PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.3

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.3

PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3

प्रश्न 1.
x³ + 3x² + 3x + 1 को निम्नलिखित से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।

शेषफल 0 है।

वैकल्पिक विधि :
हम शेषफल प्रमेय का प्रयोग करके शेष फल ज्ञात करते हैं।
मान लीजिए p (x) = x³ + 3x² + 3x + 1
जहाँ x + 1 भाजक है।
अब x + 1 = 0 लीजिए।
⇒ x = – 1
x = – 1 को p (x) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
p (- 1) = (- 1)³ + 3 (- 1)² + 3 (- 1) + 1
= – 1 + 3 – 3 + 1 .
⇒ p (- 1) = 0
अतः, शेषफल 0 है।

(iii) p (x) = x³ + 3x² + 3x + 1
जहाँ x भाजक है।
हम शेषफल प्रमेय का प्रयोग करके शेषफल ज्ञात करते हैं।
इसलिए x = 0 लीजिए
x = 0 को p (x) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है_ p (0) = (0)³ + 3(0)² + 3(0) + 1
= 0 + 0 + 0 + 1
⇒ p (0) = 1
अतः शेषफल 1 है।

(iv) मान लीजिए p (x) = x³ + 3x² + 3x + 1 जहाँ x + π भाजक है। हम शेषफल प्रमेय का प्रयोग करके शेषफल ज्ञात करते
इसलिए हम x + π = 0 लेते हैं।
⇒ x = – π
अब x = – π को p (x) में प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं।
p (- π) = (- π)³ + 3(- π)² + 3(- π) + 1
= – π³ + 3π² – 3π + 1
अतः शेषफल है : – π³ + 3π² – 3π + 1

प्रश्न 2.
x³ – ax² + 6x – a को x – a से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए p (x) = x³ – ax² + 6x – a
अब हम x – a = 0 लेते हैं।
⇒ x = a
x = a को p (x) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
p (a) = a³ – a (a)² + 6 (a)-a
= a³ – a³ + 6a – a
= 5a
अतः शेषफल 5a है।

प्रश्न 3.
जाँच कीजिए कि 7 + 3x, 3x³ + 7x का एक गुणनखंड है या नहीं।
हल :
जैसा कि आप जानते हैं कि 7 + 3x बहुपद p (x) = 3x³ + 7x का गुणनखंड केवल तब होगा जब कि 7 + 3x से p (x) को भाग देने पर कोई शेष न बचता हो।
अब 7 + 3x = 0 लेने पर हमें प्राप्त होता है :