MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 5A सांतत्य तथा अवकलनीयता

Important Questions

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
फलन के सभी असांतत्य के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है –

हल:
x < 2 के लिए f (x) = 2x + 3 बहुपदी फलन है।
अत: x < 2 के लिए f (x) संतत फलन है। x > 2 के लिए f (x) = 2x – 3 बहुपदी फलन है।
अतः x > 2 के लिए f (x) संतत है।
अब हम केवल x = 2 पर f (x) की संततता का परीक्षण करेंगे।
x = 2 + h रखने पर
जब x → 2 तब h → 0

प्रश्न 2.
फलन के सभी असातत्य बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है –

प्रश्न 3.
बिन्दु x = 0 पर निम्नलिखित फलन f (x) के सातत्य की जाँच कीजिए –

प्रश्न 4.
फलन f निम्न प्रकार से परिभाषित है –

दर्शाइये कि बिन्दु x = 4 के अतिरिक्त प्रत्येक बिन्दु पर संतत है।
हल:

स्पष्ट है कि x = 4 के लिये फलन f (x) संतत नहीं है क्योंकि

जब x < 4 तब f (x) = – 1 जो कि एक अचर फलन है। अत: यह संतत फलन है। जब x > 4 तब f (x) = 1 जो कि एक अचर फलन है। अत: यह संतत फलन है।
अतः f (x) बिन्दु x = 4 के अतिरिक्त सभी बिन्दुओं पर संतत है। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 5.
k का मान ज्ञात कीजिए यदि फलन –

बिन्दु x = + h रखने पर, जब x → , तब h → 0

x = + h रखने पर, जब x →  तब h → 0

x = – h रखने पर, जब x →  तब h → 0

दिया है
f (  ) = 3
तथा दिया गया फलन संतत है।

प्रश्न 6.
k का मान ज्ञात कीजिए यदि फलन –

प्रश्न 7.
निम्न फलन बिन्दु x = 0 पर संतत है –

k का मान ज्ञात कीजिये।
हल:
दिया है

दिया है –

प्रश्न 8.
a और b के बीच संबंध स्थापित कीजिए जिनके लिए –

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि फलन f (x) = |x – 1|, x ∈ R, x = 1 पर अवकलनीय नहीं है। (NCERT)
हल:
दिया है:

प्रश्न 10.
दर्शाइए कि फलन

पर अवकलनीय नहीं है।
हल:
हम जानते हैं,

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि फलन

यही सिद्ध करना था।
x = 0 पर संतत है तथा अवकलनीय भी।
हल: यहाँ f (0) = 0


चूँकि f (0 + 0) = f (0 – 0) = f (0), अतएव x = 0 पर दिया हुआ फलन संतत है।
अब


स्पष्टतः Rf’ (0) = Lf’ (0)
अतः x = 0 पर दिया हुआ फलन अवकलनीय है।
अतः दिया हुआ फलन x = 0 पर संतत है तथा अवकलनीय भी है। यही सिद्ध करना था।

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –

प्रश्न 3.
 (x³ + sinx²) का मान है –
(a) 3x² + cos x²
(b) 3x² + x sin²
(c) 3x² + 2x cos x²
(d) 3x² + x cos x²
उत्तर:
(c) 3x² + 2x cos x²

प्रश्न 4.
 a^x का मान है –
(a) a^x
(b) a^xlog_ae
(c) a^xlog_ea
(d)
उत्तर:
(c) a^xlog_ea

प्रश्न 5.
यदि y = 500e^7x + 6000e^-7x हो, तो,  का मान होगा –
(a) 45 y
(b) 47 y
(c) 49 y
(d) 50 y
(d) 50y.
उत्तर:
(c) 49 y

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए –

1. cosx⁰ का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ………………….. है।
2. e^{loge a}का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ………………………..
3. log_e a का a के सापेक्ष अवकल गुणांक ……………………….
4. a^x का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ……………………………… है।
5. sin 3x का 3x के सापेक्ष अवकल गुणांक …………………………… है।
6. यदि y = sin^-1  हो, तो  = ……………………… होगा।
7. sin x का cos.x के सापेक्ष अवकल गुणांक ………………… है।
8. (log tan x) का मान ………………………… है।
9. log(log sin x) का अवकलन गुणांक ……………………………….. होगा।

उत्तर:

प्रश्न 3.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –

1. कोई फलन f (x) किसी बिन्दु x = a पर अवकलनीय कहलाता है, जब Lf'(a) # Rf (a).
2. sec^-1a का x के सापेक्ष अवकल गुणांक 0 होता है।
3. यदि y = ae^mx + Be^-mx, तो = -m²y है।
4. प्रत्येक अवकलनीय फलन सतत् होता है।
5. a^2x का अवकल गुणांक a^2xlog a.

उत्तर:

1. असत्य
2. असत्य
3. असत्य
4. सत्य
5. असत्य।

प्रश्न 4.
सही जोड़ी बनाइये –

उत्तर:

1. (d)
2. (e)
3. (a)
4. (f)
5. (h)
6. (g)
7. (c)
8. (b)

प्रश्न 5.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

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