PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Exercise 6.3

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Exercise 6.3

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਦੱਸੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਜੋੜਿਆਂ ਵਿਚੋਂ ਕਿਹੜੇ-ਕਿਹੜੇ ਜੋੜੇ ਸਮਰੂਪ ਹਨ । ਉਸ ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ ਨੂੰ ਲਿਖੋ ਜਿਸ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਤੁਸੀਂ ਉੱਤਰ ਦੇਣ ਲਈ ਕੀਤਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸਮਰੂਪ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਨੂੰ ਸੰਕੇਤਨ ਰੂਪ ਵਿਚ ਵੀ ਦਰਸਾਓ ।

ਹੱਲ:
(i) △ABC ਅਤੇ △PQR ਵਿੱਚ
∠A = ∠P (ਹਰੇਕ 60°)
∠B = ∠Q (ਹਰੇਕ 800)
∠C = ∠R (ਹਰੇਕ 40°)
∴ △ABC ~ △PQR [AAA ਸਮਰੂਪਤਾ)

(iii) △LMP ਅਤੇ △DEF ਵਿੱਚ,

∴ ਦੋ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਨਹੀਂ ਹਨ ।

(v) △ABC ਅਤੇ △DEF ਵਿੱਚ,

∴ △ABC ਅਤੇ △DEF ਸਮਰੂਪ ਨਹੀਂ ਹਨ ।

(vi) △DEE ਵਿੱਚ,
∠D = 70°, ∠E = 80°
∠D + ∠E + ∠F = 180°
(ਤਿਭੁਜ ਦੇ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ)
70° + 80° + ∠F = 180°
∠F = 180° – 70° – 80°
∠F = 30°
△PQR ਵਿੱਚ,
∠Q = 80°, ∠R = 30°
∠P + ∠Q + ∠R = 180°
(ਤਿਭੁਜ ਦੇ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ)
∠P + 80° + 30° = 180°
∠P = 180° – 80° – 30°
∠P = 70°
△DEF ਅਤੇ △PQR ਵਿੱਚ,
∠D = ∠P (70° ਹਰੇਕ)
∠E = ∠Q (80° ਹਰੇਕ)
∠F = ∠R (30° ਹੇਰਕ)
∴ △DEF ~ △PQR (AAA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ △ODC ~ △OBA, ∠BOC= 125° ਅਤੇ ∠CDO = 70° ਹੈ | ∠DOC, ∠DCO ਅਤੇ ∠OAB ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਹੱਲ:
∠BOC = 125°
∠CDO = 70°
DOC ਇਕ ਸਰਲ ਰੇਖਾ ਹੈ ।
∴ ∠DOC + /COB = 180°
∠DOC + 125° = 180°
∠DOC = 180° – 125
∠DOC = 55°
∠DOC = ∠AOB = 55°
[ਸਿਖ਼ਰ ਸਨਮੁੱਖ ਕੋਣੀ]
∴ △ODC ~ △OBA
∠D = ∠B = 70°
△DOC ਨੇਂ, ∠D + ∠O + ∠C = 180°
70° + 55° + ∠C = 180°
∠C = 180° – 70° – 55°
∠C = 55°
∠C = ∠A = 55°
∠DOC = 55°
∴ ∠DCO = 55°
∠OAB = 55°

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਸਮਲੰਬ ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD, ਜਿਸ ਵਿਚ AB || DC ਹੈ, ਦੇ ਵਿਕਰਣ AC ਅਤੇ BD ਆਪਸ ਵਿੱਚ Q’ ਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ । ਦੋ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਦਿਖਾਉ ਕਿ OA/OC =OB/OD ਹੈ ।
ਹੱਲ:

ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਸਮਲੰਬ ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਜਿਸ ਵਿਚ AB DC ਹੈ ਅਤੇ ਵਿਕਰਣ AC ਅਤੇ BD ਆਪਸ ਵਿਚ O ‘ਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ :
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾਂ ਹੈ : OA/OC = OB/OD
ਸਬੂਤ : AB || DC
△DOC ਅਤੇ △BOA ਵਿੱਚ
∠1 = ∠2 (ਇਕਾਂਤਰ ਕੋਣ )
∠5 = ∠6 (ਸਿਖ਼ਰ ਸਨਮੁੱਖ ਕੋਣ)
∠3 = ∠4 (ਇਕਾਂਤਰ ਕੋਣ)
∴ △DOC ~ △BOA
[AAA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੋ]
∴ DO/BO = OC/OA
[ਜੇਕਰ ਦੋ ਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਹੋਣ ਤਾਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਾਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ]
⇒ OA/OC = BO/DO

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ, QR/QS = QT/PR ਅਤੇ ∠1 = ∠2 ਹੈ । ਦਿਖਾਉ ਕਿ △PQS ~ △TQR ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △TQR ਵਿੱਚ
QR/QS = QT/PR ਅਤੇ
∠1 = ∠2

ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : △PQS – △TOR
ਸਬੂਤ : △PQR ਵਿਚ,
∠1 = ∠2 (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
∴ PR = PQ [ਬਰਾਬਰ ਕੋਣਾਂ ਦੀਆਂ ਸਨਮੁੱਖ ਭੁਜਾਵਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ]

∠1 = ∠1 (ਸਾਂਝਾ)
∴ △PQS ~ △TQR [SAS ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੋਟੀ]

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
△PQR ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ PR ਅਤੇ QR ਉੱਤੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ | ਬਿੰਦ S ਅਤੇ T ਇਸ ਤਰਾਂ ਸਥਿਤ ਹਨ ਕਿ ∠P = ∠RTS ਹੈ । ਦਿਖਾਉ ਕਿ △RPQ ~ △RTS ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △POR ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ PR ਅਤੇ QR ਉੱਤੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਬਿੰਦੂ S ਅਤੇ T ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਥਿਤ ਹਨ ∠P = ∠RTS ਹੈ ।

ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : △RPQ ~ △RTS
ਸਬੂਤ : △RPQ ਅਤੇ △RTS ਵਿਚ,
∠RPQ = ∠RTS (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
∠R = ∠R
∴ △RPQ ~ △RTS [AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ]

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ △ABE ≅ △ACD ਹੈ, ਤਾਂ ਦਿਖਾਉ ਕਿ △ADE ~ △ABC ਹੈ ।

ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਅਤੇ △ABE ≅ △ACD ਹੈ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : △ADE ~ △ABC
ਸਬੂਤ : △ABE ≅ △ACD (ਦਿੱਤਾ ਹੈ)
AB = AC (ਸਰਬੰਗਸਮ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ) ਅਤੇ AE = AD (ਸਰਬੰਗਮ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ)
AB/AC = 1 …(1)
AD/AE = 1 …(2)
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ, AB/AC = AD/AE
△ADE ਅਤੇ △ABC ਵਿਚ, AD/AE = AB/AC
∠A = ∠A (ਸਾਂਝਾ)
∴ △ADE ~ △ABC [SAS ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ ਤੋਂ]

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ, △ABC ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ਲੰਬ AD ਅਤੇ CE ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ Pਉੱਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ |ਦਿਖਾਉ ਕਿ :
(i) △AEP ~ △CDP
(ii) △ABD ~ △CBE
(iii) △AEP ~ △ADB
(iv) △PDC – △BEC.
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਵਿੱਚ AD ⊥ BC
ਅਤੇ CE ⊥ AB,

ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : (i) △AEP ~ △CDP
(ii) △ABD ~ △CBE
(iii) △AEP ~ △ADB
(iv) △PDC ~ △BEC
ਸਬੂਤ : (i) △AEP ਅਤੇ △CDP ਵਿੱਚ,
∠E = ∠D (ਹਰੇਕ 90°)
∠APE = ∠CPD (ਸਿਖ਼ਰ ਸਨਮੁੱਖ ਕੋਣ)
∴ △AEP ~ △CDP [AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ]

(ii) △ABD ਅਤੇ △CBE ਵਿੱਚ,
∠D = ∠E (ਹਰੇਕ 90°)
∠B = ∠B (ਸਾਂਝਾ ਕੋਣ)
∴ △ABD ~ △CBE [AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ]

(iii) △AEP ਅਤੇ △ADB ਵਿੱਚ,
∠E = ∠D (ਹਰੇਕ 90°)
∠A = ∠A (ਸਾਂਝਾ ਕੋਣ)
∴ △AEP ~ △ADB [AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ]

(vi) △PDC ਅਤੇ △BEC ਵਿੱਚ,
∠C = ∠C (ਸਾਂਝਾ ਕੋਣ)
∠D = ∠E (ਹਰੇਕ 90°)
∴ △PDC ~ △BEC [AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ]

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 8.
ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਦੀ ਵਧਾਈ ਗਈ ਭੁਜਾ AD ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ E ਕੋਈ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਅਤੇ BE ਭੁਜਾ CD ਨੂੰ F’ ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ । ਦਿਖਾਉ ਕਿ ਮੈ △ABE ~ △CFB ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਦੀ ਵਧਾਈ ਗਈ ਭੁਜਾ AD ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ E ਇਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਅਤੇ BE ਅਤੇ CD ਨੂੰ F ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ ।

ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : △ABE ~ △CFB
ਸਬੂਤ : △ABE ਅਤੇ △CFB ਵਿੱਚ
∠A = ∠C (|| gm ਦੇ ਸਨਮੁੱਖ ਕੋਣ)
∠ABE = ∠CFB (ਇਕਾਂਤਰ ਕੋਣ)
∴ △ABE ~ △CFB (AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 9.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ, ABC ਅਤੇ AMP ਦੋ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਕੋਣ B ਅਤੇ Mਸਮਕੋਣ ਹਨ । ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ
(i) △ABC ~ △AMP
(ii) CA/PA = BC/MP.

ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਅਤੇ △AMP ਦੋ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹਨ । ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਕੋਣ B ਅਤੇ M ਸਮਕੋਣ ਹਨ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : (i) △ABC ~ △AMP ਵਿਚ,
(ii) CA/PA = BC/MP
ਸਬੂਤ : △ABC ਅਤੇ △AMP ਵਿੱਚ,
∠A = ∠A (ਸਾਂਝਾ ਕੋਣ)
∠B = ∠M (ਹਰੇਕ 90°)
∴ △ABC ~ △AMP (AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ)
∴ AC/AP = BC/MP
[ਜੇਕਰ ਦੋ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਾਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ |]
⇒ CA/PA = BC/MP

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 10.
CD ਅਤੇ GH ਕ੍ਰਮਵਾਰ ∠ACB ਅਤੇ ∠EGF ਦੇ | ਅਜਿਹੇ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਹਨ ਕਿ ਬਿੰਦੂ D ਅਤੇ ਸ਼ ਕੁਮਵਾਰ △ABC ਅਤੇ △FEG ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ AB ਅਤੇ FE ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ । ਜੇਕਰ △ABC ~ △FEG ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਦਿਖਾਉ ਕਿ

(ii) ਹੁਣ, △DCB ਅਤੇ △HGE ਵਿੱਚ,
∠B = ∠E (ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ)
∠1 = ∠3 [ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ]
∴ △DCB ~ △HGE
[∵ AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ ਨਾਲ]

(iii) ਹੁਣ, △DCA ਅਤੇ △HGF ਵਿੱਚ,
∠A = ∠F [ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ]
∠2 = ∠4 ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ]
∴ △DCA ~ △HGF
[∵ AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ ਨਾਲ]

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 11.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ AB = AC ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਤਿਭੁਜ ABC ਦੀ ਵਧਾਈ ਗਈ ਭੁਜਾ CB ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ E, ਇੱਕ ਬਿੰਦੁ ਹੈ । ਜੇਕਰ AD ⊥ BC ਅਤੇ EF ⊥ AC ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ △ABD ~ △ECF ਹੈ ।

ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : AB = AC ਵਾਲੇ ਇਕ ਸਮਦੋਭੁਜੀ △ABC ਦੀ ਵਧਾਈ ਗਈ ਭੁਜਾ CB ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ E ਇੱਕ ਬਿੰਦੁ ਹੈ । AD ⊥ BC ਅਤੇ EF ⊥ AC ਹੈ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : △ABD ~ △ECF
ਸਬੂਤ : △ABC ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ । (ਦਿੱਤਾ ਹੈ) |
AB = AC
ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਵਿੱਚ ਸਮਾਨ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਸਨਮੁੱਖ ਕੋਣ
∴ ∠B = ∠C (ਬਰਾਬਰ ਕੋਣ)
△ABD ਅਤੇ △ECF ਵਿੱਚ
∠ABD = ∠ECF (ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ।)
∠ADB = ∠EFC (ਹਰੇਕ 90°)
∴ △ABD ~ △ECF [AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ]

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 12.
ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦੀਆਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਭੁਜਾਵਾਂ AB, BC ਅਤੇ ਮੱਧਿਕਾADਕਿਸੇ ਹੋਰ ਤ੍ਰਿਭੁਜ PQR ਦੀਆਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਭੁਜਾਵਾਂ, PO, OR ਅਤੇ ਮੱਧਿਕਾ PM ਦੇ ਸਮਾਨ-ਅਨੁਪਾਤੀ ਹਨ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ) ।ਦਿਖਾਉ ਕਿ △ABC ~ △PQR ਹੈ ।

ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ AB, BC ਅਤੇ ਮਧਿਕਾ AD ਇਕ ਹੋਰ ਤ੍ਰਿਭੁਜ PQR ਦੀਆਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਭੁਜਾਵਾਂ PQ ਅਤੇ QR ਅਤੇ ਮੱਧਿਕਾ PM ਦੇ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹਨ !
AB/PQ = AC/PR = AD/PM
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : △ABC ~ △PQR

ਰਚਨਾ : AD ਨੂੰ E ਤੱਕ ਵਧਾਉ ਤਾਂ ਕਿ AD = DE ਅਤੇ PM ਨੂੰ N ਤੱਕ ਵਧਾਉ ਤਾਂ ਕਿ PM = MN ਹੋ ਜਾਵੇ । BE, CE, QN ਅਤੇ RN ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ ।
ਸਬੂਤ : AB/PQ = AC/PR = AD/PM (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।) ……(1)
BD = DC (ਦਿੱਤਾ ਹੈ )
AD = DE (ਰਚਨਾ)
ਚਤੁਰਭੁਜ ABEC ਦੇ ਵਿਕਰਣ ਇਕ-ਦੂਸਰੇ ਨੂੰ ਸਮਦੁਭਾਜਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ ।
∴ ਚਤੁਰਭੁਜ ABEC ਇਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜੇ ਹੈ ।
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ PQNR ਇਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ ।
∴ BE = AC
[ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੀਆਂ ਸਨਮੁੱਖ ਭੁਜਾਵਾਂ।]
ਅਤੇ QN = PR
BE/AC …(i)
QN/PR ….(ii)
(i) ਅਤੇ (ii) ਤੋਂ,


∴ △ABE ~ △PQN [ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਾਨੁਪਾਤੀ ਹਨ]
∴ ∠1 = ∠2 …(4)
[ਸਮਰੂਪ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੇ ਸੰਗਤ ਕੋਣ]
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, △ACE ~ △PRN
∠3 = ∠4 …(5)
[ਸਮਰੂਪ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੇ ਸੰਗਤ ਕੋਣ]
(4) ਅਤੇ (5) ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਤੇ
∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠4
∠A = ∠P
ਹੁਣ △ABC ਅਤੇ △PQR ਨੇਂ,
∠A = ∠P (ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ।)
AB/PQ = AC/PR (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
∴ ABC ~ △PQR
[SAS ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਨਾਲ]

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 13.
ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦੀ ਭੁਜਾ BC ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ) ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਥਿਤ ਹੈ ਕਿ ∠ADC = ∠BAC ਹੈ । ਦਿਖਾਉ ਕਿ CA² = CB.CD ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਦੀ ਭੁਜਾ BC ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੁ ) ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਥਿਤ ਹੈ ਕਿ ∠ADC = ∠BAC ਹੈ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : CA² = CB.CD
ਸਬੂਤ : △ABC ਅਤੇ △ADC ਵਿੱਚ,

∠C = ∠C (ਸਾਂਝਾ)
∠BAC = ∠ADC (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
∴ △ABC ~ △DAC [AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ ਤੋਂ।]
∴ AC/DC = BC/AC [ਜੇਕਰ ਦੋ ਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਹੋਣ ਤਾਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਾਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ]
AC² = BC. DC

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 14.
ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ AB, AC ਅਤੇ ਮੱਧਿਕਾ AD, ਇੱਕ ਹੋਰ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ PQ, PR, ਮੱਧਿਆ PM ਦੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਸਮਾਨ-ਅਨੁਪਾਤੀ ਹਨ ।ਦਰਸਾਉ ਕਿ △ABC ~ △PQR ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਦੋ ਤਿਭੁਜ ABC ਅਤੇ PQR ਵਿੱਚ D, BC ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ M, QR ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ।
ਅਤੇ AB/PQ = AC/PR = AD/PM …(1)

ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : △ABC ~ △PQR
ਰਚਨਾ : AD ਨੂੰ E ਤੱਕ ਵਧਾਉ ਤਾਂਕਿ AD = DE ਹੋਵੇ
BE ਅਤੇ CE ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ ।
PM ਨੂੰ N ਤੱਕ ਵਧਾਉ ਤਾਂ ਕਿ PM = MN ਹੋਵੇ ।
QN ਅਤੇ NR ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ ॥
ਸਬੂਤ : ਚਤੁਰਭੁਜ ABEC ਦੇ ਵਿਕਰਣ AE ਅਤੇ BC ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ ) ਉੱਤੇ ਸਮਭਾਜਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ ।
∴ ਚਤੁਰਭੁਜ ABEC ਇਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ ।
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਇਹ ਦਿਖਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਚਤੁਰਭੁਜ PQNR ਇਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ ।
ਕਿਉਂਕਿ ABEC ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ ।
∴ BE = AC …..(2)
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ PQNR ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ ।
∴ QN = PR …(3)
(2) ਨੂੰ (3) ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,

∴ △ABC ~ △PON
∴ ∠BAE = ∠QPN …(6)
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇਹ ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ
△AEC ~ △PNR
∴ ∠EAC = ∠NPR …(7)
(6) ਅਤੇ (7) ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
∠BAE + ∠EAC = ∠QPN + ∠NPR
ਹੁਣ △ABC ਅਤੇ △PQR ਸੇਂ
AB/PQ = AC/PR
∴ △ABC ~ △QPR (SAS ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ ਨਾਲ)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 15.
6 m ਲੰਬਾਈ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਲੰਬ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਖੜੇ ਖੰਭੇ ਦੀ ਜ਼ਮੀਨ ‘ਤੇ ਪਰਛਾਵੇਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 4m ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਉਸੇ ਸਮੇਂ ਇੱਕ ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਪਰਛਾਵੇਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 28 m ਹੈ । ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ । .
ਹੱਲ:

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 16.
AD ਅਤੇ PM ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ABC ਅਤੇ POR ਦੀਆਂ ਕੁਮਵਾਰ ਮੱਧਿਕਾਵਾਂ ਹਨ, ਜਦੋਂ ਕਿ △ABC ~ △PQR ਹੈ । ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ AB/PQ = AD/PM ਹੈ ।

ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਅਤੇ △PQR ਦੀ AD ਅਤੇ PM ਮੱਧਿਕਾਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ △ABC ~ △PQR ਹੈ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : AB/PQ = AD/PM
ਸਬੂਤ : △ABC ~ △PQR (ਦਿੱਤਾ ਹੈ )
∴ AB/PQ = BC/QR = AC/PR
{ਜੇਕਰ ਦੋ ਤਿਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਾਨ-ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ }
∠A = ∠P
[ਜੇਕਰ ਦੋ ਤਿਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਹਨ, ਤਾਂ ਸੰਗਤ ਕੋਣ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ]
∠B = ∠Q
∠C = ∠R
D, BC ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ।
∴ BD = DC = 1/2 BC ..(2)
M, OR ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ।
∴ QM = MR = 1/2 QR …(3)

[ਜੇਕਰ ਦੋ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਹਨ ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ]

SabDekho

The Complete Educational Website

Bihar Board

UP Board

IAS Notes

Jac Board

MP Board

सम्पूर्ण व्याकरण

जीवनी

निबंध

टेन्स

सामान्य ज्ञान