MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग

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Ex 8.1

प्रश्न 1.
वक्र y = x रेखाओं x = 1, x = 4 एवं x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का प्रथम पाद में क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है y² = x
या y = √x
वक्र का शीर्ष मूल बिन्दु है तब यह एक परवलय है।
∵ क्षेत्र POLM, x = 1, x = 4, x-अक्ष तथा वक्रों से घिरा है

प्रश्न 2.
प्रथम चतुर्थांश में वक्र y² = 9x, x = 2, x = 4 एवं x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र y = 9x एक परवलय है जिसका शीर्ष (0, 0) है वक्र x-अक्ष के सममित है ।
क्षेत्र PORS, वक्र y² = 9x,
x = 2, x = 4 तथा x-अक्ष से घिरा है।
अब,
y² = 9x
y = 3√x

प्रश्न 3.
प्रथम चतुर्थांश में x² = 4y, y = 2, y = 4 एवं y-अंक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है x² = 4y एक परवलय है
जिनका शीर्ष मूल बिन्दु है।

वक्र y = 2, y = 4 तथा v-अक्ष से घिरा है।
x² = 4y
या ⇒ x = 2√y
क्षेत्र ABCD का क्षेत्रफल

प्रश्न 4.
दीर्घवृत्त  से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दीर्घवृत्त का समीकरण

∵ समी० में x तथा ) की घात बराबर है अत: यह दोनों अक्षों के सममित हैं।
∴ दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल = 4 × OACO का क्षेत्रफल

प्रश्न 5.
दीर्घवृत्त  से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दीर्घवृत्त का समीकरण

∵ समीकरण में x तथा y की घात बराबर है अतः दीर्घवृत्त दोनों अक्षों के सममित होगा।

प्रश्न 6.
प्रथम चतुर्थांश में वृत्त x² + y² = 4 रेखा r = √3y एवं x-अक्ष द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वृत्त का समी० x² + y² = 4
वृत्त का केन्द्र (0, 0) तथा त्रिज्या 2 के समान हैं।

प्रश्न 7.
छेदक रेखा x =  द्वारा वृत्त x² + y² = a² के छोटे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वृत्त का समी० x² + y² = a² …(i)
…(ii)
समी० (i) से स्पष्ट है कि यह एक वृत्त है और समी० (ii) y-अक्ष के समान्तर  मात्रक दूरी पर इसके दायीं ओर एक सरल रेखा है।

प्रश्न 8.
यदि वक्र x = y² एवं रेखा x = 4 से घिरा हुआ क्षेत्रफल रेखा x = a द्वारा दो बराबर भागों में विभाजित होता है तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र x = y² एक परवलय है, जिसका शीर्ष मूल बिन्दु है। y = 0 इसका अक्ष है। जिसके सापेक्ष परवलय सममित हैं तथा x = 4 एक सरल रेखा है जो ‘-अक्ष से 4 इकाई दूरी पर है।

प्रश्न 9.
परवलय y = x² एवं y = |x| से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है y = x² ….(i)
और y = |x|
समी० (i) से स्पष्ट है कि यह एक परवलय का समी० है जिसका केन्द्र मूल बिन्दु है।

प्रश्न 10.
वक्र x² = 4y एवं रेखा x = 4y – 2 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र का समी० x² = 4y …(i)
तथा रेखा का समी० x = 4y – 2 …(ii)
समी० (i) व (ii) को हल करने पर वक्र तथा रेखा के प्रतिच्छेदन बिन्दु (2, 1) और (-1, 1/4) प्राप्त होते हैं।
वक्र एक ऊपरी ओर का परवलय हैं जिसका केन्द्र मूल बिन्दु हैं।

प्रश्न 11.
वक्र y² = 4x एवं रेखा x = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र का समी० y² = 4x …(i)
रेखा का समी० x = 3 …(ii)

समी० (i) एक परवलय का समी० है जिसका केन्द्र मूल बिन्दु है।
तथा x = 3 रेखा है जो -अक्ष के समान्तर 3 इकाई दूरी पर है।
अभीष्ट क्षेत्रफल OBCAO का क्षेत्रफल
= 2 × OBCAO का क्षेत्रफल

Ex 8.2

प्रश्न 1.
परवलय x² = 4y और वृत्त 4x² + 4y² = 9 के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
परवलय का समी० x² = 4y …(i)
तथा वृत्त का समी० x² + y² =  …(ii)
समी० (i) व (ii) को हल करने पर बिन्दु  प्रतिच्छेदन बिन्दु के रूप में प्राप्त होते हैं।
∴ दोनों वक्र x-अक्ष के सममित हैं।
∴ अभीष्ट क्षेत्रफल = 2 × ODCAO का क्षेत्रफल

प्रश्न 2.
वक्रों (x – 1)² + y = 1 एवं x² + y² = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्रों के समीकरण
x² + y = 1 …(i)
(x – 1)² + y² = 1
समी० (i) वृत्त का समी० है। जिसका केन्द्र (0, 0) तथा

त्रिज्या 1 इकाई है। जबकि समी० (ii) उस वृत्त का समीकरण है जिसका केन्द्र (1,0) तथा त्रिज्या 1 इकाई है।
समी० (i) व (ii) को हल करने पर प्रतिच्छेदन बिन्दु  है।
∴ अभीष्ट क्षेत्रफल
= 2 × OCRAO का क्षेत्रफल
= 2 × [OCAO का क्षेत्रफल + CBAC का क्षेत्रफल]

प्रश्न 3.
वक्रों y = x² + 2, y = x, x = 0 एवं x = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र का समी० y = x² + 2
या x² = y – 1 यह एक परवलय का समी० है जिसका शीर्ष (0, 2) है।

प्रश्न 4.
समाकलन का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (-1, 0), (1, 3) एवं (3, 2) हैं।
हल:
दिया है : शीर्ष बिन्दु (-1, 0), (1, 3) और (3, 2) रेखा AB का समी०

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = (ANBA का क्षे० + NMCBN का क्षे०) – AMCA का क्षे०

प्रश्न 5.
समाकलन का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिकोणीय क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाओं के ‘समीकरण y = 2x + 1, y = 3x + 1 एवं x = 4 हैं।
हल:
दिया है
भुजाओं के समी० y = 2x + 1 ….(i)
y = 3x + 1 …(ii)
x = 4 …(iii)

सही उत्तर का चयन कीजिए-

प्रश्न 1.
वृत्त x² + y² = 4 एवं रेखा x + y = 2 से घिरे छोटे भाग का क्षेत्रफल है-
(A) 2 (π – 2)
(B) (π – 2)
(C) 2π – 1
(D) 2(π + 2)
हल:
वृत्त का समी० x² + y² = 4
वृत्त का केन्द्र O है तथा त्रिज्या 2 है।

अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 2.
वक्रों y² = 4x एवं y = 2x के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल है-

हल:
वक्र कासमी० y² = 4x …(i)
रेखा का समी० y = 2x …(ii)
समी० (i) व (ii) से
(2x)² = 4x
4x² = 4x
⇒ x² – x = 0
⇒ x(x – 1) = 0
⇒ x = 0, x = 1

समी० (ii) से जब x = 0, y= 0 और जब x = 1, y = 2
समी० (i) व समी० (ii) का प्रतिच्छेदन बिन्दु (0, 0) तथा A(1, 2) हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल

अतः विकल्प (B) सही है।

विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
दिए हुए वक्रों एवं रेखाओं से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए-
(i) y = x², x = 1, x = 2 एवं x-अक्ष
(ii) y = x⁴, x = 1, x = 5 एवं x-अक्ष
हल:
(i) परवलय y = x² का शीर्ष (0, 0) है। OY रेखा सममित है।
y = x², x = 1, x = 2 एवं x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल
= क्षेत्र PLMQ का क्षेत्रफल

प्रश्न 2.
वक्रों y = x एवं y = x² के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्रों के समी० y = x …(i)
y = x² ….(ii)
समी० (i) एक सीधी रेखा को प्रदर्शित करता है जो मूल बिन्दु से गुजरती है तथा समी० (ii) एक परवलय को प्रदर्शित करती है जिसका शीर्ष (0, 0) है।
समी० (i) व (ii) को परस्पर हल करने पर प्रतिच्छेदन बिन्दु (0, 0) और (1, 1) प्राप्त होते हैं।

प्रश्न 3.
प्रथम चतुर्थांश में सम्मिलित एवं y = 4x², x = 0, y = 1 तथा y = 4 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
y = 4x² एक परवलय का समी० है जिसका शीर्ष मूल बिन्दु है। OY रेखा सममित है।
∴ y = 1, y = 4, x = 0, y = 4x² से घिरा क्षेत्रफल

प्रश्न 4.
y = |x + 3| का ग्राफ खींचिए एवं  का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
y = |x + 3|
x = -3, y = 0 पर
AQ रेखा है जो y = x + 3
जब x + 3 < 0,
y = -(x + 3) = -x – 3
AP रेखा का ग्राफ AP है।

प्रश्न 5.
x = 0 एवं x = 2π तथा वक्र y = sin x से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
y = sin x के ग्राफ पर कुछ बिन्दु इस प्रकार हैं। इन बिन्दुओं को वक्र द्वारा मिलाने से ग्राफ प्राप्त होता है।


अभीष्ट क्षेत्र का क्षेत्रफल
= वक्र OPAQB तथा x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल
= क्षेत्र OPA का क्षेत्रफल + क्षेत्र AOB का क्षेत्रफल
= 2 क्षेत्र OPA का क्षेत्रफल

= 2 [1 + 1] = 2 × 2 = 4 वर्ग इकाई

प्रश्न 6.
परवलय y = 4ax एवं रेखा y = mx से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए गए वक्र और सरल रेखा का समीकरण
y² = 4ax …(1)
y = mx …(2)
y का मान समी० (1) में रखने पर,
(mx)² = 4ar
⇒ m²x² = 4ax
⇒ m²x = 4a

प्रश्न 7.
परवलय 4y = 3x² एवं रेखा 2y = 3x + 12 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
परवलय तथा रेखा के समीकरण
4y = 3x² …(1)
2y = 3x + 12 …(2)
2y का मान समी० (1) में रखने पर,
2(3x + 12) = 3x²

⇒ 6x + 24 = 3x²
⇒ 3x² – 6x – 24 = 0
⇒ x² – 2x – 8 = 0
⇒ x² – 4x + 2x – 8 = 0
⇒ x (x – 4) + 2 (x – 4) = 0
⇒ (x – 4) (x + 2) = 0
∴ x = 4, -2
⇒ y = 12, 3
इस प्रकार परवलय तथा रेखा एक-दूसरे को P(-2, 3) तथा Q(4, 12) पर प्रतिच्छेदन करते हैं।
वक्र 4y = 3x² तथा रेखा 2y = 3x + 12 द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल
= क्षेत्र POQ का क्षेत्रफल
= समलम्ब चतुर्भुज PLMQ का क्षेत्रफल – क्षेत्र PLOMQOP

प्रश्न 8.
दीर्घवृत्त  से घिरे लघु क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है :

प्रश्न 9.
दीर्घवृत्त  से घिरे लघु क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है :

प्रश्न 10.
परवलय x² = y, रेखा y = x + 2 एवं x अक्ष . से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
परवलय x² = y, शीर्ष (0, 0) के साथ y-अक्ष की धनात्मक दिशा की तरफ और ऊपर की ओर खुलने वाले परवलय को निरूपित करता है तथा y = x + 2 एक सरल रेखा को निरूपित करता है जो कि x-अक्ष को (-2, 0) पर काटता है।
अब x² = x + 2
⇒ x² – x – 2 = 0
⇒ x² – 2x + x – 2 = 0
⇒ x(x – 2) + 1(x – 2) = 0
⇒ (x – 2) (x + 1) = 0
∴ x = 2, -1
जब : x = 2, y = (2)² = 4
जब x = -1, y = (-1)² = 1
∴ दो वक्र x = y और y = x + 2 विन्दु (2, 4) और (-1, 1) पर प्रतिच्छेदन करते हैं।

प्रश्न 11.
समाकलन विधि का उपयोग करते हुए वक्र |x| + |y| = 1से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
समीकरण |x| + |y| = 1 चार सरल रेखाओं को निरूपित करते हैं।

(i) x > 0, y > 0, x + y = 1
∴ y = 1 – x
(ii) x < 0, y > 0, -x + y = 1
∴ x – y = -1
(iii) x < 0, y < 0, -x – y = 1
∴ x + y = -1
(iv) x > 0, y < 0, x – y = 1
इन रेखाओं से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल
= क्षेत्र ABCD का क्षेत्रफल
= 4 × ∆OAB का क्षेत्रफल

प्रश्न 12.
वक्रों {(x, y) : y ≥ x² तथा y = |x|} से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र x² = y एक परवलय है जिसका शीर्ष (0, 0) है। रेखा OY सममित है।

समीकरण y = |x| दो रेखाओं को निरूपित करता है।
जब x > 0, y = x; जब x < 0, y = -x
y = x, x² = y को (0, 0), (1, 1) पर काटती है।
y = -x, x² = y को (0, 0), (-1, 1) पर काटती है।
अभीष्ट क्षेत्रफल = 2 × क्षेत्र OPQ का क्षेत्रफल
= 2 [∆OLQ का क्षेत्रफल – क्षेत्र OLOPO का क्षेत्रफल]

[जहाँ y₁ रेखा y = x तथा y₂ वक्र x² = y के लिए प्रयुक्त किए गए हैं।

प्रश्न 13.
समाकलन विधि का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्षों के निर्देशांक A(2, 0), B (4, 5) एवं C (6, 3) हैं।
हल:
रेखा AB का समीकरण,


अभीष्ट क्षेत्रफल = ∆ABC द्वारा घेरे गए क्षेत्र का क्षेत्रफल
= क्षेत्र ∆AMB का क्षेत्रफल + समलम्ब चतुर्भुज BMNC का क्षेत्रफल – क्षेत्र AANC का क्षेत्रफल

प्रश्न 14.
समाकलन विधि का उपयोग करते हुए, रेखाओं 2x + y = 4, 3x – 2y = 6 एवं x – 3y + 5 = 0 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिये गये समी०
2x + y = 4 …(i)
2x – 2y = 6 …(ii)
एवं x – 3y + 5 = 0
समी० (i) व (ii) को हल करने पर
x = 2, y = 0
समी (ii) व (iii) को हल करने पर
x = 4, y = 3
समी० (iii) व (i) को हल करने पर
x = 1, y = 2

प्रश्न 15.
क्षेत्र {(x, y): y² ≤ 4x, 4x² + 4y² ≤ 9} का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
y² = 4x परवलय है जिसमें शीर्ष (0, 0) तथा x-अक्ष है।
4x² + 4y² = 9 एक वृत्त को निरूपित करता है।
केन्द्र (0, 0) तथा त्रिज्या =  है!

प्रश्नों के सही उत्तर का चयन कीजिए-

प्रश्न 1.
वक्र y = x³, x-अक्ष एवं कोटियों x = -2, x = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है-

हल:
वक्र y = x³
अवकलन करने पर,

 = 3x², जो सदैव धनात्मक रहता है।
∴ वक्र निरन्तर वर्धमान है।
= 0, x = 0 मूल बिन्दु पर x-अक्ष स्पर्श रेखा है।
अभीष्ट क्षेत्रफल = छायांकित भाग का क्षेत्रफल
= क्षेत्र AQO का क्षेत्रफल + क्षेत्र OBP का क्षेत्रफल

अतः विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 2.
वक्र y = x|x|, x-अक्ष एवं कोटियों x = -1 तथा x = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है-

हल:
जब x > 0, |x| = x
∴ वक्र का समीकरण y = x²
जब x < 0, |x| = -x
वक्र का समीकरण y = -x²
वक्र y = x|x|, x ≥ -1, x ≤ 0

अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 3.
क्षेत्र y² ≥ 6x और वृत्त x² + y = 16 में सम्मिलित क्षेत्र का क्षेत्रफल है-

हल:
दिए हुए वक्रों के समीकरण
x² + y = 16 …(1)
y² = 6x …(2)
समी० (1) में से (2) को घटाने पर,
x² = 16 – 6x
⇒ x²2 + 6x – 16 = 0
(∴ x + 8) (x – 2) = 0; x = -8, 2
जब x = 2, y² = 6 × 2 = 12
∴ y = ± 2√3

यहाँ पर y² > 6x, परवलय से बाहर का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे।
परवलय एवं वृत्त के अन्दर का क्षेत्रफल
= क्षेत्र POQAP का क्षेत्रफल
= 2 [क्षेत्र POMA का क्षेत्रफल]
= 2 [क्षेत्र POM का क्षेत्रफल + क्षेत्र PMA का क्षेत्रफल]

अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 4.
y-अक्ष, y = cosx एवं y = sin x, 0 ≤ x ≤  घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है-

हल:
समीकरण y = cos x तथा y = sin x में y का मान समान रखने पर,
cosx = sin x .
∴ tan x = 1 या x =
जब x = sin x = cos x =
y-अक्ष, y = cos x, y = sin x
0 ≤ x ≤  से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल
A = क्षेत्र OPB का
= क्षेत्र OPA का क्षेत्रफल + क्षेत्र APB का क्षेत्रफल


अतः विकल्प (B) सही है।

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