MP Board Class 9th Maths | निर्देशांक ज्यामिति

MP Board Class 9th Maths | निर्देशांक ज्यामिति

MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 3 निर्देशांक ज्यामिति Ex 3.1

प्रश्न 1.
एक अन्य व्यक्ति को आप अपनी अध्ययन मेज पर रखे टेबल लैम्प की स्थिति किस तरह बताएंगे?
हल:
हम टेबल लैम्प की, मेज की लम्बाई वाली भुजा से दूरी b एवं चौड़ाई वाली भुजा से दूरी a बताकर उसकी स्थिति (a, b) निर्देशांकों से बता सकते हैं।

प्रश्न 2.
(सड़क योजना) : एक नगर में दो सड़कें हैं, जो नगर के केन्द्र पर मिलती हैं। ये दो सड़कें
उत्तर:
दक्षिण की दिशा और पूर्व-पश्चिम की दिशा में हैं। नगर की अन्य सभी सड़कें इन मुख्य सड़कों के समानान्तर परस्पर 200 मीटर की दूरी पर हैं। प्रत्येक दिशा में लगभग पाँच सड़कें हैं। 1 सेमी = 200 मीटर का पैमाना लेकर अपनी नोट बुक में नगर का एक मॉडल बनाइए। सड़कों को एकल रेखाओं से निरूपित कीजिए। आपके मॉडल में एक-दूसरे को काटती हुई अनेक क्रॉसस्ट्रीट (चौराहे) हो सकती हैं। एक विशेष क्रॉसस्टीट दो सड़कों से बनी है जिनमें से एक उत्तर-दक्षिण दिशा में जाती है और दूसरी पूर्व-पश्चिम दिशा में। प्रत्येक क्रॉसस्ट्रीट का निर्देशन इस प्रकार किया जाता है, यदि दूसरी सड़क उत्तर-दक्षिण दिशा में जाती है और पाँचवीं सड़क पूर्व-पश्चिम दिशा में जाती है और ये एक क्रॉसिंग पर मिलती हैं, तब इसे हम क्रॉसस्ट्रीट (2, 5) कहेंगे। इसी परम्परा से यह ज्ञात कीजिए कि-
(i) कितनी क्रॉसस्ट्रीटों को (4, 3) माना जा सकता है ?
(ii) कितनी क्रॉसस्ट्रीटों को (3, 4) माना जा सकता है ?
हल:

नगर की सड़क योजना नगर की सड़क योजना का मॉडल उपर्युक्त चित्र में प्रदर्शित है।

1. केवल एक अद्वितीय क्रॉसस्ट्रीट को (4, 3) माना जा सकता है। (R से प्रदर्शित)
2. केवल एक अद्वितीय क्रॉसस्ट्रीट को (3, 4) माना जा सकता है। (Q से प्रदर्शित)

MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 3 निर्देशांक ज्यामिति Ex 3.2

प्रश्न 1.
अग्रलिखित प्रश्नों में से प्रत्येक प्रश्न का उत्तर दीजिए-
(i) कार्तीय तल में किसी बिन्दु की स्थिति निर्धारित करने वाली क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाओं के क्या नाम हैं ?
(ii) इन दो रेखाओं से बने तल के प्रत्येक भाग के नाम बताइए।
(iii) उस बिन्दु का नाम बताइए जहाँ ये दोनों रेखाएँ प्रतिच्छेदित होती हैं।
हल:
(i) क्षैतिज रेखा : X-अक्ष एवं ऊर्ध्वाधर रेखा : Y-अक्ष
(ii) प्रथम चतुर्थांश, द्वितीय चतुर्थांश, तृतीय चतुर्थांश एवं चतुर्थ चतुर्थांश।
(iii) मूल-बिन्दु।

चित्र 3.3
निर्देश : सभी बिन्दु संलग्न चित्र 3.3 में प्रदर्शित किए गए हैं।

प्रश्न 2.
संलग्न चित्र को देखकर निम्नलिखित को लिखिए-

चित्र 3.4
(i) B के निर्देशांक
(ii) C के निर्देशांक
(iii) निर्देशांक (-3, -5) द्वारा पहचाना गया बिन्दु
(iv) निर्देशांक (2, -4) द्वारा पहचाना गया बिन्दु
(v) D का भुज
(vi) बिन्दु H की कोटि
(vii) बिन्दु L के निर्देशांक
(viii) बिन्दु M के निर्देशांक।
हल:
(i) (- 5, 2),
(ii) (5, – 5),
(ii) बिन्दु E,
(iv) G,
(v) 6,
(vi) – 3,
(vii) (0, 5),
(viii) (-3,0).

MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 3 निर्देशांक ज्यामिति Ex 3.3

प्रश्न 1.
किस चतुर्थांश या किस अक्ष पर बिन्दु (-2, 4), (3,-1), (-1, 0), (1, 2), (-3, -5) स्थित है। कार्तीय तल पर इनका स्थान निर्धारण करके अपने उत्तर सत्यापित कीजिए। (2018)
हल:

बिन्दु (-2, 4) द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।
बिन्दु (3, – 1) चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है।
बिन्दु (-1,0) ऋणात्मक x-अक्ष पर स्थित है।
बिन्दु (1, 2) प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।
बिन्दु (-3, – 5) तृतीय चतुर्थांश में स्थित है।

प्रश्न 2.
अक्षों पर दूरी का उपयुक्त एकक लेकर नीचे सारणी में दिए गए बिन्दुओं को तल पर आलेखित कीजिए:

हल:

MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 3 निर्देशांक ज्यामिति Additional Questions

MP Board Class 9th Maths Chapter 3 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 9th Maths Chapter 3 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
बिन्दु 4(5, 3), B(-2, 3) और D(5, -4) एक वर्ग ABCD के तीन शीर्ष हैं। एक आलेख कागज पर इन बिन्दुओं को आलेखित कीजिए और फिर शीर्ष C के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार वर्ग ABCD का आलेख संलग्न चित्र में प्रदर्शित है। चूँकि वर्ग की भुजाएँ अक्षों के समानान्तर हैं। अतः बिन्दु C का भुज बिन्दु B के भुज के बराबर तथा कोटि बिन्दु D की कोटि के बराबर होगी।

अतः वर्ग ABCD अभीष्ट आलेख है तथा बिन्दु C के अभीष्ट निर्देशांक (-2, -4) है।

प्रश्न 2.
उस आयत के शीर्षों के निर्देशांक लिखिए जिसकी लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः 5 और 3 मात्रक है। एक शीर्ष मूल-बिन्दु पर स्थित है। लम्बी भुजा X-अक्ष पर स्थित है तथा इनमें से एक शीर्ष तीसरे चतुर्थांश में है।
हल:
प्रश्न के अनुसार, दिए गए आयत की स्थिति निर्देशांक तल पर ABCD में प्रदर्शित है जिसमें AD = BC = 5 मात्रक एवं AB = CD = 3 मात्रक है तथा बिन्दु C तृतीय चतुर्थांश में है।

अतः शीर्षों के अभीष्ट निर्देशांक क्रमशः (0, 0), (0, -3), (-5, -3) एवं (-5, 0) हैं।

प्रश्न 3.
बिन्दु P(1, 0), Q(4, 0) और S(1, 3) को आलेखित कीजिए। बिन्दु R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि PORS एक वर्ग हो।
हल:
प्रश्नानुसार दिए गए वर्ग PORS का आलेख संलग्न चित्र में प्रदर्शित है। वर्ग की भुजाएँ अक्षों के समानान्तर हैं। इसलिए बिन्दु R का भुज बिन्दु ए के भुज के तथा कोटि बिन्दु S की कोटि के बराबर होगी।

अतः वर्ग PORS अभीष्ट आलेख है तथा बिन्दु R के अभीष्ट निर्देशांक (4, 3) हैं।

प्रश्न 4.
एक आयत के तीन शीर्ष क्रमशः (3, 2), (-4, 2) और (-4,5) हैं। इन बिन्दुओं को आलेखित कीजिए और फिर आयत के चौथे बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए कि एक आयत ABCD के तीन शीर्ष क्रमश: A(3, 2), B(-4, 2) और C(-4, 5) दिए गए हैं, तो A, B एवं C को आलेखित करना है तथा आयत के चौथे शीर्ष D के निर्देशांक ज्ञात करने हैं।

संलग्न चित्र में दिए हुए शीर्षों के आलेख क्रमशः बिन्दुओं A, B और C से प्रदर्शित हैं।
चूँकि ABCD एक आयत है तथा इसकी भुजाएँ अक्षों के समानान्तर हैं, इसलिए बिन्दु D का भुज बिन्दु A के भुज के बराबर अर्थात् x = 3 होगा तथा बिन्दु D की कोटि बिन्दु C की कोटि के बराबर अर्थात् y = 5 होगी। अतः चौथे शीर्ष के अभीष्ट निर्देशांक (3, 5) हैं।

प्रश्न 5.
संलग्न आकृति में निम्नलिखित के उत्तर दीजिए-
(i) उन बिन्दुओं को लिखिए जिनका भुज 0 है।
(ii) उन बिन्दुओं को लिखिए जिनकी कोटि 0 (शून्य) है।
(iii) उन बिन्दुओं को लिखिए जिनकी भुज -5 है।

उत्तर:
(i) शून्य (0) भुज वाले बिन्दु : A(0, 3) एवं L(0, -4)
(ii) शून्य (0) कोटि वाले बिन्दु : G(5, 0) एवं I(-2, 0)
(iii)-5 भुज वाले बिन्दु : D(-5, 1) एवं H(-5, – 3).

प्रश्न 6.
निम्न बिन्दु किस अक्ष या चतुर्थांश में स्थित हैं :
(3,0) (2019);
(0,5) (2019);
(-3,-5) (2019);
(-4, 5) (2019);
(7,0) (2019);
(5,3) (2019);
(3,-5) (2019);
(-3,0) (2019);
(0, 2) (2019);
(3,5) (2019);
(0,-5) (2019);
(-3, – 1) (2019).
उत्तर:
(3,0) X – अक्ष पर; (0, 5) Y – अक्ष पर।
(-3, -5) तृतीय चतुर्थांश में; (-4, 5) द्वितीय चतुर्थांश में।
(7,0) X-अक्ष पर; (5, 3) प्रथम चतुर्थांश में।
(3, -5) चतुर्थ चतुर्थांश में; (-3, 0) X-अक्ष पर।
(0, 2) Y-अक्ष पर; (3, 5) प्रथम चतुर्थांश में।
(0, -5) Y-अक्ष पर; (-3, – 1) तृतीय चतुर्थांश में।

प्रश्न 7.
निम्न बिन्दुओं को निर्देशांक-तल (ग्राफ) पर प्रदर्शित कीजिए :
(A) (2, 0) (2019);
(B) (0, 2) (2019);
(C) (2, 2) (2019);
(D) (-2, – 2) (2019);
(E) (1, 2) (2019);
(F) (-3, 5) (2019);
(G) (2, -4) (2019);
(H) (-1, -3) (2019);
उत्तर:

प्रश्न 8.
निम्न ग्राफ में (निर्देशांक तल पर) अंकित बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए :
(i) बिन्दु A, B, C और D (2019)
(ii) बिन्दु E और F के। (2019)

उत्तर:
(i) A (2,0), B (0, 2), C (-2, 0) और D (0, – 2)
(ii) E (1, 2) और F(-2,-3).

MP Board Class 9th Maths Chapter 3 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
बिना बिन्दुओं को आलेखित किए बताइए कि वे किस चतुर्थांश में स्थित होंगे यदि
(i) कोटि 5 है, और भुज-3 है।
(ii) भुज-5 है, और कोटि-3 है।
(iii) भुज-5 है, और कोटि 3 है।
(iv) कोटि 5 है, और भुज 3 है।
उत्तर:
(i) द्वितीय चतुर्थांश में
(ii) तृतीय चतुर्थांश में
(iii) द्वितीय चतुर्थांश में
(iv) प्रथम चतुर्थांश में।

प्रश्न 2.
किस चतुर्थांश अथवा किस अक्ष पर निम्नलिखित बिन्दु स्थित हैं ?
(-3, 5), (4, – 1), (3,0), (2, 2), (-3,-6).
उत्तर:
(i) बिन्दु (-3, 5) द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।
(ii) बिन्दु (4, – 1) चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है।
(iii) बिन्दु (3,0) X-अक्ष पर स्थित है।
(iv) बिन्दु (2, 2) प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।
(v) बिन्दु (-3,-6) तृतीय चतुर्थांश में स्थित है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित बिन्दुओं में से कौन-कौन-से बिन्दु Y-अक्ष पर स्थित हैं।
A(1, 1), B(1,0), C(0, 1), D(0, 0), E(0, – 1), F(-1,0), G(0, 5), H(-7,0), I(3, 3).
उत्तर:
C(0, 1), D(0, 0), E(0, – 1), G(0, 5).

प्रश्न 4.
एक बिन्दु X-अक्ष पर Y-अक्ष से 7 मात्रक की दूरी पर स्थित है। उसके निर्देशांक क्या होंगे? यदि यह Y-अक्ष पर X-अक्ष से – 7 मात्रक की दूरी पर स्थित हो तो निर्देशांक क्या होंगे?
उत्तर:
प्रथम स्थिति में निर्देशांक : (7, 0)
द्वितीय स्थिति में निर्देशांक : (0, -7).

प्रश्न 5.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो
(i) X और Y दोनों अक्षों पर स्थित है।
(ii) जिसकी कोटि -4 है और जो Y-अक्ष पर स्थित है।
(ii) जिसका भुज 5 है और जो X-अक्ष पर स्थित है।
उत्तर:
(i) (0, 0), (ii) (0, -4), (iii) (5,0).

MP Board Class 9th Maths Chapter 3 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य लिखिए। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए-
(i) बिन्दु (3, 0) प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।
(ii) बिन्दु (1,-1) और (-1, 1) एक ही चतुर्थांश में स्थित है।
(iii) उस बिन्दु के निर्देशांक, जिसकी कोटि -7 और भुज 1 है, (-1/2,1) होंगे।
(iv) उस बिन्दु के निर्देशांक (2,0) हैं जो Y-अक्ष पर X-अक्ष से 2 मात्रक की दूरी पर स्थित है।
(v) (-1, 7) द्वितीय चतुर्थांश में स्थित एक बिन्दु है।
उत्तर:
(i) असत्य है, क्योंकि शून्य कोटि वाला बिन्दु X-अक्ष पर होता है।
(ii) असत्य है, क्योंकि बिन्दु (1, -1) चतुर्थ चतुर्थांश में है तथा (-1, 1) द्वितीय चतुर्थांश में है।
(iii) असत्य है, क्योंकि एक बिन्दु के निर्देशांक में भुज पहले तथा कोटि बाद में आती है। अतः (1, −12) निर्देशांक (1,-5) होगा।
(iv) असत्य है, क्योंकि दिये बिन्दु के निर्देशांक (0, 2) होंगे।
(v) सत्य है, क्योंकि द्वितीय चतुर्थांश में भुज ऋणात्मक तथा कोटि धनात्मक होती है।

प्रश्न 2.
निर्देशांक (3, 5) में भुज तथा कोटि लिखिए। (2019)
उत्तर:
भुज = 3, कोटि = 5.

प्रश्न 3.
बिन्दु (4, 5) की X-अक्ष एवं Y-अक्ष से दूरियाँ लिखिए। (2019)
उत्तर:
X-अक्ष से दूरी = 5
एवं Y-अक्ष से दूरी = 4.

MP Board Class 9th Maths Chapter 3 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

बहु विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
बिन्दु (-3, 5) स्थित है :
(a) प्रथम चतुर्थांश में
(b) द्वितीय चतुर्थांश में
(c) तृतीय चतुर्थांश में
(d) चतुर्थ चतुर्थांश में।
उत्तर:
(b) द्वितीय चतुर्थांश में

प्रश्न 2.
Y-अक्ष पर स्थित सभी बिन्दुओं की भुज होती है :
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) कोई भी संख्या।
उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 3.
X-अक्ष पर स्थित सभी बिन्दुओं की कोटि होती है :
(a) 0
(b) 1
(c) -1
(d) कोई भी संख्या।
उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 4.
बिन्दु (0, -7) स्थित है :
(a) X – अक्ष पर
(b) द्वितीय चतुर्थांश में
(c) Y – अक्ष पर
(d) चतुर्थ चतुर्थांश में।
उत्तर:
(c) Y – अक्ष पर

प्रश्न 5.
बिन्दु (-10,0) स्थित है :
(a) X – अक्ष की ऋणात्मक दिशा में
(b) Y – अक्ष की ऋणात्मक दिशा में
(c) तीसरे चतुर्थांश में
(d) चौथे चतुर्थांश में।
उत्तर:
(a) X – अक्ष की ऋणात्मक दिशा में

प्रश्न 6.
वह बिन्दु जहाँ दोनों निर्देशांक अक्ष मिलते हैं, कहलाता है :
(a) भुज
(b) कोटि
(c) मूल-बिन्दु
(d) चतुर्थांश।
उत्तर:
(c) मूल-बिन्दु

प्रश्न 7.
वह बिन्दु जिसके दोनों निर्देशांक ऋणात्मक हैं स्थित होगा :
(a) प्रथम चतुर्थांश में
(b) द्वितीय चतुर्थांश में
(c) तृतीय चतुर्थांश में
(d) चतुर्थ चतुर्थांश में।
उत्तर:
(c) तृतीय चतुर्थांश में

प्रश्न 8.
किसी बिन्दु का भुज धनात्मक होता है वह स्थित होता है :
(a) चतुर्थांश I या II में
(b) चतुर्थांश I या IV में
(c) केवल चतुर्थांश IV में
(d) केवल चतुर्थांश II में।
उत्तर:
(b) चतुर्थांश I या IV में

प्रश्न 9.
वे बिन्दु जिनके भुज एवं कोटि विभिन्न चिह्नों के होते हैं, स्थित होंगे:
(a) चतुर्थांश I और II में
(b) चतुर्थांश II और III में
(c) चतुर्थांश I और III में
(d) चतुर्थांश II और IV में।
उत्तर:
(d) चतुर्थांश II और IV में

प्रश्न 10.
वह बिन्दु जिसकी कोटि 4 है और वह Y-अक्ष पर स्थित है, होगा :
(a) (4, 0)
(b) (0, 4)
(c) (1, 4)
(d) (4, 2).
उत्तर:
(b) (0, 4)

प्रश्न 11.
Y-अक्ष से बिन्दु P(3, 4) की लाम्बिक दूरी है :
(a) 3
(b) 4
(c) 5
(d) 7
उत्तर:
(a) 3

प्रश्न 12.
बिन्दु (-4, -4) किस चतुर्थांश में स्थित है : (2018)
(a) प्रथम
(b) द्वितीय
(c) तृतीय
(d) चतुर्थ।
उत्तर:
(c) तृतीय

प्रश्न 13.
मूल-बिन्दु के निर्देशांक हैं : (2019)
(a) (2,0)
(b) (0, 2)
(c) (2, 2)
(d) (0,0)
उत्तर:
(d) (0,0)

प्रश्न 14.
मूल-बिन्दु के निर्देशांक हैं : (2019)
(a) (0, 1)
(b) (0, 0)
(c) (-1, 0)
(d) (1, 0)
उत्तर:
(b) (0, 0)

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. किसी बिन्दु की X-अक्ष से लम्बवत् दूरी उस बिन्दु का ………… निर्देशांक अथवा ………. कहलाता है।
2. किसी बिन्दु की Y-अक्ष से लम्बवत् दूरी उस बिन्दु का ……….. निर्देशांक अथवा ……. कहलाता है।
3. दोनों अक्षों के कटान बिन्दु को ………. कहते हैं।
4. X-अक्ष के समानान्तर रेखा के प्रत्येक बिन्दु की ………. समान होती है।
5. Y-अक्ष के समानान्तर रेखा के प्रत्येक बिन्दु की ……….. समान होती है।
6. (-1, -4) का चतुर्थांश ………. है।
7. बिन्दु (7, -6) की कोटि का मान ………. है। (2019)
उत्तर:
1. y, कोटि,
2. x, भुज,
3. मूलबिन्दु,
4. कोटि,
5. भुज,
6. तृतीय चतुर्थांश,
7. – 6.

जोड़ी मिलान

स्तम्भ ‘A’                                                                   स्तम्भ ‘B’
1. बिन्दु (0, b) स्थित होगा                                    (a) x-निर्देशांक
2. बिन्दु (a, 0) स्थित होगा                                   (b) 5
3. मूल-बिन्दु के निर्देशांक (2019)                        (c) Y-अक्ष पर
4. प्रान्त (डोमेन)                                                (d) X-अक्ष पर
5. बिन्दु (3, 5) की X-अक्ष से दूरी (2019)              (e) (0, 0)
उत्तर:
1.→(c), 2.→(d), 3.→(e), 4.→(a), 5. →(b).

सत्य/असत्य कथन

1. X-अक्ष की कोटि सदैव शून्य होती है।
2. X-अक्ष से ऊपर की दूरियाँ ऋणात्मक तथा नीचे की धनात्मक होती हैं।
3. Y-अक्ष की भुज संदैव शून्य होती है।
4. Y-अक्ष के दायीं ओर की दूरियाँ ऋणात्मक तथा बायीं ओर की धनात्मक होती हैं।
5. मूल बिन्दु की भुज एवं कोटि दोनों शून्य होती हैं।
6. बिन्दु (-8, 0), X-अक्ष पर स्थित है।
7. बिन्दु (-2, -4), Y-अक्ष पर स्थित है।
8. बिन्दु (2, 2) प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।
9. बिन्दु (0, 3) तृतीय चतुर्थांश में स्थित है। (2019)
10. मूल बिन्दु के निर्देशांक (0, 0) होते हैं। (2018)
उत्तर:
1. सत्य,
2. असत्य,
3. सत्य,
4. असत्य,
5. सत्य,
6. सत्य,
7. असत्य,
8. सत्य,
9. असत्य,
10. सत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. बिन्दु (8, -6) तथा (-5, 2) कौन-से चतुर्थांश में स्थित हैं ?
2. X-अक्ष पर स्थित किसी बिन्दु की कोटि कितनी होती है ?
3. Y-अक्ष पर स्थित किसी बिन्दु की भुज कितनी होती है ?
4. मूल-बिन्दु के निर्देशांक क्या होंगे ?
5. अक्षों का प्रतिच्छेदन बिन्दु क्या कहलाता है ?
उत्तर:
1. चतुर्थ एवं द्वितीय,
2. शून्य,
3. शून्य,
4. (0, 0),
5. मूल-बिन्दु।

Tense