MP Board Class 9th Maths | बहुपद

MP Board Class 9th Maths | बहुपद

MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित व्यंजकों में कौन-कौन एक चर में बहुपद हैं और कौन-कौन नहीं ? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए :
(i) 4x² – 3x + 7
(ii) y² + √2
(iii) 3√t + t√2
(iv) y + 2y
(v) x¹⁰ + y³ + t⁵⁰ .
हल:
(i) एक चर में बहुपद है, क्योंकि इसमें एक ही चर x है तथा प्रत्येक घातांक पूर्ण संख्या है।
(ii) एक चर में बहुपद है, क्योंकि इसमें एक ही चर y है तथा प्रत्येक घातांक पूर्ण संख्या है।
(iii) एक चर में बहुपद नहीं है, क्योंकि इसमें चर तो एक ही है, लेकिन प्रत्येक घातांक पूर्ण संख्या नहीं है।
(iv) एक चर में बहुपद नहीं है, क्योंकि प्रत्येक घातांक पूर्ण संख्या नहीं है।
(v) x¹⁰ + y³ + t⁵⁰ एक चर में बहुपद नहीं है, क्योंकि इसमें तीन चर x, y एवं t हैं। हालांकि प्रत्येक घातांक पूर्ण संख्या है, अत: यह बहुपद तो है लेकिन तीन चरों में।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से प्रत्येक में – का गुणांक लिखिए :
(i) 2 + x² + x (2018)
(ii) 2 – x² + x³
(iii) π2x² + x
(iv) √2x – 1.
हल:
(i) 1,
(ii) – 1,
(iii) π2,
(iv) 0 (शून्य)।

प्रश्न 3.
35 घात के द्विपदी का और 100 घात के एकपदी का एक-एक उदाहरण दीजिए।
हल:
पैंतीस घात का द्विपदी : x³⁵ + 100
100 घात का एक पदी : 10x¹⁰⁰

प्रश्न 4.
निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद की घात लिखिए :
(i) 5x³ + 4x² + 7x
(ii) 4 – y²
(iii) 5t – √7
(iv) 3.
हल:
(i) 3,
(ii) 2,
(iii) 1,
(iv) 0 (शून्य)।

प्रश्न 5.
बताइए निम्नलिखित बहुपदों में कौन-कौन बहुपद रैखिक हैं, कौन-कौन द्विघाती है और कौन-कौन त्रिघाती हैं :
(i) x² + x
(ii) x – x³
(iii) y + y² + 4
(iv) 1 + x
(v) 3t
(vi) r²
(vii) 7x³
हल:
रैखिक : (iv) 1 +x, (v) 3t.
द्विघाती : (i) x² + x, (iii) y + y² + 4, (vi) r²
त्रिघाती : (ii) x – x³ , (vii) 7x³ .

MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित पर बहुपद 5x – 4x² + 3 के मान ज्ञात कीजिए :
(i) x = 0
(ii) x = -1
(iii) x = 2.
हल:
∵ p(x) = 5x – 4x² + 3
(i) ⇒ p (0) = 5(0) – 4(0) + 3 = 0 – 0 + 3 = 3.
(ii) ⇒ p (- 1) = 5(-1) – 4(-1)2 + 3 = – 5 – 4 + 3 = – 9 + 3 = -6.
(iii) ⇒ p(2) = 5(2) – 4(2)² + 3 = 10 – 16 + 3 = 13 – 16 = – 3.

प्रश्न 2.
निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद के लिए p(0), p(1) और p(2) ज्ञात कीजिए :
(i) P(y) = y² – y + 1
(ii) p(t) = 2 + t + 2t² – t³
(iii) P(x) = x³
(iv) p(x) = (x – 1) (x + 1).
हल:
(i) ∵ p(y) = y² – y + 1
⇒ p(0) = (0)² – (0) + 1 = 0 – 0 + 1 = 1
तथा p(1) = (1)² – (1) + 1 = 1 – 1 + 1 = 1
एवं p(2) = (2)² – (2) + 1 = 4 – 2 + 1 = 5 – 2 = 3
अत: p(0) = 1, p(1) = 1 एवं p(2) = 3 अभीष्ट मान हैं।

(ii) ∵ p(t) = 2 + t + 2t² – t³
⇒ p(0) = 2 + 0 + 2(0)² – (0)³ = 2 + 0 + 0 – 0 = 2
तथा p(1) = 2 + 1 + 2(1)² – (1)³= 2 + 1 + 2 – 1 = 4
एवं p(2) = 2 + 2 + 2 (2)² – (2)³ = 2 + 2 + 8 – 8 = 4
अतः p(0) = 2, p(1)= 4 एवं p(2) = 4 अभीष्ट मान हैं।

(iii) ∵ p(x) = x³
⇒ p(0) = (0)³ = 0
तथा p(1) = (1)³ = 1
एवं p(2) = (2)³ = 8
अतः p(0) = 0, p(1)= 1 एवं p(2) = 8 अभीष्ट मान हैं।

(iv) ∵ p(x) = (x – 1) (x + 1)
⇒ p(0) = (0 – 1) (0 + 1) = (-1) (+ 1) = -1
तथा p(1) = (1 – 1) (1 + 1) = (0) (2) = 0
p(2) = (2 – 1) (2 + 1) = (1) (3) = 3
अतः p(0) = – 1, p(1) = 0 एवं p(2) = 3 अभीष्ट मान हैं।

प्रश्न 3.
सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपदों के शून्यक हैं :
(i) p(x) = 3x + 1 ; x = –13
(ii) p(x) = 5x – π ; x = 45
(iii) p(x) = x² – 1 ; x = 1,-1
(iv) p(x) = (x + 1) (x – 2) ; x = -1, 2
(v) p(x) = x² ; x = 0
(vi) p(x) = lx + m ; x = -m/l
(vii) p(x) = 3x² – 1 ; x = −13√,23√
(viii) p(x) = 2x + 1; x = 12
हल:
(i) p(x) = 3x + 1
⇒ p(- 1/3) = 3 (- 1/3) + 1 = – 1 + 1 = 0
अतः –13 दिए व्यंजक का शून्यक है।

(ii) p(x) = 5x – π
⇒ p(45)= 5 x 45 – π = 4 – π ≠ 0
अतः 45 दिए व्यंजक का शून्यक नहीं है।

(iii) p(x) = x² – 1
⇒ p(+ 1) = (1)² – 1 = 1 – 1 = 0
अत: 1 एवं – 1 दिए व्यंजक के शून्यक हैं।

(iv) p(x) = (x + 1) (x -2)
⇒ p(- 1) = (-1 + 1) (-1-3) = (0) (-4) = 0
एवं p(2) = (2 + 1) (2 – 2) = (3) (0) = 0
अतः -1 एवं 2 दिए व्यंजक के शून्यक हैं।

(v) p(x) = x²
⇒ p (0) = (0) = 0
अतः 0 (शून्य) दिए व्यंजक का शून्यक है।

(vi) p(x) = lx + m
⇒ p(−ml)=l(−ml)+m=−m+m=0
अतः- ” दिए व्यंजक का शून्यक है।

(vii) p(x) = 3x² – 1

अत: –13√ तो दिए व्यंजक का शून्यक है लेकिन 23√ शून्यक नहीं है।

(viii) p(x) = 2x + 1
⇒ p(12) = 2 (12) + 1 = 1 + 1 = 2 + 0
अतः 12 दिए व्यंजक का शून्यक नहीं है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में बहुपद का शून्यक ज्ञात कीजिए :
(i) p(x) = x + 5
(ii) p(x) = x – 5
(iii) p(x) = 2x + 5
(iv) p(x) = 3x – 2
(v) p(x) = 3x
(vi) p(x) = ax; a ≠ 0
(vii) p(x) = cx + d; c ≠ 0, c, d वास्तविक संख्याएँ हैं।
हल:
(i) माना p(x) = x + 5 = 0 (शून्यक ज्ञात करने के लिए
⇒ x = -5
अतः -5 दिए हुए व्यंजक का अभीष्ट शून्यक है।

(ii) माना p(x) = x – 5 = 0 (शून्यक ज्ञात करने के लिए)
⇒ x = 5
अत: 5 दिए व्यंजक का अभीष्ट शून्यक है।

(iii) माना p(x) = 2x + 5 = 0 (शून्यक ज्ञात करने के लिए)
⇒ 2x = -5 ⇒ x = –52
अतः – दिए व्यंजक का अभीष्ट शून्यक है।

(iv) माना p(x) = 3x – 2 = 0 (शून्यक ज्ञात करने के लिए)
⇒ 3x = 2 ⇒ x = 23
अतः 23 दिए हुए व्यंजक का अभीष्ट शून्यक है।

(v) माना p(x) = 3x = 0 (शून्यक ज्ञात करने के लिए)
⇒ x = 03 = 0
अत: 0 (शून्य) दिए हुए व्यंजक का अभीष्ट शून्यक है।

(vi) माना p(x) = ax = 0 (शून्यक ज्ञात करने के लिए)
⇒ x = 0a = 0 (चूँकि a ≠ 0)
अतः 0 (शून्य) दिए हुए व्यंजक का अभीष्ट शून्यक है।

(vii) माना p(x) = cx + d= 0 (शून्यक ज्ञात करने के लिए)
⇒ cx = -d ⇒ x = –dc ; यहाँ c ≠ 0
अतः –dc (जहाँ c ≠ 0, c, d वास्तविक संख्याएँ हैं) दिए व्यंजक का अभीष्ट शून्यक है।

MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3

प्रश्न 1.
x + 3x² + 3x + 1 को निम्नलिखित से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए :
(i) x + 1
(ii) x – 12
(iii) x
(iv) x + π
(v) 5 + 2x
हल:
(i) p(x) = x + 5x² + 3x + 1 एवं x + 1 का शून्यक – 1 है।
⇒ p(-1) = (-1)³ + 3 (-1)² + 3 (-1) + 1
= -1 + 3 – 3 + 1 = 4 – 4 = 0
अतः शेषफल प्रमेय के अनुसार अभीष्ट शेषफल = 0.

(ii) p(x) = x + 3x² + 3x + 1 एवं x – 12 का शून्यक 12 है

अतः शेषफल प्रमेय के अनुसार अभीष्ट शेषफल = 278

(iii) p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1 एवं का शून्यक 0 है
p(0) = (0)³ + 3 (0)² + 3(0) + 1
= 0 + 0 + 0 + 1 = 1
अतः शेषफल प्रमेय के अनुसार अभीष्ट शेषफल = 1.

(iv) p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1 एवं x + π का शून्यक – π है
⇒ p(- π ) = (- π )³ + 3(-π)² + 3 (-1) + 1
= – π³ + 3π² – 3π + 1
अतः शेषफल प्रमेय के अनुसार अभीष्ट शेषफल = – π³ + 3π² – 3π + 1

(v) p(x) = x + 3x² + 3x + 1 एवं 5 + 2x का शून्यक –52 है

अतः शेषफल प्रमेय के अनुसार अभीष्ट शेषफल = –278.

प्रश्न 2.
x³ – ax² + 6x – a को x – a से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
हल:
माना p(x) = x³ – ax² + 6x – a एवं x – a का शून्यक a है
p(a) = a³ – a(a) + 6 (a) – a
= a³ – a³ + 6a – a = 5a
अतः शेषफल प्रमेय के अनुसार अभीष्ट शेषफल = 5a.

प्रश्न 3.
जाँच कीजिए कि 7 + 3x, 3x³ + 7x का एक गुणनखण्ड है या नहीं ?
हल:
माना p(x) = 3x³ + 7x एवं 7 + 3x का शून्यक 73 है।

अतः 7 + 3x व्यंजक 3x² + 7x का एक गुणनखण्ड नहीं है।

MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4

प्रश्न 1.
बताइए निम्नलिखित में से किस बहुपद का एक गुणनखण्ड x +1 है :
(i) x + x² + x + 1
(ii) x⁴ + x³ + x² + x +1
(iii) x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
(iv) x³ – x² – (2 + √2)x + √2 .
हल:
(i) p(x) = x³ + x² + x + 1 में x + 1 = 0 ⇒ x = – 1 रखने पर,
शेषफल p(-1)= (-1)³ + (-1)² + (-1) + 1
= – 1 + 1 – 1 + 1 = 0 हो जाता है।
अतः (x + 1) दिए गए बहुपद का एक गुणनखण्ड है।

(ii) p(x) = x⁴ + x³ + x² + x + 1 में x + 1 = 0 ⇒ x = – 1 रखने पर,
शेषफल p(-1) = (-1)⁴ + (- 1)³ + (-1)² + (-1) + 1
= 1 – 1 +1 – 1 + 1 = 3 – 2 = 1 ≠ 0
अतः (x + 1) दिए गए बहुपद का एक गुणनखण्ड नहीं है।

(iii) p(x) = x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1 में x + 1 = 0 ⇒ x = – 1 रखने पर,
शेषफल p(-1) = (-1)⁴ + 3(-1)³ + 3(-1)² + (- 1) + 1
= 1 – 3 + 3 – 1 + 1 = 1 ≠ 0
अतः (x + 1) दिए गए बहुपद का एक गुणनखण्ड नहीं है।

(iv) p(x) = x³ – x² – (2 + √2 )x + √2 में x + 1 = 0 ⇒ x = – 1 रखने पर, शेषफल
p (- 1) = (-1)³ – (-1)² – (2 + √2) (-1) + √2
= – 1 – 1 + 2 + √2 +√2 = 2√2 ≠ 0
अतः (x + 1) दिए गए बहुपद का एक गुणनखण्ड नहीं है।

प्रश्न 2.
गुणनखण्ड प्रमेय लागू करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में g(x), p(x) का एक गुणनखण्ड है या नहीं :
(i) p(x) = 2x³ + x² – 2x – 1, g(x) = x + 1
(ii) p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1, g(x) = x + 2
(iii) p(x) = x³ – 4x² + x + 6, g(x) = x – 3.
हल:
(i) ∵ p(x) = 2x³ + x² – 2x – 1 एवं g(x) = x + 1 का शून्यक – 1 है
⇒ p(-1) = 2(-1)³ + (-1)² – 2(-1)- 1
= – 2 + 1 + 2 – 1
= 3 – 3 = 0
अतः गुणनखण्ड प्रमेय के आधार पर g(x), बहुपद p(x) का एक गुणनखण्ड है।

(ii) ∵ p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1 एवं g(x) = x + 2 का शून्यक – 2 है
⇒ p(-2) = (-2)³ + 3(-2)² + 3(-2) + 1
= -8 + 12 – 6 + 1
= 13 – 14
= -1 ≠ 0
अत: गुणनखण्ड प्रमेय के आधार पर g(x), बहुपद p(x) का एक गुणनखण्ड नहीं है।

(iii) ∵ p(x) = x³ – 4x² + x + 6, एवं g(x) = x – 3 का शून्यक 3 है
⇒ p(3) = (3)³ – 4 (3)² + (3) + 6
= 27 – 36 + 3 + 6
= 36 – 36 = 0
अत: गुणनखण्ड प्रमेय के आधार पर g(x), बहुपद p(x) का एक गुणनखण्ड है।

प्रश्न 3.
k का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में (x – 1), p(x) का एक गुणनखण्ड हो :
(i) p(x) = x² + x + k (2019)
(ii) p(x) = 2x² + kx + √2
(iii) p(x) = kx² – √2x + 1
(iv) p(x) = kx² – 3x + k.
हल:
(i) ∵ p(x) = x2 + x + k का एक गुणनखण्ड (x – 1) है जिसका शून्यक = 1 है
⇒ p(1) = (1)² + (1) + k = 0
⇒ 1 + 1 + k = 0
⇒ k = -2
अत:k का अभीष्ट मान = – 2.

(ii) ∵ p(x) = 2x² + kx + √2 का एक गुणनखण्ड (x – 1) है जिसका शून्यक = 1 है।
⇒ p(1) = 2(1)² + k(1) + √2 = 0
⇒ 2 + k + 2 = 0
⇒ k = – (2+ √2)
अतः k का अभीष्ट मान = – (2 + √2).

(iii) ∵p(x) = kx² – √2 x + 1 का एक गुणनखण्ड (x – 1) है जिसका शून्यक = 1 है
⇒ p(1) = k(1)² – √2 (1) + 1 = 0
⇒ k = √2 + 1 = 0
⇒ k = ( √2 – 1)
अत: k का अभीष्ट मान = (√2 – 1).

(iv) ∵ p(x) = kx² – 3x + k का एक गुणनखण्ड (x – 1) है जिसका शून्यक = 1 है
⇒ p(1) = k(1)² – 3(1) + k = 0
⇒ k – 3 + k = 0
⇒ 2k = 3
⇒ k = 32
अत: k का अभीष्ट मान = 32

प्रश्न 4.
गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए :
(i) 12x² – 7x + 1 (2019)
(ii) 2x² + 7x + 3 (2019)
(ii) 6x² + 5x – 6
(iv) 3x² – x – 4.
हल:
(i) 12x² – 7x + 1 = 12x² – (4 + 3)x + 1
= 12x² – 4x – 3x + 1
= 4x (3x – 1) – 1 (3x – 1)
= (3x – 1) (4x – 1)
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड = (3x – 1) (4x – 1).

(ii) 2x² + 7x + 3 = 2x² + (6 + 1)x +3
= 2x² + 6x + x +3
= 2x (x + 3) + 1 (x + 3)
= (x + 3) (2x + 1)
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड = (x+ 3) (2x + 1).

(iii) 6x² + 5x – 6 = 6x² + (9 – 4)x – 6
= 6x² + 9x – 4x – 6
= 3x (2x + 3) – 2 (2x + 3)
= (2x + 3) (3x – 2)
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड = (2x + 3) (3x – 2)

(iv) 3x² – x – 4 = 3x² – (4 – 3)x – 4
= 3x² – 4x + 3x – 4
= x(3x – 4)+ 1 (3x – 4)
= (3x – 4) (x + 1)
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड = (3x – 4) (x + 1).

प्रश्न 5.
गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए :
(i) x³ – 2x² – x + 2
(ii) x³ – 3x² – 9x – 5
(iii) x³ + 13x² + 32x + 20
(iv) 2y³ + y² – 2y – 1.
हल:
(i) x³ – 2x² – x + 2 = x² (x – 2)- 1 (x – 2)
= (x – 2) (x² – 1)
= (x – 2) (x – 1) (x + 1) [∵(a – b²) = (a – b) (a + b)]
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड = (x – 2) (x – 1) (x + 1).

(ii) मान लीजिए p(x) = x³ – 3x² – 9x – 5
एवं -5 के सम्भावित गुणनखण्ड ∓ 1 एवं ± 5 हैं।
हम जानते हैं कि p(-1) = (-1)³ – 3(-1)² – 9(-1) – 5
= – 1 – 3 + 9 – 5 = 9 – 9 = 0
अतः (x + 1), p(x) का एक गुणनखण्ड है।
अब, p(x) = x³ + x² – 4x² – 4x – 5x – 5
= x² (x + 1) – 4x (x + 1) – 5 (x + 1)
= (x + 1) [(x² – 4x – 5)]
= (x + 1) [x² – (5 – 1)x – 5]
= (x + 1) [x² – 5x + x – 5]
= (x + 1) [x (x – 5) + 1 (x – 5)]
= (x + 1) (x – 5) (x + 1)
= (x + 1) – (x – 5)
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड = (x + 1)² (x – 5).

(iii) मान लीजिए p(x) = x³ + 13x² + 32x + 20
एवं 20 के सम्भावित गुणनखण्ड ± 1, ± 2, ± 4, ± 5 एवं ± 10 हैं।
हम जानते हैं कि p(- 1) = (-1)³ + 13(-1)² + 32 (-1) + 20
= – 1 + 13 – 32 + 20 = 33 – 33 = 0
अतः (x + 1), p(x) का एक गुणनखण्ड है।
अब p(x) = x³ + x² + 12x² + 12x + 20x + 20
= x² (x + 1)+ 12x (x + 1)+ 20 (x + 1)
= (x + 1) (x² + 12x + 20)
= (x + 1) [x² + (2 + 10) x + 20]
= (x + 1) [x² + 2x + 10x + 20]
= (x + 1) [x(x + 2) + 10 (x + 2)]
= (x + 1) (x + 2) (x + 10)
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड = (x + 1) (x + 2) (x + 10).

(iv) p(x) = 2y³ + y² – 2y – 1
= y² – (2y + 1) – 1 (2y + 1)
= (2y + 1) (y² – 1)
= (2y + 1) (y + 1) (y – 1) [∵ (a² – b²) = (a + b)(a – b)]
अतः अभीष्ट गुणखण्ड = (y – 1) (y + 1) (2y + 1).

MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.5

प्रश्न 1.
उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए :
(i) (x +4) (x + 10)
(ii) (x + 8) (x – 10)
(iii) (3x + 4) (3x – 5)
(iv) (y² + 32 ) ( y² – 32)
(v) (3 – 2x) (3 + 2x).
हल:
(i) चूँकि (x+ a) (x + b) = x² + (b + a)x + ab (सर्वसमिका)
⇒ (x +4) (x + 10) = x²+ (10 + 4) x + (4) (10)
= x² + 14x + 40
अतः अभीष्ट गुणनफल = x² + 14x + 40.

(ii) चूँकि (x + a) (x – b) = x² + (a- b)x – (a) (b) (सर्वसमिका)
⇒ (x + 8)(x – 10) = x² + (8 – 10)x – (8) (10)
= x² – 2x – 80
अतः अभीष्ट गुणनफल =x² – 2x -80.

(iii) चूँकि (a + b) (a – c) = (a)² + (b – c) (a) – (b)(c) (सर्वसमिका)
⇒ (3x+ 4) (3x – 5) = (3x)² + (4 – 5) (3x) – (4)(5)
= 9x² – 3x – 20
अतः अभीष्ट गुणनफल = 9x² – 3x – 20.

(iv) चूँकि (a + b) (a – b) = a² – b² (सर्वसमिका)

(v) चूँकि (a – b) (a + b) = a² – b² (सर्वसमिका)
(3 – 2x) (3 + 2x) = (3)² – (2x)²
= 9 – 4x²
अतः अभीष्ट गुणनफल = 9 – 4x².

प्रश्न 2.
सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए :
(i) 103 x 107
(ii) 95 x 96
(iii) 104 x 96
हल:
(i) चूँकि (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab (सर्वसमिका)
यदि x = 100, a = 3 एवं b = 7 हो, तो
(100 + 3) (100 + 7) = (100)² + (3 + 7) (100) + (3) (7)
⇒ (103) (107) = 10000 + 1000 + 21 = 11021
अतः अभीष्ट गुणनफल = 11021.

(ii) चूँकि (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab (सर्वसमिका)
अब x = 100, a = – 5, b = – 4 रखने पर,
⇒ (100 – 5) (100 – 4) = (100)² + (-5 – 4) (100) + (-5) (-4)
⇒ 95 x 96 = 10000 – 900 + 20
⇒ 95 x 96 = 9120
अतः अभीष्ट गुणनफन = 9120.

(iii) चूँकि (a + b) (a – b) = a – b² (सर्वसमिका)
अब a = 100, b = 4 रखने पर,
⇒ (100 + 4) (100 – 4) = (100)² – (4)²
⇒ 104 x 96 = 10000 – 16
⇒ 104 x 96 = 9984
अतः अभीष्ट गुणनफल = 9984.

प्रश्न 3.
उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित के गुणनखण्डन कीजिए :
(i) 9x² + 6xy + ya
(ii) 4y² – 4y + 1
(iii) x² – 100
हल:
(i) चूँकि a² + 2ab + b² = (a + b)²
अब a = 3x एवं b = y रखने पर,
⇒ (3x)² + 2 (3x) (y) + (y)² = (3x + y)²
⇒ 9x² + 6xy + y² = (3x + y)²
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड = (3x + y)².

(ii) चूँकि (a)² – 2ab + (b)² = (a – b)²
अब a= 2y एवं b = 1 रखने पर,
⇒ (2y)² – 2 (2y) (1) + (1)² = (2y – 1)²
⇒ 4y⁴ – 4y + 1 = (2y – 1)²
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड = (2y – 1)²

(iii) चूँकि a² – b² = (a – b) (a + b)
अब a = x एवं b = y/10 रखने पर,

प्रश्न 4.
उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए :
(i) (x + 2y + 4z)²
(ii) (2x – y + z)²
(iii) (-2x + 3y + 2z)²
(iv) (3a – 7b – c)²
(v) (-2x + 5y – 3z)²
(vi) [ 14a – 12b + 1]²
(i) ∵ सर्वसमिका : (p + q + r)² = p² + q² + r² +1 (pq + qr + rp)
अब p =x, q= 2y एवं r = 4z रखने पर प्राप्त होता है :
(x + 2y + 4z)² = (x)² + (2y)² + (4z)² + 2 [(x)(2y) + (2y)(4z) + (4z)(x)]
= x² + 4y² + 16z² + 2(2xy + 8yz + 4zx)
= x² + 4y²+ 16z² + 4xy + 16yz + 8zx.
अतः अभीष्ट प्रसार = x² + 4y² + 16z² + 4xy + 16yz + 8 zx.

(ii) ∵ सर्वसमिका :  (p + q + r)² = p² + q² + r² + 2 (pq + qr + rp)
अब p = 2x, q = -y एवं r = z रखने पर प्राप्त होता है :
(2x – y + z)² = (2x)² + (-y)² + (z)² + 2 [(2x)(-y) + (-y)(z) + (z)(2x)]
= 4x² + y² + z² + 2 (- 2xy – 2yz + 2zx)
= 4x² + y² + z² – 4xy – 2yz + 4zx
अतः अभीष्ट प्रसार 4x² +y² + z²– 4xy – 2yz + 4zx.

(iii) ∵ सर्वसमिका :  (p + q + r)² = p² + q² + r² + 1 (pq + qr + rp)
अब p = – 2x, q = 3y एवं  r = 2z रखने पर प्राप्त होता है :
(- 2x + 3y + 2z)² = (- 2x)² + (3y)² + (2z)² + 2 [(- 2x)(3y) + (3y)(2z) + (2z)(- 2x)]
(- 2x + 3y + 2z)² = 4x² + 9y² + 4z² + 2 (- 6xy + 6yz – 4zx)
= 4x² + 9y² + 4z² – 12xy + 12yz – 8zx
अतः अभीष्ट प्रसार = 4x² + 9y² + 4z² – 12xy + 12yz – 8zx.

(iv)  ∵ सर्वसमिका :  (p + q + r)² = p² + q² + r² + 2 (pq + qr + rp)
अब p = 3a, q = – 7b एवं r = – c रखने पर प्राप्त होता है।
(3a – 7b – c)² = (3a)² + (- 7b)² + (- c)² + 2 [(3a(- 7b) + (- 7b)(- c) + (- c)(3a)]
= 9a² + 49 b² + c² + 2 (- 21ab + 7bc – 3ca)
= 9a² + 49 b² + c² – 42ab + 146c – 6ca
अतः अभीष्ट प्रसार = 9a² + 49 b² + c² – 42ab + 14be – 6ca.

(v)  ∵ सर्वसमिका :  (p + q + r)² = p² + q² + r² + 2 (pq + qr + rp)
अब p = – 2x, q = 5y एवं r = – 3z रखने पर प्राप्त होता है:
(- 2x + 5y – 3z) = (- 2x)² + (5y)² + (- 3z)² + 2 [(- 2x)(5y) + (5y)(- 3z) + (- 3z) x (- 2x)]
= 4x² + 25y² + 9z² + 2 (- 10xy – 15yz + 6zx)
= 4x² + 25y² + 9z² – 20xy – 30yz + 12zx
अतः अभीष्ट प्रसार = 4x² + 25y² + 9z² – 20xy – 30yz + 12zx.

(vi) ∵ सर्वसमिका :  (p + q + r)² = p² + q² + r² + 2 (pq + qr + rp)
अब p = 14, q = –12 एवं r  = 1 रखने पर प्राप्त होता है :

प्रश्न 5.
गणनखण्ड कीजिए :
(i) 4x² + 9y² + 16z² + 12xy – 24yz – 16xz (2018)
(ii) 2x² + y² + 8z² – 2 √2 xy + 4√2 yz – 8xz.
हल:
(i) चूँकि दिए गए बहुपद में yz एवं zx के गुणांक ऋणात्मक हैं जिनमें उभयनिष्ठ है, अतः z का गुणांक ऋणात्मक होगा।
अब 4x² + 9y² + 16z² + 12xy – 24xz – 16xz
= (2x)² + (3y)² + (- 4z)² + 2 (2x) (3y) + 2 (3y)(- 4z) + 2 (- 4z)(2x)
= (2x + 3y – 4z)² [ ∵ a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)² सर्वसमिका]
अत: अभीष्ट गुणनखण्ड = (2x + 3y – 4z)² .

(ii) चूँकि दिए हुए बहुपद में xy एवं xz के गुणांक ऋणात्मक है जिनमें x उभयनिष्ठ है अतः x का गुणांक ऋणात्मक होगा।
अब
2x² + y² + 8z² – 2√2 xy + 4√2 yz – 8 xz
= ( -√2x)² + (y)² + (2√2z)² + 2(-√2x)(y) + 2(y)(2√2z) + 2(2√2z)(- √2x)
= ( -√2x + y + (2√2z)²  [∵ a² + b² + c² + 2a + 2bc + 2ca = (a + b + c)² सर्वसमिका]
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड = (-√2 x + y + 2√2z)²

प्रश्न 6.
निम्नलिखित घनों को प्रसारित रूप में लिखिए :
(i) (2x + 1)³ (2019)
(i) (2a – 3b)³
(ii) (32x + 1)³
(iv) (x – 23y )³
हल:
(i) चूँकि सर्वसमिका : (p + q)³ = p³ + 3p²q + 3pq² + q³
अब p = 2x एवं q = 1 रखने पर प्राप्त होता है :
(2x + 1)³ = (2x)³ + 3 (2x)² (1) + 3 (2x) (1)² + (1)³
= 8x³ + 12x² + 6x + 1
अतः अभीष्ट प्रसार = 8x³ + 12x² + 6x + 1.

(ii) चूँकि सर्वसमिका : (p + q)³ = p³ + 3p²q + 3pq² + q³
अब p = 2a एवं q = -3b रखने पर प्राप्त होता है :
(2a – 3b)³ = (2a)³ + 3(2a)²(- 3b) + 3(2a)(- 3b)² + (- 3b)³
= 8a³ – 36a²b + 54 ab² – 21b³
अतः अभीष्ट प्रसार = 8a³ – 36a²b + 54 ab² – 21b³

(iii) चूँकि सर्वसमिका : (p + q)³ = p³ + 3p²q + 3pq² + q³
अब p = 32 एवं q = 1 रखने पर प्राप्त होता है :

(iv) चूँकि सर्वसमिका : (p + q)³ = p³ + 3p²q + 3pq² + q³
अब p = x एवं q = –23y रखने पर प्राप्त होता है।

प्रश्न 7.
उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए :
(i) (99)³
(ii) (102)³
(iii) (998)³.
हल:
(i) चूँकि सर्वसमिका = (p + q)³ = p³ + 3p²q + 3pq² + q³
अब p = 100 एवं q = – 1 रखने पर प्राप्त होता है :
(100 – 1)³ = (100)³ + 3(100)² (- 1) + 3(100)(- 1)² + (-1)³
⇒ (99)³ = 1000000 – 30000 + 300 – 1
= 1000300 – 30001 = 970299
अतः अभीष्ट मान = 970299.

(ii) चूँकि सर्वसमिका : (p + q)³ = p³ + 3p²q + 3pq² + q³
अब p = 100 एवं q = 2 रखने पर प्राप्त होता है :
(100 + 2)³ = (100)³ + 3(100)²(2) + 3(100)(2)² + (2)³
⇒  (102)³ = 1000000 + 60000 + 1200 + 8 = 1061208
अतः अभीष्ट मान = 1061208.

(iii) चूँकि सर्वसमिका : (p + q)³ = p³ + 3p²q + 3pq² + q³
अब p = 1000 एवं q = – 2 रखने पर प्राप्त होता है :
(1000 – 2)³ = (1000)³ + 3(1000)²(- 2) + 3(1000)(- 2)² + (- 2)³
⇒ (998)³ = 1000000000 – 6000000 + 12000 – 8
= 1000012000 – 6000008
= 994011992
अतः अभीष्ट मान = 994011992.

प्रश्न 8.
निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखण्ड कीजिए :
(i) 8a³ + b³ + 12 a²A + 6ab²
(ii) 8a³ – b³ – 12a²A + 6ab²
(iii) 27 – 125a³ – 135a + 225a²
(iv) 64a³ – 27b³ – 144a²b + 108ab²
(v) 27p3−1216−92p2+14p
हल :
(i) 8a³ + b³ + 12a² b + 6ab² = (2a)³ + (b)³ + 3(2a)² (b) + 3(2a)(b)²
= (2a + b)³             [∵  p³ + q³ + 3p²q + 3pq² = (p + q)³]
अत: अभीष्ट गुणनखण्ड = (2a + b)3.

(ii) 8a³ – b³ – 12a²b + 6ab²
= (2a)³ + (- b)³ + 3(2 a)²(- b) + 3(2 a)(- b)²
= (2a – b)³    [∵  p³ + q³ + 3p²q + 3pq² = (p + q)³]
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड = (2a – b)³

(iii) 27 – 125a³ – 135a + 225a²  = (3)³ + (- 5a)³ + 3(3)² (- 5a) + 3(3) (- 5a)²
= (3 – 5a)³ [ ∵  p³ + q³ + 3p²q + 3pq² = (p + q)³ सर्वसमिका]
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड = (3 – 5a)³

(iv) 64a³ – 21b³ – 144a²b + 108 ab²
= (4a)³ + (- 3b)³ + 3(4a)² (- 3b) + 3(4a)(- 3b)²
= (4a – 3b)³ [ ∵ p³ + q³ + 3p²q + 3pq² = (p + q)³ सर्वसमिका]
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड = (4a – 3b)³.

(v) 27p3−1216−92p2+14p

प्रश्न 9.
सत्यापित कीजिए कि :
(i) x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)
(ii) x³ – y³ = (x – y)(x² + xy +y²)
हल:
(i) हम जानते हैं कि (x + y)³ = x³ + y³ + 3x²y + 3xy² = x³ +y³ + 3xy (x +y)(सर्वसमिका)
⇒ x³ + y³ = (x + y)³ – 3xy(x + y)
= (x + y) [(x + y)² – 3xy]
= (x + y) [x² + 2xy + y² – 3xy]
⇒  x³ + y³  = (x + y) (x² – xy + y²)  इति सिद्धम्

(ii) हम जानते हैं कि (x – y)³ = x³ + y³ + 3x²y + 3xy² = x³ +y³ + 3xy (x +y)(सर्वसमिका)
x³ – y³ = (x – y)³ + 3xy (x – y)
= (x – y)[(x – y)² + 3xy]
= (x – y) [x² – 2xy + y² + 3xy]
⇒ x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²). इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखण्ड कीजिए :
(i) 27 y³ + 125z³
(ii) 64m³ – 343n³.
हल:
(i) 27y³ + 125z³
= (3y)³ + (5z)³
= (3y + 5z) [(3y)² – (3y)(5z) + (5z)²]     (∵ p³ + q³ = (p + q) {p²-pq + q²)
= (3y + 5z) (9y² – 15yz + 25z²)
अत: अभीष्ट गुणनखण्ड = (3y + 5z) (9y² – 15yz + 25z²).

(ii) 64m³ – 343n² = (4m)³  – (7n)³
= (4m – 7n) [(4m)² + (4m) (7n) + (7n)²]   [∵ p³ – q³ = (p – q)p² + pq + q²]
= (4m – 7n) (16m² + 28m.n + 49n²)
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड  = (4m – 7n) (16m² + 28m.n + 49n²).

प्रश्न 11.
गुणनखण्ड कीजिए : 27x³ +  y³  + z³ – 9xyz.
हल:
27x³ +  y³  + z³ – 9xyz = (3x)³ + (y)³ + (z)³ – 3(3x)(y)(z)
= (3x + y + z) [(3x)² + (y)² + (z)² – (3x) (y) – (y)(z) – (z)(3x)]
= (3x + y + z) (9x² + y² + z² – 3xy – yz – 3zx)
अत: अभीष्ट गुणनखण्ड  = (3x + y + z) (9x² + y² + z² – 3xy – yz – 3zx)

प्रश्न 12.
सत्यापित कीजिए :
x³ + y³ + z³ – 3xyz = 12 (x + y + z) [(x – y)² + (y – z)² + (z – x)²]. (2019)
हल:

प्रश्न 13.
यदि x + y + z = 0 हो, तो दिखाइए कि x³ +  y³  + z³ = 3xyz. (2018)
हल:
हम जानते हैं कि :
x³ +  y³  + z³ – 3xyz = (x + y + 2) (x² + y² + z² – 3xy – yz – 3zx) (सर्वसमिका) …(1)
लेकिन x + y + z = 0 (दिया है)  …(2)
समीकरण (1) एवं (2) से,
x³ + y³ + z³ – 3 xyz = 0 x (x² + y²+ z² – xy – yz – zx) = 0
⇒ x³ + y³ + z³ – 3xyz.   इति सिद्धम्

प्रश्न 14.
वास्तव में घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए :
(i) (-12) + (7) + (5)3
(ii) (28) + (-15)3 + (-13)3.
हल:
(i) चूँकि (-12) + (7) + (5) = – 12 + 12 = 0 है
(- 12)³ + (7)³ + (5)³ = 3(-12) (7) (5)
= – 1260
अतः   अभीष्ट मान = -1260.

(ii) चूँकि (28) + (-15) + (-13) = 28 – 28 = 0 है
⇒ (28)³ + (- 15)³ + (- 13)³ = 3(28) (- 15) (- 13)
= 16380
अतः अभीष्ट मान = 16380.

प्रश्न 15.
नीचे दिए गए आयतों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए हैं, में से प्रत्येक की लम्बाई और चौड़ाई के लिए सम्भव व्यंजक ज्ञात कीजिए :
(i)  क्षेत्रफल : 25a² – 35a + 12
(ii) क्षेत्रफल : 35y² + 13y – 12
हल:
(i) क्षेत्रफल = 25a² – 35a + 12
= 25a² – (20 + 15) a + 12
= 25a² – 20a – 15a + 12
= 5a (5a – 4) – 3 (5a – 4)
= (5a – 4) (5a – 3)  = चौड़ाई x लम्बाई
अतः सम्भावित अभीष्ट लम्बाई = (5a – 3) एवं चौड़ाई = (5a – 4).

(ii) क्षेत्रफल = 35y² + 13y – 12
= 35y² + (28 – 15) y – 12
= 35y² + 28y – 15y – 12
= 7y (5y + 4) – 3 (5y + 4)
= (5y + 4) (7y – 3) = लम्बाई x चौड़ाई
अतः सम्भावित अभीष्ट लम्बाई एवं चौड़ाई क्रमशः (5y + 4) एवं (7y – 3) हैं।

प्रश्न 16.
घनाभों जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं, विमाओं के लिए सम्भव व्यंजक ज्ञात कीजिए :
(i) आयतन : 3x³ – 12x
(ii) आयतन : 12ky² + 8ky – 20k
हल:
(i) आयतन = 3x³ – 12x
= 3x [x² – 4]
= 3x [(x)² – (2)²]
= 3x (x – 2) (x + 2)
अतः सम्भावित अभीष्ट विमाएँ : 3x, (x – 2) एवं (x + 2) हैं।

(ii) आयतन = 12ky² + 8ky – 20k
= 4k [3y² + 2y – 5]
= 4k [3y² + (5 – 3) y – 5]
= 4k [y (3y + 5) – 1 (3y + 5)]
= 4k (3y + 5) (y – 1)
अतः सम्भावित अभीष्ट विमाएँ : 4k, (3y + 5) एवं (y – 1) हैं।

MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions

MP Board Class 9th Maths Chapter 2 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 9th Maths Chapter 2 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि बहुपदों az³ + 4z³ + 3z – 4 और z³ – 4z + a को z – 3 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में समान शेषफल प्राप्त होता है, तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए p(E) = az³ + 4z³ + 3z – 4
तथा q(a) = z³ – 4z + a
∵ z – 3 दिए गए बहुपदों का भाजक है जिसका शून्यक 2 -3 = 0 ⇒ z = 3 है
तो शेषफल p(3) = a(3)³ + 4(3)² + 3(3) – 4 = 27a + 36 + 9 – 4 = 27a + 41
एवं शेषफल q(3) = (3)³ – 4(3) + a = 27 – 12 + a = a + 15
चूँकि शेषफल p(3) = शेषफल q(3) (दिया हुआ है)
⇒ 27a + 41 = a + 15
⇒ 27a – a = 15 – 41
⇒ 26a = – 26
⇒ a = – 1
अतः a का अभीष्ट मान = -1.

प्रश्न 2.
यदि x – 2 और x – 12 दोनों ही px² + 5x +r के गुणनखण्ड हैं, तो दर्शाइए कि p = r है।
हल:
मान लीजिए कि बहुपद q(x) = px² + 5x +r (दिया है)
चूँकि x – 2 दिए हुए बहुपद q(x) का एक गुणनखण्ड है।
इसलिए x – 2 = 0 अर्थात् x = 2 इसका एक शून्यक होगा।
⇒ q(2) = p(2)³ + 5(2) + r = 0 =
⇒ 4p + 10 + r = 0  …(i)
चूँकि x – 12  दिए हुए बहुपद q(x) का एक गुणनखण्ड है इसलिए x – 12 = 0 अर्थात् x = 12 इसका एक शून्यक होगा।
⇒q(12)=p(12)2+5(12)+r=0
⇒  1/4 p + 5/2  + r = 0
⇒  p+ 10 + 4r = 0 ….(ii)
⇒ 3p – 3r = 0  समी. (1) – समी. (2) से]
⇒ 3p  = 3r
⇒ p = r

प्रश्न 3.
बिना वास्तविक विभाजन के सिद्ध कीजिए कि x² – 3x + 2 से 2x⁴ – 5x³ + 2x² – x + 2 विभाज्य है।
हल :
x² – 3x + 2  = x² – x – 2x + 2
=x (x – 1)- 2 (x – 1)
= (x – 1) (x – 2)
अतः (x – 1) एवं (x – 2) दोनों बहुपद x² – 3x + 2 के शून्यक हैं।
माना दिया हुआ बहुपद p(x) = 2x⁴ – 5x³ + 2x² – x + 2 है
p(1) = 2(1)⁴ – 5(1)³ + 2(1)² – (1) + 2
p(1) = 2 – 5 + 2 – 1 + 2 = 6 – 6 = 0 है
इसलिए दिया हुआ बहुपद (x – 1) से विभाज्य है।
अब  p(2) = 2(2)⁴ – 5(2)³ + 2(2)² – (2) +2
= 2(16) – 5(8) + 2(4) –  2 + 2
= 32 – 40 + 8 – 2 + 2 = 42 – 42 = 0 है
इसलिए दिया हुआ बहुपद (x – 2) से भी विभाज्य है।
अर्थात् दिया हुआ बहुपद (x – 1) (x – 2) अर्थात् (x²  – 3x + 2) से विभाज्य है;
अतः (x² – 3x + 2) से बहुपद (2x⁴ – 5x² + 2x² + 2) विभाज्य है। इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
3x² + x – 1 को x + 1 से भाग दीजिए एवं भागफल, शेषफल लिखिए। (2019)
हल:

अतः अभीष्ट भागफल = 3x – 2 एवं शेषफल = 1.

MP Board Class 9th Maths Chapter 2 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बहुपदों को एक पद वाले, दो पद वाले, इत्यादि बहुपदों में वर्गीकृत कीजिए :
(i) x² + x + 1,
(ii) y³ – 5y,
(iii) xy + yz + zx,
(iv) x² – 2xy + y² + 1.
उत्तर:
(i) त्रिपद,
(ii) द्विपद,
(iii) त्रिपद,
(iv) चतुर्पद।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक की घात निर्धारित कीजिए :
(i) 2x – 1,
(ii) -10,
(iii) x³ – 9x + 3x⁵,
(iv) y³ (1 – y⁴).
उत्तर:
(i) घात = 1,
(ii) घात = 0,
(iii) घात = 5.
(iv) घात = 7.

प्रश्न 3.
बहुपद x3+2x+15−72x2−x6 के लिए, लिखिए :
(i) बहुपद की घात
(ii) x³ का गुणांक
(iii) x⁶ का गुणांक
(iv) अचर पद।
उत्तर:
(i) घात = 6,
(ii) x³ का गुणांक = 15
(iii) x⁶ का गुणांक = – 1,
(iv) अचर पद = 15

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से प्रत्येक में x का गुणांक लिखिए :
(i) π6x+x2+1
(ii) 2x – 5
(ii) (x – 1) (3x – 4)
(iv) (2x – 5) (2x² – 3x + 1).
उत्तर:
(i) x² का अभीष्ट गुणांक = 1
(ii) x² का अभीष्ट गुणांक = 0 (शून्य)
(iii) (x – 1) (3x – 4) = 3x² – 7x + 4 में x² का अभीष्ट गुणांक = 3
(iv) (2x – 5) (2x² – 3x + 1) = 2x (2x² – 3x + 1) – 5 (2x² – 3x + 1)
= 4x³ – 6x² + 2x – 10x² + 15x -5
= 4x³ – 16x² + 17x – 5 में x² का गुणांक = – 16

प्रश्न 5.
निम्नलिखित को एक अचर रैखिक, द्विघात और त्रिघात बहुपदों के रूप में वर्गीकृत कीजिए:
(i) 2 – x² +x³
(ii) 3x³
(iii) 5t – √7
(iv) 4 – 5y²
(v) 3
(vi) 2 + x
(vii) y³ – y
(viii) 1 + x + x²
(ix) t²
(x) √2x – 1.
उत्तर:
(i) त्रिघात,
(ii) त्रिघात,
(iii) रैखिक,
(iv) द्विघात,
(v) अचर,
(vi) रैखिक,
(vii) त्रिघात,
(viii) द्विघात,
(ix) द्विघात,
(x) रैखिक।

प्रश्न 6.
एक ऐसे बहुपद का उदाहरण दीजिए, जो :
(i) घात 1 का एकपदी है।
(ii) घात 20 का द्विपदी है।
(iii) घात 2 का एक त्रिपदी है।
उत्तर:
(i) ax, जहाँ a अचर है।
(ii) ar²⁰ + b, जहाँ a एवं b अचर हैं।
(iii) ar² + bx + c, जहाँ a, b एवं c अचर हैं।

प्रश्न 7.
निम्नलिखित के लिए p(0), p(1) और p(-2) ज्ञात कीजिए :
(i) p(x) = 10x – 4x² – 3
(ii) p(y) = (y + 2) (y – 2).
हल:
(i) ∵ p(x) = 10x – 4x² – 3
⇒ p(0) = 10(0) – 4(0)² – 3 = 0 – 0 – 3 = – 3
तथा p(1) = 10(1) – 4(1)² – 3 = 10 – 4 – 3 = 10 – 7 = +3
एवं  p(-2) = 10(-2) – 4(-2)² – 3 = – 20 – 16 – 3 = – 39
अतः अभीष्ट मान p(0) = – 3, p(1) = + 3 एवं p(-2) = – 39.

(ii) ∵ p(y) = (y + 2) (y² – 2) = y² – 4
⇒ p(0) = (0)² – 4 = 0-4 =-4
तथा p(1) = (1)² – 4 = 1 – 4 = – 3
एवं p(-2) = (-2)² – 4 = 4 – 4 = 0
अतः अभीष्ट मान p(0) = -4, p(1) = – 3 एवं p(-2) = 0.

प्रश्न 8.
जाँच कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य :
(i) – 3 बहुपद x – 3 का एक शून्यक है।
(ii) -1/3 बहुपद 3x + 1 का एक शून्यक है।
(iii) -4/5 बहुपद 4 – 5y का एक शून्यक है।
(iv) 0 और 2 बहुपद t² – 2t के शून्यक हैं।
(v) -3 बहुपद y² + y – 6 का एक शून्यक है।
उत्तर:
(i) असत्य है, क्योंकि (-3) – 3 = – 6 ≠ 0
(ii) सत्य है, क्योंकि 3 (-13) + 1 =- 1 + 1 = 0
(iii) असत्य है, क्योंकि 4 – 5(-45) = 4 + 4 = 8 ≠ 0
(iv) सत्य है, क्योंकि (0)² – 2(0) = 0 – 0 = 0 एवं (2)² – 2(2) = 4 – 4 = 0.
(v) सत्य है, क्योंकि (-3)² + (-3)- 6 = 9 – 3 – 6 = 9 – 9 = 0

प्रश्न 9.
निम्नलिखित में से प्रत्येक में बहुपद के शून्यक ज्ञात कीजिए : (2019)
(i) p(x) = x – 4
(ii) g(x) = 3 – 6x
(iii) q(x) = 2x – 7
(iv) h(y) = 2y.
हल:
(i) ∵ p(x) =x-4 = 0 ⇒ x = 4, अत: अभीष्ट शून्यक = 4.
(ii) g(x) = 3 – 6x = 0 ⇒ 6x = 3 ⇒  x= 36  = 12 =, अतः अभीष्ट शून्यक =  12
(ii) q(x) = 2x – 7 = 0 ⇒ 2x = 7 ⇒  x = 72, अतः अभीष्ट शून्यक = 72
(iv) h(y) = 2y = 0 ⇒ y = 02 = 0, अतः अभीष्ट शून्यक = 0.

प्रश्न 10.
शेषफल प्रमेय से शेषफल ज्ञात कीजिए, जब p(x) को q(x) से भाग दिया जाता है, जहाँ
(i) p(x) = x³ – 2x² – 4x – 1, q(x) = x + 1
(ii) p(x) =x³ – 3x² + 4x + 50, q(x) = x – 3
(iii) p(x) = 4x³ – 12x² + 14x – 3, q(x) = 2x -1
(iv) p(x) = x³  – 6x² + 2x – 4, q(x) = 1 – 32x.
हल:
(i) चूँकि भाजक q(x) = x + 1 = 0 का शून्यक x = – 1 है
p(x) = x³ – 2x² – 4x – 1,
⇒ शेषफल  p(- 1) = (-1)³ – 2(-1)² – 4(-1)-1 (शेषफल प्रमेय से)
= (-1) – 2 (1) + 4 – 1
= -1 – 2 + 4 – 1 = 4 – 4 = 0
अतः अभीष्ट शेषफल = 0.

(ii) चूँकि भाजक q(x) =  x – 3 = 0 का शून्यक x = 3 है
और p(x) = x³ – 3x² + 4x + 50
⇒ शेषफल p(3) = (3)³ – 3(3)² + 4(3) + 50
= 27 – 27 + 12 + 50 = 62
अतः अभीष्ट शेषफल = 62.

(iii) चूँकि भाजक q(x) = 2x – 1 = 0 का शून्यक x = 12 , है और
p(x) = 4x³ – 12x² + 14x – 3

(iv) चूँकि भाजक q(x) = 1 – 32x = 0 का शून्यक = 2/3 है
और p(x) = x³ – 6x² + 2x -4
⇒ शेषफल p (2/3) = (2/3)³ – 6 (2/3)² + 2 (2/3) – 4

अतः अभीष्ट शेषफल = -136/27.

प्रश्न 11.
जाँच कीजिए कि p(x), q(x) का एक गुणज है या नहीं :
(i) p(x) = x³ – 4x² + 4x – 3 ; q(x) = x – 2 है
(ii) p(x) = 2x³ – 11x² – 4x + 5 ; q(x) = 2x + 1 है
_(iii) p(x)= x³ – x + 1 ; q(x) = 2 – 3x है
हल:
(i) p(x), q(x) का एक गुणज होगा यदि q(x), p(x) को पूर्णतया विभाजित करेगा अर्थात् शेषफल शून्य होगा अन्यथा नहीं।
अब q(x) = x – 2 = 0 ⇒ x = 2, q(x) का एक शून्यक है।
एवं p(x) = x³ – 4x² + 4x – 3
⇒ शेषफल p(2) = (2)³ – 5(2)² + 4(2) – 3
= 8 – 20 + 8 – 3
= 16 – 23 = -7 ≠ 0
अतः p(x), q(x) का गुणज नहीं है।

(ii) p(x), q(x) का एक गुणज होगा यदि q(x), p(x) को पूर्णतया विभाजित करेगा अर्थात् शेषफल शून्य होगा अन्यथा नहीं।
अब q(x) = 2x + 1 = 0 = x = -1/2, 4(x) का एक शून्यक है।
एवं p(x) = 2x³ – 11x² – 4x + 5

अतः p(x), q(x) का गुणज नहीं है।

(iii) p(x), q(x) का गुणज होगा यदि q(x), p(x) को पूर्णतया विभाजित करेगा अर्थात् शेषफल शून्य होगा अन्यथा नहीं।
अब q(x) = 2 – 3x = 0 ⇒ x = 2/3, q(x) का एक शून्यक है
एवं p(x) = x³ – x + 1

अतः p(x), q(x) का गुणज नहीं है।

प्रश्न 12.
दर्शाइए कि:
(i) x + 3 बहुपद 69 + 11x – x +3 का एक गुणनखण्ड है।
(ii) 2x – 3 बहुपद x + 2x³ – 9x² + 12 का एक गुणनखण्ड है।
(iii) q(x), p(x) का एक गुणनखण्ड है जहाँ q(x) =  x3−14 एवं p(x) = 8x³ – 6x ² – 4x + 3.
हल:
(i) चूँकि x + 3 का शून्यक – 3 है
p(x) = 69 + 11x – x2 +x – शेषफल
p(-3) = 69 + 11(-3)-(-3)² + (-3)³
= 69 – 33 – 9 – 27 = 69 – 69 = 0
अतः (x + 3) बहुपद 69 + 11x – x² + x³ का एक गुणनखण्ड है।

(ii) चूँकि 2x -3 का शून्यक 3/2 है
p(x) = x + 2x³ – 9x² + 12
शेषफल  p (3/2) = (3/2) + 2 (3/2)³ – 9 (3/2)² + 12
= 3/2 + 2 (27/8) – 9 (9/4) + 12

अत: 2x – 3 बहुपद x + 2x³ – 9x² + 12 का एक गुणनखण्ड है।

(iii) चूँकि q(x) = x3−14  ⇒ x – 3/4 का शून्यक 3/4 है
एवं  p(x) = 8x³ – 6x²– 4x + 3.
शेषफल p (3/4) = 8 (3/4)³ – 6 (3/4)² – 4 (3/4) + 3.

अतः q(x), p(x) का एक गुणनखण्ड है।

प्रश्न 13.
m के किस मान के लिए x³ – 2mx² + 16 द्विपद x + 2 से विभाज्य है ?
हल:
चूँकि बहुपद x³ – 2mx² + 16 द्विपद x + 2 से विभाज्य है
अतः शेषफल शून्य होगा। द्विपद x + 2 का शून्यक x + 2 = 0 ⇒ x = -2
एवं बहुपद p(x) = x³ – 2mx² + 16
⇒ शेषफल p(-2) = (-2)³ – 2 m (-2) + 16 = 0
⇒ – 8 – 8 m + 16 = 0
⇒ 8m = 8 = m = 8/8 = 1
अतः m का अभीष्ट मान = 1.

प्रश्न 14.
m का मान ज्ञात कीजिए जबकि 2x – 1 बहुपद 8x⁴ + 4x³ – 16x² + 10x + m का गुणनखण्ड है।
हल:
चूँकि 2x – 1 बहुपद p(x) = 8x⁴  + 4x³ – 16x² + 10x + m का एक गुणनखण्ड है और 2x – 1
का शून्यक 2x – 1 = 0 ⇒ x = 1/2 है।
इसलिए शेषफल p (1/2) = 8 (1/2)⁴ + 4 (1/2)³ – 16(1/2)² + 10 (1/2) + m = 0

अतः m का अभीष्ट मान = – 2.

प्रश्न 15.
गुणनखण्ड कीजिए :
(i) x² + 9x + 18
(ii) 6x² + 7x – 3
(ii) 2x² – 7x – 15
(iv) 84 – 2r – 2r².
हल:
(i) x²+ 9x + 18 = x² + (3 + 6) x + 18
= x² + 3x + 6x + 18
= x (x + 3)+6 (x + 3)
= (x + 3) (x + 6)
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड = (x + 3) (x + 6).

(ii) 6x² + 7x -3 = 6x² + (9 – 2)x – 3
= 6x² + 9x – 2x -3
= 3x (2x + 3) – 1 (2x + 3)
= (2x + 3) (3x – 1)
अतः अभीष्ट गुणखण्ड = (2x + 3) (3x -1).

(iii) 2x² – 7x – 15 = 2x² – (10 -3)x – 15
= 2x² – 10x + 3x – 15
= 2x (x – 5) + 3 ( x- 5)
= (x – 5)(2x + 3)
अतः अभीष्ट गुणखण्ड = (x – 5) (2x + 3).

(iv) 84 – 2r – 2r² = 2 [42 -r – r²]
= 2 [42 – (7 – 6) – r²]
= 2 [42 – 7r + 6r – r²]
= 2 [7 (6 – r) + r (6 – r)]
= 2 (6 – 1) (7+r)
अतः अभीष्ट गुणखण्ड = 2 (6 – 1) (7 + r).

 

प्रश्न 16.
गुणनखण्ड कीजिए :
(i) 2x³ – 3x² -17x + 30
(ii) x³ – 6x² + 11x – 6
(iii) x³ + x² – 4x – 4
(iv) 3x³ – x² – 3x + 1.
हल:
(i) मान लीजिए – p(x) = 2x³ – 3x² – 17x + 30
अब चूँकि p(2) = 2 (2)³ – 3 (2)² – 17 (2) + 30
= 16 – 12 -34 + 30
= 46 – 46 = 0 है
अतः x = 2 अर्थात् x – 2, p(x) का एक गुणनखण्ड है

अब 2x³ – 3x² – 17x + 30 = 2x³ – 4x² + x² – 2x – 15x + 30
= 2x² (x – 2) + x (x -2) – 15 (x – 2)
= (x – 2) [2x² + x – 15]
= (x – 2)[2x³ + (6 – 5)x – 15]
= (x – 2) [2x² + 6x – 5x – 15]
= (x – 2)[2x (x + 3) – 5 (x + 3)]
= (x – 2) (x + 3) (2x – 5)
अतः अभीष्ट गुणखण्ड = (x – 2) (x + 3) (2x – 5).

(ii) मान लीजिए p(x) = x³ – 6x² + 11x – 6
अब चूंकि p(1) = (1)³ – 6 (1)² + 11 (1) – 6
= 1 – 6 + 11 – 6 = 12 – 12 = 0 है
अतः x – 1 बहुपद p(x) का एक गुणखण्ड है।
अब x³ – 6x² + 11x – 6 = x³ – x² – 5x² + 5x + 6x – 6
= x² (x – 1) – 5x (x – 1)+ 6 (x – 1)
= (x – 1) [x² – 5x + 6]
= (x – 1) [x² – (2 + 3)x  + 6]
= (x – 1) [x² – 2x – 3x + 6]
= (x- 1) [x(x – 2)-  3 (x – 2)]
= (x – 1) (x – 2) (x – 3)
अतः अभीष्ट गुणखण्ड = (x – 1) ( x- 2) (x – 3).

(iii) मान लीजिए p(x) = x³ + x²– 4x – 4
= x² (x + 1) – 4 (x + 1)
= (x + 1) [x² – 4]
= (x + 1) [(x) – (2)]
= (x + 1) (x – 2) (x + 2)
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड = (x – 2) (x + 1) (x + 2).

(iv) मान लीजिए p(x) = 3x³ – x² – 3x + 1
= x² (3x – 1)- 1 (3x – 1)
= (3x – 1) [x² – 1] = (3x – 1) [(x) – (1)]
= (3x- 1) (x – 1) (x + 1)
अतः अभीष्ट गुणखण्ड = (3x – 1) (x – 1) (x + 1).

प्रश्न 17.
उपयुक्त सर्वसमिका का उपयोग करते हुए निम्नलिखित के मान निकालिए :
(i) 103³
(ii) 101 x 102
(iii) 999².
हल:
(i) ∵ सर्वसमिका : (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b3
⇒ (100 + 3)³ = (100)³ + 3 (100)² (3) + 3 (100) (3)² + (3)³ (a = 100 एवं b = 3 रखने पर)
⇒ (103)³ = 1000000 + 90000 + 2700 + 27
= 1092727
अतः अभीष्ट मान = 1092727.

(ii) (101) x (102) = (100 + 1) x (100 + 2)
सर्वसमिका : (x +.a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab.
अब x = 100, a = 1 एवं b = 2 लेने पर,
(100 + 1) (100 + 2) = (100)² + (1 + 2) x 100 + 1 x 2
(101) x (102) = 10000 + 300 + 2 = 10302
अतः अभीष्ट मान = 10302.

(iii) (999)² = (1000 – 1)²
सर्वसमिका : (a – b)² = a² – 2ab + b²
अब a = 1000 एवं b = 1 लेने पर,
(1000 – 1)² = (1000)² – 2 (1000) (1) + (1)²
= 1000000 – 2000 + 1
= 1000001 – 2000 = 998001
अतः अभीष्ट मान = 998001.

प्रश्न 18.
निम्नलिखित के गुणनखण्ड कीजिए :
(i) 4x² + 20x + 25
(ii) 9y² – 66yz + 12z²
हल:
(i) 4x² + 20x + 25 = (2x)² + 2 (2x) (5) + (5)²
= (2x + 5)²  [∵ a² + 2ab + b² = (a + b)² सर्वसमिका]
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड = (2x + 5)².

(ii) 9y² – 66yz + 121z² = (3y)²  – 2 (3y) (112) + (112)² .
= (3y – 112)² (∵ सर्वसमिका a² – 2ab + b²  = (a – b)]
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड = (3y – 11z)².

प्रश्न 19.
(4a – b + 2c)² का प्रसार लिखिए।
हल:
∵  सर्वसमिका : (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy +2yz + 2zx
यहाँ x = 4a, y = – b एवं z = 2c लेने पर,
⇒ (4a – b + 2c)² = (4a)² + (- b)² + (2c)² + 2 (4a) (- b) + 2 (- b) (2c) + 2(2c) (4a)
= 16a² + b² + 4c² – 8ab – 4bc + 16ca
अतः अभीष्ट प्रसार = 16a² + b² + 4c² – 8ab – 4bc + 16ca.

प्रश्न 20.
सर्वसमिका का प्रयोग कर (2x + y + z)² का प्रसार कीजिए। (2019)
हल:
4x²  + 2 + 2 + 4xy + 2yz + 4zx

प्रश्न 21.
यदि a + b + c= 9 और ab + bc + ca = 26 है, तो a² + b² + c² का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ (a + b + c)²= (a² + b² + c²) + 2 (ab + bc + ca) (सर्वसमिका)
⇒ (9)² = (a² + b² + c²) + 2 (26)
[∵  (a + b + c) = 9 एवं (ab + bc + ca) = 26 दिया है]
⇒ 81 = a² + b² + c² + 52
⇒ a² + b² + c² = 81 – 52 = 29
अतः  a² + b² + c² का अभीष्ट मान = 29.

प्रश्न 22.
(3a – 2b)³ का प्रसार कीजिए।
हल:
सर्वसमिका : (x – y)³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³
अब x = 3a एवं y = 2b रखने पर प्राप्त होता है :
(3a – 2b)³ = (3a)³ – 3(3a)² (2b) + 3(3a)(2b)² – (2b)³
= 27a³ – 54a²b + 36ab² – 8b³
अतः अभीष्ट प्रसार = 27a³ – 54a²b + 36ab² – 8b³.

प्रश्न 23.
गुणनखण्ड कीजिए : 1+ 64x³.
हल:
1+ 64x³ = (1)³ + (4x)³
= (1 + 4x) [(1) ²– (1) (4x) + (4x)²]
[∵  सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²) से]
= (1 + 4x) (1 – 4x + 16x²)
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड = (1 + 4x) (1 – 4x + 16x²).

प्रश्न 24.
गुणनखण्ड कीजिए : a³ – 8b³ – 64c³ – 24abc.
हल:
a³ – 8b³ – 64c3 – 24abc
= (a)³ + (-2b)³ + (-4c)³ – 3(a) (-2b) (-4c)
= (a – 2b -4c) [(a)² + (-2b)² + (-4c)² – (a) (-2b)- (-2b) (-4c)- (-4c) (a)]
[∵ सर्वसमिका : x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z) (x² + y² + 2 – xy – yz – zx)]
= (a – 2b – 4c) (a + 4b² + 16c² + 2ab – 8bc + 4ca)
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड = (a – 2b – 4c) (a² + 4b² + 16c² + 2ab – 8bc + 4ca).

MP Board Class 9th Maths Chapter 2 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से कौन से व्यंजक बहुपद हैं ? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए :
(i) 8
(ii) √3x² – 2x
(iii) 1 – √5x
(iv) 
(v) 
(vi) 1x+1
(vii) 17a3−23√a2+4a−7
(viii) 12x.
उत्तर:
(i) 8 में चर का घातांक शून्य है जो एक पूर्ण संख्या है, अत: बहुपद है।
(ii) √3x² – 2x में चर की प्रत्येक घात पूर्ण संख्या है, इसलिए बहुपद है।
(ii) 1 – √5x  में चर की घात 1/2 है जो पूर्ण संख्या नहीं है, इसलिए बहुपद नहीं है।
(iv)   अर्थात् 15x² + 5x + 7 में चर की प्रत्येक घात पूर्ण संख्या है, अत: यह बहुपद है।
(v)   में चर का घातांक – 1 है जो पूर्ण संख्या नहीं है, इसलिए यह बहुपद नहीं है।
(vi) 1x+1 में चर की घात पूर्ण संख्या नहीं है, अत: यह बहुपद नहीं है।
(vi) 17a3−23√a2+4a−7  में चर की प्रत्येक घात पूर्ण संख्या है, अत: यह बहुपद है।
(viii) 12x अर्थात् 12x^-1 में चर की घात – 1 है जो पूर्ण संख्या नहीं है। अत: यह बहुपद नहीं है।

प्रश्न 2.
क्या निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य, लिखिए। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
(i) एक द्विपद के अधिकतम दो पद हो सकते हैं।
(ii) प्रत्येक बहुपद एक द्विपद है।
(iii) एक द्विपद की घात 5 हो सकती है।
(iv) एक बहुपद का शून्यक सदैव 0 होता है।
(v) एक बहुपद के एक से अधिक शून्यक नहीं हो सकते हैं।
(vi) घात 5 वाले दो बहुपदों के योग की घात सदैव 5 होती है।
(vii) 15√x1/2+1  एक बहुपद है।
(vii) 6x√+x3/2x√  , x ≠ 0 एक बहुपद है।
उत्तर:
(i) असत्य है, क्योंकि द्विपद में ठीक दो पद होते हैं।
(ii) असत्य है, क्योंकि किसी बहपद में कितने भी पद हो सकते हैं।
(iii) सत्य है, क्योंकि द्विपद की कितनी भी घात हो सकती है।
(iv) असत्य है, क्योंकि बहुपद का शून्यक कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है।
(v) असत्य है, क्योंकि एक बहुपद के कितने भी शून्यक हो सकते हैं।
(vi) असत्य है, क्योंकि x + 3 एवं – x⁵ + x + 5 का योग x + 8 है जिसकी घात 5 है।
(vii) असत्य है, क्योंकि चर की घात 1/2 है जो पूर्ण संख्या नहीं है।
(viii) सत्य है, क्योंकि 6x√+x3/2x√ = 6 + x है जिसमें चर की घात पूर्ण संख्या है।

MP Board Class 9th Maths Chapter 1 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से कौन एक बहुपद है :

उत्तर:
(c)

प्रश्न 2.
√2 निम्नलिखित घात का एक बहुपद है :
(a) 2
(b) 0
(c) 1
(d)  12
उत्तर:
(b) 0

प्रश्न 3.
बहुपद 4x⁴ + 0x³ + 0x⁵ + 5x + 7 की घात है :
(a) 4
(b) 5
(c) 3
(d) 7
उत्तर:
(a) 4

प्रश्न 4.
शून्य बहुपद की घात है :
(a) 0
(b) 1
(c) कोई भी प्राकृत संख्या
(d) परिभाषित नहीं।
उत्तर:
(d) परिभाषित नहीं

प्रश्न 5.
यदि p(x) = x² – 2√2 x + 1 है, तो p (2√2) बराबर है :
(a) 0
(b) 1
(c) 4√2
(d) 8√2 + 1.
उत्तर:
(b) 1

प्रश्न 6.
जब x = -1 है, तो बहुपद 5x – 4x² + 3 का मान है :
(a) -6
(b) 6
(c) 2
(d) -2.
उत्तर:
(a) -6

प्रश्न 7.
यदि p(x) = x + 3 है, तो p(x) + p(-x) बराबर है :
(a) 3
(b) 2x
(c) 0
(d) 6.
उत्तर:
(d) 6.

प्रश्न 8.
शून्य बहुपद का शून्यक है :
(a) 0
(b) 1
(c) कोई वास्तविक संख्या
(d) परिभाषित नहीं।
उत्तर:
(c) कोई वास्तविक संख्या

प्रश्न 9.
बहुपद p(x) = 2x + 5 का शून्यक है :
(a) – 2/5
(b) -5/2
(c) 2/5
(d) 5/2.
उत्तर:
(b) -5/2

प्रश्न 10.
बहुपद 2x² + 7x – 4 के शून्यकों में से एक है :
(a) 2
(b) 1/2
(c) -1/2
(d) -2.
उत्तर:
(b) 1/2

प्रश्न 11.
यदि x⁵¹ + 51 को x + 1 से भाग दिया जाय तो शेषफल है :
(a) 0
(b) 1
(c) 490
(d) 50.
उत्तर:
(d) 50.

प्रश्न 12.
यदि x + 1 बहुपद 2x² + kx का एक गुणखण्ड है, तो k मान है :
(a) -3
(b) 4
(c) 2
(d) -2.
उत्तर:
(c) 2

प्रश्न 13.
x +1 निम्नलिखित बहुपद का एक गुणनखण्ड है :
(a) x³ + x² – x + 1
(b) x³ + x² + x +1
(c) x⁴ + x³ +  x² +1
(d) x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1.
उत्तर:
(b) x³ + x² + x +1

प्रश्न 14.
(25x² – 1) + (1 + 5x)² के गुणनखण्डों में से एक है :
(a) 5 +x
(b) 5 – x
(c) 5x – 1
(d) 10x.
उत्तर:
(d) 10x.

प्रश्न 15.
249² – 248² का मान है :
(a) 12
(b) 477
(c) 487
(d) 497.
उत्तर:
(d) 497.

प्रश्न 16.
4x² + 8x + 3 का गुणनखण्ड है :
(a) (x + 1) (x + 3)
(b) (2x + 1) (2x + 3)
(c) (2x + 2) (2x + 5)
(d) (2x – 1) (2x – 3).
उत्तर:
(b) (2x + 1) (2x + 3)

प्रश्न 17.
निम्नलिखित में से कौन (x + y) – (x + y) का एक गुणनखण्ड है :
(a) x² + y² + 2xy
(b) x² + y² –  xy .
(c) xy²
(d) 3xy.
उत्तर:
(d) 3xy

प्रश्न 18.
(x + 3)³ के प्रसार में x का गुणांक है :
(a) 1
(b) 9
(c) 18
(d) 27.
उत्तर:
(d) 27

प्रश्न 19.
यदि xy+yx=−1(x,y≠0)  है, तो x³ – y³ का मान है :
(a) 1
(b) -1
(c) 0
(d) 1/2
उत्तर:
(c) 0

प्रश्न 20.
यदि 49x² – b = (7x + 12) (7x –12) है, तो 6 का मान है :
(a) 0
(b) Missing argument for \sqrt
(c) 1/4
(d) 12.
उत्तर:
(c) 1/4

प्रश्न 21.
यदि a + b + c = 0 है, तो a³ + b³ + c³ बराबर है:
(a)0
(b) abc
(c) 3abc
(d) 2abc.
उत्तर:
(c) 3abc

प्रश्न 22.
यदि सभी x के लिए 2 + kx + 6 = (x + 2) (x + 3) हैं, तो k का मान है :
(a) 1
(b) -1
(c) 5
(d) 3
उत्तर:
(c) 5

प्रश्न 23.
बहुपद 5x – 4x² + 3 का मान जब x = 2 हो, तो है :
(a) 10
(b) -3
(c) 12
(d) 3.
उत्तर:
(b) -3

प्रश्न 24.
बहुपद x² + x – 6 का एक गुणनखण्ड (x – 2) है, तो दूसरा गुणनखण्ड होगा :
(a) (x + 3)
(b) (x + 2)
(c) (x – 3)
(d) (x – 2).
उत्तर:
(a) (x + 3)

प्रश्न 25.
बहुपद x² – 11x + 10 का एक गुणनखण्ड (x – 1) है, तो दूसरा गुणनखण्ड होगा :
(a) (x + 10)
(b) (x – 10)
(c) (x – 11)
(d) (x + 11).
उत्तर:
(b) (x – 10)

प्रश्न 26.
बहुपद x² – 10x – 24 का एक गुणनखण्ड (x + 2) है, तो दूसरा गुणनखण्ड होगा :
(a) (x + 12)
(b) (x – 12)
(c) (x + 8)
(d) (x – 8).
उत्तर:
(b) (x – 12)

प्रश्न 27.
एक घात वाले बहुपद को कहते हैं : (2018)
(a) द्विघात
(b) त्रिघात
(c) द्विपद
(d) रैखिक।
उत्तर:
(d) रैखिक

प्रश्न 28.
p(x) = x + x² + 2 कितने पदीय होगा :
(a) एक पदी
(b) द्विपदी
(c) त्रिपदी
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(c) त्रिपदी

प्रश्न 29.
बहुपद 9x⁷ – 4x⁶ +x + 9 की घात है :
(a) 9
(b) 7
(c) 4
(d) 6.
उत्तर:
(b) 7

प्रश्न 30.
बहुपद 1 +3y है :
(a) रेखीय
(b) द्विघाती
(c) त्रिघाती
(d) चतुर्घाती।
उत्तर:
(a) रेखीय

प्रश्न 31.
बहुपद 2 – x + x³ में x का गुणांक है :
(a) 1
(b) 2
(c) 0
(d) -1.
उत्तर:
(d) -1.

प्रश्न 32.
बहुपद 4x² + 5x +7 की घात है : (2019)
(a) 2
(b) 3
(c) 7
(d) 5.
उत्तर:
(a) 2

प्रश्न 33.
रेखीय बहुपद है : (2019)
(a) 3x + 5
(b) 4x + 5x
(c) 4x² + 6x + 7
(d) x² + 15.
उत्तर:
(a) 3x + 5

प्रश्न 34.
बहुपद p(x) = 3x – 2 का शून्यक है : (2019)
(a) -2/3
(b) 2/3
(c) 3/2
(d) 0.
उत्तर:
(b) 2/3

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. x² – y² का गुणनखण्ड ………. है।
2. बहुपद में सबसे बड़े घात वाले घातांक को बहुपद का ……….. कहते हैं।
3. एक बीजीय व्यंजक जिसमें चर के घातों में अनेक पद हो, तो ………….. कहलाता है।
4. बहुपद में चर की घात सदैव ……… होती है।
5. अशून्य अचर पद की घात सदैव ………….. होती है।
6. रेखीय बहुपद में चर की अधिकतम घात ……….. होती है। (2019)
7. 3x³ में x का गुणांक ………. है। (2018)
8. बहुपद x³ – x² + 1 में x² का गुणांक ……….. है। (2019)
उत्तर;
1. (x + y) (x -y),
2. घात,
3. बहुपद,
4. पूर्ण संख्या,
5. शून्य,
6. एक,
7. तीन,
8. – 1.

जोड़ी मिलान

स्तम्भ ‘A’  स्तम्भ ‘B’

1. x³ + y³ (2019)  (a)-1
2. x³ – y³   (2019) (b) 2
3. बहुपद x + 1 का शून्यक (2019) (c) (x + y) (x² – xy + y²)
4. बहुपद x² + x + 5 की घात (2019) (d) (x -y) (x² +xy + y²) .
उत्तर:
1.→(c), 2.→(d), 3.→(a), 4.→(b).

सत्य/असत्य कथन
1. बहुपद 7 एक एकपदी व्यंजक है।
2. शून्य बहुपद की घात शून्य होती है।
3. x⁵ – x⁴ + 3 की घात 5 है।
4. अशून्य अचर पद की घात परिभाषित नहीं है।
5. बहुपद 7x³ एक त्रिघात बहुपद है।
6. 3x² + 5 एक रेखीय बहुपद है।
7. ल. स. x म. स. = बहुपदों का गुणनफल। (2018)
8. बहुपद x² + 2x + 3 एक द्विपदी बहुपद है। (2019)
9. 7x² + 3x + 5 में x² का गुणांक 5 है। (2019)
उत्तर:
1. सत्य,
2. असत्य,
3. सत्य,
4. असत्य,
5. सत्य,
6. असत्य,
7. सत्य,
8. असत्य,
9. असत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. ऐसा बहुपद क्या कहलाता है जिसके सभी गुणांक शून्य हैं।
2. ऐसा बहुपद क्या कहलाता है जिसमें केवल एक पद हो ?
3. केवल दो पदों वाला बहुपद क्या कहलाता है ?
4. केवल तीन पदों वाला बहुपद क्या कहलाता है ?
5. एक घात वाले बहुपद को क्या कहते हैं ?
6. बहुपद 2 – y² – y³ + 2y⁸ की धात लिखिए।
उत्तर:
1. शून्य बहुपद,
2. एक पदीय बहुपद,
3. द्विपद,
4. त्रिपद,
5. रेखीय बहुपद,
6. 8 (आठ)।

Tense