MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति

Important Questions

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दो बिन्दुओं (-2, 4, -5) और (1, 2, 3) को मिलाने वाली रेखा की दिक् कोसाइन ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
दिये गये बिन्दु A (-2, 4, -5) तथा B (1, 2, 3) हैं
AB दिक् अनुपात = 1 + 2, 2 – 4, 3 + 5
= 3, -2, 8

प्रश्न 2.
एक रेखा X, Y और Z – अक्ष के साथ क्रमश: 90°, 135° और 45° के कोण बनाती है तो इसकी दिक् कोसाइन ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
दिया है:
α = 90°, β = 135°, λ = 45°
cos α = cos 90° = 0
cos β = cos 135° = cos (90° + 45°)
= – sin 45° = –
cos γ = cos 45° = 
रेखा की दिक् कोसाइन cos α, cos β, cos γ
अर्थात् 0, – , .

प्रश्न 3.
एक रेखा OP, X – अक्ष से 120° और Y – अक्ष से 60° का कोण बनाती है। रेखा द्वारा Z – अक्ष से बना कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ α = 120° और β = 60°. माना रेखा Z – अक्ष से कोण γ बनाती है। तब,
cos² α + cos² β + cos² γ = 1
⇒ cos² 120° + cos² 60° + cos² γ = 1
⇒ (  )² + (  )² + cos² γ = 1
⇒  +  + cos² γ = 1
⇒ cos² γ = 1 –  ⇒ cos² γ = 
⇒ cos γ = ±
⇒ γ = 45°, 135°
अत: अभीष्ट कोण 45° अथवा 135° है।

प्रश्न 4.
दर्शाइए कि बिन्दु (2, 3, 4), (-1, -2, 1) और (5, 8, 7) संरेख हैं। (NCERT)
हल:
माना दिये गये बिन्दु A (2, 3, 4), B (-1, -2, 1) तथा C (5, 8, 7) हैं।
AB के दिक् अनुपात हैं: x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁
अर्थात् -1 – 2, -2 – 3, 1 – 4
अर्थात् -3, -5, -3 = – (3, 5, 3)
BC के दिक् अनुपात हैं: x₂ – x₁, Y₂ – y₁, z₂ – z₁
अर्थात् 5 + 1, 8 + 2, 7 – 1
अर्थात्
6, 10, 6 = 2 (3, 5, 3)
स्पष्ट है कि AB और BC के दिक् अनुपात समानुपाती हैं। अत: AB और BC समान्तर हैं। परन्तु AB और BC दोनों में B उभयनिष्ठ है।
अत: A, B, C संरेख हैं। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 5.
यदि किसी सरल रेखा की दिक्-कोज्याएँ cos α, cos β, cos γ हों, तो सिद्ध कीजिए कि
cos 2α + cos 2β + cos 2γ = -1. (म.प्र. 2008)
हल:
cos 2α + cos 2β + cos 2γ
= 2 cos² α – 1 + 2 cos² β – 1 + 2 cos² γ – 1
= 2(cos² α + cos² β + cos²γ) – 3
= 2 × 1 – 3, [∵ cos² α + cos² β + cos²γ = 1]
= – 1 = R.H.S. यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 6.
दर्शाइए कि बिन्दुओं (1, -1, 2) और (3, 4, -2) से होकर जाने वाली रेखा बिन्दुओं (0, 3, 2) और (3, 5, 6) से होकर जाने वाली रेखा के लम्बवत् है। (NCERT)
हल:
बिन्दुओं (1, -1, 2) और (3, 4, -2) से होकर जाने वाली रेखा के दिक् अनुपात
= 3 – 1, 4 + 1, -2 – 2
= 2, 5, -4 = a₁, b₁, C₁, (माना)
बिन्दुओं (0, 3, 2) और (3, 5, 6) से होकर जाने वाली रेखा के दिक् अनुपात
= 3 – 0, 5 – 3, 6 – 2
= 3, 2, 4
= a₂, b₂, c₂ (माना) यदि रेखायें परस्पर लम्बवत् हैं तो
⇒ a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0
⇒ 2.3 + 5.2 – 4.4 = 0
⇒ 16 – 16 = 0
⇒ 0 = 0. यही सिद्ध करना था।
अतः रेखायें परस्पर लम्बवत् हैं।

प्रश्न 7.
दर्शाइए कि बिन्दुओं A (1, 2, 3) और B (2, 3, 5) से होकर जाने वाली रेखा, बिन्दुओं C (-1, 2, -3) और D (1, 4, 1) से होकर जाने वाली रेखा के समान्तर है।
हल:
रेखा AB के दिक् अनुपात
= 2 – 1, 3 – 2, 5 – 3
= 1, 1, 2
= a₁, b₂, c₁
रेखा CD के दिक् अनुपात
= 1 + 1, 4 – 2, 1 + 3
= 2, 2, 4
= a₂, b₂, c₂
यहाँ

अत: रेखा AB, CD के समान्तर है।

प्रश्न 8.
रेखाओं  के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
रेखाओं के समीकरण है –

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि रेखाएँ  परस्पर लंब हैं। (NCERT)
हल:
रेखाओं के समीकरण हैं –

यहाँ
a₁ = 7, b₁ = -5, c₁ = 1
a₂ = 1, b₂ = 2, c₂ = 3
a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 7(1) + (-5)(2) + 1 × 3
= 10 – 10 = 0 यही सिद्ध करना था।
अतः दी गई रेखाएँ परस्पर लम्बवत होंगी। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 10.
उस रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (-2, 4, -5) से जाती है और  के समान्तर है। (NCERT)
हल:
रेखा का समीकरण है –

प्रश्न 11.
उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (1, 2, 3) से होकर जाती है तथा रेखा  के समान्तर है।
हल:
बिन्दु (x₁, y₁, z₁) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण जिसके दिक् अनुपात a, b, c हैं, होता हैं –
हल:
बिन्दु (x₁, y₁, z₁) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण जिसके दिक् अनुपात a, b, c हैं, होता हैं –

प्रश्न 12.
रेखाओं  के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
दी हुई रेखाओं के समीकरण हैं:

प्रश्न 13.
प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए कि रेखाएँ x = ay + b, z = cy + d और x = a’y + b’,z = c’y + d’ परस्पर लम्ब हैं।
हल:
x = ay + b तथा z = cy + d

यदि रेखाएँ (1) और (2) परस्पर लम्ब होंगी, तब
a × a’ + 1 × 1 + c × c’ = 0
⇒ aa’ + cc’ + 1 = 0
यही अभीष्ट प्रतिबन्ध है।

प्रश्न 14.

प्रश्न 15.
दो समतलों 2x – y + z = 6 और x + y + 2z = 7 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
दिये गये समतल के समीकरण हैं:
2x – y + z = 6 ……………………. (1)
और x + y + 2z = 7 ……………………. (2)
समतल (1) के दिक् – अनुपात = 2, – 1, 1 ⇒ A₁, B₁, C₁
समतल (2) के दिक् – अनुपात = 1, 1, 2 ⇒ A₂, B₂, C₂
माना समतलों के बीच का कोण θ है। अतः

प्रश्न 16.
(A) यदि तल 3x – 6y – 22 = 7 तथा 2x + y – kz = 5 एक – दूसरे पर लम्ब हों, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिये गए समतलों के समीकरण हैं:
3x – 6y – 2z = 7 ……………………… (1)
तथा 2x + y – kz = 5 ………………………… (2)
यहाँ a₁ = 3, b₁ = -6, c₁ = -2 और a₂ = 2, b₂ = 1, C₂ = -k.
समतल (1) और (2) परस्पर लम्ब होंगे यदि
a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0
⇒ (3)(2) + (-6)(1) + (-2)(-k) = 0
⇒ 6 – 6 + 2k = 0
⇒ 2k = 0
⇒ k = 0

(B) k के किस मान के लिए समतल 2x + ky + z + 9 = 0 और 5x + 3y – 4z – 6 = 0 पर लम्बवत् हैं।
हल:
प्रश्न क्रमांक 16 (A) की भाँति हल कीजिये।
उत्तर: k = -2.

(C) सिद्ध कीजिए कि समतल x + 2y + 3z = 6 और 3x – 3y + x = 1 परस्पर लम्बवत् हैं।
हल:
दिये गये समतलों के समीकरण हैं:
x + 2y + 3z = 36 ……………….. (1)
तथा 3x – 3y + z = 1 ……………………….. (2)
समतल (1) के अभिलम्ब के दिक् – अनुपात 1, 2, 3 हैं।
समतल (2) के अभिलम्ब के दिक्-अनुपात 3, -3, 1 हैं।
∴ a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = (1)(3) + 2(-3) + (3)(1)
= 3 – 6 + 3 = 0
अतः दिये गये समतल (1) और (2) परस्पर लम्बवत् हैं। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 17.
एक समतल निर्देशांक अक्षों को A, B और C पर काटता है। यदि त्रिभुज ABC का केन्द्रक (2,- 1, 3) है, तो समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना A (a, 0, 0), B (0, b, 0), C (0, 0, c).
∵ OA = a, OB = b, OC = c
दिया है:
केन्द्रक (2, – 1, 3)

प्रश्न 18.
एक समतल निर्देशांक अक्षों को A, B और C पर काटता है। यदि त्रिभुज ABC का केन्द्रक (a, b, c) है। सिद्ध कीजिए कि समतल का समीकरण  हैं।
हल:
चित्र से OA = α, OB = β, OC = γ

प्रश्न 19.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतल 2x + 3y – z = 8 के समान्तर है एवं बिन्दु (1, 2, 3) से होकर जाता है।
हल:
समतल 2x +3y – z = 8 के समानान्तर किसी समतल का समीकरण होगा:
2x + 3y – z + λ = 0 ………… (1)
चूँकि समतल (1) बिन्दु (1, 2, 3) से होकर जाता है। अत:
2(1) + 3(2) – 3 + λ = 0
⇒ 2 + 6 – 3 + λ = 0
⇒ λ = -5
अत: समीकरण (1) में λ का मान रखने पर अभीष्ट समीकरण है:
2x + 3y – z – 5 = 0.

प्रश्न 20.
समतल 2x + 4y + 4z – 9 = 0 के अभिलम्ब की दिक्-कोज्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया समतल है:
2x + 4y + 4z – 9 = 0 ……………… (1)
इसके अभिलम्ब के दिक्-अनुपात हैं: 2, 4, 4
अतः समतल के अभिलम्ब की दिक्-कोज्याएँ होंगी:

प्रश्न 21.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जिस पर मूलबिन्दु से डाले गये लम्ब की लम्बाई 5 इकाई तथा इस पर अभिलम्ब की दिक् – कोज्याएँ

प्रश्न 22.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जिस पर मूलबिन्दु से डाले गये लम्ब की लम्बाई 4तथा जिसकी दिक्-कोज्याएँ 2, -3, 6 के समानुपाती हैं।
हल:
माना समतल का समीकरण
lx + my + nz = p
दिया है – p = 4, a = 2, b = -3, c = 6

प्रश्न 23.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जिस पर मूलबिन्दु से डाले गये लम्ब की लम्बाई 5 तथा अभिलम्ब के दिक् – अनुपात 2, 3, 6 हैं।
हल:
प्रश्न क्रमांक 22 की भाँति हल कीजिये।
उत्तर: 2x + 3y + 6z = 35.

प्रश्न 24.
बिन्दु (1,-2, 3) से होकर जाने वाले उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो उस सरल रेखा पर लम्ब है जिसके दिक् – अनुपात 2, 1, -1 हैं।
हल:
चूँकि प्रश्नानुसार समतल (1, -2, 3) से होकर जाता है जिसका समीकरण होगा:
a(x – 1) + b(y + 2) + c(2 – 3) = 0 …………. (1)
यह समतल रेखा पर लम्ब है, जिसके दिक्-अनुपात 2, 1, -1 हैं।
अत: समतल (1) के अभिलम्ब के दिक् – अनुपात a = 2k, b = k, c = -k हैं।
समी. (1) से,
k[2(x – 1) + 1.(y + 2) – 1.(z – 3) ] = 0
∵ k #0
⇒ 2x + y – z – 2 + 2 + 3 = 0
⇒ 2x + y – z + 3 = 0

प्रश्न 25.
(A) मूलबिन्दु से समतल 6x – 3y + 27 – 14 = 0 की लम्बवत् दूरी ज्ञात कीजिये।
हल:
समतल का समीकरण है:
6x – 3y + 27 – 14 = 0
मूलबिन्दु (0, 0, 0) से समतल (1) पर डाले गये लम्ब की लंबाई

(B) बाह्य बिन्दु (1, 2, 0) से समतल 4x + 3y + 12z + 16 = 0 पर डाले गये लम्ब की लम्बाई ज्ञात कीजिये।
हल:
समतल का समीकरण है:
4x + 3y + 12z + 16 = 0 …………. (1)
बिन्दु (1, 2, 0) से समतल (1) पर डाले गये लम्ब की लम्बाई

(C) बिन्दु (7, 14, 5) से समतल 2x + 4y – z = 2 पर डाले गये लम्ब की लम्बाई ज्ञात कीजिये।
हल:
प्रश्न क्रमांक 25 (B) की भाँति हल कीजिये।
उत्तर: 3√21 इकाई।

प्रश्न 26.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए, जो बिन्दु (-1, 2, 3) से होकर जाता है और समतल 3x + 4y – 5z = 52 के समानान्तर है।
हल:
दिये गये समतल का समीकरण है:
3x + 4y – 5z = 52 ………….. (1)
माना समतल (1) के समानान्तर समतल का समीकरण है:
3x + 4y – 52 = λ …………. (2)
चूँकि समीकरण (2) बिन्दु (-1, 2, 3) से होकर जाता है।
∴ 3(-1) + 4(2) – 5(3) = λ
⇒ -3 + 8 – 15 = λ
⇒ λ = – 10
समीकरण (2) में 2 का मान रखने पर,
3x + 4y – 5z = – 10
∴ 3x + 41 – 5z + 10 = 0.

प्रश्न 27.
मूलबिन्दु से गुजरने वाले उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निम्न समतलों पर लम्ब हो –
x + 2y – 7 = 1; 3x – 4y + z = -5.
हल:
मूलबिन्दु 0(0, 0, 0) से गुजरने वाले समतल का समीकरण है:
a(x – 0) + b(y – 0) + c(z – 0)
ax + by + cz = 0 ………….. (1)
समतल (1) दिये गये समतलों
x + 2y – 2 = 1 तथा 3x – 4y + 2 = -5 पर लम्ब है।
a + 2b – c = 0 ………… (2)
3a – 4b + c = 0
प्राप्त सम्बन्धों (2) और (3) को हल करने पर,

∴ a = k, b = 2k, c = 5k जहाँ k ≠ 0
∴ समी. (1) से,
k(x + 2y + 5z) = 0,
∴ x + 2y + 5z = 0 (∵ k ≠ 0).

प्रश्न 28.
बिन्दुओं (2, 3, -4) एवं (1, -1, 3) से गुजरने वाले उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो X – अक्ष के समानान्तर है।
हल:
X – अक्ष के समानान्तर किसी समतल का समीकरण होगा:
By + Cz + D = 0 ………… (1)
∵ समतल (1), बिन्दु (2, 3, -4) तथा (1, – 1, 3) से होकर जाता है।
∴ 3B – 4C + D = 0 …………. (2)
और -B + 3C + D = 0 ………. (3)
समी. (2) और (3) को हल करने पर,

⇒ ZB = -7k, C = -4k, D = 5k
अत: B, C व D के मान समी. (1) में रखने पर, समतल का अभीष्ट समीकरण है:
– 7ky – 4kz + 5k = 0
⇒ 7y + 4z – 5 = 0.

प्रश्न 29.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलों x + y + – 6 = 0 और 2x + 3y + 4x + 5 = 0 की प्रतिच्छेद रेखा से होकर जाता है और बिन्दु (1, 1, 1) से होकर गुजरता है।
हल:
दिये गये समतलों के समीकरण हैं:
x + y + z – 6 = 0 ……….. (1)
और 2x + 3y + 4z + 5 = 0 ………… (2)
समतल (1) तथा (2) के प्रतिच्छेद रेखा से होकर जाने वाले समतल का समीकरण है:
(x + y + z – 6) + 2(2x + 3y + 4z + 5) = 0 ………. (3)
चूँकि समतल (3) बिन्दु (1, 1, 1) से होकर जाता है, तो
(1 + 1 + 1 – 6) + λ(2 + 3 + 4 + 5) = 0
⇒ -3 + λ(14) = 0
⇒ λ =
समी. (3) में λ का मान रखने पर,
(x + y + z – 6) +  (2x + 3y + 4z + 5) = 0
20x + 23y + 26z – 69 = 0.

प्रश्न 30.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलों x + 2y + 3x – 5 और 2x – 4y + z = 3 की प्रतिच्छेदी रेखा से गुजरता है तथा बिन्दु (0, 1, 0) से होकर गुजरता है।
हल:
प्रश्न क्रमांक 29 की भाँति हल कीजिये।
उत्तर:
3x – 2y + 4z + 2 = 0.

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
बिन्दु (1, 6, 3) से रेखा  की लम्बवत् दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गई रेखाएँ हैं:

प्रश्न 2.

चूँकि रेखा (2) का दिक्-अनुपात 4, 6, 8 है।

प्रश्न 3.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो रेखा  और बिन्दु (-6, 3, 2) से होकर जाता है।
हल:
माना समतल का समीकरण है:
A(x – α) + B(y – β) + C(2 – γ) = 0
यह रेखा  से जाता है।
A(x – 3) + B(y + 2) + C(2 – 4) = 0 …………. (1)
समतल बिन्दु (-6, 3, 2) से भी जाता है:
∴A(-6 – 3) + B(3 + 2) + C(2 – 4) = 0
⇒ -9A + 5B – 2C = 0
⇒ 9A – 5B + 2C = 0 ………… (2)
रेखा के दिक् अनुपात 2, 3, -1 हैं।
समतल पर अभिलम्ब के दिक् अनुपात A, B, C हैं:
∴ 2A + 3B – C = 0 ……….. (3)
समी. (2) और (3) को हल करने पर,
9A – 5B + 2C = 0
2A + 3B – C = 0

समी. (1) में मान रखने पर,
-1.(x – 3) + 13(y + 2) + 37(z – 4) = 0
⇒ -x + 3 + 13y + 26 + 37z – 148 = 0
⇒ -x + 13y + 37z – 119 = 0
⇒ x – 13y – 37z + 119 = 0.

प्रश्न 4.

प्रश्न 5.

प्रश्न 6.

प्रश्न 7.

प्रश्न 8.

⇒ 3(-3) + 9 = 0
⇒ 0 = 0
अतः दोनों रेखाएँ करती हैं।

प्रश्न 9.
(A) दो रेखाएँ जिनके सदिश समीकरण –

(B) निम्न रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए –

हल:
प्रश्न क्र. 9 (A) की भाँति हल करें।

(C) उन दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिये जिनके सदिश समीकरण निम्न हैं –

हल:
प्रश्न क्र. 9 (A) की भाँति हल करें।

प्रश्न 10.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो x + 3y + 4 – 5 = 0 और 3x – 4y + 9x – 10 = 0 की प्रतिच्छेदी रेखा से होकर जाता है तथा समतल x + 2y = 0 पर लम्ब है।
हल:
दिये गये समतलों के समीकरण हैं:
x + 3y + 4z – 5 = 0 …………. (1)
और 3x – 4y + 9z – 10 = 0 ……………. (2)
समतल (1) तथा (2) की प्रतिच्छेदी रेखा से होकर जाने वाले समतल का समीकरण है:
(x + 3) + 4z – 5) + λ(3x – 4y + 9z – 10) = 0
⇒ (1 + 3λ).1 + (3 – 4λ).2 + (4 + 9λ).0 = 0
⇒ 1 + 3λ + 6 – 8λ = 0
⇒ λ = 
समी. (3) में 2 का मान रखने पर,
(x + 3y + 4z – 5) +  (3x – 4y + 9z – 10) = 0
⇒ 26x – 13y + 83z = 95.

प्रश्न 11.
उन समतलों के समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतल x – 2y + 2x = 3 के समान्तर हैं तथा उनकी बिन्दु (1, 2, 3) से लाम्बिक दूरी 1 है।
हल:
समतल x – 2y + 2z = 3 के समान्तर किसी समतल का समीकरण है:
x – 2y + 2z + λ = 0 ………. (1)
उपर्युक्त समतल पर बिन्दु (1, 2, 3) से डाले गये लम्ब की लम्बाई

⇒ λ + 3 = ±3
⇒ λ = 0, -6
अतः λ के मान समीकरण (1) में रखने पर अभीष्ट समतलों के समीकरण हैं:
x – 2y + 2z = 0, x – 2y + 2z = 6.

प्रश्न 12.
(A) उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (1, -2, 4) और (3, -4, 5) से गुजरता है तथा समतल x + y – 27 = 6 के लम्बवत् है।
हल:
बिन्दु (1, -2, 4) से जाने वाले समतल का समीकरण होगा:
A(x – 1) + B(y + 2) + C(z – 4) = 0 ………… (1)
समतल (1), बिन्दु (3, -4, 5) से होकर जाता है, अतः
A(3 – 1) + B(-4 + 2) + C(5 – 4) = 0
⇒ 2A – 2B + C = 0 …………. (2)
दिये गये समतल का समीकरण है:
x + y – 2z = 6 …………… (3)
समतल (1) और (3) लम्बवत् है, इसलिए इनके अभिलम्ब भी लम्बवत् होंगे।
A + B – 2C = 0 ………. (4)
समी. (2) और (4) से,
2A – 2B + C = 0
A + B – 2C = 0

⇒ A = 3k, B = 5k, C = 4k
A, B, C का मान समी. (1) में रखने पर, अभीष्ट समतल का समीकरण होगा:
3k(x – 1) + 5k(y + 2) + 4k(z – 4) = 0
⇒ 3x – 3 + 5y + 10 + 4z – 16 = 0
⇒ 3x + 5y + 42 – 9 = 0.

(B) उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो कि (-1,1,1) तथा (1,-1,1) से जाता है तथा x + 2y + 2x = 9 पर लम्ब है।
हल:
प्रश्न क्र. 12 (A) की भाँति स्वयं हल कीजिये।
उत्तर: 2x + 2y – 3z + 3 = 0.

प्रश्न 13.
(A) उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (1, 1, -1) से गुजरता है तथा समतलों x + 2y + 3z = 7 तथा 2x – 3y + 4 = 0 पर लम्ब है।
हल:
माना समतल का समीकरण
A(x – x₁) + B(y – y₁) + C(z – z₁) = 0
⇒ A(x – 1) + B(y – 1) + C(z + 1) = 0 ………… (1)
दिये गये समतल
x + 2y + 3z = 7 ……….. (2)
2x-3y + 4z = 0 ………. (3)
समतल (1) समतलों (2) तथा (3) पर लम्ब है
∴ 1.A + 2.B + 3.C = 0
2.A – 3.B + 4.C = 0

⇒ A = 17k, B = 2k, C = -7k
A, B, C का मान समी. (1) में रखने पर, अभीष्ट समतल का समीकरण होगा –
17(x – 1) + 2(y – 1) – 7(z + 1) = 0
⇒ 17x + 2y – 7z – (17 + 2 + 7) = 0
⇒ 17x + 2y – 7z – 26 = 0.

(B) उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (2, 1, 4) से जाता है तथा समतलों 9x – 7y + 6z + 48 = 0 तथा x + y – z = 0 पर लम्ब है।
हल:
प्रश्न क्र. 13 (A) की भाँति हल कीजिये।
उत्तर: x + 15y + 16z = 81.

प्रश्न 14.
बिन्दुओं (2, 2, -1), (3, 4, 2) और (7, 0, 6) से जाने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
बिन्दु (2, 2, -1) से होकर जाने वाले किसी समतल का समीकरण होगा –
A(x – 2) + B(y – 2) + C(z + 1) = 0 ………. (1)
चूँकि समतल (1) क्रमशः बिन्दु (3, 4, 2) व (7, 0, 6) से होकर जाता है अतः ये बिन्दु समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा।
∴ A(3 – 2) + B(4 – 2) + C(2 + 1) = 0
⇒ A + 2B + 3C = 0 ……….. (2)
तथा A(7 – 2) + B(0 – 2) + C(6 + 1) = 0
⇒ 5A – 2B + 7C = 0 …………. (3)
समी. (2) व (3) को हल करने पर,

⇒ A = 5k, B = 2k, C = -3k
A, B, C के इन मानों को समी. (1) में रखने पर,
5k(x – 2) + 2k(y – 2) + (- 3k)(z + 1) = 0
⇒ 5x + 2y – 3z – 17 = 0.

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिये कि बिन्दु (0, -1, -1), (4, 5, 1), (3, 9, 4) तथा (-4, 4, 4) समतलीय हैं।
हल:
बिन्दु (0, -1, -1) से होकर जाने वाले समतल का समीकरण होगा –
A(x – 0) + B(y + 1) + C(z + 1) = 0 ………….. (1)
चूँकि समतल (1) क्रमशः बिन्दु (4, 5, 1) व (3, 9, 4) से होकर जाता है। अतः ये बिन्दु समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा।
∴ A(4 – 0) + B(5 + 1) + C(1 + 1) = 0
⇒ 4A + 6B + 2C = 0
⇒ 2A + 3B + C = 0 ………….. (2)
तथा A(3 – 0) + B(9 + 1) + C(4 + 1) = 0
⇒ 3A + 10B + 5C = 0 …………. (3)
समी. (2) और (3) को हल करने पर,

⇒ A = -5k, B = -7k, C = 11k
A, B, C के मानों को समी. (1) में रखने पर,
5x – 7(y + 1) + 11(z + 1) = 0
⇒ 5x – 7y + 11z + 4 = 0 ………. (4)
यदि यह समतल (-4, 4, 4) से जाता है तो समी. (4) को सन्तुष्ट करेगा
L.H.S. = 5(-4) – 7(4) + 11(4) + 4
= -20 – 28 + 44 + 4
= 0 = R.H.S.
अतः दिये गये बिन्दु समतलीय हैं। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 16.
एक चर समतल मूलबिन्दु से इकाई दूरी पर है। यह निर्देशांक अक्षों को A, B, C पर काटता है। केन्द्रक (x, y, z) समीकरण  को सन्तुष्ट करता है, तो k का xy मान ज्ञात कीजिये।
हल:
दिया गया समतल
……… (1)
OA = a, OB = b, OC = c
बिन्दुओं A, B, C के निर्देशांक क्रमशः (a, 0, 0), (0, b, 0) तथा (0, 0, c) हैं।
मूलबिन्दु से समतल (1) पर डाले गये लम्ब की लम्बाई 1 है।

स्पष्ट है कि k = 9.

प्रश्न 17.
समतलों x + 2y + 3x = 4 तथा 2x + y – x + 5 = 0 की प्रतिच्छेदी रेखा से होकर जाने वाले उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो समतल 5x + 3y + 62 + 8 = 0 पर लम्ब हो।
हल:
दिया गये समतल
x + 2y + 3z = 4 ……….. (1)
2x + y – z + 5 = 0 ………… (2)
समतलों (1) और (2) के प्रतिच्छेदी रेखा से होकर जाने वाले समतल का समीकरण
x + 2y + 3z – 4 + λ(2x + y – z + 5) = 0
⇒ (1 + 2λ)x + (2 + λ)y + (3 – λ)z – 4 + 5λ = 0
यह समतल 5x + 3y + 6z + 8 = 0 पर लम्ब है
∴ 5(1 + 2λ) + 3(2 + λ) + 6(3 – λ) = 0
⇒ 10λ + 3λ – 6λ + 5 + 6 + 18 = 0
⇒ 7λ + 29 = 0
⇒ λ =
समी. (3) में मान रखने पर,
x + 2y + 3z – 4 –  (2x + y – z + 5) = 0
⇒ 7x + 14y + 21z – 28 – 58x – 29y + 29z – 145 = 0
⇒ -51x – 15y + 50z – 173 = 0
⇒ 51x + 15y – 50z + 173= 0.

प्रश्न 18.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो रेखा,  और बिन्दु (-6, 3, 2) से होकर जाता है।
हल:
रेखा बिन्दु (3, -2, 4) से जाती है।
∴ बिन्दु (3, -2, 4) से होकर जाने वाले समतल का समीकरण
A(x – 3) + B(y + 2) + C(2 – 4) = 0 ………. (1)
समतल (1) बिन्दु (-6, 3, 2) से भी जाता है,
-9A + 5B – 2C = 0 …………. (2)
रेखा के दिक्-अनुपात 2, 9, -1 हैं,
2A + 9B – C = 0 ……….. (3)
समी. (2) और (3) को हल करने पर,
-9A + 5B – 2C = 10
2A + 9B – C = 0

A = k, B = -k, C = -7k
समी. (1) में मान रखने पर,अभीष्ट समतल का समीकरण,
k(x – 3) – k(y + 2) – 7k(z – 4) = 0
⇒ x – y – 7z – 3 – 2 + 28 = 0
⇒ x – y – 7z + 23 = 0.

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –

प्रश्न 1.
बिन्दुओं A (- 2, 4, 7) तथा Q (3,- 5, 8) को मिलाने वाले रेखा खण्ड को YZ समतल किस अनुपात में विभाजित करता है –
(a) 2 : 3
(b) 1 : 2
(c) 2 : 5
(d) 3 : 4.
उत्तर:
(a) 2 : 3

प्रश्न 2.
यदि कोई रेखा X अक्ष व Y अक्ष दोनों की धनात्मक दिशाओं से  का कोण बनाये तो वह कोण जो रेखा Z – अक्ष की धनात्मक दिशा से बनाती है। होगी –
(a) π2
(b) π/3
(c)
(d) 
उत्तर:
(d) 

प्रश्न 3.
बिंदुओं (2, 3, 4) तथा (1, -2, 3) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण होगा –

प्रश्न 4.
समतल x + 2y + z + 7 = 0 तथा 2x + y – z + 13 = 0 के बीच का कोण है –

प्रश्न 5.
अक्षों से 2, 3, – 4 के अन्तःखण्ड काटने वाले समतल का समीकरण है –

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिये –

1.  एकांक सदिश की दिक् – कोज्याएँ …………………… हैं।
2. X – अक्ष की दिक् – कोज्याएँ …………………………. हैं।
3. घन के विकर्णों के बीच का कोण …………………………. होता है।
4. यदि एक रेखा अक्षों के साथ क्रमशः α, β, γ कोण बनाती है, तो cos²α + cos²β + cos²γ = ……………………………….. होगा।

उत्तर:

1. 
2. 1, 0, 0
3. cos^-1 ( 1/3 )
4. 1

प्रश्न 3.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –

1. बिन्दु A (1, 2, 3), B (4, 0, 4) तथा C (-2, 4, 2) संरेख हैं।
2. रेखाएँ जिनके दिक् – अनुपात (3, 4, 5) और (4, -3, 5) हैं, के बीच का कोण 30° है।
3. रेखाओं 2x = 3y = -z तथा 6x = -y = -4z के बीच कोण 90° है।
4. दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी सदैव 0 होती है।
5. X – अक्ष के समान्तर समतल का समीकरण ax + by + d = 0

उत्तर:

1. सत्य
2. असत्य
3. सत्य
4. सत्य
5. असत्य।

प्रश्न 4.
सही जोड़ी बनाइए –

उत्तर:

1. (c)
2. (d)
3. (a)
4. (b)
5. (e).

II.

उत्तर:
(a) (v)
(b) (iii)
(c) (ii)
(d) (vi)
(e) (iv).

प्रश्न 5.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

1. समतल x + 2y + 3z +4 = 0 के अभिलम्ब के दिक् अनुपात ज्ञात कीजिए।
2. समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो अक्षों से इकाई अंत:खण्ड काटता हो।
3. समतल YOZ पर लम्बवत् समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
4. समतलों x + 2y + z + 7 = 0 तथा 2x + y – z + 13 = 0 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
5. यदि कोई रेखा अक्षों की धनात्मक दिशाओं से α, β, γ कोण बनाए तो sin²α + sin²β + sin²γ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

1. 1, 2, 3
2. x + y + z = 1
3. by + cz + d = 0
4. 
5. 2

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