MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 9 अवकल समीकरण

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 9 अवकल समीकरण

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 9 अवकल समीकरण

Important Questions

अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
अवकल समीकरण  + y = e^-x की कोटि तथा घात ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
1, 1

प्रश्न 2.
अवकल समीकरण  की कोटि तथा घात ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
1, 6

प्रश्न 3.
अवकल समीकरण  की कोटि तथा घात ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
2, 2

प्रश्न 4.
वृत्त के समीकरण x² + y² = a² के संगत अवकल समीकरण क्या होगा?
उत्तर:
y  + x = 0

प्रश्न 5.
सरल रेखा y = mx + c के लिये अवकल समीकरण बनाइये।
उत्तर:
= m

प्रश्न 6.
अवकल समीकरण  = 4y को हल कीजिये।
उत्तर:
y = c.e^4x

प्रश्न 7.
x²  = 2 का व्यापक हल ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
y = c – 

प्रश्न 8.
अवकल समीकरण dy = sin x dx का हल ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
y + cos x = c

प्रश्न 9.
+ Px = Q रूप वाले अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
xe^∫pdy = ∫Q.e^∫pdy.dy + c

प्रश्न 10.
अवकल समीकरण (1 – y²)  + yx = ay का समाकल गुणांक ज्ञात कीजिये।
उत्तर:

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
अवकल समीकरण x log x dy – y dx = 0?
हल:
दिया है:
⇒ xlog x dy = y dx

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि y = 4 sin 3x अवकल समीकरण  + 9y = 0 का एक हल है।
हल:
दिया है:
y = 4 sin 3x ……………… (1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
∴  = 12 cos 3x
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
= -36 sin 3x = -9 × 4 sin 3x
⇒  = -9y, [समी. (1) से]
⇒ + 9y = 0 यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 3.
अवकल समीकरण  = sec x (sec x + tan x) का हल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया अवकल समीकरण है:
= sec x (sec x + tan x)
⇒ dy = (sec²x + sec x tan x) dx
⇒ ∫dy = ∫sec²x dx + ∫sec x tan x dx
∴ y = tan x + sec x + c

प्रश्न 4.
अवकल समीकरण  = sec² x + 3x² को हल कीजिए।
हल:
= sec² x + 3x²
⇒ dy = (sec² x + 3x²) dx
⇒ ∫dy = ∫sec² x dx + 3∫x² dx
⇒ y = tan x +  + c
⇒ y = tan x + x³ + c

प्रश्न 5.
अवकल समीकरण  = sec² x + 2x का हल ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 4 की भाँति हल करें।

प्रश्न 6.
अवकल समीकरण  = (3x² + 2) को हल कीजिए।
हल:
दिया है:
= (3x² + 2)
⇒ dy = (3x² + 2) dx
⇒ ∫dy = ∫(3x² + 2) dx
⇒ y = 3 ×  + 2x + c = x³ + 2x + c

प्रश्न 7.
अवकल समीकरण x²  = 2 को हल कीजिए।
उत्तर:

प्रश्न 8.
अवकल समीकर  = x³ + sin 4x का हल ज्ञात कीजिये।
दिया है:

प्रश्न 9.
अवकल समीकरण  + 2x = e^3x का हल ज्ञात कीजिये।
हल:
दिया है:

प्रश्न 10.
समीकरण  = sin x sin y को हल कीजिये।
हल:
= sin x sin y
⇒ cosec y dy = sin x dx
समाकलन करने पर,
-log_e(cosec y + cot y) = – cos x + c
⇒ cos x – log_e(cosec y + cot y) = c

प्रश्न 11.
अवकल समीकरण  = y sin x को हल कीजिये।
हल:

प्रश्न 12.
अवकल समीकरण  = x cos x को हल कीजिये।
हल:
दिया है:
= x cos x
⇒ dy = x cos x dx
⇒ ∫dy = ∫x cos x dx
⇒ y = x sin x – ∫1. sin x dx + c
⇒ y = x sin x + cos x + c

प्रश्न 13.
अवकल समीकरण  = 1 – x + y – xy को हल कीजिए।
हल:
दिया गया अवकल समीकरण है –

प्रश्न 14.
अवकल समीकरण  = (1 + x)(1 + y²) को हल कीजिए।
हल:
दिया गया अवकल समीकरण है:

प्रश्न 15.
अवकल समीकरण हल कीजिए –
= cot²x
⇒ dy = cot² x dx
⇒ ∫dy = ∫cot² x dx
⇒ y = ∫(cosec² x – 1) dx
⇒ y = – cot x – x + c

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
(A) अवकल समीकरण  + y tan x = sec x को हल कीजिए।
हल:
दिया है:
+ y tan x = sec x ………… (1)
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है, इसकी तुलना  + Py = Q से करने पर,
P = tan x, Q = sec x
∴ I.F. = e^{∫p dx} = e^{∫tan x dx} = e^{log secx}
⇒ I.F. = sec x
अतः अवकल समी. (1) का अभीष्ट हल है:
y × (I.F.) = ∫Q × (I.F). dx + c
⇒ y × (sec x) = ∫sec x × (sec x) dx + c
= ∫sec² xdx + c
⇒ y sec x = tan x + c

(B) अवकल समीकरण  + y tan x = sin x को हल कीजिए।
हल:
प्रश्न क्रमांक 1 (A) की भाँति हल करें।

प्रश्न 2.

प्रश्न 3.
अवकल समीकरण 3x²dy = (3xy + y²)dx को हल कीजिए।
हल:
दिया गया अवकल समीकरण है:
3x² dy = (3xy + y²) dx

प्रश्न 4.
अवकल समीकरण हल कीजिए –
(1 + x)²  + 2xy = 4x²
हल:
दिया गया अवकल समीकरण है:

प्रश्न 5.
अवकल समीकरण (1 + x²)  + 2xy = cos x को हल कीजिए।
हल:
दिया है:

प्रश्न 6.
किसी वस्तु के बनाने का सीमांत लागत मूल्य c'(x) =  = 2 + 0.15 x समीकरण से दिया जाता है। इस वस्तु के बनाने पर कुल लागत मूल्य c(x) ज्ञात कीजिए। (दिया है: c(0) = 100)
हल:
दिया है:
समीकरण c'(x) =  = 2 + 0.15 x
समाकलन करने पर,
∫c'(x) dx = ∫(2 + 0.15 x) dx
c(x) = 2x + 0.15  + A ………. (1)
अब यदि x = 0 तो
c(0) = 2 × 0 +  × o² + A
⇒ c(0) = A [∵c(0) = 100]
∴ A = 100,
समी. (1) में मान रखने पर,
c(x) = 2x + 0.075 x² + 100

प्रश्न 7.

प्रश्न 8.
अवकल समीकरण हल कीजिए –
(x + y + 1)  = 1?
हल:
दिया गया अवकल समीकरण है:

प्रश्न 9.
अवकल समीकरण sec² x tan y dx + sec² y tan xdy = 0 को हल कीजिए।
हल:
दिया है:
sec² xtan ydx + sec² ytan xdy = 0
⇒ sec² tan x dy = -sec² tan ydx

⇒ log y = – log x + log c
⇒ log x + log y = log c
⇒ log xy = log c
⇒ xy = c

प्रश्न 10.
अवकल समीकरण हल कीजिए।
= y tan x – 2 sin x?
हल:
दिया गया अवकल समीकरण
– y tan x = -2 sin x
इसकी तुलना  + Py = Q से करने पर,
P = – tan x, Q = – 2 sin x
अभीष्ट हल y.(I.F.) = ∫Q.I.F.dx + c
⇒ y cos x = -2∫sin x cos x dx + c
⇒ y cos x= -∫sin 2x dx + c
⇒ y cos x =  + c

प्रश्न 11.
अवकल समीकरण  + 2y = 4x को हल कीजिए।
हल:
+ 2y = 4x
इसकी तुलना  + Py = Q से करने पर,
P = 2,Q = 4x

⇒ y = 2x – 1 + c.e^-2x

प्रश्न 12.
अवकल समीकरण cos²x  + y = 2 को हल कीजिए।
हल:
cos² x  + y = 2
⇒  + sec² x.y = 2 sec² x
इसकी तुलना  + Py = Q से करने पर,
P = sec² x, Q = 2 sec² x

प्रश्न 13.
अवकल समीकरण cos x  + y = sin x को हल कीजिये।
हल:
cos x  + y = sin x
⇒  + secx. y = tan x
इसकी तुलना  + Py = Q से करने पर,
P = sec x, Q = tan x

प्रश्न 14.
अवकल समीकरण (1 + y²) dx = (tan^-1 y – x) dy को हल कीजिए। (CBSE 2015)
हल:
दिया गया अवकल समीकरण है –
(1 + y²) dx = (tan^-1y – x) dy

प्रश्न 15.
अवकल समीकरण (1 + y²) + (x – e^{tan-1 y})  = 0 को हल कीजिए। (CBSE 2016)
हल:
दिया गया अवकल समीकरण है –
(1 + y²) + (x – e^{tan-1 y})  = 0

समी (1) की तुलना  + Px = Q से करने पर,

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –

प्रश्न 1.
अवकल समीकरण  की घात है –
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) अस्तित्व नहीं है।
उत्तर:
(c) 3

प्रश्न 2.
अवकल समीकरण (1 + x) y dx + (1 – y) x dy = 0 का हल होगा –
(a) log xy + x + y = c
(b) log y + x – y = c
(c) log xy – x – y = c
(d) log xy – x + y = c.
उत्तर:
(b) log y + x – y = c

प्रश्न 3.
उन सभी वृत्तों का अवकल समीकरण जो मूलबिन्दू से गुजरते हैं तथा जिनके केन्द्र X – अक्ष पर स्थित है –
(a) x² = y² + xy
(b) x² = y² + 3xy
(c) y² = x² + 2xy
(d) y² = x² – 2xy
उत्तर:
(c) y² = x² + 2xy

प्रश्न 4.
अवकल समीकरण  + y = e^-x, y(0) = 0 का हल होगा –
(a) y = e^-x (x -1)
(b) y = xe^x
(c) y = xe^-x + 1
(d) y = xe^-x
उत्तर:
(d) y = xe^-x

प्रश्न 5.
सरल रेखा जो अवकल समीकरण = m को संतुष्ट करती हो तथा Y – अक्ष पर धनात्मक दिशा में 3 अन्तःखण्ड काटती हो, है –
(a) y = mx + c
(b) = mx + 3
(c) y = mx – 3
(d) y = – mx + 3
उत्तर:
(b) = mx + 3

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिये –

1. समीकरण x² + y² = a² के संगत अवकल समीकरण ……………………….. है।
2. वक्र y = e^cx से संबंधित अवकल समीकरण …………………………….. है, जहाँ c स्वेच्छ अचर है।
3. रेखीय अवकल समीकरण  + Py = Q में समाकलन गुणांक …………………………. है।
4. रेखीय अवकल समीकरण  + Py = Q में P और …………………………… हैं।
5. अवकल समीकरण (x + y + 1) dy = dx ………………………… रूप का है।
6. अवकल समीकरण e^-x+y  = 1 का हल हो ……………………… है।

उत्तर:

1. y  + x = 0
2. x  = y log y
3. e^∫pdx
4. अचर
5. रेखीय अवकल समीकरण

SabDekho

The Complete Educational Website

Bihar Board

UP Board

IAS Notes

Jac Board

MP Board

सम्पूर्ण व्याकरण

जीवनी

निबंध

टेन्स

सामान्य ज्ञान

Rajasthan Board