PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.1

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.1

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए :
(i) 135 और 225
(ii) 196 और 38220
(iii) 867 और 255.
हल :
(i) यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म द्वारा,
चरण 1. क्योंकि 225 > 135, हम 225 और 135 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर, प्राप्त करते हैं।
225 = 135 × 1 + 90
चरण 2. क्योंकि शेषफल 90 # 0, है, इसलिए हम __135 और 90 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर, प्राप्त करते हैं।
135 = 90 × 1 + 45
चरण 3. क्योंकि शेषफल 45 # 0 है, इसलिए हम 90 और 45 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर, प्राप्त करते हैं।
90 = 45 × 2 + 0
क्योंकि शेषफल 0 प्राप्त हो गया है, इसलिए हम प्रक्रिया समाप्त करते हैं।
∵ चरण 3 में भाजक 45 है।
∵ 90 और 45 का HCF 45 है।
अतः, 135 और 225 का HCF 45 है। उत्तर

(ii) 196 और 38220 का HCF ज्ञात करना।
चरण 1. क्योंकि 38220 > 196 है, हम 196 और 38220 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर, प्राप्त करते हैं :
38220 = 196 × 195 + 0 क्योंकि शेषफल 0 प्राप्त हो गया है, इसलिए हम प्रक्रिया समाप्त करते हैं।
∵ इस चरण पर भाजक 196 है।
∴ 38220 और 196 का HCF 196 है।
अतः, 38220 और 196 का HCF 196 है। उत्तर

(iii) 867 और 255 का HCF ज्ञात करना।
चरण 1. क्योंकि 867 > 255 है, हम 867 और 255, पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर प्राप्त करते हैं :
867 = 255 × 3 + 102
चरण 2. क्योंकि शेषफल 102 # 0 है, हम 255 और 102 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर प्राप्त करते हैं :
255 = 102 × 2 + 51
चरण 3. क्योंकि शेषफल 51 ≠ 0, है, हम 51 और 102, पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर प्राप्त करते हैं :
102 = 51 × 2 + 0 क्योंकि शेषफल 0 प्राप्त हो गया है, इसलिए हम प्रक्रिया समाप्त करते हैं।
∵ चरण 3 का भाजक 51 है।
∴ 102 और 51 का HCF 51 है।
अतः, 867 और 255 का HCF 51 है। उत्तर

प्रश्न 2.
दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5, के रूप का होता है, जहाँ १ कोई पूर्णांक है।
हल :
मान लीजिए a एक धनात्मक विषम पूर्णांक है। हम a और b = 6 के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करते हैं।
चूँकि 0 < r < 6 है, इसलिए संभावित शेषफल अर्थात् 0, 1, 2, 3, 4 और 5 हैं। अर्थात् a संख्याओं 6q या 6q + 1, या 6q + 2, या 6q + 3, या 6q + 4, या 6q + 5 के रूप का हो सकता है जहाँ q भागफल है। चूँकि a एक विषम पूर्णांक है। ∴ यह 6q, 6q + 2, 6q + 4 के रूप का नहीं हो सकता।
∵ सभी 2 से विभाज्य हैं। इसलिए कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 के रूप का होता है।

प्रश्न 3.
किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है। दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है। उन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमें वे मार्च कर सकते है।
हल :
सेना में सदस्यों की कुल संख्या = 616 और 32 (दो समूहों का बैंड) क्योंकि दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में गप्त | मार्च करना है और हमने स्तंभों की अधिक सख्या ज्ञात | करनी है।
∴ स्तंभों की अधिकतम संख्या या = 616 और 32 का HCF
चरण 1. चूँकि 616 > 32, हम 616 और 32 को लेकर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करके, हम प्राप्त करते हैं :
616 = 32 × 19 + 8
चरण 2. चूँकि शेषफल 8 ≠ 0, हम 32 और 8 को है, | लेकर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करके, हम प्राप्त करते
32 = 8 × 4 + 0
क्योंकि अब शेषफल शून्य आ गया है।
∵ इस चरण में भाजक 8 है। …
∴ 616 और 32 का HCF 8
अतः, स्तंभों की अधिकतम संख्या जिसमें वे मार्च कर सकते हैं, 8 है। उत्तर

प्रश्न 4.
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी | पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है।
[संकेत : यह मान लीजिए x कोई धनात्मक पूर्णांक है।
तब, यह 3q, 3q + 1 या 34 + 2 के रूप में लिखा जा सकता है। इनमें से प्रत्येक का वर्ग कीजिए और दर्शाइए कि इन वर्गों को 3m या 3m + 1 के रूप में लिखा जा सकता है।
हल :
यदि x कोई धनात्मक पूर्णांक है, तब यह 3q, 3q + 1 या 3q + 2 के रूप का है। की
यदि x = 3q
दोनों ओर वर्ग करने पर,
(x)² = (34)²
9q² = 3 (3q²) = 3m
जहाँ m = 3q²
जहाँ m भी एक पूर्णांक है।
अतः = 3m …………….(1)
यदि x = 34 + 1
दोनों ओर वर्ग करने पर,
x² = (3q + 1)²
x² = 9q² + 1 + 2 x 3q x 1
x² = 3 (3q² + 2q) + 1
x² = 3m + 1 …………… (2)
जहाँ m = 3q² + 2q जहाँ m भी एक पूर्णांक है (1) और (2) से,
x² = 3m, 3m + 1
अतः, किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है।

प्रश्न 5.
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है।
हल :
मान लीजिए x कोई धनात्मक पूर्णांक है और b = 3 है।
x = 3q + r
जहाँ q भागफल है और r शेषफल है।
0 ≤ r < 3
यदि r = 0 तो x = 3q
यदि r = 1 तो x = 3q + 1
यदि r = 2 तो x = 3q + 2
x, 3q या 3q + 1 या 3q + 2 के रूप का है।
यदि x = 3q
दोनों ओर घन करने पर,
x³ = (3q)³
x³ = 27q³ = 9 (3q³) = 9q
जहाँ m = 3q³ और m एक पूर्णांक है।
x³ = 9m ……………….(1)
x = 3q + 1 दोनों ओर घन करने पर
x³ = (3q + 1)³
x = 27q³ + 27q² + 9q + 1)
= 9 (3q³ + 3q² + q) + 1
= 9m + 1
जहाँ m = 3q³ + 3q² + q और यह एक पूर्णांक है।
पुन: x³ = 9m + 1 ……………… (2)
यदि x = 3q + 2
दोनों ओर घन करने पर,
(x)³ = (3q + 2)²
= 27q³ + 54q² + 36q + 8
x³ = 9 (3q³ + 6q² + 4q) + 8
x³ = 9m + 8
जहाँ m = 3q³ + 6q² + 4q
पुनः x³ = 9m + 8 .
(1) और (2) से हम पाते हैं कि x³, 9m, 9m + 1, 9m + 8 के रूप का है।
अतः, x एक धनात्मक पूर्णांक है जो 9m या 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का है।