MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग

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Ex 6.1

प्रश्न 1.
वृत्त के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर इसकी त्रिज्या के सापेक्ष ज्ञात कीजिए जबकि
(a) r = 3cm है
(b) r = 4 cm है।
हल:
त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल A = πr²

प्रश्न 2.
एक घन का आयतन 8 cm³/s की दर से बढ़ रहा है। पृष्ठ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जबकि इसके किनारे की लम्बाई 12 cm है।
हल:
माना x लम्बाई के घन का आयतन V है।
तब V = x³

= cm²/s
अत: घन का पृष्ठ क्षेत्रफल cm²/s से बढ़ रहा है।

प्रश्न 3.
एक वृत्त की त्रिज्या समान रूप से 3 cm/s की दर से बढ़ रही है। ज्ञात कीजिए कि वृत्त का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जब त्रिज्या 10 cm है।
हल:

प्रश्न 4.
एक परिवर्तनशील घन का किनारा 3 cm/s की दर से बढ़ रहा है। घन का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि किनारा 10 cm लंबा है?
हल:
माना घन के कोर की लम्बाई = x cm तब,
 = 3 cm/s (दिया है)
∴ घन का आयतन,

प्रश्न 5.
एक स्थिर झील में एक पत्थर डाला जाता है और तरंगें वृत्तों में 5 सेमी/सेकण्ड की गति से चलती हैं। जब वृत्ताकार तरंग की त्रिज्या 8 सेमी है, तो उस क्षण, घिरा हुआ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है?
हल:
माना r त्रिज्या वाले वृत्ताकार तरंग का क्षेत्रफल A है

प्रश्न 6.
एक वृत्त की त्रिज्या 0.7 cm/s की दर से बढ़ रही है। इसकी परिधि की वृद्धि की दर क्या है जब r = 4.9 cm है?
हल:
माना r त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि c है
तथा दिया है

अतः परिधि 1.4 cm/s की दर से बढ़ रही है।

प्रश्न 7.
एक आयत की लम्बाई x, 5 cm/min की दर से घट रही है और चौड़ाई y, 4cm/min की दर से बढ़ रही है। जब x = 8 cm और y = 6 cm है। तब आयत के (a) परिमाप (b) क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है : = -5cm/min तथा  = 4cm/min
माना आयत का क्षेत्रफल = A
परिमाप = p
लम्बाई = x cm, चौड़ाई = y cm
(a) p = 2(x + y)

= 2[-5 + 4] = -2cm/min
अतः परिमाप 2 cm/min की दर से घट रहा है।
(b) A = xy

अतः क्षेत्रफल 2 cm²/min की दर से बढ़ रहा है।

प्रश्न 8.
एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है, एक पंप द्वारा 900 cm³ गैस प्रति सेकण्ड भर कर फुलाया जाता है। गुब्बारे की त्रिज्या के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जब त्रिज्या 15 cm है।
हल:
माना r त्रिज्या वाले गुब्बारे का आयतन V है

प्रश्न 9.
एक गुब्बारा जो सदैव लगातार गोलाकार रहता है कि त्रिज्या परिवर्तनशील है। त्रिज्या के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जब त्रिज्या 10 cm है।
हल:
माना गुब्बारे का आयतन = V
त्रिज्या = 2

प्रश्न 10.
एक 5 m लम्बी सीढ़ी दीवार के सहारे झुकी है। सीढ़ी का नीचे का सिरा, जमीन के अनुदिश दीवार से दूर 2 cm/s की दर से खींचा जाता है। दीवार पर इसकी ऊँचाई किस दर से घट रही है जबकि सीढ़ी के नीचे का सिरा दीवार से 4 cm दूर है?
हल:
माना सीढ़ी की लम्बाई AC = 5 m
BC = xm,
AB = y m,
∠ABC = 90°
समकोण ∆ABC में,
x² + y² = 5² = 25
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 11.
एक कण वक्र 6y = x³ + 2 के अनुगत गति कर रहा है। वक्र पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जबकि x निर्देशांक की तुलना में निर्देशांक 8 गुना तीव्रता से बदल रहा है|
हल:
वक्र का समीकरण
6y = x² + 2 …(i)

प्रश्न 12.
हवा के एक बुलबुले की त्रिज्या cm/s की दर से बढ़ रही है। बुलबुले का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि त्रिज्या 1 cm है?
हल:
माना r त्रिज्या वाले बुलबुले का आयतन V है।
दिया है :

अतः बुलबुले का आयतन 2π cm³/s की दर से बढ़ रहा है।

प्रश्न 13.
एक गुब्बारा, जो सदैव गोलाकार रहता है, का परिवर्तनशील व्यास (2x + 1) है। x के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।
हल:
माना गुब्बारे का आयतन = V

प्रश्न 14.
एक पाइप से रेत 12 cm³/s की दर से गिर रही है। गिरती रेत जमीन पर एक ऐसा शंक बनाती है जिसकी ऊँचाई सदैव आधर की त्रिज्या का छठा भाग है। रेत से बने शंकु की ऊँचाई किस दर से बढ़ रही है जबकि ऊँचाई 4 cm है।
हल:
माना बालू के शंकु का आयतन = V, ऊँचाई = h, त्रिज्या = r

प्रश्न 15.
एक वस्तु की x इकाइयों के उत्पादन से सम्बन्धित कुल लागत C(x)(रुपये में).
C(x) = 0.007x³ – 0.003x² + 15x + 4000 से प्रदत्त है। सीमान्त लागत ज्ञात कीजिए जबकि 17 इकाइयों का उत्पादन किया गया है।
हल:
दिया है
C = 0.007x³ – 0.003x² + 15x + 4000
∴ सीमान्त लागत
(mx) =  = 0.021x² – 0.006x + 15
x = 17 रखने पर
mc = 0.021 × 289 – 0.006 x 17 + 15
= 6.069 – 0102 + 15
= 20.967
अतः सीमान्त लागत (mc) = 20.97 रुपये।

प्रश्न 16.
किसी उत्पाद की x इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय R(x) रुपयों में
R(x) = 13x² + 26x + 15 से प्रदत्त है। सीमांत आय ज्ञात कीजिए जब x = 7 है।
हल:
दिया है R(x) = 13x² + 26x + 15.
∴ सीमान्त लागत (MR) =  = 26x + 26
x = 7 पर,
MR = 26 × 7 + 26
= 208
अतः सीमान्त लागत 3208 रुपये।

Ex 6.2

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए R पर f(x) = 3x + 17 से प्रदत्त फलन वर्धमान है।
हल:
∵ f(x) = 3x + 17
f'(x) = 3
f'(x) = 3 = (+) ve (धनात्मक)
अत: f, R पर वर्धमान है।

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए R पर f(x) = e^2x से प्रदत्त फलन वर्धमान है।
हल:
∵ f(x) = e^2x
∴ (x) = f’ (x) = 2e^2x
x ϵ R as fore f'(x) = + ve
अत: f, R पर वर्धमान है।

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि f(x) = sinx से प्रदत्त फलन
(a)  में वर्धमान है।
(b)  में ह्रासमान है।
(c) (0, π) में न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।
हल:
f(x) = sinx
∴ f'(x) = cosx
(a) f’ अन्तराल  में f'(x) > 0 (धनात्मक)
⇒ f वर्धमान है।
(b) अन्तराल  में f'(x) < 0 (ऋणात्मक)
⇒ f ह्रासमान है।
(c) अन्तराल (0, π) में f’ (x), धनात्मक या ऋणात्मक नहीं क्योंकि  में धनात्मक और  में ऋणात्मक है।
अतः f, (0, π) में न तो वर्धमान और न ही ह्रासमान है।

प्रश्न 4.
अन्तराल ज्ञात कीजिए जिनमें निम्नलिखित फलन f वर्धमान या ह्रासमान है
f(x) = 2x² – 3x
हल:
∵ f(x) = 2x² – 3x
∴ f(x) = 4x – 3
f(x) = 0 ⇒ 4x – 3 = 0
⇒ x = 3/4
अतः बिन्दु x =  वास्तविक संख्या रेखा को दो भागों में विभाजित करता है।

प्रश्न 5.
अन्तराल ज्ञात कीजिए जिनमें f(x) = 2x³ – 3x² – 36x + 7 से प्रदत्त फलन f
(a) वर्धमान,
(b) ह्रासान
हल:
यहाँ f(x) = 2x³ – 3x² – 36x + 7
f(x) = 6x² – 6x – 36
= 6 (x² – x – 6)
= 6(x – 3)(x + 2)
∴ x = -2 x = 3 वास्तविक संख्या रेखा को तीन अन्तरालों में विभाजित करता है।
यह अन्तराल है (-∞, -2),(-2, 3), (3, ∞)
जब x ϵ (-∞, -2), f(x) = + ve
जब x ϵ (-2, 3), f(x) = -ve
जब x ϵ (3, ∞), f(x) = + ve
इस प्रकार (a) अन्तराल (-∞, -2) ∪ (3, ∞) में f वर्धमान फलन है।
(b) अन्तराल (-2, 3) में f'(x) ऋणात्मक
अतः f ह्रासमान फलन है।

प्रश्न 6.
अन्तराल ज्ञात कीजिए जिनमें निम्नलिखित फलन f वर्धमान या ह्रासमान है-
(a) f(x) = x² + 2x + 5
(b) f(x) = 10 – 6x – 2x²
(c) f(x) = -2x³ – 9x² – 12x + 1
(d) f(x) = 6 – 9x – x²
(e) f(x) = (x + 1)³ (x – 3)³
हल:
(a) यहाँ f(x) = x² + 2x – 5
∴ f (x) = 2x + 2 = 2(x + 1)
x = -1 संख्या रेखा को दो अन्तराल में विभाजित करता है। अन्तराल (-∞, -1), (-1, ∞) है।
(-∞, -1) में f'(x) = -ve
अतः f ह्रासमान फलन है।
(-1, ∞) में f'(x) = + ve
अतः वर्धमान फलन है।

(b) f(x) = 10 – 6x – 2x²
∴ f'(x) = -6 – 4x
= -2(3 + 2x)
∴ f’ (x) = 0 ⇒ = -2(3 + 2x) = 0

(c) यहाँ f(x) = -2x³ – 9x² – 12x + 1
∴ f'(x) = -6x² – 18x – 12 = -6(x² + 3x + 2)
= -6(x + 1)(x + 2)
∴ x = -2, x = -1 वास्तविक रेखा को तीन अन्तरालों (-∞, -2), (-2, -1), (-1, ∞) में विभाजित करते हैं।
अन्तराल (-∞, -2) में f (x) = -ve
अतः ह्रिासमान फलन है। अन्तराल (-2, -1) या – 2 < x < -1 में f(x) = (-)(-)(+) = + ve अतः वर्धमान फलन है। अन्तराल (-1, ∞) या x > -1 में,
f(x) = (-)(+)(+) = -ve
∴ f ह्रासमान फलन है।
इस प्रकार (-2, -1) में वर्धमान फलन है। और (-∞, 2), (-1, ∞) में f ह्रासमान फलन है।

(d) यहाँ f(x) = 6 – 9x – x²
f'(x) = -9 – 2x = -(2x + 9)

अतः f ह्रासमान फलन है।

(e) यहाँ f(x) = (x + 1) (x – 3)³
f(x) = 3 (x + 1)² (x – 3)² + (x + 1)³ . (3x – 3)²
= 3(x + 1)² (x – 3)² (x – 3 + x + 1)
= 3(x + 1)² (x – 3)² (2x – 2)
= 6(x + 1)² (x – 3)² (x – 1)
अन्तराल (-∞, -1),(-1, 1) (1, 3), (3, ∞) है।
(i) जब अन्तराल (-∞, -1) और (-1, 1) में
f'(x) =- ve
अत: f ह्रासमान फलन है।
(ii) (1, 3), (3, ∞) अन्तरालों में
f(x) = + ve
अतः वर्धमान फलन है।

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि y = log(1 + x) –  x > -1, अपने सम्पूर्ण प्रान्त में एक वर्धमान फलन है।
हल:

प्रश्न 8.
x के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए y = [r (x – 2)]² एक वर्धमान फलन है।
हल:
माना y = f(x)
⇒ f(x) = [x(x – 2)]² = [x² -2x]²

⇒ f(x) बिन्दु x ϵ (0, 1) तथा (2, 0) पर वर्धमान है।

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि  का एक वर्धमान फलन है।
हल:
ज्ञात है

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि लघुगणकीय फलन (0, ∞) में वर्धमान फलन है।
हल:
माना f(x) = log x, x > 0
⇒ f(x) =  = धनात्मक (∵ x > 0)
अतः लघुगणकीय फलन वर्धमान है।

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि (-1, 1) में f(x) = x² – x + 1 से प्रदत्त फलन न तो वर्धमान है और न ही हासमान है।
हल:
यहाँ f(x) = x² – x + 1

इस प्रकार (-1, 1) में f'(x) का चिह्न एक नहीं है।
अतः इस अन्तराल में यह न तो वर्धमान और न ही ह्रासमान फलन है।

प्रश्न 12.
निम्नलिखित में कौन से फलन (0), ) में ह्रासमान है?
(A) cos x
(B) cos 2x
(C) cos 3x
(D) tan x
हल:
(A) माना f(x) = cos x, ∴ f(x) = -sinx
अन्तराल (0, π/2) में, sin x = + ve
⇒ f(x) = – ve
अत: f ह्रासमान फलन है।

(B) यहाँ f(x) = cos 2x ∴ f”(x) = -2sin 2x
अन्तराल  में, sin 2x = +ve [∵ 0 < 2x < π]
∴ f'(x) = – ve
अतः ह्रिासमान फलन है।

(C) यहाँ f(x) = cos 3r
∴ f(x) = -3sin 3x
अन्तराल  में sin 2x = -ve [∵ 0 < 3x < ]
∴ f'(x) = + ve
अतः f न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान फलन है।

(D) यहाँ f(x) = tan x ∴ f'(x) = secx
अन्तराल  में, f'(x) = +ve
अतः वर्धमान फलन है।

प्रश्न 13.
निम्नलिखित अन्तरालों में से किस अन्तराल में f(x) = x¹⁰⁰ + sin x – 1 द्वारा प्रदत्त फलन f ह्रासमान है?
(A) (0, 1)
(B)
(C)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल:
यहाँ f(x) = x¹⁰⁰ + sin x – 1
f'(x) = 100x⁹⁹ + cosx
(A) अन्तराल 0 < x < 1, 0 < 100x⁹⁹ < 100
और cos x = + ve
f'(x) = + ve
अतः वर्धमान फलन है।

(B) अन्तराल है,  < x < m
∴ f'(x) = 100x⁹⁹ + cos x = +ve
अतः विर्धमान फलन है।

(C) अन्तराल है 0 < x <
यहाँ पर 100x⁹⁹ और cos x दोनों + ve हैं।
∴ f'(x) = + ve
अतः f वर्धमान फलन है।
अत: विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 14.
a का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए अंतराल (1, 2) में f(x) = x² + ax + 1 से प्रदत्त फलन f, वर्धमान है।
हल:
∵ f(x) = x² + ax + 1
⇒ f'(x) = 2x + a
∵ बिन्दु (1, 2) पर, f(x) एक वर्धमान फलन है
∴ f'(x) > 0 ∀ 1 < x < 2 अब f”(x) = 2 > 0, ∀ x ϵ (1, 2)
⇒ f'(x), बिन्दु (1, 2) पर वर्धमान फलन है
⇒ बिन्दु (1, 2) पर f(1), f’ (x) की न्यूनतम मान है
∴ f'(1) > 0
⇒ 2 + a > 0
⇒ a > -2
अतः a का न्यूनतम मान -2 है।

प्रश्न 15.
मान लीजिए (-1, 1) से असंयुक्त एक अन्तराल I हो तो सिद्ध कीजिए कि I में f(x) = x +  से प्रदत्त फलन f, वर्धमान है।
हल:

अतः f एक वर्धमान फलन है, जब x < -1, x > 1, f वर्धमान फलन है।

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = log sinx, में वर्धमान और  में ह्रासमान है।
हल:
f(x) = log sin x

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = log |cos x| में वर्धमान और  में ह्रासमान है।
हल:
यहाँ f(x) = log cosx

प्रश्न 18.
सिद्ध कीजिए कि R में दिया गया फलन f(x) = x³ – 3x² + 3x – 100 वर्धमान है।
हल:
यहाँ f(x) = x³ – 3x² + 3x – 100
∴ f'(x) = 3x² – 6x + 3 = 3 (x² – 2x + 1)
= 3(x – 1)²
∴ x ϵ R, f”(x)= + ve
अतः वर्धमान फलन है।

प्रश्न 19.
निम्नलिखित में से किस अन्तराल में y = x² – e^-x वर्धमान है?
(A) (-∞, ∞)
(B) (-2, 0)
(C) (2, ∞)
(D) (0, 2)
हल:
यहाँ f(x) = x² e^-x
∴ f'(x) = x²(-e^-x) + e^-x.2x
= -x²e^-x + 2xe^-x
= -xe^-x (x – 2)
यदि f वर्धमान फलन है तो f'(x) > 0
या xe^-x(2 – x) > 0 या -xe^-x (x – 2) > 0
e^-x सदैव धनात्मक है।
∴ -x(x – 2) > 0 या x (x – 2) < 0
⇒ x ϵ (0, 2) का अर्थ है f'(x) = + ve
अतः f वर्धमान फलन है यदि x ϵ (0, 2)
अतः विकल्प (D) सही है।

Ex 6.3

प्रश्न 1.
वक्र y = 3x⁴ – 4x के x = 4 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है वक्र का समीकरण
y = 3x⁴ – 4x

अतः x = 4 पर स्पर्शरेखा की प्रवणता 764 है।

प्रश्न 2.
वक्र  पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 3.
वक्र y = x³ – x + 1 की स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिन्दु पर ज्ञात कीजिए जिसका x-निर्देशांक 2 है।
हल:
वक्र y = x³ – x + 1

अतः स्पर्श रेखा की प्रवणता = 11

प्रश्न 4.
वक्र y = x³ – 3x + 2 की स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिन्दु पर ज्ञात कीजिए जिसका x – निर्देशांक 3 है।
हल:
वक्र y = x³ – 3x + 2
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
वक्र x = acos³ θ, y = a sin³ θ के θ =  पर अभिलम्ब की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया वक्र
x = acos³ θ, y = a sin³ θ

प्रश्न 6.
वक्र x = 1 – asin θ, y = b cos²θ के θ =  पर अभिलम्ब की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र x = 1 – asin θ, y = bcos² θ
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 7.
वक्र y = x³ – 3x² – 9x + 7 पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ x – अक्ष के समान्तर हैं।
हल:
दिया गया वक्र y = x³ – 3x² – 9x + 7

⇒ 3x² – 6x – 9 = 0
⇒ 3(x – 3)(x + 1) = 0
⇒ x = 3, -1
x = 3 पर y = -20
तथा x = -1 पर, y = 12
अतः अभीष्ट बिन्दु (3, -20) तथा (-1, 12) है।

प्रश्न 8.
वक्र y = (x – 2)² पर एक बिन्दु ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखा बिन्दुओं (2, 0) और (4, 4) को मिलाने वाली रेखा के समान्तर है।
हल:
दिये गये वक्र का समीकरण
y = (x – 2)²

⇒ 2(x – 2) = 2
⇒ x = 3
∴ x = 3 पर y = (3 – 2)²
= 1
अतः अभीष्ट बिन्दु (3, 1) होंगे।

प्रश्न 9.
वक्र y = x³ – 11x + 5 पर उस बिन्दु को ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखा y = x – 11 है।
हल:
y = x³ – 11x + 5
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
 = 3x² – 11 …(1)
स्पर्श रेखा y = x – 11 की प्रवणता = 1 …(2)
समीकरण (1) और (2) से,
3x² – 11 – 1 ⇒ 3x² = 12 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2
जब x = 2 y = (2)³ -11 × 2 + 5 = 8 – 22 + 5
= 13 – 22 = -9
जब x = -2
y = (-2)³ – 11 × (-2) + 5 = -8 + 22 + 5
= 27 – 8 – 19
∴ (-2, 19) स्पर्श रेखा y = x – 11 पर नहीं है।
∴ बिन्दु (2, -9) पर स्पर्श रेखा y = x – 11 है।

प्रश्न 10.
प्रवणता -1 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र y =  x ≠ -1 को स्पर्श करती है।
हल:
दिया गया वक्र y = 1

⇒ (x – 1)² = 1
⇒ x² + 1 – 2x = 1
⇒ x (x – 2) = 0
⇒ x = 0, 2
जब x = 0 तब y = -1
तथा जब x = 2 तब y = 1
अभीष्ट बिन्दु (0, -1) व (2, 1) हैं।
अब बिन्दु (0, -1) पर स्पर्शी का समीकरण
y + 1 = (-1)(x – 0)
y + 1 = -x
⇒ x + y + 1 = 0
तथा बिन्दु (2, 1) पर स्पर्श रेखा का समीकरण
y – 1 = (-1) (x – 2)
⇒ y – 1 = -x + 2
⇒ x + y = 3
अतः अभीष्ट समीकरण x + y + 1 = 0 तथा x + y = 3 हैं।

प्रश्न 11.
प्रवणता 2 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र y = , x ≠ 3 को स्पर्श करती है।
हल:
वक्र y =
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

अत: ऐसी कोई स्पर्श रेखा नहीं है जिसकी प्रवणता 2 हो।

प्रश्न 12.
प्रवणता 0 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र  को स्पर्श करती है।
हल:

प्रश्न 13.
वक्र  पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ,
(i) x-अक्ष के समान्तर हैं,
(ii) y-अक्ष के समान्तर है।
हल:
दिया गया वक्र

प्रश्न 14.
दिए वक्रों पर निर्दिष्ट बिन्दुओं पर स्पर्श रेखा और अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए
(i) y = x⁴ – 6x³ + 13x² -10x + 5 के (0, 5) पर
(ii) y = x⁴ – 6x³ + 13x² – 10x + 5 के (1, 3) पर
(iii) y = x³ के (1, 1) पर
(iv) y = x² के (0, 0) पर
(v) x = cost, y = sint के t =  पर
हल:
(i) y = x⁴ – 6x³ + 13x² -10x + 5
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 15.
वक्र y = x² – 2x + 7 की स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो
(a) रेखा 2x – y + 9 = 0 के समान्तर है।
(b) रेखा 5y – 15x = 13 पर लम्ब है।
हल:
दिया गया वक्र
y = x² – 2x + 7 …(i)
∴  = 2x – 2
(a) ∵ स्पर्शी, रेखा 2x – y + 9 = 0 के समान्तर है।
∴ स्पर्शी की प्रवणता रेखा 2x – y + 9 = 0 की प्रवणता = 2
∴  = 2
⇒ 2x – 2 = 2
⇒ x = 2
जब x = 2 तब (1) से y = 2² – 2(2) + 7 = 7
∴ बिन्दु (2, 7)
∴ स्पर्श रेखा का समी० जो दी गई रेखा के समान्तर है बिन्दु (2, 7) पर,
y – y = 2(x – 2)
⇒ 2x – y + 3 = 0

(b) दी गई रेखा 5y – 15x = 13 की प्रवणता m₁ =  = 3 तथा स्पर्शी रेखा की प्रवणता m₂ = 2(x – 1)
∵ स्पर्शी व रेखा परस्पर लम्ब है
∴ m₁ × m₂ = -1
⇒ 3 × 2(x – 1)= -1
⇒ 6x – 6 = -1
⇒ x = 5/6
x = 5/6 समी० (i) में रखने पर,

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए कि वक्र y = 7x³ + 11 के उन बिन्दुओं पर स्पर्श रेखाएँ समान्तर हैं जहाँ x = 2 तथा x = -2 है।
हल:
यहाँ y = 7x³ + 11
∴  = 21x²
जब x = 2, स्पर्श रेखा की प्रवणता
= 21 × 2² = 21 × 4 = 84
जब x = -2, स्पर्श रेखा की प्रवणता = 21 × (-2)² = 84
x = 2 और x = -2 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता समान है।
∴ इन बिन्दुओं पर स्पर्शरेखाएँ समान्तर हैं।

प्रश्न 17.
वक्र y = x³ पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखा की प्रवणता बिन्दु के y – निर्देशांक के बराबर है।
हल:
माना अभीष्ट बिन्दु (x₁, y₁) है।
वक्र का समी०

प्रश्न 18.
वक्र y = 4x³ – 2x⁵, पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ मूल बिन्दु से होकर जाती हैं।
हल:
वक्र का समीकरण,
y = 4x³ – 2x⁵ …(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
 = 12×2 – 10×4
(x₁, y₁) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता = 12x₁² – 10x₁⁴ …(2)
(x₁, y₁) वक्र पर भी स्थित है।
∴ y₁² = 4x₁³ – 2x₁⁵ …(3)
(x₁, y₁) पर स्पर्श रेखा का समीकरण
y – y₁ = (12x₁² – 10x₁⁴)(x – x₁)
बिन्दु (0, 0) पर
0 – y₁ = (12x₁² – 10x₁⁴)(0 – x₁) – y₁ = (12x₁² – 10x₁⁴)(-x₁)
समी० (3) से 1 का मान रखने पर,
(4x₁³ – 2x₁⁵) = x₁(12x₁² – 10x₁⁴)
⇒ x₁³(4 – 2x₁²) = x₁³(12 – 10x₁²)
⇒ 4 – 2x₁² = 12 – 10x₁²
⇒ -2x₁² + 10x₁² = 12 – 4
⇒ 8x₁² = 8 ⇒ x₁² =1 ∴ x = ±1, x₁ = 0
वक्र का समीकरण, y = 4x³ – 2x⁵
जब x₁ = 0 y₁ = 0
जब x₁ = 1, y₁ = 4 – 2 = 2
जब x₁ = -1, y₁ = -4 + 2 = -2
अतः अभीष्ट बिन्दु (0, 0), (1, 2),(-1, -2) है।

प्रश्न 19.
वक्र x² + y² – 2x – 3 = 0 के उन बिन्दुओं पर स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ पर वे x – अक्ष के समान्तर हैं।
हल:
दिया गया वक्र
x² + y² – 2x – 3 = 0

अतः स्पर्श रेखा पर स्थित अभीष्ट बिन्दु (1, ±2) हैं।

प्रश्न 20.
वक्र ay² = x³ के बिन्दु (am², am³) पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र का समीकरण ay² = x³
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 21.
y = x³ + 2x + 6 के उन अभिलम्बों के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा x + 14y + 4 = 0 के समान्तर हैं।
हल:
वक्र का समीकरण, y = x³ + 2x + 6
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 22.
परवलय y² = 4ax के बिन्दु (at², 2at) पर स्पर्श रेखा और अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
परवलय y² = 4ax

∴ अभिलम्ब का समीकरण
y – 2at = -t (x -at²)
⇒ y – 2at = -xt + at³
⇒ xt + y = 2at + at³

प्रश्न 23.
सिद्ध कीजिए कि वक्र x = y² और xy = k एक-दूसरे को समकोण पर काटती हैं, यदि 8k² = 1 है।
हल:
वक्र x = y² …(1)
तथा xy = k …(2)
x का मान समी० (2) में रखने पर,
y². y = k → y³ = k ∴ y = k^1/3 तथा x = k^2/3
अतः दिए गए वक्र एक-दूसरे को P(k^2/3, x^1/3) पर काटते हैं।
समी० (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 24.
अतिपरवलय  के बिन्दु (x₀, y₀) पर स्पर्श रेखा तथा अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
अतिपरवलय का समीकरण

प्रश्न 25.
वक्र y =  की उन स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा 4x – 2y + 5 = 0 के समान्तर
हल:
वक्र का समीकरण t =
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

Ex 6.4

प्रश्न 1.
अवकल का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का सन्निकट मान दशमलव के तीन स्थानों तक ज्ञात कीजिए-

(iv) (0.009)^1/3
(v) (0.999)^1/10
(vi) (15)^1/4
(vii) (26)^1/3
(viii) (255)^1/4
(ix) (82)^1/4
(x) (401)^1/2
(xi) (0.0037)^1/2
(xii) (26.57)^1/3
(xiii) (81.5)^1/4
(xiv) (3.968)^3/2
(xv) (32.15)^1/5
हल:

प्रश्न 2.
f (2.01) का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए जहाँ f(x) = 4x + 5x + 2 है।
हल:
यदि f(x) = 4x² + 5x + 2 हो, तब
f(2) = 4(2)² + 5 × 2 + 2 = 16 + 10 + 2 = 28
∆x = 0.01
∴ f(x) = 8x + 5
df'(x) = f'(x) × ∆x = (x + 5) ∆x
= (8 × 2 + 5) × 0.01
= 21 × 0.01 = 0.21
∴ f(2.01) = f(2) = df (x)
= 28 + 0.21 = 28.21

प्रश्न 3.
f(5.001) का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए जहाँ f(x) = x³ – 7x² + 15 है।
हल:
∵ f(x) = x³ – 7x² + 15
∴ f(5) = (5)³ – 7(5)² + 15 (x = 5 रखने पर)
= 140 – 175 = -35
∆x = 0.001
∴ f(x) = 3x² – 14x
∴ f(x) = f’ (x) × ∆x
= (3x² – 14x) × 0.001
= [3 (5)² – 14 × 5] × 0.001
= (75 – 70) × 0.001
= 5 × 0.001 = 0.005
∴ f(5.001) = f(5) + df (x)
= -35 + 0.005
= -34.995

प्रश्न 4.
xm भुजा वाले धन की भुजा में 1% वृद्धि के कारण घन के आयतन में होने वाला सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
हल:
माना xm भुजा वाले घन का आयतन V है।
∴ v = x³
भुजा में होने वाली वृद्धि = भुजा का 1%

प्रश्न 5.
xm भुजा वाले घन की भुजा में 1% ह्रास के कारण घन के पृष्ठ क्षेत्रफल में होने वाले सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
हल:
घन xm भुजा वाले घन का पृष्ठ = S
∴ S = 6x²
भुजा में हास = x का 1%
= x ×  = 0.01x
∴ सन्निकट परिवर्तन =  × ∆x
= 12 × (-0.01x)
= -012x²m²
अतः क्षेत्रफल में सन्निकट परिवर्तन = 0.12x²m²

प्रश्न 6.
एक गोले की त्रिज्या 7 m मापी जाती है जिसमें 0.02 m की त्रुटि है। इसके आयतन के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए।
हल:
गोले की त्रिज्या r = 7 m
त्रिज्या r में अशुद्धि ∆r = 0.03
माना r त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S
∴ S = 4πr²
⇒  = 8πr
अतः पृष्ठीय क्षेत्रफल में अशुद्धि =  × ∆x
= 8πr × ∆r
= 8 × π × 7 × 0.03
= 2.16πm²

प्रश्न 7.
एक गोले की त्रिज्या 9 m मापी जाती है जिसमें 0.03 cm की त्रुटि है। इसके पृष्ठ क्षेत्रफल के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ r= गोले की त्रिज्या = 9m
∆r त्रिज्या में अशुद्धि = 0.03
s = गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
 = 8πr
पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करने में अशुद्धि =  × ∆r
= 8πr × ∆r
= 8π × 9 × 003
= 2.16 πm³

प्रश्न 8.
यदि f(x) = 3x² + 15x + 5 हो तो f (3.02) का सन्निकट मान है-
(A) 47.66
(B) 57.66
(C) 67.66
(D) 77.66
हल:
यदि f(x) = 3x² + 15x + 5
f(x) = 6x + 15
f(3) = 3 × 9 + 15 × 3 + 5
= 27 + 45 + 5 = 77
df (x) = f'(x) × ∆x = (6x + 5) × ∆x
= (6 × 3 + 15) × 0.02 [∴ x = 3, ∆x = 0.02]
= (18 + 15) × 0.02
= 33 × 0.02 = 0.66
∴ f(3.02) = f(3) + df (3) = 77 + 0.66 = 77.66
अतः विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 9.
भुजा में 3% वृद्धि के कारण भुजा x के धन के आयतन में सन्निकट परिवर्तन है
(A) 0.06 x³ m³
(B) 0.6 x³ m³
(C) 0.09 x³ m³
(D) 0.9 x³ m³
हल:
घन का आयतन V = x³ m³ (भुजा = x m)
भुजा में वृद्धि = 3% = x का 3% = 0.03x
आयतन में वृद्धि =  × ∆x
= 3x² × ∆x = 3x² × 003x
= 0.09x³ m³
अतः विकल्प (C) सही है।

Ex 6.5

प्रश्न 1.
निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए
(i) f (x) = (2x – 1)² + 3
(ii) f (x) = 9x² + 12x + 2
(iii) f (x) = – (x – 1)² + 10
(iv) g (x) = x² + 1
हल:
(i) f (x) = (2x – 1)² + 3
(2x – 1)² का कम – से – कम मान = 0
∴ f(x) का निम्नतम मान = 3

(ii) f (x) = 9x² + 12x + 2 = 9x² + 12x + 4 – 2
= (3x + 2)² – 2
(3x + 2)² का निम्नतम मान = 0
∴ f (x) का निम्नतम मान = – 2

(iii) f (x) = – (x – 1)² + 10
– (x – 1)² का अधिकतम मान = 0
∴ f का उच्चतम मान = 10

(iv) g (x) = x³ + 1
g'(x) = 3x² जो x ϵ R के लिए धनात्मक है।
∴ g एक वर्धमान फलन है; अतः इसका कोई न्यूनतम तथा अधिकतम मान नहीं है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम मान या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए
(i) f (x) |x + 2| – 1
(ii) g (x) = – |x + 1| + 3
(iii) h (x) = sin (2x) + 5
(iv) f (x) = |sin 4x + 3|
(v) h(x) = x + 1, x ϵ ( – 1, 1)
हल:
(i) f(x) = |x + 2| – 1
|x + 2| का न्यूनतम मान 0 है।
∴ f का निम्नतम मान = – 1
अतः उच्चतम मान का अस्तित्व नहीं है।

(ii) g (x) = -|x + 1| + 3
– |x + 1| का अधिकतम मान = 0
∴ g (x) = – |x + 1| + 3 का उच्चतम मान 0 + 3 = 3
निम्नतम मान का अस्तित्व नहीं है।

(iii) h (x) = sin (2x) + 5
sin 2x का अधिकतम मान = 1
∴ h(x) = sin 2x + 5 का उच्चतम मान, 1 + 5 = 6
sin 2x का न्यूनतम मान = – 1
∴ h (x) = sin 2x + 5 का निम्नतम मान = – 1 + 5 = 4

(iv) f (x) = |sin 4x + 3|
sin 4x का अधिकतम मान = 1
f(x) = |sin 4x + 3| का उच्चतम मान = |1 + 3| = 4
तथा sin 4x का निम्नतम मान = – 1
f (x) = |sin 4x + 3| का निम्नतम मान = |- 1 + 3| = 2

(v) h (x) = x + 1 .
h'(x) = 1 = धनात्मक
h वर्धमान फलन है।
इसका कोई उच्चतम या निम्नतम मान नहीं है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित फलनों के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान,जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
(i) f (x) = x²
(ii) g (x) = x³ – 3x
(iii) h(x) = sin x + cos x, o < x <
(iv) f (x) = sin x – cos x, 0 < x < 2π
(v) f (x) = x³ – 6x² + 9x + 15
(vi) g (x) =  x > 0
(vii) g (x) =
(viii) f (x) =  x > 0
हल:
(i) f (x) = x²
f'(x) = 2x
यदि f'(x) = 0 तब 2x = 0 या x = 0
f'(x) जैसे ही x = 0 से होकर आगे बढ़ता है तो इसका चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में बदल जाता है।
∴ x = 0 पर f स्थानीय निम्नतम है।
स्थानीय निम्नतम मान = f (0) = 0

(ii) g(x) = x³ – 3x
∴ g'(x) = 3x² – 3 = 3 (x² – 1) = 3 (x – 1) (x + 1)
यदि g’ (x) = 0 तब 3x² – 3 = 0
⇒ x² – 1 = 0 ⇒ x = ± 1
x = – 1 पर g'(x) का चित – – = +
– + = –
जैसे ही x, x = – 1 से होकर आगे बढ़ता है, g’ का चिह्न + ve से – ve में परिवर्तित होता है।
∴ x = – 1 पर g उच्चतम है।
उच्चतम मान = g (- 1) = (- 1)³ – 3 (- 1) = – 1 + 3 = 2
x = 1 पर g'(x) के चिह्न जैसे ही x, x = 1 से होकर आगे बढ़ता है,
– + = –
+ + = +
g’ (x), ऋणात्मक से धनात्मक में परिवर्तित हो जाता है।
x = 1 पर g निम्नतम है।
निम्नतम मान = g(1) = 1³ – 3 = – 2

(iii) h(x) = sin x + cos x, 0 < x <
h'(x) = cos x – sin x = cos x(1 – tan x)
यदि h'(x) = 0 तब 1 – tan x = 0 या tan x = 1 या x =
x = पर x का मान से थोड़ा कम करने से tan x, 1 से कम होगा और x का मान  से थोड़ा अधिक रखने पर tan x, 1 से अधिक होगा।
इस प्रकार 1 – tan x का चिह्न + ve से – ve में परिवर्तित होता है। cos x में चिह्न में कोई परिवर्तन नहीं होता।
∴ x =  उच्चतम है।
स्थानीय उच्चतम मान

(v) f (x) = x³ – 6x² + 9x + 15
∴ f'(x) = 3x² – 12x + 9 = 3 (x² – 4x + 3)
= 3(x – 1)(x – 3)
यदि f'(x) = 0 ⇒ x – 1 = 0 या x – 3 = 0
∴ x = 1 .या x = 3

x का मान 1 से थोड़ा कम रखने पर
x का मान 1 से थोड़ा अधिक रखने पर
इस प्रकार f'(x) का चिह्न, जैसे ही x, x = 1 से होकर आगे बढ़ता है, + ve से – ve में परिवर्तित होता है।
⇒ x = 1, पर स्थानीय उच्चतम बिन्दु है।
स्थानीय उच्चतम मान = f (1) = 1 – 6 + 9 + 15 = 19

x का मान 3 से थोड़ा कम रखने पर,
x का मान 3 से थोड़ा अधिक रखने पर,
∴ f'(x) का चिह्न धनात्मक से ऋणात्मक में परिवर्तित होता है, जब x, x = 3 बिन्दु से होकर जाता है।
∴ x = 3 पर स्थानीय निम्नतम बिन्दु है।
∴ स्थानीय निम्नतम मान = f (3) = 27 – 54 + 27 + 15
= 69 – 54 = 15

x का मान 2 से थोड़ा कम रखने पर,
x का मान 2 से थोड़ा अधिक रखने पर,
g'(x) का चिह्न – – ve से + ve में परिवर्तित होता है, जब x,x = 2 से होकर आगे बढ़ता है।
∴ f, x = 2 पर स्थानीय निम्नतम है।
स्थानीय निम्नतम मान = g (2) =

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित फलनों का उच्चतम यो निम्नतम मान नहीं है
(i) f (x) = e^x
(ii) g (x) = log x
(iii) h(x) = x³ + x² + x + 1
हल:
(i) f(x) = e^x

अतः दिया गया फलन न तो उच्चतम है और न ही न्यूनतम
(iii) h(x) = x³ + x² + x + 1
= h'(x) = 3x² + 2x + 1
यदि h'(x) = 0
⇒ 3x² + 2x + 1 = 0

जो कि काल्पनिक संख्या है
अत: ∀ x ϵ R, h'(x) ≠0
अतः h का कोई भी मान उच्चतम या निम्नतम नहीं है।

प्रश्न 5.
प्रदत्त अन्तरालों में निम्नलिखित फलनों के निरपेक्ष उच्चतम मान और निरपेक्ष निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
(i) f (x) = x³, x ϵ [- 2,2]
(ii) f (x) = sin x + cos x x ϵ [0, 1]
(iii) f (x) = 4x – x², x ϵ [-2, ]
(iv) f (x) = (x – 1)² + 3, x ϵ [- 3, 1]
हल:
(i) f (x) = x³, अन्तराल [ – 2, 2]
∴ (x) = 3x²
यदि f’ (x) = 0, तब 3x² = 0 ∴ x = 0
f(- 2) = (- 2)³ = – 8
f (0) = (0)³ = 0
तथा f (2) = (2)³ = 8
निरपेक्ष उच्चतम मान = 8
निरपेक्ष निम्नतम मान = – 8

(ii) f(x) = sinx + cosx, x ϵ [0, π]
⇒ f'(x) = cosx – sin x
उच्चतम व निम्नतम मान के लिए
f'(x) = 0
⇒ cosx – sin x = 0
⇒ tan x = 1
⇒ x = π/4
अब x = , 0, π पर f(x) का मान ज्ञात करना है।

f(0) = sin 0° + cos0° = 0 + 1 = 1
f(π) = sin π + cos π = 0 – 1 = – 1
अत: फलन f(x) का निरपेक्ष उच्चतम मान x =  पर √2 है।
तथा x = π पर f(x) का निरपेक्ष निम्नतम मान – 1 है।

अंत: x = 4 पर f(x) का निरपेक्ष उच्चतम मान = 8
तथा x = – 2 पर f(x) का निरपेक्ष निम्नतम मान = – 10

(iv) यहाँ f (x) = (x – 1)² + 3, [- 3, 1]
∴ f'(x) = 2(x – 1)
यदि f'(x) = 0, 2(x – 1) = 0, x = 1
f(1) = (1 – 1)² + 3 = 0 + 3 = 3
f(- 3) = (- 3 – 1)² + 3 = 16 + 3 = 19
अतः निरपेक्ष उच्चतम मान = 19
तथा निरपेक्ष निम्नतम मान = 3

प्रश्न 6.
यदि लाभ फलन P(x) = 41 – 72x – 18x² से प्रदत्त है तो किसी कम्पनी द्वारा अर्जित उच्चतम लाभ ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है लाभ फलन
P(x) = 41 – 72x – 18x²

⇒ 36x = – 72
x = – 2
∴ x = – 2 पर
 = – 36 < 0
अतः x = – 2 पर लाभ फलन का मान उच्चतम है।
अतः उच्चतम लाभ = P( – 2)
= 41 – 72(- 2) – 18(- 2)²
= 41 + 144 – 72
= 113

प्रश्न 7.
अन्तराल [0, 3] पर 3x⁴ – 8x³ + 12x² – 48x + 25 के उच्चतम मान और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ f(x) = 3x⁴ – 8x² + 12x² – 48x + 25
∴ f'(x) = 12x³ – 24x² + 24x – 48
= 12[x³ – 2x² + 2x – 4] = 12[x² (x – 2) + 2(x – 2)]
= 12(x – 2)(x² + 2)
यदि f'(x) = 0, तब
x – 2 = 0 ∴ x = 2
अन्तराल (0, 3) पर,
f (0) = 25
f(2) = 3(2)⁴ – 8(2)³ + 12(2)² – 48(2) + 25
= 3 × 16 – 8 × 8 + 12 × 4 – 48 × 2 + 25
= 48 – 64 + 48 – 96 + 25 = – 39
तथा f(3) = 3(3)⁴ – 8(3)³ + 12(3)² – 48(3) + 25
= 3 × 81 – 8 × 27 + 12 × 9 – 48 × 3 + 25
= 243 – 216 + 108 – 144 + 25 = 16
∴ निरपेक्ष उच्चतम मान = 25
निरपेक्ष निम्नतम मान = – 39

प्रश्न 8.
अन्तराल [0, 2 π] के किन बिन्दुओं पर फलन sin 2x अपना उच्चतम मान प्राप्त करता है।
हल:
यहाँ f (x) = sin 2x,[0, π] पर
∴ (x) = 2cos 2x
यदि f'(x) = 0 ⇒ 2cos 2x = 0

प्रश्न 9.
फलन sin x + cos x का उच्चतम मान क्या है?
हल:
यहाँ f(x) = sin x + cos x, [0, 2π] पर,
∴ f(x) = cos x – sin x
f'(x) = 0 = cos x – sin x = 0 ⇒ tan x = 1

प्रश्न 10.
अन्तराल [1,3] में 2x³ – 24x + 107 का महत्तम मान ज्ञात कीजिए।इसी फलन का अन्तराल [- 3, – 1]में भी महत्तम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ f (x) = 2x³ – 24x + 107, [1, 3]
∴ f(x) = 6x² – 24
उच्चतम व निम्नतम मान के लिए,
f'(x) = 0
⇒ 6x² – 24 = 0 ⇒ 6x² = 24 ⇒ x² = 4 ∴ x = ± 2
अन्तराल [1, 3] के लिए,
f(1) = 2(1)³ – 24 (1) + 107 = 2 – 24 + 107 = 85
f(2) = 2(2)³ – 24 (2) + 107 = 16 – 48 + 107 = 75
f(3) = 2(3)³ – 24 (3) + 107 = 54 – 72 + 107 = 89
इस प्रकार अधिकतम f (x) = 89, x = 3 पर, अन्तराल [- 3, – 1] के लिए हम x = – 3, – 2, – 1 पर f (x) का मान ज्ञात करते हैं।
f(- 3) = 2(- 3)³ – 24(- 3) + 107
= – 54 + 72 + 107 = – 54 + 179 = 125
f(- 2) = 2(- 2)³ – 24 (- 2) + 107
= – 16 + 48 + 107 = 139
f(- 1) = 2(- 1)³ – 24(- 1) + 107 = – 2 + 24 + 107 = 129
इस प्रकार अधिकतम मान f (x) = 139, x = – 2 पर

प्रश्न 11.
यदि दिया है कि अन्तराल [0, 2] में x = 1 पर फलन x⁴ – 62x³ + ax + 9 उच्चतम मान प्राप्त करता है तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ f (x) = x⁴ – 62x³ + ax + 9
∴ f'(x) = 4x³ – 124x + a
उच्चतम व निम्नतम मान के लिए, f'(x) = 0
⇒ 4x³ – 124x + a = 0
x = 1, पर f उच्चतम है ⇒ f (1) = 0
∴ 4 × – 124 × 1 + a = 0 ⇒ 4 – 124 + a = 0
⇒ – 120 + a = 0
∴ a = 120
f(x) = 4x³ = 124x + a
f(x) = 12x² – 124
f(1) = 12 – 124 = – 112 < 0
अतः x = 1, उच्चतम है जब a = 120

प्रश्न 12.
[0, 2π] पर x + sin 2x का उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना f(x) = x + sin 2x
∴ f(x) = 1 + 2cos 2x
उच्चतम व निम्नतम बिन्दु के लिए, f'(x) = 0
⇒ 1 + cos 2x = 0 ⇒ cos 2x = – 1


f(x) का उच्चतम मान = 2π
f (x) का उच्चतम मान = 0

प्रश्न 13.
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 24 है और जिनका गुणनफल उच्चतम हो।
हल:
माना अभीष्ट संख्याएँ x तथा 24 – x हैं।
माना उनका गुणनफल P है।
∴ P = x(24 – x)
P = 24x – x²

अतः x = 12 के लिए P (संख्याओं का गुणनफल) उच्चतम है।

प्रश्न 14.
ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए ताकि x + y = 60 और xy³ उच्चतम हो।
हल:
∵ x + y = 60
माना P = xy³
⇒ P = (60 – y) y³
(∵ x + y = 60
⇒ x = 60 – y)
⇒ P = 60y³ – y⁴


अत: x = 15, y = 45 के लिए P = xy³ उच्चतम है।

प्रश्न 15.
ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए जिनका योग 35 हो और गुणनफल x²y² उच्चतम हो।
हल:
दो धन संख्याएँ x, y हैं।
x + y – 35
∴ y = 35 – x
गुणनफल P = x²y⁵
y का मान समी० (2) में रखने पर
P = x² (35 – x)⁵
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

केवल 10 स्वीकृत मान है जैसे कि x = 0, 35 अस्वीकृत कर दिए जाते हैं।
x = 10 पर,
जब x, 10 के निकट और 10 की बाईं ओर हो तो
 = (1)(+ 1)(+ 1) = + ve
जब x, 10 के निकट और 10 की दाई ओर हो तो
= (+)(+)(-) = – ve
इस प्रकार x, 10 से होता हुआ आगे बढ़ता है
+ ve से – ve को परिवर्तित होता है।
x = 10 पर P उच्चतम है।
∴ y = 35 – 10 = 25
अतः अभीष्ट संख्याएँ 10 और 25 हैं।

प्रश्न 16.
ऐसी दो धन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 16 हो और जिनके घनों का योग निम्नतम हो।
हल:
माना x और 16 – x दो धन संख्याएँ हैं।
प्रश्नानुसार, घनों का योग S = x³ + (16 – x)³
अवकलन करने पर,
 = 3x² + 3(16 – x)² ( – 1)
= 3x² – 3(16 – x)²
= 3x² – 3(256 + x² – 32x)
= 3x² – 3 × 256 – 3x² + 3 × 32x
= 3(32x – 256)
उच्चतम व निम्नतम बिन्दु के लिए,

अतः अभीष्ट संख्याएँ 8 और (16 – 8)अर्थात् 8 और 8 हैं।

प्रश्न 17.
18 cm भुजा के टिन के किसी वर्गाकार टुकड़े से प्रत्येक कोने पर एक वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बने टिन के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक सन्दूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे सन्दूक का आयतन उच्चतम हो?
हल:
माना वर्ग की प्रत्येक भुजा x सेमी काटी गई है।
∴ सन्दूक के लिए,
लम्बाई = 18 – 2x
चौड़ाई = 18 – 2x
ऊँचाई = x
∴ आयतन V = ल० × चौ० × ॐ
= x (18 – 2x)(18 – 2x) = x (18 – 2x)².1


∴ x = 3 पर आयतन अधिकतम होगा। अर्थात् वर्ग की भुजा प्रत्येक कोने से 3 सेमी काटी गई है तो आयतन उच्चतम होगा।

प्रश्न 18.
45 cm × 24 cm की टिन की आयताकार चादर के कोनों पर वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बने टिन के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक सन्दूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे सन्दूक का आयतन उच्चतम हो?
हल:
माना प्रत्येक कोने से x सेमी भुजा काटी गई है।
∴ आयताकार सन्दूक की भुजाएँ
l = 45 – 2x
b = 24 – 2x
h = x सेमी


अतः x = 5 के लिए आयतन उच्चतम है।

प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए कि एक दिए वृत्त के अन्तर्गत सभी आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल उच्चतम होता है।
हल:
माना a त्रिज्या के वृत्त के अन्तर्गत आयतन की लम्बाई x तथा चौड़ाई y है।

∴ x² + y² = (2a)²
⇒ x² + y² = 4a² …(1)
∴ आयतन का क्षेत्रफल = xy

जब x बिन्दु x = √2 a से होकर जाता है तो A’ (x) का चिह्न धनात्मक से ऋणात्मक में बदल जाता है। अतः आयत का क्षेत्रफल उच्चतम होगा, जब x = √2 a और y = √2 a होगा। अर्थात् आयत वर्ग होगा।

प्रश्न 20.
सिद्ध कीजिए कि प्रदत्त पृष्ठ एवं महत्तम आयतन के बेलन की ऊँचाई आधार के व्यास के बराबर होती है।
हल:
माना बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = S
त्रिज्या = r
ऊँचाई = h
आयतन = V
पृष्ठीय क्षेत्रफल S = 2πr² + 2πrh


अतः जब बेलन की ऊँचाई आधार के व्यास के बराबर है तो आयतन अधिकतम होता है।

प्रश्न 21.
100 cm³ आयतन वाले डिब्बे सभी बंद बेलनाकार (लम्ब वृत्तीय) डिब्बों में से न्यूनतम पृष्ठ क्षेत्रफल वाले डिब्बे की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बेलनाकार डिब्बों की त्रिज्या और ऊँचाई क्रमश: r और h है।
आयतन = πr²h = 100 cm³


⇒ S न्यूनतम होगा।
अतः कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल न्यूनतम होगा।

प्रश्न 22.
एक 28 cm लम्बे तार को दो टुकड़ों में विभक्त किया जाना है। एक टुकड़े से वर्ग तथा दूसरे से वृत्त बनाया जाना है। दोनों टुकड़ों की लम्बाई कितनी होनी चाहिए जिससे वर्ग एवं वृस का सम्मिलित क्षेत्रफल न्यूनतम हो?
हल:
माना तार के एक भाग की लम्बाई x सेमी है तब दूसरा भाग = (28 – x) सेमी होगा।
माना x लम्बाई वाला भाग । त्रिज्या वाले वृत्त में बदला गया है।

प्रश्न 23.
सिद्ध कीजिए कि R त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत विशालतम शंकु का आयतन गोले के आयतन का  होता है।
हल:
माना V AB गोले के अन्तर्गत विशालतम शंकु का आयतन है।
स्पष्टतयाः अधिकतम आयतन के लिए शंकु का अक्ष गोले . की ऊँचाई के साथ होना चाहिए।

प्रश्न 24.
सिद्ध कीजिए कि न्यूनतम पृष्ठ पर दिए आयतन के लम्ब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई, आधार की त्रिज्या की 72 गुनी होती है।
हल:
माना शंकु की त्रिज्या = r
शंकु की ऊँचाई = h


∴ S न्यूनतम है जब h = √2r
अतः न्यूनतम वक्र पृष्ठ वाला लम्ब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई, त्रिज्या की √2 गुनी है।

प्रश्न 25.
सिद्ध कीजिए कि दी हुई तिर्यक ऊँचाई और महत्तम आयतन वाले शंकु का अर्थ शीर्ष कोण tan^-1 √2 होता है।
हल:
माना शंकु की त्रिज्या = r
ऊँचाई = l
ऊर्ध्वाधर ऊँचाई = AM = lcosθ
शंकु की त्रिज्या = MC = lsinθ

प्रश्न 26.
सिद्ध कीजिए कि दिए हुए पृष्ठ और महत्तम आयतन वाले लम्ब वृत्तीय शंकु का अर्द्ध शीर्ष कोण sin^-1  होता है।
हल:
माना शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल S तथा आयतन V है। शंकु की त्रिज्या , ऊँचाई h तथा तिर्यक ऊँचाई l है।
शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl + πr²

विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
अवकलज का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
(a)
(b) (33)^-1/5
हल:

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि f (x) =  द्वारा प्रदत्त फलन x = e पर उच्चतम है।
हल:

अतः f, x = e पर उच्चतम है।

प्रश्न 3.
किसी निश्चित आधार b के एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ 3 cm/s की दर से घट रही हैं। उस समय जब त्रिभुज की समान भुजाएँ आधार के बराबर हैं, उसका क्षेत्रफल कितनी तेजी से घट रहा है?
हल:
माना ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है। जिसमें AB = AC = x (माना)


त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल का ह्रास √3b cm²/sec की दर से हो रहा है।

प्रश्न 4.
वक्र x² = 4y के बिन्दु (1, 2) पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र का समीकरण = x² = 4y
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि वक्र x = acosθ + aθ sinθ, y = a sinθ – aθ cosθ के किसी बिन्दु पर अभिलम्ब मूल बिन्दु से अचर दूरी पर है।
हल:
वक्र x = acosθ + aθsinθ
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 6.
अन्तराल ज्ञात कीजिए जिन पर :

से प्रदत्त फलन f (i) वर्धमान, (ii) ह्रासमान है।
हल:
यहाँ

प्रश्न 7.
अन्तराल ज्ञात कीजिए जिन पर f (x) = x³ +  x ≠ 0 से प्रदत्त फलन
(i) वर्धमान
(ii) ह्रासमान है।
हल:

⇒ x⁶ – 1 > 0 ⇒ (x³ – 1)(x + 1) > 0
जब x < -1 है तो (x³ – 1)(x³ + 1) दोनों ही ऋण हैं।
⇒ (x³ – 1)(x³ + 1) धन होगा।
⇒ (x³ – 1) (x³ + 1) > 0
इस प्रकार, जब x > 1 है तो x³ – 1 और (x + 1) दोनों धन
∴ (x³ – 1)(x³ + 1) भी धन है।
∴ (x³ – 1)(x³ + 1) > 0
⇒ x < -1 और x > 1 में फलन f वर्धमान हैं।
जब -1 < x < 1, x³ – 1 ऋण और x³ + 14 धन होगा।
∴ (x³ – 1)(x³ + 1) का चिह्न ऋण होगा।
∴ (x³ – 1)(x³ + 1) < 0 ह्रासमान है।
अतः f वर्धमान है जब x < -1 और x > 1 है।
ह्रासमान है जब -1 < x < 1 है।

प्रश्न 8.
दीर्घवृत्त  के अन्तर्गत उस समद्विबाहु त्रिभुज का महत्तम क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष दीर्घ अक्ष का एक सिरा है।
हल:
दीर्घवृत्त,
माना दीर्घवृत्त पर एक बिन्दु P (acos θ, b sin θ) है। APP’ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
PP’ दीर्घवृत्त के अक्ष AA’ को बिन्दु M पर काटती है।
∆APP’ का क्षेत्रफल A = PP’ × AM

प्रश्न 9.
आयताकार आधार व आयताकार दीवारों की 2m गहरी और 8 m³ आयतन की एक बिना ढक्कन की टंकी का निर्माण करना है। यदि टंकी के निर्माण में आधार के लिए Rs. 70/m² और दीवारों पर Rs. 45/m² व्यय आता है तो निम्नतम खर्च से बनी टंकी की लागत क्या है?
हल:
माना एक आयताकार टंकी की लम्बाई x मीटर है तथा चौड़ाई y मीटर है।
टंकी की गहराई = 2 मीटर
∴ आयतन = 2 × x × y
= 2ry = 8 (दिया है)
xy = 4 …(1)
आयताकार का क्षेत्रफल =ry
आधार पर खर्च की दर = Rs. 70/m²
∴ आधार पर किया गया खर्च = 70xy रु०

प्रश्न 10.
एक वृत्त और एक वर्ग के परिमापों का योगk है, जहाँ k एक अचर है। सिद्ध कीजिए कि उनके क्षेत्रफलों का योग निम्नतम है, जब वर्ग की भुजा वृत्त की त्रिज्या की दुगुनी है।
हल:
माना वर्ग की भुजा x तथा वृत्त की त्रिज्या r है।
वर्ग का परिमाप = 4x, वृत्त की परिधि = 2πr
दोनों परिमापों का योग = 2πr + 4x = k … (1)
वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
वर्ग का क्षेत्रफल = x²
∴ दोनों का योग A = πr² + x² …(2)
समी० (1) से, 4x = k – 2πr

प्रश्न 11.
किसी आयत के ऊपर बने अर्धवृत्त के आकार वाली खिड़की है। खिड़की का सम्पूर्ण परिमाप 10 m है। पूर्णतया खुली खिड़की से अधिकतम प्रकाश आने के लिए खिड़की की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना ABCPD एक खिड़की है जिसमें CPD अधिवृत्त
∴ AB = 2r, BC = AD = x
तो CPD =  . 2πr = πr

प्रश्न 12.
त्रिभुज की भुजाओं से a और b दूरी पर त्रिभुज के कर्ण पर स्थित एक बिन्दु है। सिद्ध कीजिए कि कर्ण की न्यूनतम लम्बाई (a^2/3 + b^2/3)^3/2 है।
हल:
माना ∆ABC में कर्ण पर एक बिन्दु P है।
P से AB पर PL तथा P से BC पर PM लम्ब खींचे।
मान लिया ∠ ACB = θ = ∠APL
AP = asecθ, PC = bcosec θ
माना कर्ण की लम्बाई l है, तब
l = AP + PC
= asecθ + b cosec θ
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 13.
उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर f(x) = (x – 2)⁴ (x + 1)⁴ द्वारा प्रदत्त फलन f का
(i) स्थानीय उच्चतम बिन्दु है,
(ii) स्थानीय निम्नतम बिन्दु है,
(iii) नत परिवर्तन बिन्दु है।
हल:
यहाँ f (x) = (x – 2)⁴ (x + 1)⁴
∴ f'(x) = (x – 2)⁴ . 3(x + 1)² + (x + 1)³ . 4(x – 2)³
= (x – 2)³ (x + 1)² [3(x – 2) + 4(x + 1)]
= (x – 2)³ (x + 1)² [3x – 6 + 4x + 4]
= (x – 2)³ (x + 1)² (7x – 2)
= 7(x – 2)³ (x + 1)² (x – )
उच्चतम व निम्नतम के लिए 1 (x)= 0
⇒ 7(x – 2)³ + (x + 1)²(x – ) = 0
∴ = 2, -1,
(i) जब x=2 पर,
x, 2 के निकट और 2 के बायीं ओर तो, f(x) = (-)(+)(+) = -ve
x, 2 के निकट और 2 के दायीं ओर तो, f(x) = (+)(+)(+) = + ve
∴ जब x, x = -2 से होकर आगे बढ़ता है तो f(x) का चिह्न ऋण से धन में परिवर्तित हो जाता है।
⇒ f, x = 2 पर निम्नतम है।

(ii) x = -1 पर
x, -1 के निकट और 1 से कम मान रखने पर,
f'(x) = (-)(+)(-) = + ve
x, -1 के निकट और -1 से अधिक मान रखने पर,
f(x) = (-)(+)(-) = + ve
⇒ x, -1 एक नत परिवर्तन बिन्दु है।

(iii) x =  = 0.28 पर
x का  के निकट  से कम मान रखने पर,
f'(x) = (-)(+)(-) = + ve
x का के निकट और  से अधिक मान रखने पर,
f'(x) = (-)(+)(-) = -ve
⇒ x =  पर, (x) धन से ऋण में परिवर्तित हो जाता है, जैसे ही x, x =  से होकर आगे बढ़ता है।
इस प्रकार x = 2 पर निम्नतम है, x = -1 पर नति परिवर्तन और x =  पर उच्चतम होता है।

प्रश्न 14.
f (x) = cos² x + sin x, x ϵ [0, π] द्वारा प्रदत्त फलन का निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ f(x) =cos² x + sin x, x ϵ (0, π)
en f'(x)= 2cos x(–sin x) + cos x
= cos x(-2sin x + 1)
उच्चतम व निम्नतम के लिए, f (x)= 0
⇒ cos x (-2sin x + 1) = 0

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए कि एक r त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत उच्चतम आयतन के लम्ब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई  है।
हल:
माना गोले की त्रिज्या = r
शंकु की त्रिज्या = R
शंकु की ऊँचाई = AM
= OA + OM
= r + rcosθ
= r(1 + cosθ)
जबकि ∠ BOM = θ
BC = शंकु के आधार का व्यास
∴ शंकु की त्रिज्या = r sin θ

प्रश्न 16.
मान लीजिए [a, b] पर परिभाषित एक फलन f है। इस प्रकार कि सभी x ϵ (a, b) के लिए f (x) > 0 है तो सिद्ध कीजिए कि (a, b) पर f एक वर्धमान फलन है।
हल:
माना x₁, x₂, ϵ (a, b) इस प्रकार है कि x₁ < x₂ ϵ f (x),(a, b) पर अवकलनीय है और [x₁, x₂] ⊂ (a, b)
∴ f(x), [x₁, x₂] पर संतत है और (x₁, x₂) पर अवकलनीय है।
∴ Lagrange माध्यमान प्रमेय के अनुसार,
यहाँ c ϵ (x₁, x₂) का अस्तित्व इस प्रकार है कि

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि एक R त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई  है। अधिकतम आयतन भी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना गोले की त्रिज्या, OA = R
बेलन के अक्ष के साथ θ कोण बनाती है।
बेलन की त्रिज्या = Rsin θ
बेलन की ऊँचाई = 2Rcosθ
∴ बेलन का आयतन = πr²h
V = π (Rsin θ)² × 2Rcosθ

प्रश्न 18.
सिद्ध कीजिए कि अर्द्धशीर्ष कोण और ऊँचाई h के लम्ब वृत्तीय शंकु के अन्तर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई शंकु के ऊँचाई की एक-तिहाई है और बेलन का अधिकतम आयतन  = πh³ tan² α है।
हल:
माना VAB एक शंकु है।
शंकु की ऊँचाई = h
अर्द्धशीर्ष कोण = α
बेलन A’B’DC जो शंकु के अन्तर्गत बनाया गया है जिसकी त्रिज्या = x है।

नोट-प्रश्न 1 से 6 तक के प्रश्नों में सही उत्तर चुनिए।

प्रश्न 1.
एक 10m त्रिज्या की बेलनाकार टंकी में 314 m³/h की दर से गेहूँ भरा जाता है। भरे गए गेहूँ की गहराई की वृद्धि दर है-
(A) 1 m/h
(B) 0.1 m/h
(C) 1.1 m/h
(D) 0.5 m/n
हल:
माना बेलनाकार टंकी की लम्बाई h और त्रिज्या r है।
टंकी का आयतन = πr²h
= π × 10 × 10 × h [∵ r = 10m]
V = 100πh

अतः विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 2.
वक्र x = t² + 3t – 8, y = 2t² – 2t -5 के बिन्दु (2, -1) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता है-

हल:
वक्र x = t² + 3t – 8 में x = 2 रखने पर,
2 = t² + 3t – 8 ⇒ t² + 3t – 10 = 0
⇒ (t + 5)(t – 2) = 0
∴ t = -5, 2.
इसी प्रकार y = 2t² – 2t – 5 में y = -1 रखने पर,
-1 = 2t² – 2t – 5 ⇒ 2t² – 2t – 5 + 1 = 0
⇒ 2t² – 2t – 4 = 0
⇒ t² – t – 2 = 0
⇒ (t – 2)(t + 1) = 0
∴ t = -1, 2
दोनों में t = 2 उभयनिष्ठ है।

अत: विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 3.
रेखा y = mx + 1, वक्र y² = 4x की एक स्पर्श रेखा है यदि m का मान है-
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D)
हल:
वक्र y² = 4x

प्रश्न 4.
वक्र 2y + x² = 3 के बिन्दु (1, 1) पर अभिलम्ब का समीकरण है
(A) x + y = 0
(B) x – y = 0
(C) x + y + 1 = 0
(D) x – y = 1
हल:
वक्र 2y + x² = 3
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
वक्र x² = 4y का बिन्दु (1, 2) से होकर जाने वाला अभिलम्ब है-
(A) x + y = 3
(B) x – y = 3
(C) x + y =1
(D) x – y = 1
हल:
वक्र x² = 4y
अवकलन करने पर,

प्रश्न 6.
वक्र 9y² = x³ पर वे बिन्दु जहाँ पर वक्र का अभिलम्ब अक्षों से समान अन्तःखण्ड बनाता है-

हल:
वक्र 9y² = x³
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

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