PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.2

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.2

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए :
(i) 140
(ii) 156
(iii) 3825
(iv) 5005
(v) 7429.
हल :
(i) 140 के अभाज्य गुणनखंड
= (2)² (35)
= (2)² (5) (7)

(ii) 156 के अभाज्य गुणनखंड
= (2)² (39)
= (2)² (3) (13)

(iii) 3825 के अभाज्य गुणनखंड
= (3)² (425)
= (3)² (5) (85)
= (3)² (5)² (17)

(iv) 5005 के अभाज्य गुणनखंड
= (5) (1001)
= (5) (7) (143)
= (5) (7) (11) (13)

(v) 7429 के अभाज्य गुणनखंड
= (17) (437)
= (17) (19) (23)

प्रश्न 2.
पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = LCM x HCF है ।
(i) 26 और 91
(ii) 510 और 92
(iii) 336 और 54.
हल :
(i) 26 और 91 दी गई संख्याएँ हैं।
26 और 91 के अभाज्य गुणनखंड हैं :
26 = (2) (13)
और 91 = (7) (13)
HCF (26, 91) = उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घातों का गुणनफल
∴ HCF (26, 91) = 13
और LCM (26, 91) = सभी अभाज्य गुणनखंडों की | सबसे बड़ी घातों का गुणनफल
= (2) (7) (13)
= 182
सत्यापन: LCM (26, 91) × HCF (26, 91)
= (13) × (182) = (13) × (2) × (91) = (26) × (91)
= दी गई संख्याओं का गुणनफल

(ii) 510 और 92 दी गई संख्याएँ हैं।
510 और 92 के अभाज्य गुणनखंड हैं :
510 = (2) (255) = (2) (3) (85)
= (2) (3) (5) (17)
और 92 = (2) (46) = (2)² (23)
HCF (510, 92) = उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों
की सबसे छोटी घातों का गुणनफल = 2
LCM (510, 92) = सभी अभाज्य गुणनखंडों की
सबसे बड़ी घातो का गुणनफल = (2)² (3) (5) (17) (23)
= 23460

सत्यापन :
LCM (510. 92) × HCF (510, 92)
= (2) (23460)
= (2) × (2)2 (3) (5) (17) (23)
= (2) (3) (5) (17) × (2)2 (23)
= 510 × 92
= दी गई संख्याओं का गुणनफल

(iii) 336 और 54 दी गई संख्याएँ हैं 336 और 54 के अभाज्य गुणनखंड हैं :
336 = (2) (168)
= (2) (2) (84)
= (2) (2) (2) (42)
= (2) (2) (2) (2) (21)
= (2)⁴ (3) (7)

और 54 = (2) (27) = (2) (3) (9)
= (2) (3) (3) (3)
= (2) (3)³
HCF (336, 54) = उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घातों का गुणनफल
= (2) (3) = (6)
LCM (336, 54)
= अभाज्य गुणनखंडों की सबसे
बड़ी घातों का गुणनखंड = (2)⁴ (3)³ (7)
= 3024

सत्यापन : LCM (336, 54) × HCF (336, 54)
= 6 × 3024
= (2) (3) × (2)⁴ (3)³ (7)
= (2)⁴ (3) (7) × (2) (3)³
= 336 × 54
= दी गई संख्याओं का गुणनफल

प्रश्न 3.
अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए :
(i) 12, 15 और 21
(ii) 17, 23 और 29
(iii) 8, 9 और 25 .
हल:
(i) 12, 15 और 21 दी गई संख्याएँ हैं। 12, 15 और 21 के अभाज्य गुणनखंड हैं
12 = (2) (6) = (2) (2) (3)
= (2)² (3) 15
= (3) (5)
21 = (3) (7)
HCF (12, 15 और 21) = 3 उत्तर
LCM (12, 15 और 21) = (2)² (3) (5) (7)
= 420 उत्तर

(ii) 17, 23 और 29 दी गई संख्याएँ हैं।
17, 23 और 29 के अभाज्य गुणनखंड हैं
17 = (17) (1)
23 = (23) (1)
29 = (29) (1)
HCF (17, 23 और 29) = 1 उत्तर
LCM (17, 23 और 29) = 17 × 23 × 29
= 11339 उत्तर

(iii) 8, 9 और 25 दी गई संख्याएँ हैं।
8, 9 और 25 के अभाज्य गुणनखंड हैं
8 = (2) (4) = (2) (2) (2)
= (2)³ (1)
9 = (3) (3) = (3)² (1)
25 = (5) (5) = (5)² (1)
HCF (8, 9 और 25) = 1 उत्तर
LCM (8, 9 और 25) = (2)³ (3)² (5)²
= 1800 उत्तर

प्रश्न 4.
HCF (306, 657) = 9 दिया है।
LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए।
हल :
306 और 657 दी गई संख्याएँ हैं।
306 और 657 के अभाज्य गुणनखंड हैं
306 = (2) (153) = (2) (3) (51)
= (2) (3) (3) (17)
= (2) (3)² (17)
657 = (3) (219) = (3) (3) (73)
= (3)² (73)
HCF (306, (657) = (3) = 9
∵ HCF × LCM = दी गई संख्याओं का गुणनफल
∴ 9 × LCM (306, 657) = 306 × 657
या LCM (306, 657) = 306 × 657
= 34 × 657
= 22338 उत्तर

प्रश्न 5.
जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए, संख्या 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त हो सकती है।
हल :
मान लीजिए, कि किसी संख्या n ∈ N के लिए, 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त होती है।
∴ 6ⁿ, 5 से विभाज्य है।
परंतु 6 के अभाज्य गुणनखंड 2 और 3 हैं।
(6)ⁿ के अभाज्य गुणनखंड (2 × 3)ⁿ हैं।
⇒ यह स्पष्ट है कि 6 के अभाज्य गुणनखंडन में 5 का कोई स्थान नहीं है।
∵ अंक गणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है और यह गुणनखंडन अद्वितीय है, बिना यह ध्यान दिए कि अभाज्य संख्याएँ किस क्रम में हैं।
∴ हमारी कल्पना गलत है।
अतः, कोई भी प्राकृत संख्या n ऐसी नहीं है जिसके लिए संख्या 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त होती है।

प्रश्न 6.
व्याख्या कीजिए कि 7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भाज्य संख्याएँ क्यों हैं ?
हल :
7 × 11 × 13 + 13 = 13 [7 × 11 + 1]
जो कि एक अभाज्य संख्या नहीं है क्योंकि 13 इसका एक गुणनखंड है इसलिए, यह एक भाज्य संख्या है।
(साथ ही) 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5
= 5 [7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1], जो कि एक अभाज्य संख्या नहीं है क्योंकि 5 इसका एक गुणनखंड है।
इसलिए, यह एक भाज्य संख्या है।

प्रश्न 7.
किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारंभ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुनः प्रारंभिक स्थानों पर मिलेंगे ?
हल :
सोनिया द्वारा मैदान का एक चक्कर लगाने में लगा समय = 18 मिनट
रवि द्वारा मैदान का एक चक्कर लगाने में लगा समय = 12 मिनट
वे पुनः प्रारंभिक स्थान पर मिलते हैं
= LCM (18, 12)
अब 18 और 12 के अभाज्य गुणनखंड हैं :
18 = (2) (9) = (2) (3) (3)
= (2) (3)²
12 = (2) (6) = (2) (2) (3)
= (2)² (3)
LCM (18, 12) = (2)² (3)²
= 4 × 9 = 36
अतः, 36 मिनट बाद सोनिया और रवि प्रांरभिक स्थान पर मिलेंगे। उत्तर