MP Board Class 9th Maths | रेखाएँ और कोण
MP Board Class 9th Maths | रेखाएँ और कोण
MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 6 रेखाएँ और कोण Ex 6.1
प्रश्न 1.
संलग्न चित्र में रेखाएँ AB और CD बिन्दु 0 पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠AOC + LBOE = 70° है और ∠BOD = 40° है, तो ∠BOE और प्रतिवर्ती ∠COE ज्ञातकीजिए।
हल:
∴∠AOC = ∠BOD = 40° ….(1) .. [शीर्षाभिमुख कोण हैं तथा ∠BOD = 40° (दिया है)]
∠AOC + ∠BOE = 70° …(2) (दिया है)
⇒ 40° + ∠BOE = 70° [समीकरण (1) एवं (2) से]
⇒ ∠BOE = 70° – 40° = 30° ….(3)
अतः अभीष्ट कोण ∠BOE = 30°
∴ ∠AOC + ∠COE + ∠BOE = 180° [ रेखा AB के बिन्दु 0 पर बने एक ओर के कोण हैं] …(4)
⇒ 40° + ∠COE + 30° = 180° [समीकरण (1), (3) एवं (4) से]
⇒ ∠COE = 180° – 40° – 30° = 180° – 70° = 110° …(5)
⇒ प्रतिवर्ती ∠COE = 360° – ∠COE (परिभाषा से) …(6)
⇒ प्रतिवर्ती ∠COE = 360° – 110° = 250° [समीकरण (5) एवं (6) से]
अतः अभीष्ट प्रतिवर्ती ∠COE = 250°.
प्रश्न 2.
संलग्न चित्र में रेखाएँ XY और MN बिन्दु 0 पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠POY= 90° और a : b = 2 : 3 है, तो c ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ a/b = 2/3 (दिया है)
⇒ a = 23b ….(1)
∵ a + b + ∠POY = 180° [∵ XY के बिन्दु 0 पर एक ओर बने कोण हैं।]
⇒ a + b + 90° = 180° [∵ ∠POY = 90° (दिया है)]
⇒ a + b = 180° – 90° = 90° …(2)
⇒ 23b + b = 90° [समीकरण (1) और (2) से]
⇒ 90° = b = 35 x 90° = 3 x 18° = 54°
∵ b + c = 180° [∵ MN के बिन्दु 0 पर एक ओर बने कोण हैं।]
⇒ 54° + c = 180°
⇒ c = 180° – 54° = 126° [∵ b = 54° समीकरण (3) से]
अतः अभीष्ट कोण c = 126°.
प्रश्न 3.
संलग्न चित्र में यदि ∠PQR = ∠PRQ तो सिद्ध कीजिए कि : ∠PQS = ∠PRT है। (2019)
हल:
∵ ∠PQS + ∠PQR = 180° (∵ रेखा ST के बिन्दु Q पर बने एक ओर के कोण है) …(1)
∵ ∠PRQ + ∠PRT = 180° (∵ रेखा ST के बिन्दु R पर बने एक ओर के कोण है) …(2)
⇒ ∠PQS + ∠PQR = ∠PRQ + ∠PRT, [समीकरण (1) एवं (2) से] …(3)
∵ ∠PQR = ∠PRQ (दिया है) …(4)
अतः ∠PQS = ∠PRT. [समीकरण (3) – समीकरण (4) से]
प्रश्न 4.
संलग्न चित्र में यदि x + y = w + x है तो सिद्ध कीजिए कि AOB एक रेखा है।
हल:
चूँकि एक बिन्दु पर बने सभी कोणों का योग = 360°
⇒ x + y + z + w = 360° …(1)
∵ x + y = w + z …(2)
⇒ (x + y) + (x + y) = 360° [समीकरण (1) एवं (2) से]
⇒ 2 (x + y) = 360°
⇒ x + y = 360∘2 = 180°
अत: AOB एक रेखा है। (रैखिक युग्म अभिगृहीत से)
प्रश्न 5.
संलग्न चित्र में POQ एक रेखा है। किरण OR रेखा PQ पर लम्ब है। किरणों OP और OR के बीच OS एक अन्य किरण है।
सिद्ध कीजिए: ∠ROS = 12 (∠QOS – ∠POS). (2018)
हल:
∵ ∠QOS = ∠ROS + ∠ROQ (चित्रानुसार) …(1)
∵ ∠POS = ∠POR – ∠ROS (चित्रानुसार) …(2)
∠POR = ∠ROQ = 90° (∵ RO ⊥ PQ) …(3)
∠POS = ∠ROQ – ∠ROS [समीकरण (2) एवं (3) से] …(4)
⇒ ∠QOS – ∠POS = 2 ∠ROS [समीकरण (1) – समीकरण (4) से]
अतः ∠ROS = 12(∠QOS – ∠POS). इति सिद्धम्
प्रश्न 6.
यह दिया है कि ∠XYZ = 64° और XY को बिन्दु P तक बढ़ाया गया है। दी हुई सूचना से एक आकृति खींचिए। यदि किरण YQ, ∠ZYP को समद्विभाजित करती है, तो ∠XYQ और प्रतिवर्ती ∠QYP के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दी हुई सूचना के आधार पर खींची गई आकृति चित्र 6.15 में है।
प्रश्नानुसार,
∠XYZ = 64° …(1)
⇒ ∠ZYP = 180° – ∠XYZ = 180° – 64° = 116° …(2)
चूँकि किरण YQ, ∠ZYP की समद्विभाजक है। (दिया है)
⇒ ZYQ = ∠OYP = 12 ∠ZYP ….(3)
⇒ ∠ZYQ = ∠QYP = 12 x 116° = 58° [समीकरण (2) एवं (3) से] …(4)
∠XYQ = ∠XYZ + ∠ZYQ = 64° + 58° = 122° [समी. (1) एवं (4) से]
एवं प्रतिवर्ती ∠QYP = 360° – ∠QYP
प्रतिवर्ती ∠OYP = 360° – 58° ∵ ∠QYP = 58°, समी. (4) से]
= 302°
अतः अभीष्ट ∠XYQ = 122° एवं अभीष्ट प्रतिवर्ती ∠QYP = 302°.
MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 6 रेखाएँ और कोण Ex 6.2
प्रश्न 1.
संलग्न चित्र में x और y के मान ज्ञात कीजिए और फिर दर्शाइए कि AB || CD है। (2018, 19)
हल:
चित्रानुसार,
∵ x° + 50° = 180° (कोणों का रैखिक युग्म है)
⇒ x = 180° – 50° = 130°
∵ y = 130° (शीर्षाभिमुख कोण हैं) …(2)
⇒ x = y = 130° [समीकरण (1) एवं (2) से]
लेकिन ये एकान्तर अन्तः कोण हैं।
अतः AB || CD. इति सिद्धम्
प्रश्न 2.
संलग्न चित्र में AB || CD, CD || EF और y : z = 3 : 7 हैं, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना AB || CD एवं CD || EF को तिर्यक रेखा बिन्दु P, Q, R पर प्रतिच्छेद करती है। जहाँ,
∠APQ = x, ∠PQC = y Td ∠QRF = z (दिया है)
∵ ∠DQR = ∠PQC = y (शीर्षाभिमुख कोण हैं) …(1)
∵ ∠DQR + ∠QRF = 180° [एक ही ओर के अन्तः कोणों का युग्म है]
∴ x + y = 180° (एक ही ओर के अन्तः कोणों का युग्म है)
⇒ x + 54° = 180°
⇒ x = 180° – 54° = 126° [∵ y = 54° समीकरण (3) से]
अतः x का अभीष्ट मान = 126°.
प्रश्न 3.
संलग्न चित्र में यदि AB || CD, EF ⊥ CD और ∠GED = 126° है, तो ∠AGE, ∠GEF और ∠FGE ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ AB || CD एवं GE तिर्यक रेखा है,
⇒ ∠AGE = ∠GED (एकान्तर कोण हैं)
⇒ ∠AGE = 126° [क्योंकि ∠GED = 126° (दिया है)]
∵ ∠GEF + FED = ∠GED = 126° [∵ ∠GED = 126° (दिया है)]
⇒ ∠GEF + 90° = 126° [∵ EF ⊥ CD (दिया है) ⇒ ∠FED = 90°]
⇒ ∠GEF = 126° – 90° = 36°
∵ ∠FGE + ∠GED = 180° एक ही ओर के अन्तः कोणों का युग्म]
⇒ ∠FGE + 126° = 180° [∠GED = 126° (दिया है)]
∠FGE = 180° – 126° = 54°
अतः अभीष्ट ∠AGE = 126°, ∠GEF = 36° एवं ∠FGE = 54°.
प्रश्न 4.
संलग्न चित्र में यदि PQ || ST, ∠PQR = 110° और ∠RST = 130°, तो ∠ORS ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है : PQ || ST, ∠RST = 130°, ∠PQR = 110°
ज्ञात करना है : ∠ORS का मान। रचना : बिन्दु R से होकर किरण RX || ST खींचिए।
उपपत्ति: ∵ PQ || ST (दिया है)
∵ RX || ST (रचना से)
⇒ PQ || ST || RX
∵ ST || RX एवं SR तिर्यक रेखा है ∠SRX + ∠RST = 180° [एक ही ओर के अन्त:कोणों का युग्म है]
⇒ ∠SRX + 130° = 180° [∠RST = 130° (दिया है)]
⇒ ∠SRX = 180° – 130° = 50°
∵ PQ || RX एवं QR तिर्यक रेखा है
⇒ ∠QRX = ∠PQR = 110° [एकान्तर कोण हैं एवं ∠PQR = 110° (दिया है)]
⇒ ∠QRS + ∠SRX = 110° [∵ ∠QRX= ∠QRS + ∠SRX]
⇒ ∠QRS + 50° = 110° [∵ ∠SRX = 50° ज्ञात कर चुके हैं।
⇒ ∠QRS = 110° – 50° = 60°
अतः अभीष्ट कोण ∠QRS = 60°.
प्रश्न 5.
संलग्न चित्र में यदि AB || CD, ∠APQ = 50°, और ∠PRD = 127° है, तो x और y ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ AB || CD को तिर्यक रेखा PQ प्रतिच्छेद करती है
⇒ ∠PQR = ∠APQ (एकान्तर कोण हैं)
⇒ x = 50° [∵ ∠PQR = x एवं ∠APQ = 50° (दिया है)]
∵ APQR की भुजा QR बिन्दु D तक बढ़ी है
⇒ ∠PQR + ∠QPR = ∠PRD [∵ किसी त्रिभुज का बहिष्कोण सम्मुख अन्त:कोणों के योग के बराबर होता है]
⇒ 50° + y = 127° [∵ ∠PQR = x = 50 ज्ञात कर चुके हैं ∠QPR = y एवं ∠PRD = 127° (दिए हैं)]
⇒ y = 127° – 50° = 77°
अतः x एवं y के अभीष्ट मान क्रमश: 50° एवं 77° हैं।
प्रश्न 6.
संलग्न चित्र में PQ और RS दो दर्पण हैं जो एक-दूसरे के समान्तर रखे गए हैं। एक आपतन किरण (Incident Ray) AB दर्पण PQ से B पर टकराती है और परावर्तित किरण (Reflected Ray) पथ BC पर चलकर दर्पण RS +-T से C पर टकराती है तथा पुनः CD के अनुदिश परावर्तित हो जाती है। सिद्ध कीजिए कि AB || CD है।
हल:
∵ दर्पण PQ के बिन्दु B पर आपतित किरण AB एवं परावर्तित किरण BC है।
⇒ ∠PBA = ∠QBC …(1) (परावर्तन के नियम से)
∵ दर्पण RS के बिन्दु C पर आपतित किरण BC एवं परावर्तित किरण CD है।
⇒ ∠BCR = ∠DCS …(2) (परावर्तन के नियम से)
∵ PQ || RS को तिर्यक रेखा BC बिन्दुओं B एवं C पर प्रतिच्छेद करती है।
⇒ ∠QBC = ∠BCR …(3) (एकान्तर कोण हैं)
∵ ∠PBA + ∠ABC + ∠QBC = ∠BCR + ∠BCD + ∠DCS = 180° …(4)
(∵ रेखा के एक बिन्दु पर एक ही ओर के कोणों का योग = 180°)
∵ ∠PBA = ∠QBC = ∠BCR = ∠DCS [समीकरण (1), (2) एवं (3) से]
⇒ ∠PBA + ∠QBC = ∠BCR + ∠DCS …(5)
⇒ ∠ABC = ∠BCD [समीकरण (4) – समीकरण (5) से]
लेकिन ये एकान्तर कोण है
अतः AB || CD. इति सिद्धम्
MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 6 रेखाएँ और कोण Ex 6.3
प्रश्न 1.
संलग्न चित्र में ∆PQR की भुजाओं OP और RO को क्रमशः बिन्दुओं S और T तक बढ़ाया गया है। यदि ∠SPR = 135° है और ∠PQT = 110° है, तो ∠PRQ
ज्ञात कीजिए।
चित्र 6.23
हल:
∵ ∠PQT + ∠PQR = 180° (रैखिक युग्म अभिगृहीत से)
110° + ∠PQR = 180° ∵ ∠PQT = 110° (दिया हुआ है)]
∠PQR = 180° – 110° = 70°
∵ ∠SPR + ∠QPR = 180° (रैखिक युग्म अभिगृहीत)
135° + ∠QPR = 180° [∵ ∠SPR = 135° (दिया हुआ है)]
∠QPR = 180° – 135° = 45° …..(2)
अब ∆PQR में, :: LOPR + ∠PQR + ∠PRQ = 180° (प्रमेय 6.7, त्रिभुज के तीनों अन्त:कोणों का योग है)
⇒ 45° + 70° + ∠PRQ = 180° [समीकरण (1) एवं समीकरण (2) से]
⇒ ∠PRQ = 180° – 45° – 70°
⇒ ∠PRQ = 180° – 115° = 65°
अतः ∠PRO का अभीष्ट मान = 65°.
प्रश्न 2.
संलग्न चित्र में ∠X = 62° और ∠XYZ = 54° है। यदि YO और ∠O क्रमश: ∠XYZ के ∠XYZ और ∠XZY के समद्विभाजक हैं, तो ∠OZY और ∠YOZ ज्ञात कीजिए।
हल:
∆XYZ में,
∵ ∠YXZ + ∠XYZ + ∠XZY = 180° [प्रमेय 6.7, त्रिभुज के तीनों अन्तः कोणों का योग है।]
⇒ 62° + 54° + ∠XZY = 180° [∵ ∠YXZ = 62° एवं ∠XYZ = 54° (दिया है)]
⇒∠XZY = 180° – 62° – 54° = 180° – 116° = 64°
∵∠YO, ∠XZY का समद्विभाजक है।
अब ∆OYZ में,
∵∠OYZ+ ∠OZY + ∠YOZ = 180° (प्रमेय 6.7, त्रिभुज के तीनों अन्तः कोणों का योग है)
⇒ 27° + 32° + ∠YOZ = 180°
[∵ ∠OZY = 32° एवं ∠OYZ = 27° (ज्ञात कर चुके हैं)]
∠YOZ = 180° – 27° – 32° = 180° – 59° = 121°
अतः ∠OZY का अभीष्ट मान = 32° एवं ∠YOZ का अभीष्ट मान = 121.
प्रश्न 3.
संलग्न चित्र में यदि AB || DE, ∠BAC = 35° और LCDE = 53°, तो ∠DCE ज्ञात कीजिए। (2019)
चित्र 6.25
हल:
दिया है: AB ||DE, ∠BAC = 35° एवं ∠CDE = 53°
∵ AB || DE एवं AE तिर्यक रेखा है।
⇒ ∠CED = ∠BAC = 35° [एकान्तर कोण हैं तथा/BAC = 35° (दिया है)]
अब ∆CDE में (प्रमेय 6.7 त्रिभुज के तीनों अन्तः कोणों का योग 180° होता है)
∵ ∠DCE + ∠CDE + ∠CED = 180°
⇒ ∠DCE + 53° + 35° = 180° [∵∠CDE = 53° दिया है तथा
∠CED = 35° ज्ञात कर चुके हैं।
⇒ ∠DCE = 180° – 53° – 35° = 180° – 88° = 92°
अत: ∠DCE का अभीष्ट मान = 92°.
प्रश्न 4.
संलग्न चित्र में यदि रेखाएँ PO और RS बिन्दु T पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती है कि ∠PRT = 40°, ∠RPT = 95° और ∠TSQ = 75°, तो ∠SQT ज्ञात कीजिए।
चित्र 6.26
हल:
∆PRT में,
∵ ∠PTR + CRPT + ∠PRT = 180° (प्रमेय 6.7 त्रिभुज के तीनों अन्तः कोण हैं)
⇒ ∠PTR + 95° + 40° = 180° [∵∠RPT = 95° एवं ∠PRT = 40° (दिया है)]
⇒ ∠PTR = 180° – 950 – 40° = 180° – 135° = 450
∵ PQ एवं RS एक-दूसरे को बिन्दु T पर प्रतिच्छेद करती हैं।
⇒ ∠QTS = ∠PTR = 45° (शीर्षाभिमुख कोण हैं और ∠PTR = 45°)
अब ∆QTS में,
∵ ∠SQT + ∠TSQ + ∠OTS = 180°
∵∠SOT + 75° + 45° = 180°
[∵ ∠TSQ = 75° (दिया है) तथा ∠QTS = 45° ज्ञात कर चुके हैं ]
∠SOT = 180° – 75° – 45° = 180° – 120° = 60°
अतः ∠SOT का अभीष्ट मान = 60°.
प्रश्न 5.
संलग्न चित्र में, यदि PQ ⊥ PS, PQ || SR, ∠SOR = 28° और ∠QRT = 65° है, तो x और y के मान ज्ञात कीजिए।
चित्र 6.27
हल:
∵ PQ ⊥ PS = ∠OPS = 90°
∵ ∠SQR = 28° एवं ∠QRT = 65° (दिए हैं)
∵ PQ || SR को QR तिर्यक रेखा प्रतिच्छेद करती है।
⇒ ∠PQR = ∠QRT (एकान्तर कोण है)
⇒ ∠PQS + ∠SOR = ∠ORT (चित्रानुसार)
⇒ x + 28° = 65° [∵ ∠SOR = 28° एवं ∠QRT = 65° (दिया है)]
⇒ x = 65° – 28° = 37°
अब ∆POS में,
∵ ∠OPS + ∠PQS + ∠PSQ = 180° (प्रमेय 6.7 से A के तीनों अन्तः कोणों का योग है)
⇒ 90° + 37° + y = 180°
⇒ y = 180° – 90° – 37° = 180° – 127° = 53°
[∠QPS = 90° एवं ∠PQS = x = 37° (ज्ञात है)]
अतः x एवं के अभीष्ट मान क्रमशः 37° एवं 53° हैं।
प्रश्न 6.
संलग्न चित्र में, ∆POR की भुजा QR को बिन्दु S तक बढ़ाया गया है। यदि ∠PQR और ∠PRS के समद्विभाजक बिन्दु T पर मिलते हैं तो सिद्ध कीजिए कि
∠QTR = 12∠QPR.
चित्र 6.28
हल:
∆PQR का बहिष्कोण ∠PRS है।
= ∠PRS = ∠QPR + ∠PQR (प्रमेय 6.8)…(1)
∆TOR का बहिष्कोण ∠TRS है।
⇒ ∠TRS = ∠QTR + ∠TOR (प्रमेय 6.8)…(2)
∵ ∠PQR और ∠PRS के समद्विभाजक क्रमशः OT एवं RT हैं।
MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 6 रेखाएँ और कोण Additional Questions
MP Board Class 9th Maths Chapter 6 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न
MP Board Class 9th Maths Chapter 6 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
प्रश्न 1.
एक त्रिभुज ABC के कोण B और C के समद्विभाजक परस्पर बिन्दु 0 पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि-
∠BOC = 90° + 12 ∠A.
हल:
दिया है :
∆ABC जिसके ∠B एवं ∠C के समद्विभाजक BO एवं CO परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं तो सिद्ध करना है कि-
∠BOC = 90° + 12 ∠A.
उपपत्ति : त्रिभुज ABC में,
∵∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180° (त्रिभुज का कोण योग गुण)
= 12∠A + 12∠ABC + 12 ∠ACB = 12 x 180° = 90°
⇒ 12 ∠A + ∠OBC + ∠OCB = 90° (क्योंकि BO एवं CO क्रमशः ∠B एवं ∠C के समद्विभाजक हैं)
⇒ ∠OBC + ∠OCB = 90° 12 ∠A ….(1)
लेकिन ∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180° (त्रिभुज का कोण योग गुण)
⇒ ∠OBC + ∠OCB = 180° – ∠BOC …(2)
⇒ 90° – 12 ∠A = 180° – ∠BOC [समीकरण (1) एवं (2) से]
⇒ ∠BOC = 180° – 90° + 12 ∠A
अतः ∠BOC = 90° + 1 इति सिद्धम्
प्रश्न 2.
यदि दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती है तो सिद्ध कीजिए कि शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।
हल:
मान लीजिए दो रेखाएँ AB एवं CD परस्पर O बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं तो सिद्ध करना है कि-
∠AOC = ∠BOD एवं ∠BOC = ∠AOD
उपपत्ति: ∵ ∠AOC + ∠COB = 180° (∵ रेखा AB के बिन्दु O पर एक ही ओर बने कोण हैं।)
चित्र 6.37
∵ ∠COB + ∠BOD = 180° …(2) (∵ रेखा CD के बिन्दु 0 पर एक ही ओर बने कोण हैं।)
⇒ ∠AOC + ∠COB = ∠COB + ∠BOD [समीकरण (1) एवं (2) से]
⇒ ∠AOC = ∠BOD (∠COB उभयनिष्ठ है)
इसी प्रकार सिद्ध कर सकते हैं कि ∠BOC = ∠AOD.
अतः यदि दो रेखाएँ परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं तो शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं। इति सिद्धम्
प्रश्न 3.
∆ABC के अन्तःकोण ∠B और बहिष्कोण ∠ACD के समद्विभाजक बिन्दु T पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠BTC = 12∠BAC.
हल:
ज्ञात है : ∆ABC के अन्त:कोण ∠B एवं बहिष्कोण ∠ACD के समद्विभाजक बिन्दु T पर प्रतिच्छेद करते हैं।
सिद्ध करना है: ∠BTC = 12∠BAC.
उपपत्ति : ∵ ∆ABC का बहिष्कोण ∠ACD
चित्र 6.38
⇒ ∠ACD = ∠BAC + ∠ABC
⇒ 12∠ACD = 12∠BAC + 12 ∠ABC
⇒ ∠TCD = 12∠BAC + ∠TBC …(1)
(चूँकि BT एवं CT क्रमशः ∠ABC एवं ∠ACD के समद्विभाजक हैं।)
∵ ∆TBC का बहिष्कोण ∠TCD है। ∠TCD = ∠TBC + ∠BTC …(2)
⇒ ∠TBC + ∠BTC = 12 ∠BAC + ∠TBC [समीकरण (1) एवं (2) से]
अतः ∠BTC = 12 ∠BAC. इति सिद्धम्
प्रश्न 4.
एक तिर्यक रेखा दो समान्तर रेखाओं को प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार बने संगत कोणों के युग्म के समद्विभाजक समान्तर होते हैं।
हल:
ज्ञात है : एक तिर्यक रेखा l, दो समानान्तर रेखाओं m एवं n को क्रमशः A एवं B बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती हैं, संगत कोण ∠lAm एवं ∠ABn के समद्विभाजक क्रमश: Ap एवं Bq हैं तो सिद्ध करना है कि Ap || Bq.
चित्र 6.39
उपपत्ति : चूँकि p एवं q क्रमशः कोण ∠lAm एवं ∠ABn के समद्विभाजक हैं।
⇒ ∠lAp = ∠pAm
एवं ∠ABq = ∠qBn
⇒ ∠lAp = 12∠lam एवं ∠ABq = 12∠ABn …(1)
चूँकि m|| n को तिर्यक रेखा l प्रतिच्छेद करती है
⇒ ∠lAm = ∠ABn ….(2)
⇒ ∠lAp = ∠ABq [समीकरण (1) एवं (2) से]
लेकिन ∠lAp एवं ∠ABq संमत कोण हैं।
अतः Ap || Bq. इति सिद्धम्
MP Board Class 9th Maths Chapter 6 लघु उत्तरीय प्रश्न
प्रश्न 1.
संलग्न चित्र में OD कोण ∠AOC का समद्विभाजक है, OE कोण ∠BOC का समद्विभाजक है तथा OD 1 OE। दर्शाइए कि AOB संरेख हैं।
चित्र 6.40
हल:
चूँकि OD कोण AOC एवं OE कोण BOC के समद्विभाजक हैं।
⇒ ∠AOD = ∠DOC
एवं ∠BOE = ∠EOC.
⇒ ∠AOD + ∠BOE = ∠DOC + ∠EOC = ∠DOE = 90° [चूँकि OD ⊥ OE (दिया है)]
= ∠AOD + ∠BOE + ∠DOC + ∠EOC = 180°
चूँकि बिन्दु O पर किरण OA एवं OB के एक ही ओर बने कोण का योग 180° है।
इसलिए OA एवं OB एक सरल रेखा में हैं।
अतः AOB संरेख हैं। इति सिद्धम्
प्रश्न 2.
संलग्न चित्र में ∠1 = 60° और ∠6 = 120° हैं। दर्शाइए m और n समान्तर है।
चित्र 6.41
हल:
∠1 + ∠4 = 180° (∵ एक रेखा के एक बिन्दु पर एक ओर बने कोण हैं)
⇒ ∠4 = 180° – ∠1 .
= 180° + 60°= 120°
⇒ ∠6 = 24 = 120° [क्योंकि ∠6 = 120° (दिया गया है)]
लेकिन ये एकान्तर कोण है।
अतः m || n. इति सिद्धम् ।
प्रश्न 3.
संलग्न चित्र में AP और BQ उन दो एकान्तर अन्तःकोणों के समद्विभाजक हैं जो समान्तर रेखाओं l और m के तिर्यक रेखा t द्वारा प्रतिच्छेद से बनते हैं। दर्शाइए कि AP || BQ.
चित्र 6.42
हल:
चूँकि l || m को तिर्यक रेखा t बिन्दु A और B पर प्रतिच्छेद करती है। (दिया है)
⇒ ∠lAB = ∠ABm (एकान्तर कोण हैं) …(1)
चूँकि AP एवं BQ क्रमशः ∠lAB एवं ABm के समद्विभाजक हैं (दिया है)
⇒ ∠PAB = 12∠lAB एवं ∠ABQ = 12∠ABm …(2)
⇒ ∠PAB = ∠ABQ [समीकरण (1) एवं (2) से]
लेकिन ये एकान्तर कोण हैं
अतः AP || BQ. इति सिद्धम्
प्रश्न 4.
संलग्न चित्र में DE || QR तथा AP और BP क्रमशः कोण ∠EAB और ∠RBA की समद्विभाजक हैं। ∠APB ज्ञात कीजिए।
चित्र 6.43
हल:
चूँकि DE || QR को तिर्यक रेखा n क्रमशः बिन्दु A एवं B पर प्रतिच्छेद करती हैं।
⇒ ∠EAB + ∠ABR = 180° …(1) (एक ही ओर के अन्तः कोण हैं)
चूँकि AP एवं BP क्रमशः कोण EAB एवं ABR के समद्विभाजक हैं।
⇒ ∠PAB = 12∠EAB एवं ∠PBA = 12∠ABR
⇒ ∠PAB + ∠PBA = 12 (∠EAB + ∠ABR) ….(2)
⇒ ∠PAB + ∠PBA = 90° [समीकरण (1) एवं (2) से] …(3)
⇒ ∠PAB + ∠PBA + ∠APB = 180° [त्रिभुज के अन्तःकोण हैं] …(4)
⇒ 90° + ∠APB = 180° [समीकरण (3) एवं (4) से)]
⇒∠APB = 180° – 90° = 90°
अतः ∠APB का अभीष्ट मान = 90°.
प्रश्न 5.
किसी त्रिभुज के कोणों का अनुपात 2 : 3 : 4 है। त्रिभुज के तीनों कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
कोणों के अनुपात का योग = 2 + 3 + 4 = 9, कोणों के मानों का योग = 180° (हम जानते हैं)
अतः त्रिभुज के तीनों कोणों से अभीष्ट मान क्रमशः 40°, 60° एवं 80° हैं।
MP Board Class 9th Maths Chapter 6 अति लघु उत्तरीय प्रश्न
प्रश्न 1.
संलग्न चित्र में x + y के किस मान के लिए ABC एक रेखा होगी ? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
चित्र 6.44
उत्तर:
x + y = 180°, क्योंकि ABC को एक रेखा होने के लिए दोनों कोणों का योग 180° होना चाहिए।
प्रश्न 2.
क्या किसी त्रिभुज के सभी कोण 60° से कम हो सकते हैं ? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए। (2019)
उत्तर:
नहीं हो सकते, क्योंकि त्रिभुजों के तीनों कोणों का योग 180° होता है। उक्त स्थिति में कोणों का योग 180° से कम होगा।
प्रश्न 3.
क्या किसी त्रिभुज के दो अधिककोण हो सकते हैं ? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
उत्तर:
नहीं हो सकते, क्योंकि उक्त स्थिति में त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° से अधिक होगा जबकि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।
प्रश्न 4.
कोणों 45°, 64° और 72° वाले कितने त्रिभुज खींचे जा सकते हैं ? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
उत्तर:
कोई भी त्रिभुज नहीं खींचा जा सकता, क्योंकि उक्त स्थिति में तीनों कोणों का योग 45° + 64° + 72° = 181° हो जाता है जो 180° से अधिक है।
प्रश्न 5.
कोणों 53°, 64° और 63° वाले कितने त्रिभुज खींचे जा सकते हैं ? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
उत्तर:
अपरिमित रूप से अनेक त्रिभुज खींचे जा सकते हैं, क्योंकि प्रत्येक दशा में कोणों का योग 53° + 64° + 63° = 180 होता है।
प्रश्न 6.
संलग्न चित्र में x का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए l और m समान्तर होंगे।
चित्र 6.45
हल:
x + 44° = 180°
⇒ x = 180° – 44° = 136°
अतः x का अभीष्ट मान = 136°.
प्रश्न 7.
दो आसन्न कोण बराबर है। क्या यह आवश्यक है कि वे दोनों कोण समकोण हों ? अपने
उत्तर:
का औचित्य दीजिए। उत्तर- कोई आवश्यक नहीं, क्योंकि यह तभी सम्भव है जब ये रेखायुग्म बनाएँ।
प्रश्न 8.
यदि दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से बना एक कोण समकोण है, तो अन्य तीनों कोणों के बारे में आप क्या कह सकते हैं ? अपने उत्तर का कारण दीजिए।
उत्तर:
अन्य तीनों कोण भी समकोण होंगे, रैखिक युग्म अभिगृहीत के कारण।
प्रश्न 9.
निम्न चित्र में कौन-सी दो रेखाएँ समान्तर हैं और क्यों?
चित्र 6.46
उत्तर:
रेखाएँ l || m क्योंकि एक ही ओर के अन्तः कोणों का योग = 132° + 48° = 180°
रेखाएँ p एवं q समान्तर नहीं है, क्योंकि एक ही ओर के अन्तः कोणों का योग = 73° + 106° = 179° + 180°
प्रश्न 10.
दो रेखाएँ l और m एक ही रेखा n पर लम्ब हैं। क्या l और m परस्पर लम्ब हैं ? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
उत्तर:
नहीं, क्योंकि ये समान्तर हैं।
MP Board Class 9th Maths Chapter 6 वस्तुनिष्ठ प्रश्न
बहु-विकल्पीय प्रश्न
प्रश्न 1.
यदि किसी त्रिभुज का एक कोण अन्य दो कोणों के योग के बराबर हो, तो वह त्रिभुज है एक :
(a) समद्विबाहु त्रिभुज
(b) अधिक कोण त्रिभुज
(c) समबाहु त्रिभुज
(d) समकोण त्रिभुज।
उत्तर:
(d) समकोण त्रिभुज
प्रश्न 2.
एक त्रिभुज का एक बहिष्कोण 105° है तथा उसके दोनों अन्तः विपरीत कोण बराबर हैं। इनमें से प्रत्येक बराबर कोण है :
(a) 37 12 °
(b) 27 12°
(c) 72 12 °
(d) 75°.
उत्तर:
(b) 27 12°
प्रश्न 3.
किसी त्रिभुज के कोणों का अनुपात 5 : 3 : 7 है। वह त्रिभुज है एक :
(a) न्यूनकोण त्रिभुज
(b) अधिक कोण त्रिभुज
(c) समकोण त्रिभुज
(d) समद्विबाहु त्रिभुज।
उत्तर:
(a) न्यूनकोण त्रिभुज
प्रश्न 4.
किसी त्रिभुज का एक कोण 130° है तो अन्य दोनों कोणों के समद्विभाजकों के बीच कोण हो सकता है:
(a) 50°
(b) 65°
(c) 145°
(d) 155°
उत्तर:
(d) 155°
प्रश्न 5.
संलग्न चित्र में POQ एक रेखा है। x का मान है :
चित्र 6.47
(a) 20°
(b) 25°
(c) 30°
(d) 35°.
उत्तर:
(a) 20°
प्रश्न 6.
एक त्रिभुज के कोण 2 : 4 : 3 के अनुपात में हैं। त्रिभुज का सबसे छोटा कोण है :
(a) 60°
(b) 40°
(c) 80°
(d) 20°.
उत्तर:
(b) 40°
रिक्त स्थानों की पूर्ति
1. सरल रेखा का वह भाग जिसके दो अन्त बिन्दु हों, ………… कहलाता है।
2. यदि तीन या अधिक बिन्दु एक ही सरल रेखा में हों, तो वे बिन्दु ……. कहलाते हैं।
3. सरल रेखा का वह भाग जिसका एक बिन्दु हो ……… कहलाता है।
4. जब दो किरण एक ही अन्त बिन्दु से आरम्भ होती हैं तो एक ………. बनता है।
5. कोण बनाने वाली दोनों किरणें ………. कहलाती हैं।
6. यदि दो आसन्न कोणों का योग ……… हो, तब वे रैखिक युग्म बनाते हैं। (2019)
उत्तर:
1. रेखाखण्ड,
2. सरेख बिन्दु,
3. किरण,
4. कोण,
5. उस कोण की भुजाएँ,
6. 180°.
जोड़ी मिलान
उत्तर:
1. → (c),
2. → (d),
3. → (e),
4. → (a),
5. → (b),
6. → (g),
7. → (1).
सत्य/असत्य कथन
1. कोटि पूरक कोणों का योग 180° होता है।
2. किसी त्रिभुज में कम-से-कम दो न्यूनकोण होते हैं।
3. सम्पूरक कोणों का योग 90° होता है।
4. किसी त्रिभुज में दो समकोण नहीं हो सकते।
5. जब दो असमान्तर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा प्रतिच्छेद करे तो एकान्तर कोण बराबर होते हैं।
उत्तर:
1. असत्य,
2. सत्य,
3. असत्य,
4. सत्य,
5. असत्य।
एक शब्द/वाक्य में उत्तर
1. त्रिभुजों के तीनों अन्तः कोणों का योग कितना होता है?
2. समबाहु त्रिभुज के प्रत्येक कोण का माप क्या होता है?
3. दो समान्तर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा प्रतिच्छेद करे तो एक ही ओर के दो अन्त: कोणों का योग कितना होता है?
4. दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं तो शीर्षाभिमुख कोणों में क्या सम्बन्ध होता है? 5. समकोण समद्विबाहु त्रिभुज के न्यूनकोण का माप क्या होगा?
उत्तर:
1. 180°,
2. 60°,
3. 180°,
4. बराबर होते हैं,
5. 45°.