:

प्रश्न 2.

हल:

प्रश्न 3 और 4 में सत्यापित कीजिए कि A (adj A) = (adj A). A =|A|. I है।

प्रश्न 3.

हल:

प्रश्न 4.

हल:

प्रश्न 5 से 11 में दिए गए प्रत्येक आव्यूहों के व्युत्क्रम (जिनका अस्तित्व हो) ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 5.

हल:

प्रश्न 6.

हल:

प्रश्न 7.

हल:


प्रश्न 8.

हल:

प्रश्न 9.

हल:

प्रश्न 10.

हल:

प्रश्न 11.

हल:

प्रश्न 12.
यदि A =  है तो सत्यापति कीजिए कि (AB)^-1 = B^-1A^-1 है|
हल:

प्रश्न 13.
यदि  है तो दर्शाइए कि A² – 5A + 7I = 0 है। इसकी सहायता से A^-1 ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 14.
आव्यूह  के लिए a और b ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए ताकि A² + aA + bI = 0 हो।
हल:

संगत अवयवों की तुलना करने पर
8 + 2a = 0 ⇒ a = -4
11 + 3a + b = 0 ⇒ b = -11 + 12 = 1
अतः a = -4, b = 1

प्रश्न 15.
आव्यूह  के लिए दर्शाइए कि A³ – 6A² + 5A + 11I = 0 है। इसकी सहायता से A^-1 ज्ञात कीजिए।
हल:


अब A^-1 ज्ञात करने के लिए गणना
∵ A³ – 6A² + 5A + 11I = 0
दोनों और A^-1 से गुणा करने पर
(A^-1A)A² – 6(A¹ A)A + 5A^-1 A + 11A^-1I = 0
⇒ IA² – 6IA + 51 + 11A^-1 = 0
⇒ A² – 6A + 5I + 11A^-1 = 0
⇒ 11A^-1 = -A² + 6A – 5I

प्रश्न 16.
यदि , तो सत्यापित कीजिए कि A³ – 6A² + 9A – 4I =0 है तथा इसकी सहायता से A^-1 ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 17.
यदि A, 3 × 3 कोटि का वर्ग आव्यूह है तो | adj A | का मान है
(A)|4|
(B)| A|²
(C)|A}³
(D) 3| A|
हल:
adj A = | A|^n-1, यहाँ n =3
∴ | adj A = | A²
अतः विकल्प (B) सही है।

Ex 4.6

निम्नलिखित प्रश्नों में 1 से 6 तक दी गई समीकरण निकायों का संगत अथवा असंगत के रूप में वर्गीकरण कीजिए।

प्रश्न 1.
x + 2y = 2
2x + 3y = 3
हल:
दिए गये समीकरण निकाय को हम इस प्रकार से लिख सकते हैं।
AX = B

प्रश्न 2.
2x – y = 5
x + y = 4
हल:
दिया गया समीकरण निकाय
2x – y = 5
x + y = 4

प्रश्न 3.
x + 3y = 5
2x + 6y = 8
हल:
दिए गए समीकरण निकाय को हम इस प्रकार से लिख सकते हैं।
AX = B

प्रश्न 4.
x + y + = 1
2x + 3y + 2z = 2
ax + ay + 2az =4
हल:
दिया गया समीकरण निकाय
x + y + z = 1
2x + 3y + 2z = 2
ax + ay + 2az = 4

= a[1(6 – 2) – 1(4 – 2) + 1(2 – 3)]
= a [1 × 4 – 1 × 2 + 1(-1)]
= a[4 – 2 – 1] = a × 1 = a ≠ 0
अतः दिया गया समीकरण निकाय संगत है।

प्रश्न 5.
3x – y – 2z = 2
2y – z = -1
3x – 5y = 3
हल:
3x – y – 2z = 2
2y – z = -1
3x – 5y = 3

प्रश्न 6.
5x – y + 4z = 5
2x + 3y + 5z = 2
5x – 2y + 6z = -1
हल:
दिए गए समीकरण निकाय को निम्न प्रकार से लिख सकते हैं
AX = B

= 5(18 + 10) + 1(12 – 25) + 4(-4 – 15)
= 140 – 13 – 76
= 51 ≠ 0
अतः समीकरण निकाय संगत है।

निम्नलिखित प्रश्न 7 से 14 तक प्रत्येक समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए।

प्रश्न 7.
5x + 2y = 4
7x + 3y = 5
हल:
दिया गया समीकरण निकाय
5x + 2y = 4
7x + 3y = 5

प्रश्न 8.
2x – y = -2
3x + 4y = 3
हल:
दी गई समीकरण निकाय
2x – y = -2
3x + 4y = 3
उपरोक्त समीकरणों को निम्न प्रकार से लिख सकते हैं-
AX = B

प्रश्न 9.
4x – 3y = 3
3x – 5y = 7
हल:
दिया गया समीकरण निकाय
4x – 3y = 3
3x – 5y = 7
समीकरण निकाय AX = B के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ

प्रश्न 10.
5x + 2y = 3
3x + 2y = 3
हल:
दिया गया समीकरण निकाय
5x + 2y = 3
3x + 2y = 5
समीकरण निकाय AX = B के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ

प्रश्न 11.
निम्नलिखित समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए
2x + y + z = 1
x – 2y -2z = 3/2
3y – 5z = 9
हल:
दी गई समीकरण निकाय को निम्न प्रकार से लिख सकते हैं-
AX = B

प्रश्न 12.
x – y + z = 4
2x + y – 3z = 0
x + y + z = 2
हल:
दिया गया समीकरण निकाय
x – y + z = 4
2x + y – 3z = 0
x + y + z = 2
समीकरण निकाय AX = B के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ,

प्रश्न 13.
2x + 3y + 3z = 5
x – 2y + 2 = -4
3x – y – 2z = 3
हल:
दिया गया समीकरण निकाय
2x + 3y + 3z = 5
x – 2y + z = -4
3x – y – 2z = 3
समीकरण निकाय को AX = B के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ

प्रश्न 14.
x – y + 2z = 7
3x + 4y – 5z = -5
2x – y + 3z = 12
हल:
दिया गया समीकरण निकाय
x – y + 2z = 7
3x + 4y – 5z = -5
2x – y + 3z = 12
समीकरण निकाय को AX = B के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ

प्रश्न 15.
यदि  है तो A^-1 ज्ञात कीजिए। A^-1 का प्रयोग करके निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए।
2x – 3y + 5z = 11
3x + 2y – 4z = -5
x + y – 2z = -3
हल:

प्रश्न 16.
4 kg प्याज, 3 kg गेहूँ और 2 kg चावल का मूल्य Rs. 60 है। 2 kg प्याज, 4kg गेहूँ और 6 kg चावल का मूल्य Rs. 90 है। 6 kg प्याज, 2 kg गेहूँ और 3 kg चावल का मूल्य Rs. 70 है। आव्यूह विधि द्वारा प्रत्येक का मूल्य प्रति kg ज्ञात कीजिए।
हल:
माना प्याज, गेहूँ तथा चावल का मूल्य प्रति किग्रा क्रमश: x रु०, ५ रु० तथा 2 रु० है।
4 किग्रा प्याज 3 किया गेहूँ तथा 2 किग्रा चावल का मूल्य = 60 रुपये
∴ 4x + 3y + 2z = 60 …(1)
2 किग्रा प्याज, 4 किग्रा गेहूँ तथा 6 किग्रा चावल का मूल्य = 90 रु०
∴ 2x + 4y + 6z = 90 …(2)
6 किया प्याज, 2 किग्रा गेहूँ तथा 3 किग्रा चावल का मूल्य = 70 रु०
∴ 6x + 2y + 3z = 70 ….(3)
अब समीकरण निकाय
4x + 3y + 2z = 60
2x + 4y + 6z = 90
या x + 2y + 32 = 45
6x + 2y + 3z = 70
इसे AX = B के रूप में लिख सकते हैं, जबकि



अत: प्याज, गेहूँ तथा चावल का मूल्य प्रति किग्रा क्रमश: 5 रु०,8 रु०, तथा 8 रु० है।

विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि सारणिक

हल:

= x(-x² – 1) – sin θ (-xsin θ – cos θ) + cos θ(-sin θ + xcosθ)
= -x(x² + 1) + xsin²θ + sinθcos θ – sin θcos θ + xcos²θ
= -x(x² + 1) + x (sin²θ + cos²θ)
= -x(x² + 1) + x = -x[x² + 1 – 1] = -x³
जो कि θ से स्वतन्त्र है।

प्रश्न 2.
सारणिक का प्रसरण किए बिना सिद्ध कीजिए कि

हल:

प्रश्न 3.

का नाम ज्ञात कीजिए
हल:

प्रश्न 4.
यदि a, b और c वास्तविक संख्याएँ हों और सारणिक

हो तो दर्शाइए कि या तो a + b + c = 0 या a = b = c है|
हल:


[R₂ → R₂ – R₁ तथा R₃ → R₃ – R₁]
= 2(a + b + c)[1{(b – c)(c – b) – (c – a)(b – a)} – (c + a){0 – 0} + (a + b){0 – 0}]
= 2(a + b + c)[-{(b – c)}² – (bc – ac – ab + a²)]
= 2(a + b + c)[-b² – c² + 2bc – bx + ac + ab – a²]
= 2(a + b + c)[-b² – c² + bc + ac + ab – a²]
= 2(a + b + c)[a² + b² + c² – ab – bc – ca]
= -(a + b + c)[2a² + 2b² + 2c² – 2ab -2bc – 2ca]
= -(a + b + c)[(a – b) + (b – c) + (c – a)²
अब ∆ = 0 ⇒ a + b + c = 0 या a = b = c

प्रश्न 5.
यदि a ≠ 0 हो तो समीकरण

हल:

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि

हल:


∆ = 2a²b²c[(a+ c)(1 – 0) – 1(a + b – b – c)]
= 2a²b²c[a + c – a + c] = 2a²b²c
2c = 4a²b²c²

प्रश्न 7.
यदि A^-1 = हो तो (AB)^-1 का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 8.
मान लीजिए कि  हो तो सत्यापित कीजिए कि
(i) [adj A]^-1 = adj (A^-1)
(ii) (A^-1)^-1 = A
हल:

प्रश्न 9.

का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 10.

का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके निम्नलिखित 11 से 15 तक प्रश्नों को सिद्ध कीजिए

प्रश्न 11.

हल:

प्रश्न 12.

हल:

प्रश्न 13.

हल:

[R₁ → R₂ – R₁ तथा R₃ → R₃ – R₁]
= (a + b + c)[1{(2b + a)+ (2c + a) – (a – b)(a – c)}]
= (a + b + c)[4bc + 2ab + 2ac + a² – (a² – ac – ab + bc)]
= (a + b + c)[4bc + 2ab + 2ac + a² – a² + ac + ab – bc]
= (a + b + c)(3bc + 3ab + 3ac]
= 3 (a + b + c) (ab + bc + ca) = R.H.S.
अतः L.H.S. = R.H.S.

प्रश्न 14.

हल:

प्रश्न 15.

हल:

प्रश्न 16.
निम्नलिखित समीकरण को हल कीजिए

हल:

निम्नलिखित प्रश्नों 1 से 3 में सही उत्तर का चुनाव कीजिए।

प्रश्न 1.
यदि a, b, c समान्तर श्रेणी में हों तो सारणिक

(A) 0
(B) 1
(C) x
(D) 2x
हल:

प्रश्न 2.
यदि x, y, z शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हों तो आव्यूह A =  का व्युत्क्रम है-

हल:

प्रश्न 3.

(A) det (A) = 0
(B) det (A) ϵ (2, ∞)
(C) det (A) ϵ (2, 4)
(D) det (A) ϵ [2, 4]
हल:

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