MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण

Ex 9.1

प्रश्न 1.
 + sin (y”’) = 0
हल:
इस अवकल समीकरण में उच्चतम अवकलज कोटि  है इसलिए समीकरण की कोटि 4 है। इस समीकरण का बायाँ पक्ष अवकलजों में बहुपद नहीं है इसलिए इसकी घात परिभाषित नहीं है।

प्रश्न 2.
y’ + 5y = 0
हल:
कोटि → 1
घात → 1

प्रश्न 3.

हल:
ये कोटि 2 है तथा घात 1 है।

प्रश्न 4.

हल:
 की कोटि 2 है तथा इसके बायें पद में कोई फलन नहीं है।
अतः इसकी घात परिभाषित नहीं है।

प्रश्न 5.
= cos 3x + sin 3x
हल:
∵ उच्चतम अवकलज  है।
∴ इसकी कोटि 2 है तथा दायें पद में बहुपद की उच्चतम घात 1 है।
इसलिए समीकरण की घात 1 है।

प्रश्न 6. (y”’)² (y”)³ + (y’)⁴ + y⁵ = 0
हल:

∴ समी० की कोटि 3 है।
तथा घात 5 है।

प्रश्न 7.
y” + 2y” + y = 0
हल:
अवकल समीकरण की कोटि-3 परिभाषित नहीं है।

प्रश्न 8.
y + y = e^x
हल:
अवकल समीकरण की कोटि 1 परिभाषित नहीं है।

प्रश्न 9.
y” + (y’)² + 2y = 0
हल:
अवकल समीकरण की कोटि 2 परिभाषित नहीं है।

प्रश्न 10.
y’ + 2y’ + sin y = 0
हल:
अवकल समीकरण की कोटि 2 परिभाषित नहीं है।

Ex 9.2

प्रश्न 1.
y = e^x + 1: y’ – y = 0
हल:
y = e^x + 1

अंतः दिया हुआ फलन अवकल समी० का हल है।

प्रश्न 2.
y = x² + 2x + C: y’ – 2x – 2 = 0
हल:
y = x² + 2x + C
 = 2x + 2
⇒  – 2x – 2 = 0
या y’ – 2x – 2 = 0
अतः दिया हुआ फलन दिए हुए अवकल समी० का हल है।

प्रश्न 3.
y = cosx + C: y’ + sin x = 0
हल:
y = cos x + C
= – sin x
⇒ y’ + sin x = 0
अतः दिया हुआ फलन दिए हुए अवकल समी० का हल है।

प्रश्न 4.

अतः दिया हुआ फलन दिए हुए अवकल समी० का हल है।

प्रश्न 5.
y = Ax: xy’ = y (x ≠ 0)
हल:
y = Ax

या xy’ = y
अतः दिया हुआ फलन दिए हुए अवकल समी० का हल है।

प्रश्न 6.

अतः दिया हुआ फलन दिए हुए अवकल समी० का हल है।

प्रश्न 7.
xy = logy + C: (xy ≠ 1)
हल:
y = logy + C

y² + xyy’ = y
⇒ y² = y’ – xyy’
y² = y'(1 – xy)

अतः दिया हुआ फलन दिए हुए अवकल समी० का हल है।प्रश्न 8.
y – cos y = x: (y sin y + cos y + x)y’ = y
हल:
y – cos y = 3x
y’ + sin y: y’ = 1
y (1 + sin y) = 1
⇒ y’ = 
y. व y के मान अवकल समी० (y sin y + cos y + x) y’ = y में रखने पर
L.H.S. {(x + cos y) sin y + cosy + x}·
⇒ x + cos y = y
R.H.S. अत: दिया हुआ फलन दिए हुए अवकल समी० का हल है।

प्रश्न 9.
x + y = tan^-1y: y²y’ + y² + 1 = 0
हल:
x + y = tan^-1y

(1 + y²) + (1 + y²) y’ = y’
y²y’ + y² + 1 = 0
अतः दिया हुआ फलन दिए हुए अवकल समी० का हल है।

प्रश्न 10.

अतः दिया हुआ फलन दिए हुए अवकल समी० का हल है।

Ex 9.3

1 से 5 तक प्रत्येक प्रश्न में, स्वेच्छ अचरों a तथा b को विलुप्त करते हुए दिए हुए वक्रों के कुल को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.

हल:

प्रश्न 2.
y² = a(b² – x²)
हल:
y = a(b² – x²) …(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 3.
y = ae^3x + be^-2x
हल:
y = ae^3x + be^-2x …(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 4.
y = e^2x(a + bx)
हल:
y = e^2x(a + bx) …(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 5.
y = e^x (a cos x + b sin x)
हल:
ye^x(a cos x + b sin x) ….(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 6.
y – अक्ष को मूल बिन्दु पर स्पर्श करने वाले वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
वृत्त का समी० जो y – अक्ष पर मूल बिन्दु पर स्पर्श करता है-
(x – a)² + (y – 0)² = a²
x² + y² – 2ax + a² = a²
⇒ x² + y² – 2ax = 0. …(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 7.
ऐसे परवलयों के कुल का अवकल समीकरण निर्मित कीजिए जिनका शीर्ष मूल बिन्दु पर है और जिनका अक्ष धनात्मक y – अक्ष की दिशा में है।
हल:
परवलय जिसका शीर्ष मूल बिन्दु तथा अक्ष OY है, का समीकरण
x² = 4ay …(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 8.
ऐसे दीर्घवृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी नाभियाँ y – अक्ष पर हैं तथा जिनका केन्द्र मूल बिन्दु है।
हल:
इस प्रकार के दीर्घवृत्त के कुल का समी० निम्न होगा

प्रश्न 9.
ऐसे अतिपरवलयों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी नाभियाँ x-अक्ष पर हैं तथा जिनका केन्द्र मूल बिन्दु है।
हल:
ऐसे अतिपरवलयों के कुल का समी० जिनकी नाभियाँ x – अक्ष पर तथा केन्द्र मूल बिन्दु हैं-

प्रश्न 10.
ऐसे वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनका केन्द्र y-अक्ष पर है और जिनकी त्रिज्या 3 इकाई है।
हल:
ऐसे वृत्तों के कुल का समी० जिनका केन्द्र y – अक्ष पर हैं और त्रिज्या 3 इकाई हैं
x² + (y – b)² = 9 …(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

समी० (i) व (ii) से b को विलुप्त करने पर

प्रश्न 11.
निम्नलिखित अवकल समीकरणों में से किस समीकरण का व्यापक हल y = c₁e^x + c₂e^-x है?

हल:
समीकरण y = c₁e^x + c₂e^-x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
y’ = c₁e^x – c₂e^-x
पुनः अवकलन करने पर …
y” = c₁e^x + c₂e^-x = y
∴ अवकल समीकरण y” – y = 0
या  – y = 0
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 12.
निम्नलिखित समीकरणों में से किस समीकरण का एक विशिष्ट हल y = x है-

हल:
y = x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
y’ = 1
तथा y” = 0

-x²·1 + x·x = 0 जो सत्य है
अतः विकल्प (C) सही है।

Ex 9.4

1 से 10 तक के प्रश्नों में, प्रत्येक अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.

हल:

प्रश्न 2.

हल:

प्रश्न 3.

प्रश्न 4.
sec² x tan y dx + sec² y tan x dy = 0
हल:
sec² x tan y dx = – sec² y tan x dy

प्रश्न 5.
(e^x + e^-x)dy – (e^x – e^-x) dx = 0
हल:
(e^x + e^-x)dy = (e^x – e^-x) dx = 0

प्रश्न 6.
 = (1 + x²) (1 + y²)
हल:

प्रश्न 7.
y log y dx – x dy = 0
हल:
दिया है :
y log y dx – x dy = 0
xy logy से भाग देने पर

प्रश्न 8.
x⁵  = -y⁵
हल:
x⁵  = -y⁵
⇒ y^-5 dy = -x^-5 dx
समाकलन करने पर

प्रश्न 9.
= sin^-1x
हल:
= sin^-1x
⇒ dy = sin^-1x dx
समाकलन करने पर

प्रश्न 10.
e^x tan y dx + (1 – e^x) sec²y dy = 0
हल:

11 से 14 तक के प्रश्नों में, प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 11.
(x³ + x² + x + 1) = 2x² + x; y = 1 यदि x = 0.
हल:
(x³ + x² + x + 1) = 2x² + x

प्रश्न 12.
x (x² – 1) = 1; y = 0 यदि x = 2
हल:
x (x² -1) = 1

प्रश्न 13.

प्रश्न 14.

logy = log sec x + log C
log y = log (C sec x)
y = C sec x …(i)
दिया है y = 1 यदि x = 0 तब समी० (i) से
1 = C sec 0 ⇒ C = 1
C = 1 समी० (i) में रखने पर ..
⇒ y = secx

प्रश्न 15.
बिन्दु (0, 0) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण y’ = e^x sinx है।
हल:
दिया है y’ = e^x sin x
या  = e^x sin x
⇒ dy = e^x sin x dx
समाकलन करने पर

प्रश्न 16.
अवकल समी० xy = (x + 2)(y + 2) के लिए बिन्दु (1, – 1) से गुजरने वाला वक्र ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है xy = (x + 2)(y + 2)

y – 2 log (y + 2) = x + 2 log x + C …(i)
∵ वक्र बिन्दु (1, -1) से गुजरता है अतः x = 1, y = -1
∴ -1 – 2 log (1) = 1 + 2 log (1) + C [∵ log 1 = 0]
-1 = 1 + C ⇒ C = -2
C = – 2 समी० (i) में रखने पर
y – 2 log (y + 2) = x + 2 log x + 2
⇒ y – x + 2 = 2 log x + 2 log (y + 2)
⇒ y – x’ + 2 = 2 [log x (y + 2)]
y – x + 2 = log [x² (y + 2)²]

प्रश्न 17.
बिन्दु (0, -2) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके किसी बिन्दु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता और उस बिन्दु के ए निर्देशांक का गुणनफल उस बिन्दु के x निर्देशांक के बराबर है।
हल:
प्रश्नानुसार, y = x (जहाँ  स्पर्श रेखा की प्रवणता है।)
y dy = x dx
समाकलन करने पर

प्रश्न 18.
एक वक्र के किसी बिन्दु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता, स्पर्श बिन्दु को, बिन्दु (-4, -3) से मिलाने वाले रेखाखण्डकी प्रवणता की दुगनी है। यदि यह वक्र बिन्दु (-2, 1)से गुजरता हो तो इस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है बिन्दु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता = 2x [स्पर्श बिन्दु को (-4, -3) से मिलाने वाली रेखा की प्रवणता]

log (y + 3) = 2 log (x + 4) + log C
log (y + 3) = log (x + 4)² .C
⇒ y + 3 = (x + 4)².C …(i)
∵ वक्र बिन्दु (-2, -1) से गुजरता हैं इसलिए
x = -2, y = 1 रखने पर
4 = (2)² C = 4 = 4C
या C = 1
समी० (i) में C =1 रखने पर
– y + 3 = (x + 4)²

प्रश्न 19.
एक गोलाकार गुब्बारे का आयतन, जिसे हवा भरकर फुलाया जा रहा है, स्थिर गति से बदल रहा है। यदि आरम्भ में इस गुब्बारे की त्रिज्या 3 इकाई है और 3 सेकण्ड बाद 6 इकाई है, तो t सेकण्ड बाद उस गुब्बारे की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना किसी क्षण t गुब्बारे की त्रिज्या r तथा आयतन V है तब

प्रश्न 20.
किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि r% वार्षिक की दर से होती है। यदि 100 रु० 10 वर्षों में दुगने हो जाते हैं, तो का मान ज्ञात कीजिए। (log 2 = 0.6931)
हल:
माना किसी समय पर मूलधन P हैं तब प्रश्नानुसार,

प्रश्न 21.
किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि 5% वार्षिक की दर से होती है। इस बैंक में 1000 रु० जमा कराये जाते हैं। ज्ञात कीजिए कि 10 वर्ष बाद यह राशि कितनी हो जाएगी? (e^0.5 = 1.648)
हल:
किसी समय t पर मूलधन P हैं तब प्रश्नानुसार,

जब t = 10 वर्ष
P = 1000 e^10/20 ⇒ P = 1000e^0.5
P = 1000 × 1.648 (∵ e^0.5 = 1.648)
P = 1648 रु०
अत: 10 वर्ष बाद मूलधन 1648 रु० होगा।

प्रश्न 22.
किसी जीवाणु समूह में जीवाणुओं की संख्या 1,00,000 है। 2 घण्टों में इनकी संख्या में 10% की वृद्धि होती है। कितने घण्टों में जीवाणुओं की संख्या 2,00,000 हो जाएगी। यदि जीवाणुओं के वृद्धि की दर उनमें उपस्थित संख्या के समानुपाती है।
हल:
माना किसी समय t पर जीवाणुओं की संख्या y है।

प्रश्न 23.
अवकल समीकरण  = e^x+y का व्यापक इल है
(A) e^x + e^-y = C
(B) e^x + e^y = C
(C) e^-x + e^y = C
(D) e^-x + e^-y = C
हल:

Ex 9.5

1 से 10 तक के प्रत्येक प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इनमें से प्रत्येक को हल कीजिए-

प्रश्न 1.
(x² + xy) dy = (x² + y²)dx
हल:

प्रश्न 2.

∵ अंश व हर की घात समान है इसलिए दिया हुआ अवकल समी० समघातीय अवकल समी० हैं।
∴ y = vx रखने पर

प्रश्न 3.
(x – y)dy -(x + y)dx = 0
हल:
(x – y) dy – (x + y) dx =0

∵ अंश व हर की घात समान हैं अतः यह एक समघातीय अवकल समीकरण हैं।
∴ y = vx रखने पर

प्रश्न 4.
(x² – y) dx + 2xy dy = 0
हल:
(x² – y²) dx + 2xy dy = 0

प्रश्न 5.

हल:

प्रश्न 6.

हल:

प्रश्न 7.

हल:
दिया गया अवकल समीकरण

प्रश्न 8.

हल:

प्रश्न 9.

प्रश्न 10.

हल:
दिया गया अवकल समी०

11 से 15 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबन्ध को सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 11.
(x + y) dy + (x – y) dx = 0; y = 1 यदि x = 1
हल:
दिया है (x + y) dy + (x – y) dx = 0

∵ अंश व हर की घात समान हैं इसलिए यह एक समघातीय अवकल समी० है।
∴ y = vx रखने पर

प्रश्न 12.
x²dy + (xy + y²) dx = 0; y = 1 यदि x = 1
हल:
दिया गया अवकल समी०
x²dy + (xy + y²) dx = 0

प्रश्न 13.

हल:
दिया गया अवकल समी०

प्रश्न 14.

हल:
दिया गया अवकल समी०

प्रश्न 15.
2xy + y² – 2x²  = 0; y = 2 यदि x = 1
हल:
दिया गया समी०

Ex 9.6

1 से 12 तक के प्रश्नों में, प्रत्येक अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-

प्रश्न 1.
 + 2y = sinx
हल:
यह  + 2y = Q के रूप का रैखिक अवकल समी० है, जहाँ
P = 2 तथा Q = sin x

प्रश्न 2.
 + 3y = e^-2x
हल:
+ 3y = e^-2x …(i)
यह  Py = Q के रूप का रैखिक अवकल समी० है यहाँ
P = 3 तथा Q = e^-2x

प्रश्न 3.

प्रश्न 4.
+ (sec x)y = tan x (0 ≤ x ≤ )
हल:
+ (sec x)y = tan x (0 ≤ x ≤ )
यह  Py = Q के रूप का रैखिक अवकल समी० है यहाँ
P = sec x तथा Q = tan x

प्रश्न 5.

प्रश्न 6.
x  + 2y = x² logx
हल:
दिया गया समी०

प्रश्न 7.

हल:
दिया गया समी०

प्रश्न 8.
(1 + x²)dy + 2xy dx = cotx dx (x ≠ 0)
हल:
(1 + x²)dy + 2xy dx = cotx dx

प्रश्न 9.
x  + y – x + xy cot x = 0, (x ≠ 0)
हल:
दिया गया अवकल समी०

प्रश्न 10.
(x + y) = 1
हल:
अवकल समीकरण,
(x + y) = 1

यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 11.
y dx + (x – y²)dy = 0
हल:
y dx + (x – y²) dy = 0

प्रश्न 12.
(x + 3y²) = y, (y > 0)
हल:
(x + 3y²) = y

13 से 15 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबन्ध को सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए

प्रश्न 13.
 + 2y tan x = sin x; y = 0 यदि x = 
हल:
दिया गया समी०
 + 2y tan x = sin x …(i)
यह एक रैखिक अवकल समी० है

प्रश्न 14.

हल:
दिया गया समी०

प्रश्न 15.
– 3y cot x = sin 2x; y = 2 यदि x =
हल:
दिया है
– 3y cot x = sin 2x …(i)

⇒ -2 + C
⇒ C = 4
C का यह मान समी० (ii) में रखने पर
y = 4 sin ³ – 2 sin²x

प्रश्न 16.
मूल बिन्दु से गुजरने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिन्दु (x, y)पर स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बन्दु के निर्देशांकों के योग के बराबर है।
हल:
बिन्दु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता =
∴ दिए गए परवलय के अनुसार

∵ यह वक्र मूल बिन्दु से गुजरता है
∴ x = 0 तथा y = 0 समी० (ii) में रखने पर
⇒ 0 = -1 – 1 = Ce^° ⇒ C = 1
C का यह मान समी० (ii) में रखने पर
y = -x – 1 + e^x
या x + y + 1 = e^x

प्रश्न 17.
बिन्दु (0, 2) से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिन्दु के निर्देशांकों का योग उस बिन्दु पर खींची गई स्पर्श रेखा की प्रवणता के परिमाण से 5 अधिक है।
हल:
बिन्दु (x, y) से स्पर्श रेखा की प्रवणता  है।
तब प्रश्नानुसार


⇒ ye^-x = (x – 5) e^-x – e^x + C
⇒ y = -(x – 5) – 1 + Ce^x
⇒ y = 4 – x + Ce^x
∵ वक्र बिन्दु (0, 2) से गुजरता है, अतः
x = 0 तथा y = 2 समी० में रखने पर
⇒ 2 = 4 – 0 + Ce⁰
C = -2
C = -2 समी० (II) में रखने पर
y = 4 – x + (-2)e^x
y = 4 – x – 2e^x
Case-II
इसी प्रकार ऋण चिन्ह लेने पर,

ye^x = (5 – x) e^x + e^x + C
y = (5 – x) + 1 + Ce^-x
y = 6 – x + Ce^-x
यह वक्र बिन्दु (0, 2) से गुजरता है, अतः x = 0 तथा y = 2 लेने पर
2 = 6 – 0 + Ce⁰ ⇒ C = -4
मान प्रतिस्थापित करने पर
y = 6 – 4 – 4e^-x

विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
निम्नलिखित अवकल समीकरणों में से प्रत्येक की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।

हल:

प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रश्नों में प्रत्येक के लिए सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (अस्पष्ट अथवा स्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है।

हल:

प्रश्न 3.
(x – a)² + 2y² = a² द्वारा निरूपित वक्रों के कुल का अवकल समी० निर्मित कीजिए जहाँ a एक स्वेच्छ अचर है।
हल:
वक्र का समी०
(x – a)² + 2y² = a²
x² – 2ax + 2y² = 0 …(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि x² – y² = c (x² + y²)² जहाँ c एक प्राचल है, अवकल समीकरण (x³ – 3xy²)dx = (y³ – 3x²y) dy का व्यापक हल है।
हल:
अवकल समीकरण
(x -3xy²) dx = (y³ – 3x²y) dy

प्रश्न 5.
प्रथम चतुर्थांश में ऐसे वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करते हैं।
हल:
वह वृत्तों के कुल का समीकरण जो निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करें
(x – a)² + (y – a)² = a² …(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 6.
अवकल समी०  जबकि x ≠ 1 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 7.
दर्शाइए कि अवकल समीकरण  का व्यापक हल (x + y + 1) = A(1 – x – y – 2xy) है, जिसमें A एक प्राचल है|
हल:
अवकल समीकरण


∴ अभीष्ट हल है :
x + y + 1 = A(1 – x – y – 2xy)

प्रश्न 8.
बिन्दु (0, ) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण sin x cos y dx + cos x sin y dy = 0 है|
हल:
अवकल समीकरण,
sin x cos y dx + cos x sin y dy = 0
cos y cos x से भाग करने पर,

प्रश्न 9.
अवकल समीकरण (1 + e^2x) dy + (1 + y²)e^x dx = 0 का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि y = 1 यदि x = 0
हल:
अवकल समीकरण :
(1+ e^2x) dy + (1 + y²) e^x dx = 0
(1 + e^2x) (1 + y²) से भाग करने पर,

प्रश्न 10.
अवकल समीकरण ye^x/ydx = (xe^x/y + y²)dy (y ≠ 0) का हल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है : अवकल समीकरण

प्रश्न 11.
अवकल समीकरण (x – y)(dx + dy) = dx – dy का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि y = -1, यदि x = 0.
हल:
दिया है : अवकल समीकरण
(x – y) (dx + dy) = dx – dy
(x – y – 1) dx + (x – y + 1) dy = 0

प्रश्न 12.
अवकल समी०  का हल ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 13.
अवकल समीकरण  + y cotx = 4x cosecx (x ≠ 0) का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए। दिया हुआ है : y = 0 यदि x = 
हल:
दिया है : अवकल समीकरण
+ y cot x = 4x cosecx
रैखिक समीकरण  + Py = Q से तुलना करने पर,

प्रश्न 14.
अवकल समीकरण (x + 1) = 2e^-y – 1 का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए। दिया हुआ है कि y = 0 यदि x = 0.
हल:
दिया है : अवकल समीकरण,

= log (x + 1) + C
या -logt = log (x + 1) + C
या – log (2 – e^y) = log (x + 1) + C
log (x + 1) + log (2 – e^y) = -C
या log (x + 1) (2 – e^y) = log A
यहाँ C =- log A
∴ (x + 1) (2 – e^y) = A
x = 0, y = 0 रखने पर,
2 – 1 = A = 1
(x + 1) (2 – e^y) = 1

प्रश्न 15.
किसी गाँव की जनसंख्या की वृद्धि की दर किसी भी समय उस गाँव के निवासियों की संख्या के समानुपाती है। यदि सन् 1999 में गाँव की जनसंख्या 20,000 थी और सन् 2004 में 25,000 थी तो ज्ञात कीजिए कि सन् 2009 में गाँव की जनसंख्या क्या होगी?
हल:
माना किसी समय t पर गाँव की जनसंख्या y है।

∴ log y = kt + C …(1)
सन् 1999 में मान लिया t = 0, जनसंख्या = 20,000
∴ log 20,000 = 0 + C
⇒ C = log 20,000
C का मान (1) में रखने पर,
log y = kt + log 20,000
या log y – log 20,000 = kt

k का मान समी० (2) में रखने पर,

प्रश्न 16.
अवकल समीकरण  का व्यापक हल है
(A) xy = C
(B) x = Cy²
(C) y = Cx
(D) y = Cx²
हल:
दिया है : अवकल समीकरण :

अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 17.
 + P₁x = Q₁ के रूप वाले अवकल समीकरण का व्यापक हल है-


हल:
दिया है : अवकल समीकरण
+ P₁x = Q₁
जहाँ P₁ और Q₁, y के फलन हैं।

अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 18.
अवकल समी० e^xdy + (ye^x + 2x) dx = 0 का व्यापक हल है-
(A) xe^y + x² = C
(B) xe^y + y² = C
(C) ye^x + x² = C
(D) ye^y + x² = C
हल:
दिया हुआ समी०
e^xdy + (ye^x + 2x) dx = 0

अतः विकल्प (C) सही है।

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