NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium)

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Chapter 5. समान्तर श्रेढ़ी

प्रश्नावली 5.2

कक्षा – 10 (NCERT Solution)

Ex 5.2 Class 10 गणित Q1.  निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ A.P का प्रथम पद a, सार्व अंतर d और nवाँ पद a_n है: 

Solution:

(i) a = 7, d = 3, n = 8 a_n = ?

a_n = a + (n – 1)d

a₈ = 7 + (8 – 1)3

= 7 + 7 ×3 = 7 + 21

= 28

(ii) a = – 18, n = 10, a_n = 0, d = ?,

a_n = a + (n – 1)d

a₁₀ = – 18 + (10 – 1)d

0    = -18 + 9d

9d = 18

(iii)  d = -3, n = 18, a_n = -5, a = ?

a_n = a + (n – 1)d

a₁₈ = a + (18 – 1)d

-5   = a + 17(- 3)

-5 + 51 = a

a = 46

(iv) a = – 18.9,  d = 2.5,  a_n = 3.6  n = ?

a_n = a + (n – 1)d

3.6 = – 18.9 + (n – 1)2.5

3.6 + 18.9   = (n – 1)2.5

(n – 1)2.5  = 22.5

(v) a = 3.5, d = 0, n = 105, a_n = ?

a_n = a + (n – 1)d

= 3.5 + (105 – 1)0

= 3.5 + 0

= 3.5

Ex 5.2 Class 10 गणित Q2.  निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए:

(i) A.P: 10, 7, 4, …………………. का 30 वाँ पद है:

(A) 97         (B)  77      (C) –77     (D)  – 87

Solution:

a = 10, d = 7 – 10 = -3

30 वाँ पद = ?

a₃₀ = a + 29d

= 10 + 29(-3)

= 10 – 87

= – 77

Correct Answer: (C) – 77

Correct Answer: (B) 22

Ex 5.2 Class 10 गणित Q3.  निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ी में, रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए | 

(i) a = 2, b = ?, c = 26 

Solution: 

Solution: (ii)  a₂ = 13,

∴   a + d = 13  ……………. (1)

a₄ = 3

∴   a + 3d = 3  ……………..(2)

समीo (2) में से (1) घटाने पर

a + 3d – (a + d) = 3 – 13

a + 3d – a – d = -10

2d = – 10

d = -5

d  का मान समीo (1) में रखने पर

a + d = 13

a + (- 5) = 13

a = 13 + 5

a = 18

a₃ = a + 2d = 18 + 2 (-5)

= 18 – 10 = 8

अत: 18, 13, 8, 3

Ex 5.2 Class 10 गणित Q4.  A.P. : 3, 8, 13, 18, . . . का कौन सा पद 78 है ?

Solution:

a = 3, d = 8 – 3 = 5, a_n = 78

a_n  = a + (n – 1) d

78 = 3 + (n – 1) 5

78 – 3 = (n – 1) 5

75 = (n – 1) 5

n – 1 = 75/5

n – 1 = 15

n = 15 + 1

n = 16

अत: 16 वाँ पद 78 है |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q5.  निम्नलिखित समांतर श्रेढियों में से प्रत्येक श्रेढ़ी में कितने पद हैं ?

(i) 7, 13, 19, …………….. , 205

Solution:

a = 7, d = 13 – 7 = 6, a_n = 205

a_n  = a + (n – 1) d

205 = 7 + (n – 1) 6

205 – 7 = (n – 1) 6

198 = (n – 1) 6

n – 1 = 33

n = 33 + 1

n = 34

इस श्रेढ़ी में 34 पद हैं |

इस श्रेढ़ी में 27 पद हैं |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q6.  क्या A.P., 11, 8, 5, 2 . . . का एक पद – 150 है ? क्यों ?

Solution:

a = 11, d = 8 – 11 = – 3 और a_n = – 150

a_n  = a + (n – 1) d

– 150 = 11 + (n – 1) – 3

– 150 – 11 = (n – 1) -3

– 161 = (n – 1) – 3

n – 1 = 53. 66

n = 53.66 + 1

n = 54.66

यहाँ n एक भिन्नात्मक संख्या है जो n के लिए संभव नहीं है

इसलिए – 150 दिए गए A.P का पद नहीं है |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q7. उस A.P का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।

Solution:

31वाँ पद = ?

a₁₁ = 38

⇒a + 10d = 38 ………………… (1)

a₁₆ = 73

⇒ a + 15d = 73 ………………… (2)

समीo (2) में से (1) घटाने पर

a + 15d – (a + 10d ) = 73 – 38

a + 15d – a – 10d = 35

5d = 35

d = 7

समीo (1) में d का मान 7 रखने पर

a + 10d = 38

a = 10 (7) = 38

a = 38 – 70

a = – 32

अब, a₃₁ = a + 30d

⇒ a₃₁ = – 32 + 30(7)

⇒ a₃₁ = – 32 + 210

⇒ a₃₁ = 178

अत: 31 वाँ पद 178 है |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q8. एक A.P में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अंतिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।

Solution:

A.P में 50 पद हैं |

अत: n = 50

a₃ = 12

⇒ a + 2d = 12 ………………… (1)

और अंतिम पद 106 है।

a_n = 106

या a₅₀ = 106

⇒ a + 49d = 106 ………………… (2)

समीo (2) में से (1) घटाने पर

a + 49d – (a + 2d ) = 106 – 12

a + 49d – a – 2d = 94

47d = 94

d = 2

समीo (1) में d का मान 2 रखने पर

a + 2d = 12

a = 2(2) = 12

a = 12 – 4

a = 8

अब, a₂₉ = a + 28d

⇒ a₂₉ = 8 + 28(2)

⇒ a₂₉ = 8 + 56

⇒ a₂₉ = 64

अत: 29 वाँ पद 64 है |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q9.  यदि किसी A.P के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और –8 हैं, तो इसका कौन-सा पद शून्य होगा?

Solution:

a₃ = 4

⇒ a + 2d = 4 ………………… (1)

और नौवा पद – 8 है।

a₉ = – 8

⇒ a + 8d = – 8 ………………… (2)

समीo (2) में से (1) घटाने पर

a + 8d – (a + 2d ) = – 8 – 4

a + 8d – a – 2d = – 12

6d = – 12

d = – 2

समीo (1) में d का मान 2 रखने पर

a + 2d = 4

a = 2(-2) = 4

a = 4 + 4

a = 8

अत: a = 8, और d = – 2

माना n वाँ पद शून्य है |

a_n = 0

a_n  = a + (n – 1) d

⇒ 0 =  8  + (n – 1) -2

⇒ – 8 = (n – 1) -2

⇒ n – 1 = 4

⇒ n = 4 + 1 = 5

अत: 5 वाँ पद शून्य है |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q10.  किसी A.P का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

Solution:

चूँकि 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है।

∴ a₁₇  – a₁₀ = 7

⇒ a + 16d – (a + 9d) = 7

⇒a + 16d – a – 9d = 7

⇒ 7d = 7

⇒ d = 1

सार्व अंतर = 1

Ex 5.2 Class 10 गणित Q11.  A.P. : 3, 15, 27,  39, ……… का कौन-सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा?

Solution:

a = 3, d = 15 – 3 = 12

a₅₄ = a + 53d

= 3 + 53(12)

= 3 + 636

= 639

वह पद जो 54 वें पद से 132 अधिक होगा

a_n = a₅₄ + 132

= 639 + 132

= 771

a_n  = a + (n – 1) d

⇒ 771 =  3  + (n – 1) 12

⇒ 771 – 3 = (n – 1) 12

⇒ 768 = (n – 1) 12

⇒ n – 1 = 64

⇒n = 64 + 1 = 65

अत: 65 वाँ पद 54वें पद से 132 अधिक है |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q12.  दो समांतर श्रेढि़यों का सार्व अंतर समान है। यदि इनके 100वें पदों का अंतर 100 है, तो इनके 1000वें पदों का अंतर क्या होगा?

Solution:

माना प्रथम A.P का प्रथम पद = a

और दुसरे A.P का प्रथम पद = a’ है |

और सार्व अंतर d है [चूँकि सार्व अंतर समान है ] दिया है

प्रश्नानुसार,

a₁₀₀ – a’₁₀₀ = 100

a + 99d – (a’ + 99d) = 100

a + 99d – a’ – 99d = 100

a – a’ = 100 ……………. (1)

a₁₀₀₀ – a’₁₀₀₀ = a + 999d – (a’ + 999d)

= a + 999d – a’ – 999d

= a + a’

चूँकि a + a’ = 100 है समीo (1) से

इसलिए, 1000वें पदों का अंतर भी 100 है |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q13.  तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?

Solution:

तीन अंको की संख्या 100 ……………… 999 के बीच होती है |

अत: 7 से विभाज्य संख्यायें है:

105, 112, 119, …………………… 994

इससे हमें एक A.P प्राप्त होता है |

∴ a = 105, d = 7 और a_n = 994

a_n  = a + (n – 1) d

⇒ 994 =  105  + (n – 1) 7

⇒ 994 – 105 = (n – 1) 7

⇒ 889 = (n – 1) 7

⇒ n – 1 = 127

⇒ n = 127 + 1 = 128

अत: तीन अंकों वाली 7 से विभाज्य संख्या 128 हैं |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q14.  10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?

Solution:

10 और 250 के बीच 4 के गुणज के लिए A.P है |

12, 16, 20, …………………… 248

∴ a = 12, d = 4 और a_n = 248

a_n  = a + (n – 1) d

⇒ 248 =  12  + (n – 1) 4

⇒ 248 – 12 = (n – 1) 4

⇒ 236 = (n – 1) 4

⇒ n – 1 = 59

⇒ n = 59 + 1 = 60

10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की संख्या 60 हैं |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q15.  n के किस मान के लिए, दोनों समांतर श्रेढि़यों 63, 65, 67, ………. और 3, 10, 17, ……………… के n वें पद बराबर होंगे?

Solution:

प्रथम A.P:  63, 65, 67, ……….

जिसमें, a = 63, d = 65 – 63 = 2

a_n  = a + (n – 1) d

= 63 + (n – 1) 2

= 63 + 2n – 2

= 61 + 2n ……………….. (1)

द्वितीय A.P: 3, 10, 17, ………………

जिसमें , a = 3, d = 10 – 3 = 7

a_n  = a + (n – 1) d

= 3 + (n – 1) 7

= 3 + 7n – 7

= – 4 + 7n ……………….. (1)

चूँकि n वाँ पद बराबर हैं, इसलिए (1) तथा (2) से

61 + 2n = – 4 + 7n

61 + 4 = 7n – 2n

5n = 65

n = 65/5

n = 13

अत: दोनों A.P का 13 वाँ पद बराबर हैं |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q16.  वह A.P ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।

Solution:

माना प्रथम पद = a, और सार्व अंतर = d तो,

a₃ = 16

a + 2d = 16 ………………… (1)

a₇ – a₅ = 12

⇒ a + 6d – (a + 4d) = 12

⇒ a + 6d – a – 4d = 12

⇒ 2d = 12

⇒ d = 6

अब d का मान समीकरण (1) में रखने पर ‘

a + 2d = 16

a + 2(6) = 16

a + 12 = 16

a = 16 – 12

a = 4

a, a + d, a + 2d, a + 3d ………………

⇒ 4, 4 + 6, 4 + 2(6), 4 + 3(6), ……………

अत: अभीष्ट A.P: ⇒ 4, 10, 16, 22 …………………………

Ex 5.2 Class 10 गणित Q17. A.P. : 3, 8, 13, …, 253 में अंतिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।

Solution:

दिया गया A.P. : 3, 8, 13, …, 253 है |

प्रथम पद की ओर से a = 3, d = 8 – 3 = 5

परन्तु अंतिम पद से a = 253, n = 20,

और सार्व अंतर d = – 5, [चूँकि अंतिम पद से d का मान ऋणात्मक हो जायेगा ]

a₂₀ = a + 19d

= 253 + 19(-5)

= 253 – 95

= 158

अत: अंतिम पद से 20 वाँ पद 158 है |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q18. किसी A.P.  के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10वें पदों का योग 44 है। इस A.P.  के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।

Solution:

a₄ + a₈ = 24

या    a + 3d + a + 7d = 24

या    2a + 10d = 24

या    2(a + 5d) = 24

या    a + 5d = 12  ……………………. (1)

इसीप्रकार,

A₆ + a₁₀ = 44

या    a + 5d + a + 9d = 44

या    2a + 14d = 44

या    2(a + 7d) = 44

या    a + 7d = 22  ……………………. (2)

समीकरण (2) में से (1) घटाने पर

(a + 7d) – (a + 5d)  = 22  – 12

या    a + 7d – a – 5d  = 10

या    2d = 10

या    d = 5

समीकरण (1) में d = 5 रखने पर

a + 5(5) = 12

या    a + 25 = 12

या    a = 12 – 25

या    a = – 13

अत: A.P के प्रथम 3 पद है :

-13, -13 + 5, -13 + 2(5)

-13, – 8, – 3

Ex 5.2 Class 10 गणित Q19. सुब्बा राव ने 1995 में D 5000 के मासिक वेतन पद कार्य आरंभ किया और प्रत्येक वर्ष 200 की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन D 7000 हो गया?

Solution:

दिए गए सुचना से हमें एक A.P प्राप्त होता है :

A.P: 5000, 5200, 5400, ………………….. 7000

a = 5000, d = 200, a_n = 7000

a_n = a + (n – 1)d

7000 = 5000 + (n – 1)200

7000 – 5000 = (n – 1)200

2000 = (n – 1)200

n – 1 = 20

n = 20 + 1

n = 21 वर्ष

अत: 21 वर्ष बाद उसका वेतन 7000 हो जायेगा |

1995 + 21 = 2016 में हो जायेगा |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q20. रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में D 5 की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत D 1.75 बढ़ाती गई। यदि n वें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत D 20.75 हो जाती है, तो n ज्ञात कीजिए।

Solution:

इस सुचना से एक A.P प्राप्त होती है :

A.P: 5, 6.75, 8.50, ………………………, 20.75

A = 5, d = 1.75, a_n = 20.75

a_n = a + (n – 1)d

20.75 = 5 + (n – 1)1.75

20.75 – 5 = (n – 1)1.75

15.75 = (n – 1)1.75

n – 1 = 9

n = 9 + 1

n = 10

प्रश्नावली 5.3

Ex 5.3 Class 10 गणित Q1. निम्नलिखित समांतर श्रेढियों का योग ज्ञात कीजिए :

(i) 2, 7, 12, . . ., 10 पदों तक

(ii) –37, –33, –29, . . ., 12 पदों तक

(iii) 0.6, 1.7, 2.8, . . ., 100 पदों तक

Solution:

(ii) –37, –33, –29, . . ., 12 पदों तक

a = –37, d = –33 – (–37) = –33 + 37 = 4, n = 12

Solution:

(iii) 0.6, 1.7, 2.8, . . ., 100 पदों तक

a = 0.6, d = 1.7 – 0.6 = 1.1, n = 100,

Ex 5.3 Class 10 गणित Q2. नीचे दिए हुए योग्फालों को ज्ञात कीजिये:

(ii) 34 + 32 + 30 + . . . + 10

(iii) –5 + (–8) + (–11) + . . . + (–230)

Solution: 

(ii) 34 + 32 + 30 + . . . + 10

Solution:

a = 34, d = 32 – 34 = -2, a_n = 10

a_n = a + (n -1)d

10 = 34 + (n – 1)-2

10 – 34 = (n – 1)-2

-24 = (n – 1)-2

(iii) –5 + (–8) + (–11) + . . . + (–230)

Solution:

a = –5, d = (–8) – (–5) = –8 + 5 = –3, a_n =  –230

a_n = a + (n -1)d

–230 = –5 + (n – 1)–3

–230 + 5 = (n – 1) –3

–225= (n – 1)–3

Ex 5.3 Class 10 गणित Q3. एक A.P. में,

(i) a = 5, d = 3 और a_n = 50 दिया है । n और S_n ज्ञात कीजिए ।

(ii) a = 7 और a₁₃ = 35 दिया है । d और S₁₃ ज्ञात कीजिए ।

(iii) a₁₂ = 37 और d = 3 दिया है । a और S₁₂ ज्ञात कीजिए ।

अत: a = 4 और S₁₂ = 246 है |

(iv) a₃ = 15 और S₁₀ = 125 दिया है । d और a₁₀ ज्ञात कीजिए ।

प्रतिस्थापन विधि से समीकरण (i) और (ii) का हल करने पर

समीकरण (i) से

(v) d = 5 और S₉ = 75 दिया है । a और a₉ ज्ञात कीजिए ।

हल : d = 5 और S₉ = 75 दिया है

S₉ = 75

(vi) a = 2, d = 8 और S_n = 90 दिया है । n और a_n ज्ञात कीजिए ।

हल : a = 2, d = 8 और S_n = 90 दिया है ।

S_n = 90

(vii) a = 8, a_n = 62 और S_n = 210 दिया है । n और d ज्ञात कीजिए ।

अत: अंतिम पद = 62 और सार्वअंतर = 54/5

(viii) a_n = 4, d = 2 और S_n = –14 दिया है । n और a ज्ञात कीजिए ।

=> n = 7 और  n = – 2 (Not Applicable क्योंकि n हमेशा धनात्मक होता है)

अत: n = 7

n = 7 का मान (i) में रखने पर

a = 6 – 2n   …………… (i)

a = 6 – 2(7)

a = 6 – 14

a = – 8

अत: n = 7 और a = – 8 है |

(ix) a = 3, n = 8 और S = 192 दिया है । d ज्ञात कीजिए ।

(x) l = 28, S = 144 और कुल 9 पद हैं । a ज्ञात कीजिए ।

Ex 5.3 Class 10 गणित Q4. 636 योग प्राप्त करने के लिए, A.P. : 9, 17, 25 ……….. के कितने पद लेने चाहिए ?

हल : दिया है : A.P. : 9, 17, 25 ………..

a = 9, d = 17 – 9 = 8, S_n = 636 और n = ?

अब, S_n = 636

Ex 5.3 Class 10 गणित Q5. किसी A.P. का प्रथम पद 5, अंतिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या और सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

हल : दिया है : a = 5, a_n = 45 और S_n = 400

अब, a_n = 45

Ex 5.3 Class 10 गणित Q6. किसी A.P. के प्रथम और अंतिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्व अंतर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग क्या है?

हल : a₁ = 17, a_n = 350 और d = 9

अब, a_n = 350

Ex 5.3 Class 10 गणित Q7. उस A.P. के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d = 7 है और 22वाँ पद 149 है।

हल : दिया है : a₂₂ = 149 d = 7 और n = 22

a₂₂ = a + 21 d

149 = a + 21×7

149 = a + 147

a = 149 – 147

a = 2

Ex 5.3 Class 10 गणित Q8. उस A.P. के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 हैं।

हल : दिया है :

a₂ = 14

=> a + d = 14  ………… (i)

a₃  = 18

d = a₃ – a₂

= 18 – 14

= 4

d का मान समीकरण (i) में रखने पर

Ex 5.3 Class 10 गणित Q9. यदि किसी A.P. के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए।

Ex 5.3 Class 10 गणित Q10. दर्शाइए कि a₁, a₂, . . ., a_n, . . . से एक A.P. बनती है, यदि a_n नीचे दिए अनुसार परिभाषित है:

(i) a_n = 3 + 4n (ii) a_n = 9 – 5n

साथ ही, प्रत्येक स्थिति में, प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

Ex 5.3 Class 10 गणित Q11. यदि किसी A.P. के प्रथम n पदों का योग 4n – n² है, तो इसका प्रथम पद (अर्थात् S₁ ) क्या है?  प्रथम दो पदों का योग क्या है?  दूसरा पद क्या है?  इसी प्रकार,  तीसरे, 10वें और n वें पद ज्ञात कीजिए।

हल : प्रथम n पदों का योग 4n – n² है

S_n = 4n – n² ………… (i)

n की जगह n – 1 रखने पर

S_n-1 = 4(n –1) – (n – 1)²

= 4n – 4 – (n² – 2n + 1)

= 4n – 4 – n² + 2n – 1

= – n² + 6n – 5      …………… (ii)

अत: n वाँ पद (a_n) = S_n – S_n-1

=> (a_n) = S_n – S_n-1

हल : प्रथम n पदों का योग 4n – n² है

S_n = 4n – n² ………… (i)

n की जगह n – 1 रखने पर

S_n-1 = 4(n –1) – (n – 1)²

= 4n – 4 – (n² – 2n + 1)

= 4n – 4 – n² + 2n – 1

= – n² + 6n – 5      …………… (ii)

अत: n वाँ पद (a_n) = S_n – S_n-1

=> (a_n) = S_n – S_n-1

=> (a_n) = 4n – n² – (– n² + 6n – 5)

=> (a_n) = 4n – n² + n² – 6n + 5

=> (a_n) = – 2n + 5

अब, S₁ = 4(1) – (1)² = 4 – 1 = 3

प्रथम दो पदों का योग (S₂) = 4(2) – (2)² = 8 – 4 = 4

(a_n) = – 2n + 5

दूसरा पद (a₂) = – 2(2) + 5  = – 4 + 5 = 1

तीसरा पद (a₃) = – 2(3) + 5  = – 6 + 5 = –1

10 वाँ पद (a₁₀) = – 2(10) + 5  = – 20 + 5 = –15

(a_n) = 4n – n² – (– n² + 6n – 5)

=> (a_n) = 4n – n² + n² – 6n + 5

=> (a_n) = – 2n + 5

अब, S₁ = 4(1) – (1)² = 4 – 1 = 3

प्रथम दो पदों का योग (S₂) = 4(2) – (2)² = 8 – 4 = 4

(a_n) = – 2n + 5

दूसरा पद (a₂) = – 2(2) + 5  = – 4 + 5 = 1

तीसरा पद (a₃) = – 2(3) + 5  = – 6 + 5 = –1

10 वाँ पद (a₁₀) = – 2(10) + 5  = – 20 + 5 = –15

Ex 5.3 Class 10 गणित Q12. ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हैं।

Ex 5.3 Class 10 गणित Q13. 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।

Ex 5.3 Class 10 गणित Q14. 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

Ex 5.3 Class 10 गणित Q15. निर्माण कार्य से सम्बन्धी किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलंब से पूरा करने के लिए, जुर्माना लगाने का प्रावधन इस प्रकार है: पहले दिन के लिए 200 रु, दूसरे दिन के लिए 250 रु, तीसरे दिन के लिए 300 रु इत्यादि, अर्थात् प्रत्येक उतरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से 50 रु अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी, यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलंब कर देता है ?

Ex 5.3 Class 10 गणित Q16. किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए 700 रु की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से 20 रु कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।

Ex 5.3 Class 10 गणित Q17. एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदुषण कम करने के लिए स्कूल के अन्दर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोंचा । यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा । उदाहरणार्थ, कक्षा I का एक अनुभाग एक पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा, इत्यादि और ऐसा ही कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा । प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं । इस विद्यालय के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या कितनी होगी ?

हल :

कक्षा 1 से 12 तक प्रत्येक अनुभाग इस प्रकार पेड़ लगाता है ।

अत: 1, 2, 3, 4, …………………. 12

चूँकि प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग है ।

अत: अब प्रत्येक कक्षा द्वारा लगाए गए पेड़ हो जायेंगे ।

इसलिए, 3(1), 3(2), 3(3), 3(4) ……………………. 3(12)

या      3, 6, 9, 12, ………………….. 36

a = 3, d = 3 और n = 12

कुल पेड़ों की संख्या = S₁₂

Ex 5.3 Class 10 गणित Q18. केंद्र A से प्रारंभ करते हुए, बारी-बारी से केन्द्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm …. वाले उत्तरोत्तर अर्धवृतों को खींचकर एक सर्पिल (spiral) बनाया गया है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है | तेरह क्रमागत अर्धवृतों से बने इस सर्पिल की कुल लंबाई क्या है ? 

हल : दिया है अर्धवृतों की लम्बाईयाँ l₁, l₂, l₃, l₄ क्रमश:  इत्यादि अर्धवृत्त हैं ।

Ex 5.3 Class 10 गणित Q19. 200 लट्ठों (logs) को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है: सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्ठे,  उससे अगली पंक्ति में 19 लट्ठे,  उससे अगली पंक्ति में 18 लट्ठे,  इत्यादि (देखिए आकृति )। ये 200 लठ्ठे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे हैं?

यहाँ – 4 संभव नहीं है अत: अंतिम अर्थात सबसे उपरी पंक्ति में लठ्ठों की संख्या 5 है और पंक्तियों की संख्या 16 है |

Ex 5.3 Class 10 गणित Q20. एक आलू दौड़ (potato race) में, प्रारंभिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5m की दूरी पर है, तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3m की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं (देखिए आकृति) । प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारंभ करती है, निकटतम आलू को उठाती है, उसे लेकर वापस आकर दौड़कर बाल्टी में डालती है, दूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती है, उसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है,  और वह ऐसा तब तक करती रहती है, जब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ। इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी?

प्रश्नावली 5.4

Ex 5.4 Class 10 गणित Q1. A.P : 121,117,113,…., का कौन -सा पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा ?

[संकेत : a_n<0 के लिए n ज्ञात कीजिए | ]

Ex 5.4 Class 10 गणित Q2. किसी A.P. के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गुणनफल 8 है | इस A.P.             के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए |

Ex 5.4 Class 10 गणित Q3.  एक सीढ़ी के क्रमागत डंडे परस्पर 25 cm की दुरी पर हैं| (देखिए आकृति 5.7) |

डंडों की लंबाई एक समान रूप से घटती जाती है तथा सबसे निचले डंडे की लंबाई 45 cm है         और सबसे ऊपर वाले डंडे की लंबाई 25 cm है | यदि ऊपरी और निचले डंडे के बीच की दुरी           2,1/2 m है, तो डंडों को बनाने के लिए लकड़ी की कितनी लंबाई की आवश्यकता होगी ?

[संकेत : डंडों की संख्या = 250/ 25 हैं |]

Ex 5.4 Class 10 गणित Q4. एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से संख्या 1 से 49 तक अंकित किया गया है |                  दर्शाइए कि x का एक ऐसा मान है x से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का          योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग के बराबर है | x का मान ज्ञात कीजिए |

[ संकेत : S_{x – 1 =} S₄₉  – S_x  है | ]

Ex 5.4 Class 10 गणित Q5. एक फुटबॉल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है जिसमें 15 सीढीयाँ बनी हुई हैं | इन                      सीढीयों में से प्रत्येक की लंबाई 50m है वह ठोस कंक्रीट ( concrete) की बनी है प्रत्येक              सीढ़ी में 1/4 m की चौड़ाई है और 1/2 m का फैलाव  (चौड़ाई) है | (देखिए आकृति 5.8 )| इस

चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन परिकलित कीजिए |

[ संकेत : पहली सीढ़ी को बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन = 1/4 x 1/2 x 50m^{3 है |]}

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