RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 13 सदिश Ex 13.1
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 13 सदिश Ex 13.1
Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 13 सदिश Ex 13.1
प्रश्न 1.
निम्नलिखित सदिशों के परिमाण का परिकलन कीजिए :
हल :
सदिश का परिमाण
सदिश का परिमाण
सदिश का परिमाण
अत: दिए गए सदिशों के परिमाण क्रमशः √3, √62 तथा 1 हैं।
प्रश्न 2.
समान परिमाण वाले दो विभिन्न सदिश लिखिए।
हल :
माना सदिश
तथा
है
अत: सदिश 
तथा 
सम्मान परिमाण वाले दो सदिश हैं।
प्रश्न 3.
समान दिशा वाले दो विभिन्न सदिश लिखिए।
हल :
माना सदिश
अब सदिश के दिक्-कोसाइन l1, m1, n1 हों तो
तथा यदि सदिश के दिक्-कोसाइन l2, m2, n2 हों, तो
इस प्रकार हम देखते हैं कि सदिश के दिक्-कोसाइन समान हैं अर्थात्
या सदिश समान दिशा वाले हैं।
अतः सदिश ⃗ तथा समान दिशा वाले दो विभिन्न सदिश हैं।
प्रश्न 4.
यदि सदिश 2i^+3j^ और xi^+yj^ समान हों, तो और। के मान ज्ञात कीजिए।
हुल :
दो सदिश समान होते हैं यदि उनके घटक समान हों।
तब 2 = x तथा 3 = y
∴ x = 2 तथा y = 3.
प्रश्न 5.
एक सदिश का प्रारम्भिक बिन्दु (2, 1) है और अन्तिम विन्दु (-5, 7) है। इस सदिश के अदिश एवं सदिश घटक ज्ञात कीजिए।
हल :
माना सदिश के प्रारम्भिक बिन्दु तथा अंतिम बिन्दु क्रमशः A तशा B हैं।
तन A के निर्देशांक (2, 1)
तथा B के निर्देशांक (-5, 7)
∴ AB→ के अदिश घटक -7 तथा 6 हैं।
तथा AB→ के सदिश घटक −7i^ तथा 6i^ हैं।
प्रश्न 6.
सदिश
और
का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल :
सदिश ⃗ ,⃗ तथा c⃗ का यौगफल
प्रश्न 7.
सदिश
के अनुदिश एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल :
सदिश 
के अनुदिश मात्रक सदिश
जो⃗ के अनुदिश अभीष्ट मात्रक सदिश है।
प्रश्न 8.
सदिश PQ→ के अनुदिश मान्नक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दु P और Q क्रमशः (1, 2, 3) और (4, 5, 6) हैं।
हल :
बिन्दु P तथा Q को मिलाने वाला सदिश = PQ→
अब PQ→ के अनुदिश मात्रक सदिश
अत: PQ→ के अनुदिश मात्रक सदिश
प्रश्न 9.
दिए हुए सदिश
और
के लिए सदिश
के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल :
दिए गए सदिश
जो कि अभीष्ट मात्रक सदिश है।
प्रश्न 10.
सदिश
के अनुदिश एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जिसका परिमाण 8 इकाई है।
हल :
माना
सदिश a⃗ के अनुदिश मात्रक सदिश
अब a⃗ के अनुदिश और 8 परिमाण वाला सदिश = 8a⃗
प्रश्न 11.
दर्शाइए कि सदिश
और
संरेख हैं।
हल :
माना
सदिश को सदिश ⃗ के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है। अतः सदिश ⃗ तथा सरेख हैं।
इति सिद्धम् ।
प्रश्न 12.
बिन्दुओं
और
को मिलाने वाली रेखा को 2:1 के अनुपात में
- अन्तः,
- बाह्य, विभाजित करने वाले बिन्दु R की स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।
हल :
माना मूलबिन्दु O है, तब बिन्दुओं P, Q तथा R के स्थिति सदिश OP→, OQ→ तथा OR→ हैं।
- जब बिन्दु R, बिन्दुओं P तथा Q को मिलाने वाली रेखा को 2 : 1 के अनुपात में अन्तः विभाजित करता है, तब
- जब बिन्दु R बिन्दुओं P तथा Q को मिलाने वाली रेखा को 2 : 1 के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है, तब
अतः बिन्दु R की स्थिति सदिश
है।
प्रश्न 13.
दो बिन्दुओं P(2, 3, 4) और 2(4, 1 ,-2) को मिलाने वाले सदिश का मध्य-बिन्दु ज्ञात कीजिए।
हल :
मानी मूलबिन्दु O है। तब O के सापेक्ष बिन्दुओं P तथा Q के स्थिति सदिश क्रमशः OP→ तथा OQ→ हैं।
अब PQ→ का मध्य-बिन्दु R हो, तब
अत: अभीष्ट मध्य-बिन्दु
है।
प्रश्न 14.
दर्शाइए कि बिन्दु A, B और C, जिनके स्थिति सदिश क्रमश :
और
हैं, एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों का निर्माण करते हैं।
हल :
माना मूलबिन्दु O है, तब
प्रश्नानुसार,
अत: ∆ABC एक समकोण त्रिभुज है।
अर्थात् बिन्दु A, B तथा C एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों का निर्माण करते हैं।
इति सिद्धम्
The Complete Educational Website